振动力学(梁的横向振动).

u( x, t ) u(0, t ) 0, 0 x x 0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u( x, t ) u(0, t ) 0, EI 0 2 x x 0
2
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) EI 0, EI 0 2 2 x x x x 0 x 0
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
即
Q u A 2 f x t
2
利用材料力学中的关系
M Q x
2u M EI 2 x
得到梁的弯曲振动方程
2 2 u u EI 2 A 2 f 2 x x t 2
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程 成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即
即
4 2 2 2 l
EI A
kl xk , i (k 1, 2 i 1)
9 2 3 2 l
EI A
弹性体的振动
【例 2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0, Φ(0) 0
代入特征方程的解得到
Φ(l ) 0, Φ(l ) 0
C2 C4 0,
以及
(C1 C3 ) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得
C3 C1
sin l sh l C2 C4 C1 ch l c o s l
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
求出后得到固有频率
i a
2 i
2 i
EI , (i 1, 2) A
弹性体的振动
振型为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
sin l sh l C1 sin x C1 cos x ch l cos l sin l sinh l C1 sh x C1 ch x ch l cos l
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
q(t ) C5 sin t C6 cos t
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数
F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率 wi。用 四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和弯矩为0。
d 2Φ Φ(0) 0, 2 dx
动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
弹性体的振动
取微段梁dx，截 面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的 规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
2 Q u Q Q dx fdx Adx 2 x t
弹性体的振动
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振
动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材 料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标 xoz，原点位于梁的左端截 面的形心， x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振
弹性体的振动
得到 则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则 以及频率方程
C3 0
sin l 0
i i , (i 1, 2) l
由此解得
弹性体的振动
所以固有频率
EI , (i 1, 2) A 振型为 i (i ) Φ ( x) C sin i x C sin x l 第 i 阶振型有 i － 1
1
2
2 2 i 2 i i a 2 l
个节点。节点坐标
l2
Hale Waihona Puke Baidu
EI A
i xk k l
弹性体的振动
则有
d q(t ) 2 q(t ) 0 2 dt
2
d Φ ( x) 4 Φ( x) （称为特征方程） 4 dx
其中
4

4
2
a
2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
4
2u 2u EI x2 A t 2
2
对于均匀梁，振动方程为
u u a 2 0 4 x t
2
其中
EI a A
弹性体的振动
假定有分离变量形式的解存在，令
0
x 0
d 2Φ Φ(l ) 0, 2 dx
0
x l
代入特征方程的解
( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ( x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x