矢量场1
第7讲矢量场的通量及散度1
且 ( xi , yi , zi ) 是在 li 内的一点。
2.（弧长）曲线积分（介绍） 如果（1）式的极限存在，则称该极限为数量场
u ( x, y, z ) 在曲线 L 上对弧长的曲线积分，记作
线积分。
L
u ( x, y, z )dl
式中L为积分的曲线路径；通常称其为第Ι型曲
2. 曲线积分
3. 曲面积分
4. 通量和源 5. 散度的定义 以上内容基本上是高等数学的复习！ 教材：第2章，第3节
4.通量和源：通量 定义：设有矢量场
一侧的曲面积分： An dS A dS
S S
A(M )，沿其中有向曲面 S
某
为矢量场 A(M ) 向积分所沿一侧穿过曲面
上式表明，通量是可以叠加的。
4.通量和源：通量 在直角坐标系中： 又： dS ndS
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
dS cos(n, x)i dS cos(n, y) j dS cos(n, z)k
z
S i
S
y
x
o
D
( xk , yk , zk )
( k ) x y
一般的曲面方程为：F ( x, y, z ) 0
曲面方程可以改写为：
F F F 法线方程为： n i j k x y z
z f ( x, y) 或 f ( x, y) z 0 z z 法线方程为： n ( )i ( ) j k x y
一个圆锥面 x2 y 2 z 2及平面 z H (H 0)所围成的封闭
《矢量分析与场论》 几种重要的矢量场
证：因
A 为保守场，则曲线积分
关，于是
AB A
AB
A dl
与路径无
B M0 B A dl A dl A dl A dl
A M0
B
M0
A A dl A dl
设 M 0 ( x, y, z) 和 M 0 ( x x, y, z) 两点仅 x 坐标不同，有
u u(M ) u(M 0 )
M M0
A dl
上面取法的最大优点是 dy 0, dz 0 ，于是有
u
( x x , y. z ) ( x , y. z )
A 为有势场的充要条
所有的势函数全体可以表示为，
v( M ) C
是否任何矢量场都是有势场呢？ 定理：在线连域内矢量场 件是 A 为无旋场。即 rotA 0。
证明：（1）必要性，设
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
P( x, y, z)dx
根据积分中值定理，有
u P( x x, y, z)x
0 1
1.有势场 证明：（2）充分性 u P( x x, y, z)x
u 很容易证得， P( x, y, z ) x u u 同理可得， Q( x, y, z ) R( x, y, z ) z y
u(M )
M
则上式成为
AB
B A dl u (M ) A u ( B) u ( A)
M0
A dl
函数 u(M ) 满足 A gradu(M )，是 A dl Pdx Qdy Rdz
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析§1.1 标量场与矢量场一、场的概念如果某物理量在空间每一时刻和每一位置都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。
二、标量场与矢量场标量场：若所研究的物理量是一个标量，则称该物理量的场为标量场，例如：温度场、密度场、电位场。
),(t r u u =矢量场：若所研究的物理量是一个矢量，则称该物理量的场为矢量场，例如：力场、速度场、电场。
),(t r A A =三、静态场和时变场静态场：若物理量不随时间变化，则称该物理量所确定的场为静态场。
)(r u u =)(r A A = 时变场：若物理量随时间变化，则称该物理量所确定的场称为动态场或时变场。
),(t r u u=),(t r A A =标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律由矢量场的散度和旋度来描述。
§1.2 矢量场的通量 散度一、矢量线 矢量场的通量 1、矢量线(1)矢量场的表示在矢量场中，各点的场量是随空间位置变化的矢量。
矢量场可以用一个矢量函数)(r A来表示。
在直角坐标系中表示为：),,()(z y x A r A=(2)矢量线在矢量场中，为了形象直观地描述矢量在空间的分布状况，引入了矢量线的概念。
矢量线：是一条空间曲线，在它上面每一点的场矢量都与其相切，并且用箭头来表示矢量线的正方向。
例如，静电场中的电力线、磁场中的磁力线等。
(3)矢量线方程0)(=⨯r A r d在直角坐标系下为：)()()(r A dzr A dy r A dx z y x == 2、矢量场的通量 通过面积元的通量：S d r A d⋅=Φ)(通过有限面积的通量：⎰⋅=ΦSS d r A)(通过闭合曲面的通量：⎰⋅=ΦS S d r A)(二、矢量场的散度 1、散度的定义在矢量场)(r A中的任意一点M 处作一个包围该点的任意闭合曲面S ，所限定的体积为τ∆。
矢量场)(r A在点M 处的散度记作A div ，其定义为：ττ∆⋅=⎰→∆SS d r A A div)(lim 0 2、散度在坐标系下的表示A A div ⋅∇=定义哈密顿算符：ze y e x e z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇(1)在直角坐标系中的表示zuy u x u A ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ (2)在圆柱坐标系中的表示()zA A A A z∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φρρρρφρ11 (3)在球坐标系中的表示()()φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r r r A r sin 1sin sin 1122 3、散度的性质(1) 散度是通量源的密度；0>⋅∇A表示该点有发出通量线的正通量源；0<⋅∇A表示该点有接收通量线的负通量源；0=⋅∇A表示该点无通量源。
第1章矢量分析与场论01
dS r = rdϕ dzar
dSϕ = drdzaϕ
dS z = rdϕ draz
体元： dV = rdrdϕ dz
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R,θ , ϕ ) ，如图，做一微分体 元。 线元：
dl = dRaR + Rdθ aθ + R sinθ dϕaϕ
面元：
dS R = R 2 sin θ dθ dϕ aR
A
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标（数）量。
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A⋅ B = B ⋅ A
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ a x ⋅ a y = 0, ˆ ˆ a x ⋅ a x = 1, ˆ ˆ a x ⋅ a z = 0, ˆ ˆ a y ⋅ a y = 1, ˆ ˆ ay ⋅ az = 0 ˆ ˆ az ⋅ az = 1
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ ˆ ˆ 三个方向的单位矢量用 a x , a y , a z
表示。 根据矢量加法运算：
o
Ax
z
Az
A
Ay
A = Ax + Ay + Az
其中：
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax = Ax ax , Ay = Ay a y , Az = Az az
ˆ ˆ ˆ 所以： A = Ax ax + Ay a y + Az az
dSθ = R sin θ dRdϕ aθ
dSϕ = RdRdθ aϕ
第11讲几种重要的矢量场1
个矢量场描述标量场。
u u u gradu i j k x y z
散度
divA
是矢量场散发或吸收通量的量度，即
用一个标量场来描述矢量场。
A P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
P Q R divA x y z
主要内容
1. 有势场 2. 管形场 教材：第2章，第5节
1.有势场
设 D 为平面区域，如果 D 内任一闭曲线所
围成的部分都属于 D，则称D为平面单连通区
域；否则称为复连通区域。
D
D
单连通区域
复连通区域
1.有势场 如果在空间区域G内任一简单闭曲线
l
，都可以
做出一个以
面
S
l
为边界且全部位于区域 G 内的曲
S,l
上均有一阶连续偏导数，则有
z
S
R Q ( Pdx Qdy z) (( )dydz y z l S
rotA dS
S
P R Q P ( )dzdx ( )dxdy) z x x y
o
x
l
y
D xy
C
数，则表达式 Pdx Qdy Rdz 在
全微分的充要条件是等式
P Q Q R R P , , y x z y x z
在 G 内恒成立。且
u( x, y, z)
( x, y , z ) ( x0 , y0 , z0 )
Pdx Qdy Rdz
1.有势场 用定积分表示：
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) M1 ( x, y0 , z0 )
1.7 矢量场旋度的定义与计算 (1)
Fx Fy Fz
类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：
h1aˆu1 F 1
h1h2h3 u1 h1Fu1
h2aˆu2 u2
h2 Fu 2
h3aˆu3 u3
h3 Fu 3
圆柱坐标系：
aˆr raˆ aˆz
F 1
l F dl 1
( Fz y
F y )yz
z
在 x 方向的环量密度
F dl
(F ) x
lim
S 0
l1
S x
F dl (Fz Fy )yz
l1
y z
Sx yz
可得： 同理：
(F) x
Fz y
Fy z
za
d
F dl
( F ) x
lim
S 0
l1
S x
其中：
bc
o
y
x
F dl l1
lab F dlab lbc F dlbc lcd F dlcd lda F dlda
其中：dlab dz(aˆz ) dlbc dyaˆy
F Fy F F Fy F
F
z
y
z
aˆx
x
z
z
x
aˆy
x
x
y
aˆz
为了便于记忆，将旋度的 计算公式写成下列形式:
aˆx aˆ y aˆz F
dlcd dzaˆz
dlda dy(aˆy )
所以： F dlab Fzz lab
F dlbc Fyy lbc
《矢量分析与场论》 几种重要的矢量场
故， ( x) 3xy2 x3 C（ C 为任意常数）
2.平面调和场
4）力函数 u ( x, y ) 和势函数 v( x, y ) 的等值线，
u( x, y) C1 v( x, y) C2
分别称为平面调和场的力线与等势线，其切线斜
率依次为，
'
ux Q y uy P
E 构成一个平
[
x
x0
2.平面调和场 力函数为，
x y y0 q x u ( x, y) [ 2 dx 2 dy] 2 2 x y 0 x y 0 x y 2 0
x0 q y [arctan arctan ] 2 x y0 2
从而场的力线和等势线方程可以简化为，
设有平面调和场
A P( x, y)i Q( x, y) j .
Q P Q P 0, 1）由于 rotA ( )k 0, ，即 x y x y 故存在势函数 v 满足 A gradv ，即有
v P , x
v Q , y
xi yj zk 2 2 2 div[ grad (ln x y z )] div[ ] 2 r x y z ( 2) ( 2) ( 2) x r y r z r
1 r 2 x(2 x) r 2 y (2 y ) r 2 z (2 z ) 2 4 4 4 r r r r
n
(r ) div(nr
n
n 2
n2 n2 n2 ( nr x ) ( nr y ) ( nr z) r) x y z
n(n 1)r n2
2.平面调和场 平面调和场指既无源又无旋的平面矢量场。 平面调和场与空间调和场相比有特殊的性质，
矢量1
B
ds
S
研究了矢量在闭合面的性质，面上某个点处矢量的 性质如何研究呢？
§1.3.1
A S AnS
自然现象中的通量 A
S
n
AS cos
25
散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div
divA
lim
A
ds
“求模”： A A A
“判断正交”： A B 0
标量积的结
果是个标量！
8
§1.1
矢量运算 标量积
标量积的应用：证明“三角形余弦定理”
C
B
A
C A2 B2 2AB cos
思路：C边的长度就是矢量 C 的“模”
C AB
C C C C (A B)(A B) 9
B
Bcos
A
z
Z
P(X, Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
• 直角坐标系中的单位矢量有下列关系：
ax
a
y
a
x
a
z
ay
a
z
0
ax ax ay ay az az 1
• 直角坐标系中两矢量点积的计算公式：
A Axax Ayay Azaz ,
直角系中
ax
x
ay
y
az
z
直角系中u
ax
u x
ay
第9讲矢量场的环量及旋度1
Q P ( Pdx Qdy) (( )dxdy x y l S
l 的方向为内边线顺时针，外边线逆时针。
2.环量面密度
环量只能描场中述以
通向任意方向
l
为边界的一块曲面
S
内
总的流（电流强度）；不能反映场中任意一点处
n 的流的密度（电流密度）。
n
流密度：矢量场中 M 点处沿任一方向
1.环量
dl ndl dl cos(t , x)i dl cos(t , y) j dl cos(t , z )k
dxi dyj dzk
l
t dl
cos(t , x), cos(t , y), cos(t , z) 为 l 切线矢量 t 的方向余弦。
《矢量分析与场论》
第9讲 矢量场的环量及旋度（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 环量 2. 环量面密度 3. 旋度
教材：第2章，第4节
1.环量
环量反映矢量场 A 和环线 l 之间的相互作用。 环线 l 为封闭曲线，其方向规定为：环线 l 和 流 I 成右手螺旋法则。
根据中值定理
[( R Q P R ) cos(n, x) ( ) cos(n, y ) y z z x
(
Q P ) cos(n, z )]M * S x y
2.环量面密度
其中 M *为 S 上的某一点，当 S M 时，有 M * M ， 于是
的
dl
A
在直角坐标系中，环量表示为：
A dl ( Pdx Qdy Rdz )
1-3矢量场的旋度
任意方向的环流密度 即
C
A dl rot A dS
３、旋度的物理意义
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
旋度的计算
在直角坐标系下：
Az Ay Ax Az Ay Ax rotA ex ( ) ey ( ) ez ( ) y z z x x y
C
A dl
又
A dl rot A dS1 rot A dS 2
C
A dl rot A dS 2 C2 ………
C1
A dl rot A dS1
C1
A dl
Az Ay Ax Az Ay Ax ( ) ( ) ( )0 x y z y z x z x y
∵
( A) 0
旋度与散度的定义都与坐标系无关。
应用：若 B 0 B A
斯托克斯定理： A dl A dS
C S
证明：
将 S 分成许多面元
S1,S2,Si ,
其相应面元的边界为 C1,C2 ,Ci
对每一个面元 S i，其边界 Ci 的环绕方向 均取与大回路 C一致的环绕方向。
Cj S j的边界 Ci 、 则：相邻两面元 S i 、 在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。
Ci
Cj
(e x ey ez ) (ex Ax e y Ay ez Az ) x y z
A
故
ex rotA A x Ax
证明矢量场的旋度的散度恒为零
证明矢量场的旋度的散度恒为零矢量场是一个在空间中的向量函数，它可以用来描述物理量的变化。
矢量场有两个重要的性质：旋度和散度。
旋度描述了矢量场的旋转特性，而散度描述了矢量场的发散特性。
证明矢量场的旋度的散度恒为零需要从数学和物理两个角度进行分析。
从数学角度来看，对于一个任意的矢量场F(x,y,z)，它的旋度和散度可以表示为：∇×F = ( ∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z, ∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x, ∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y )∇·F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中，符号“·”表示点积运算，符号“×”表示叉积运算，符号“∇”表示梯度运算。
现在我们来证明：如果一个矢量场的旋度恒为零，则它的散度也恒为零。
假设有一个矢量场F(x,y,z)，它的旋度恒为零。
即：∇×F = 0那么根据上面公式中旋度的定义式可得：∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z = 0∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x = 0∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 0将上述三个式子分别对x、y、z求偏导数，可得：∇·( ∇×F ) = 0根据矢量恒等式：∇·( ∇×F ) = 0= ∇²F - ∇( ∇·F )其中，“²”表示二次方，符号“·”表示点积运算，符号“∇”表示梯度运算。
因为旋度恒为零，则有：∇²F = 0将上面的式子代入第一个公式中，可得：0 = ∇·( ∇×F ) = -∇( ∇·F )因此，我们得到了结论：如果一个矢量场的旋度恒为零，则它的散度也恒为零。
从物理角度来看，矢量场的散度描述了该场在某一点上是否存在源头或汇点。
如果一个矢量场在某一点上存在源头或汇点，则该点的散度不为零；反之，如果一个矢量场在某一点上不存在源头或汇点，则该点的散度为零。
工程电磁场附录一矢量分析
矢量场与梯度
矢量场
空间中每一点都对应一个矢量的场， 如电场、磁场等。
梯度
标量场中某一点处的梯度是一个矢量 ，其方向指向该点处标量场增加最快 的方向，大小等于该点处标量场的空 间变化率。
02
坐标系中的矢量表示
直角坐标系
01
02
03
矢量分量
在直角坐标系中，一个矢 量可以用其在三个坐标轴 上的投影（分量）来表示。
06
数值计算方法在矢量分析中的应 用
有限差分法
差分原理
01
用离散的差分方程近似代替连续微分方程，将求解微分方程的
问题转换为求解代数方程的问题。
差分格式
02
根据微分方程的阶数和边界条件，构造合适的差分格式，如一
阶向前差分、一阶向后差分、中心差分等。
收敛性与稳定性
03
分析差分格式的收敛性和稳定性，以保证计算结果的准确性和
可靠性。
有限元法
变分原理
将矢量分析问题转化为变分问 题，即求解泛函的极值问题。
网格剖分
对求解区域进行网格剖分，构 造合适的有限元空间。
基函数与权函数
选择合适的基函数和权函数，将 矢量场表示为基函数的线性组合 ，并通过权函数进行逼近。
有限元方程
根据变分原理和基函数的选择， 建立有限元方程，通过求解有限
勒让德多项式及其性质
勒让德多项式定义
勒让德多项式是二阶常微分方程（勒让德方程）的解，是 一组正交多项式。
勒让德多项式性质
勒让德多项式具有正交性、递推关系和生成函数等性质， 可构成完备正交多项式系，用于展开和求解电磁场问题。
工程应用
在电磁场工程中，勒让德多项式常用于求解球坐标系下的电磁场 问题，如天线辐射方向图、地球物理勘探和微波遥感等领域。
1-3矢量场的旋度
一、矢量的环流：
r 的场中， 在矢量 A 的场中，矢 r 量 A 沿某一闭合路径
r A线
1 、定义： 定义：
r dl
r A
的线积分， 的线积分，称为该矢量 沿此闭合路径的环流。 沿此闭合路径的环流。
环量是一个标量； 可正、可负。
r r Γ = ∫ A ⋅ dl =
C
∫ A cos θdl
r r r C r r A ⊥ en ， dl 时，（有旋矢量场 A 与面元∆S ，（有旋矢量场 r A
=0
r r 的旋度。 矢量 A 的旋度。记作 rot A r r ∫ A ⋅ dl r r r 故 lim C = r o t n A = r o tA e n ∆S → 0 ∆S r r r r r rotn A 是 rotA 在面元矢量 en 方向上的投影en rotA
斯托克斯定理： 斯托克斯定理： r r r r ∫ A ⋅ dl = ∫ ∇ × A ⋅ dS
C S
证明： 证明：
将 S 分成许多面元
∆S1,∆S2,L Si ,L ∆
其相应面元的边界为 C 1 , C 2 ,L C i L 对每一个面元 ∆Si ，其边界 Ci 的环绕方向 一致的环绕方向。 均取与大回路 C一致的环绕方向。 一致的环绕方向
r ∇× A
M
2 r 6 r = ex + e 7 7
3 r + ez 7
r 2 6 3 17 ⋅ el = + ⋅2 + = 7 7 7 7
三、矢量场旋度的重要性质
旋度的散度恒等于零。 旋度的散度恒等于零。 证明： 证明：
r r div( rot A ) = ∇ ⋅( ∇ × A )
矢量场的格林公式
矢量场的格林公式矢量场是由三个基本物理量组成的，分别是速度、加速度和角速度。
速度矢量可以用来描述物体的运动状态。
加速度矢量是一种无运动状态，其速度矢量与速度场无关，所以称为加速度矢量。
它也是时间轴上运动状态的描述方法之一。
加速度矢量可以用如下形式表示：其中 d 为加速度矢量的位置; r为加速度矢量在角速度面上所处状态, b为位移矢量量在角速度面上所处状态。
由格林公式我们可以将位移、质量、角度这三个物理实体视为一个整体。
下面对其作一些简要分析和讨论，以供读者参考。
一、质量和速度的关系如图所示，速度为formula_3,质量为 m,位移为 v,根据格林公式可知, m= v, v= v, v= v (k), g= v (m),根据定义可得：由于粒子运动是惯性，在运动过程中也会发生惯性碰撞，这些碰撞产生的能量称为惯性能量，这些能量称为动能。
动能与质量相比其能量较小，所以我们不能用能量来描述质量。
这里以一颗质量 m的粒子为例，如图所示，随着粒子加速，这颗粒子的速度不断提高，所以这颗粒子速度将逐渐降低。
随着粒子速度增大，这种情况发生改变，比如随着粒子速度增大，其惯性能量也随之增大。
这就是能量密度不变，而且质量增加的原因之一。
从这个意义上讲，速度和质量是相互作用关系。
二、角度的作用如果把角度看成是物体在水平方向移动时在地面上产生一个新的垂直面（方向面),那么随着时间的推移，垂直面上被移动的角速度就会逐渐增加，直到角度大于水平面上被移动的角速度的值；但是当角度小于垂直面上被移动角速度大于水平面上被移动角速度值的值时，垂直面上被移动角速度就会逐渐减少。
所以角度对于一个物体来说是一个固定不变的量，其变化过程是从直线移动到圆周方向所发生的。
以角度来说，其作用在于确定物体在这个平面上所能达到的最大移动角；如果物体一直以某种角度移动，其移动过程就会被固定不变。
因为它与物体的固有速度无关，所以也就没有位移这一物理量了。
在对运动物体进行描述时，角可以描述物体在同一平面上的位移与不同平面之间的相对距离。
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矢量分析与场论
第1章 矢量分析
三、矢量微分元：线元、面元、体元
例： F dl , B dS, dV
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
面元： dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
体元： dV rdrddz
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，如图，做一微分体元。
线元：
dl dRaR Rda Rsinda
面元：
D
A
AD
B
B
B
C
推论：
B
ABC 0 A
任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
A B (Ax Bx )aˆx (Ay By )aˆy (Az Bz ) aˆz
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
系数，若已知其拉梅系数 h1, h2, h3，就可正确写出其线元、
面元和体元。 •线元： dl h1du1aˆu1 h2du2aˆu2 h3du3aˆu3
•面元： dS1 h2h3du2du3aˆu1
dS2 h1h3du1du3aˆu2
dS3 h1h2du1du2aˆu3
•体元： dV h1h2h3du1du2du3
为了直观表示场在空间的变 化，经常使用场的等值面来 直观。所谓等值面是标量场 为同一数值各点在空间形成 的曲面。
ux, y,z C
导体等电位面
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
2. 标量场的梯度 标量场的场函数为 (x, y, z,t)
a.方向导数： d 空间变化率，称为方向导数。
dl
d
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k
0
方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
如果场与时间无关，称为静态场-稳定场，讨论对象 反之为时变场-不稳定场。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。
矢量分析与场论
2. 标量场的等值面
以温度场为例：
第1章 矢量分析
等温面
ux, y,z C
热源
可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
其对应的线元 rda ，可见拉梅系数为：
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) ，其中, 均为
角度，其拉梅系数为：
h1 1, h2 R, h3 R sin
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量 (u1,u2,u3)不一定都是 长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅
6aˆz
)
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a 和 b ，
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置
矢量为 c，则
c a k(b a)
z A
a
cC
B by x
c (1 k)a kb
其中：k 为任意实数。
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
dSz dxdyaˆz 体元： dV dxdydz
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系
在圆柱坐标系中，坐标变量为(r,, z)，如图，做一微分体元。
线元：
dl drar rda dzaz
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
第二章 场论
1 场的概念
在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在 该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区 域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场， 电流在周围空间激发的磁场等。
如果这个量是标量我们称该场为标量场-数量场； 如果这个量是矢量，则称该场为矢量场。
单位矢量：
aˆ
|
A A
|
Ax | A|
aˆx
Ay | A|
aˆ y
Az | A|
aˆz
cos aˆx cos aˆy cos aˆz 方向角与方向余弦： , ,
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
矢量分析与场论
主要内容：
矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础 场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度） 矢量场的Helmholtz定理
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则 三、矢量微分元：线元，面元，体元 四、标量场的梯度 五、矢量场的散度 六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
注意：先后轮换次序。 推论：三个非零矢量共面的条件。
其结果是一标量。
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律 A B B A 推论2：满足分配律 A (B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
aˆx aˆy 0, aˆx aˆx 1, 有两矢量点积：
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A|Leabharlann aˆ其中： | A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
例2：设 r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
dn 为最大的方向导数。
P1
dn dl
P 0
P2
0 d
h BC
A C
A(BC) 0
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
Ax Ay Az
Cx Cy Cz
A (B C) Bx By Bz
Cx Cy Cz
b.矢量三重积： A(BC) B(AC) C(A B)
则： 2a b 2c 3 a 3b c 2 a 2b 3c 5
a 2 b 1 c 3
矢量分析与场论
第1章 矢量分析
例3： 已知 A 2aˆx 6aˆy 3aˆz B 4aˆx 3aˆy aˆz
求：确定垂直于 A、B所在平面的单位矢量。
解：已知 A B 所得矢量垂直于 A 、B 所在平面。
aˆn
A B A B
aˆx aˆy aˆz A B 2 6 3 15aˆx 10aˆy 30aˆz
4 3 1
| A B | 152 (10)2 302 35
aˆn
1 7
(3aˆx
2aˆ y
其中：
A Ax Ay Az
o
Ax
x
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
Ay
y
所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz