比尔猜想有反例
数学史上著名猜想
数学史上的三个著名猜想湖北舒云水在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想，这是发现数学规律的一种重要手段﹒我们要学会归纳猜想，去发现一些新的数学结论﹒下面介绍数学史上三个有代表性的著名猜想.1.费马素数猜想——一个错误的猜想一种有趣且有很长历史的数叫费马素数，这些数是由法国数学家费马引进的.费马在研究数列Fn=2n2+1（n=0，1，2，…）前五项：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537.发现它们都是素数，他没有做进一步的计算，就猜想：形如Fn=2n2+1（n=0，1，2，…）的整数都是素数，这就是费马素数猜想﹒瑞士数学家欧拉再往前走了一步，这个猜想就推翻了，他证明了F5不是素数：F5=4294967297=641×6700417.否定一个猜想，只需举一个反例即可.费马是一个著名的数学家，但他的职业是一个法官，数学只是他的业余爱好，凭兴趣研究数学，取得了丰硕的成果.2.费马大定理——一个已经被证明的著名猜想我们知道方程x2+y2=z2有无数多个正整数解，如：32+42=52，52+122=132，……费马作了进一步的探索：x3+y3=z3，x4+y4=z4，…有没有正整数解呢﹖他没能找出满足条件的正整数解，于是作出了一个重要猜想：方程x n+y n=z n（n＞2，n∈N）没有正整数解﹒自费马之后许多数学家花费巨大的劳动去解决这一问题，经过350多年的努力，到1995年这个问题终于由英国数学家维尔斯解决﹒维尔斯在继承前人成果的基础上，整整花了七年时间刻苦攻关，证明费马的猜想是成立的，一个猜想被证明是成立后，就成为一个定理，这就是著名的费马大定理﹒维尔斯因证明费马大定理，1996年荣获国际数学大奖——沃尔夫奖﹒3.哥德巴赫猜想——一个未被否定或证明的猜想17世纪，德国数学家哥德巴赫发现每一个大偶数都可以写成两个素数的和﹒例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5，12=5+7，14=3+11=7+7，……他对许多偶数进行了检验，都说明这是确定的﹒但是，这需要给予证明，他算来算去，没有办法证出来﹒于是，他写信向著名的大数学家欧拉求教，欧拉到死也没有证明它﹒因为哥德巴赫的发现尚未经过证明，所以只能称之为猜想，200多年来，世界上成千上万的数学家企图给哥德巴赫猜想作出证明，但都未取得成功﹒我国数学家王元、潘承洞、陈景润研究哥德巴赫猜想都取得重要成果，陈景润证明了“每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和”（“1+2”），这是目前最好的成果，为中国人争了光！。
反例的概念
反例的概念在数学中，我们经常听到“反例”的概念。
那么反例是什么呢？为什么它在数学中如此重要？本文将围绕这一问题进行阐述。
一、反例的定义反例是指通过举出一个不符合猜想或命题的特例，来反驳该猜想或命题的证明方式。
在数学中，反例被广泛应用于猜想或定理的验证与推翻。
二、反例的应用1. 验证猜想当我们面对一个没有直接证明的猜想时，可以通过构造反例来验证其正确性。
例如，当我们猜想“负数的平方根不存在”时，构造反例即可证明该猜想的正确性，如-1的平方根为虚数i。
2. 推翻命题当我们面对一个看似正确的命题时，我们也可以通过构造反例来推翻它。
例如，“所有正整数都能被3整除”这个命题显然是不正确的，构造出4这个反例即可推翻它。
3. 避免证明错误在证明一个定理时，如果我们不能确定该定理是否成立，就可以尝试构造反例。
如果我们构造的反例有效，就可以发现该定理不成立。
这可以避免我们在证明过程中犯错误。
三、反例的思维方式1. 通过尝试特殊情况当我们尝试证明一个猜想或定理时，可以通过特殊情况来构造反例。
例如，证明“所有正整数的和是正无穷大”，我们可以尝试找到一个序列，该序列前n项的和有一个上限，从而证明该猜想不成立。
2. 通过排除法当我们无法证明一个定理时，可以尝试排除一些可能性来构造反例。
例如，证明“所有大于等于2的偶数都是素数或能分解成两个素数的积”，我们可以通过排除一些偶数找到反例，如4、6、8等。
四、结语反例是数学中非常重要的概念，它不仅可以用来验证猜想和定理的正确性，还可以发现错误的证明。
因此，在学习数学时，我们要注重培养构造反例的能力。
当我们掌握了这一思维方法后，对我们的数学分析能力和逻辑思维能力都有很大的启发作用。
反例：数学猜想的“天敌”——反例在中小学数学教学中的作用研究
呢？ 这个悖论 曾使得整个数学大厦 动 信任 。
摇 。弓 发 了第 三 次 数 学 危 机 ．直 至 ｌ １３ ９ １年奥 地利 数 学 家 哥 德 尔 证 明 了
纠 正 学 生可 能 出 现 的错 误 认 识 、 主观
这 就是 反 例 的魅 力 与说 服 力 ． 对 臆 断 ．更 能 加 深 学 生 对 平 行 线 的 理
势 ”．在 源 远 流 长 的 数学 史 上 占有 了
一
及 社会 中不 变 因素 的 研 究 ． 力 于追 角 三 角形 在 现 实 生 活 中 是存 在 的 ． 致 这
万 席 之 位 ． 当 今数 学 教 学 中也 独 树 索 宇 宙 的 规 律 ．他 们 认 为 “ 物 皆 个矛 盾 否 定 了毕 达 哥拉 斯 学 派 “ 在 万物
想 的方 法 ． 应 引 导 学 生理 解 两种 方 法 的优 势 与局 限— — 更
无 疑 ， 明是 可 靠 的 、 可 置疑 的和 终 结 的 ， 想是 冒 风 险 的 、 争 议 的 和 暂 时 的 ， 是 证 明 本 身 并 不 能 证 无 猜 有 但
产 生 本 质 上 的新 知 识 ， 而猜 想 可 以 。 们 学 到 的 任 何 新 东西 都 包含 着 猜 想 ， 我 它是 我 们 日常 事 务 中所 关 心 的仅
学科 。
３ ．对 众 猜 想 的 绝 妙 否 定 和 反 例
不 是 在 证 明它 的 正 确性 ． 是 在试 图 探 索条 件或 改 变结论 ．这 对 开拓 学生 而 找 到反 例来 推 翻 它 二 、 例 与 教 学 反 思路 、 培养 其思 维的发 散性 很有 帮 助。
探 索
软 肋 ： 经 过 有 限 次 归纳 、 只 未经 严 格 证 明 得 出 的 结论 不能 断 定 就是 正确 的。 综 上 所 述 。 明 与猜 想是 相 互 补 充 、 互 联 系的 。 师在 引导 学 生进 行猜 想 、 养 学 生猜 想 能 力 的 同 时 ， 证 相 教 培
费马大定理和比尔猜想
费马大定理和比尔猜想证明概论：1.关于正整数x,y,z,n(没有特别指出本文所有字母均代表正整数），x n+y n=z n不成立，费马几百年前下的结论，直到20世纪末终于被证明。
本文作者将要写出的是几百年前费马脑海中闪过的想法，将要揭示出费马大定理和费马小定理的联系。
2比尔猜想，x a+y b=z c成立的一个必要条件（x,y)≠1,用文字表达的意思是X和Y非互质。
3别的废话省略。
关键字：省略一引理1对于任意x,若φ（x)=fg[(f,g)=1f≠1]g≠1若a g≡1(mod x)那么存在b f≡a(mod x)证明：∵(g,f)=1∴存在kf≡1(mod g)则有a kf＝a ng+1令a k≡b(mod x)则得到b f≡a(mod x)引理2对于任意x,若φ（x)≠p a,p是质数，存在一个b,对于任意n<φ（x),b n≠1(mod x)[注φ（x)表示不大于x且和x互质的正整数个数，比如和4互质的有1，3φ（4)=2]本引理费马遗物之中并没有整理出来，这是费马当时得到费马大定理的主要根据。
现在证明如下证明：∵φ（x)≠p a,p是质数∴存在c≠1(mod x)d≠1(mod x)c≠d(mod x)c g≡1(mod x),d f≡1(mod x)且(g,f)=1∵(g,f)=1若φ（x)=gf∴存在(gλ—fμ-1)≡0(mod gf)令c gλ≡q m+1d fμ≡q m根据余数的性质q mod x是一个定值。
综上一定存在唯一的q使得q f≡c q g≡d那么么对于任意n<φ（x)b n≠1(mod x)（b=q)3费马自己证明过程如下:若有x p+y p=z p成立且yb≡z(mod x p)那么b p≡1(mod x p)当p是质数，x≠2时根据引理2存在一个m,n<φ（x p),b n≠1(mod x)m n≠1(mod x p)若x是个合数那么必然有b p≡1(mod x p)b≡m kq其中q=w p x p modw p0那么b≡1(mod w p)那就是z-y=kw p显然当p>3，x是合数，x p+y p=z p不成立即x是个质数同理y也是个合数明显可以得出这个是不可能的二你如果认为我上面是在扯淡那下面的就不要看了。
105、数学
潜无限 实无限
无限
原来形本1成9康Z0F8托公年尔理策的系梅朴统罗素提集出合公论理被化罗集素合悖论论，反经驳过了改，进后后
极限
空间 Banach 聚点 球
拓扑空间
点集拓扑学
代数拓扑学
七桥问题
拓扑学
公理化集合论
分析
欧拉示数性公式 庞参加与莱补猜充想）（已被佩雷尔曼证明，不过有很多人
著名问题或结论
突变论
诱导公式
三⻆函数
和差⻆公式
积化和差或和差化积
二倍⻆公式
半⻆公式 万能公式
或 和函数 coskx sinkx
欧拉公式导出函数
N倍⻆公式
切比雪夫恒等式
双曲函数
特征函数
八了元，数另（外凯十莱六数元，数但之哈类密的顿已的被朋证友明格不拉存夫在也）发现
失去乘法结合律
四元数 失去乘法交换律
超越数
正规数（正规数一定是超越数吗？）
多焦点曲线
单焦点
圆 抛物线
双焦点 椭圆或双曲线
黎曼几何
谢尔斯基三⻆形
皮亚诺曲线
分形经典图例 科赫雪花
分形
希尔伯特曲线 曼德勃罗集
豪斯多夫维数
微分几何
高斯绝妙公式 纳什嵌入定理
非欧几何
半群
群论 交换群（阿⻉尔群）
近世代数
非交换群
环论 域论
拉格朗日预解式
解四次方程 费拉里判定式
卡丹公式
解多项式方程
解三次方程
钱珀索恩数 析取数
刘维尔数
经典数系
梅森素数 费⻢素数
算术
实数
有理数
自然数
素数与合数
完全数
偶完全数 欧几里得方法 奇完全数问题
费马猜想及其一般化推广（比尔猜想）的简洁证明
费马猜想及其一般化推广（比尔猜想）的简洁证明
罗莫
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)015
【摘要】用洛书定理的自数尾数周期判定法则、不等式指数增减等价变换方法可证明费马猜想成立,印证了当年费马自称有一个巧妙的证明只因《算术》书的边角太小而写不下之类的话.另用此工具可进一步证明比尔猜想,这是怀尔斯的模形式和椭圆曲线工具所不能完成的.
【总页数】3页(P129-131)
【作者】罗莫
【作者单位】深圳公共管理教育学院,广东深圳518000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.非传统数论研究——费尔马猜想、PRC猜想、哥德巴赫猜想、斋藤慎二猜想等四个猜想的同时证明
2.费马猜想之证明
3.《哥德巴赫猜想的证明费尔马最后猜想的证明》（英文版）出版发行
4.费马猜想的初等证明
5.费马猜想的一个初等证明
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
理论的来源——猜想与反驳
理论的来源——猜想与反驳逻辑学的主要方法是归纳和演绎。
演绎的主要方法是推理，推理可以获得正确的结论，而前提就是推理前提的正确。
我们必须相信推论前提的正确性，才可以进行推理。
对这种正确性的质疑，必将导致无穷的论证。
而一直以来，对原因的探索都是给予归纳。
然而归纳方法真的能够发现和检验事件的原因吗？理论是怎么产生的？理论和客观实在的关系是什么？我从波普尔的《猜想与反驳》中找到了答案。
爱因斯坦相对论的提出，不仅仅是对牛顿形而上学观念的破除，也使得众多的科学家对知识有了更深的思考。
因为爱因斯坦像我们呈现了一个不同的世界。
如果说知识是对客观事物的反映，缘何不同的理论向我们呈现的世界是不同的？对人类知识的反思，就从就获得知识的方法开始，即归纳和演绎。
英国古典经验主义认为知识来源于观察。
知识的积累就是人类观察收集信息的结果。
波普尔对其进行了反驳：1. 观察不是全面无偏倚的观察，观察是有目的性的。
波普尔在一个课堂上要求他的学生去观察，然后把观察到的东西写给他。
有趣的是，学生们目瞪口呆的看着他，因为他们不知道，要观察什么？人类的注意力只要求我们去观察需要观察的东西，而忽视我们认为无用的事物。
2. 观察受到既有理论引导下的观察。
好像带上有色眼镜一样，这种观察不能客观的反映现实世界。
“马克思主义者打开一张报纸，必定会在每一版上都看到确证他对历史解释的证据；不仅在新闻中，而且还会在版面安排上发现这一点”。
波普尔发现，一旦我们赞成某项理论，就会在生活中极力地寻找这种理论并使用这种理论去解释所有看到的事物，然后反过来运用这些已经经过理论装饰过的事物，去证明该项理论的正确性。
犹如心理学家使用精神分析理论去解释一个自杀的患者，其根据就是“已经有1000位自杀的患者可以使用该理论解释”，然而波普尔认为，这不过是心理学家又增加了一次经验，不能证明精神分析理论的正确性。
因为观察是在理论的指导下的，波普尔引用了休谟的观点“我仍可以说理论决不能从观察陈述推演出来，也不能靠观察陈述为理论寻找理性论证”。
数学中某些著名的反例
Abstract T he au tho r g ives som e of w ell2know n coun ter exam p les of m a them a tics a t p resen t (a lthough they a re uncomm on) , and show s their funcfion s in the study of m a them a tics. Key words incom p lete induction; ab straction; p roof; coun ter exam p le
换言之式左这个数与整数 262…743 相差无几, 甚
至可以毫不夸张地说它们“相等”。 可是接下去的结果
不再是 0, 然而这已经足够了。
其实, e 由 Π163 Gelfond2Schkcider 定理知其为超
α 收稿日期: 1999208220
吴振奎: 数学中某些著名的反例
越数, 显然它不会是一个整数。当然这个令人困惑的现 象可由现代数论中的理论给出满意的答案。 对于代数式 x = 1141y 2+ 1来讲, 当 y = 1, 2, 3, 4, …代进去, 开始 x 都不是整数, 这种僵局一直持续 到 y = 30693385322765657197397208 才得以扭转, 换言之在差不多小于 1025的 y 来讲, 均不 能使 1141y 2+ 1 为完全平方数, 即便如此, 我们仍不敢 断言接下来的情况亦然。 另一个类似的例子是, x = 991y 2+ 1, 第一个使 x 为整数的 y = 12055735790331359447442538767。 这 个 问 题 的 背 景 是: 佩 尔 方 程 x 2 - dy 2 = 1, 当
“abc猜想”讲义(24)
那么 lim [kε·（x·y）÷z2]=0；说明 kε·x·y＞z2 不可能恒成立。所以假 zxy
定不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有正整数解不能成立。 ③r＞n，r＞m，n=m，不妨设不定方程 xk3 + yh3 = zt3 有正整数解，那么总可以
设 t3=3s3+v3，v3=0 或 1 或 2。因为 k3＞2，h3＞2，t3＞2，t3＞k3，t3＞h3，k3=h3； 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知，x＜ zs3 ,y＜ zs3 。然而在假定的情
2
形下，不定方程 xk3 + yh3 = zt3 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两
两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 ， 则 有 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )1+ε＞ zt3 。然而 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )≤kε·x· y·z＜
以设 t2=3s2+v2，v2=0 或 1 或 2。因为 k2＞2，h2＞2，t2＞2，t2≥k2，t2≥h2，k2≠h2； 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知，x＜ zs2 ,y＜ zs2 。然而在假定的情 形下，不定方程 xk2 + yh2 = zt2 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两 两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 ， 则 有 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )1+ε ＞ zt2 。 然 而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 ) ≤ kε·x·y·z ＜ kε· z2s2 1 ；由 abc 定理可知，那么则有 kε· z2s2 1 ＞ z3s2 v2 ，即 kε＞ zs2 v2-1 。因为 kε为常数，当 s2＞1 或 v2＞1 时，不定方程 xk2+yh2=zt2 的正整数解有无穷多组，显 然 zs2 v2-1 的值无确定性，这样就与 kε＞ zs2 v2-1 产生矛盾。当 s2=1 和 v2≥1 时，不 定方程 xk2 + yh2 = zt2 的正整数解有无穷多组，显然 zs2v2-1 的值无确定性，这样就与 kε＞ zs2v2-1 产生矛盾。 当 s2=1，v2=0 时，不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有无穷多组正整 数解，并且任一组正整数解均两两互质。这种情形下，z＞x，z＞y，设 z=x2·x+u3(x ＞u3)，z=y2·y+u4(y＞u4)，然而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )≤kε·x·y·z；由 abc 定 理 可 知 ， kε·x·y·z ＞ z3 。 对 kε·x·y÷z2 求 极 限 ， 因 [kε· （ x·y ） ÷z2]={kε·（x·y）÷[（x2·x+u3）（y2·y+u4）]}，那么[kε·（x·y）÷z2] ≤{kε·（x·y）÷[（x2·x）·（y2·y）]}=kε÷（x2·y2）。而 lim [kε÷（x2·y2）]=0，
《猜想与反驳》的一些科学历史事件
《猜想与反驳》的一些科学历史事件《猜想与反驳》的一些科学历史事件001、“从前有个著名的科学家，名叫伽利略·伽利莱。
他受到宗教法庭的审判，被迫宣布放弃他的学说。
这引起了极大的轰动；二百五十多年里，就是在舆论赢得胜利，教会也变得对科学宽容以后过了很久，这个案子一直使人们愤愤不平，激动不已。
但是，现在这已成为往事了，我恐怕它也已失去意义。
因为伽利略科学的敌人已经荡然无存，所以它再无覆亡之虞。
这很久以前就已成定局，这条战线上万籁俱寂。
今天我们终于学会了历史地思考问题，学会了理解争论的双方，因此对这件事抱不偏不倚的态度。
而且没有人会愿意听那些不能忘怀陈年旧帐的人的唠叨。
这个旧案究竟是怎么回事呢？它关系到哥白尼‘世界体系’的地位。
这体系包括一种解释，即太阳的周日运动仅仅是视在的，是因为我们自己的地球旋转的缘故。
教会欣然承认，这个新体系要比旧体系简单：它是天文计算和预言的更为方便的工具。
教皇格列高利改革历史法时，还充分利用了它。
伽利略教授这一数学理论，也未招致非议，只要他表明它的价值仅仅是工具性的；就像大主教贝拉米诺所说的，它无非是一种‘推测’；或是一种‘数学假设’——一种数学技巧，它所以被发明和采纳，是为了简化和便利计算。
换句话说，只要伽利略愿意赞同安德烈亚斯·奥西安特在哥白尼《天体运行论》序言中所说的话，他就不会遇到任何非议。
奥西安特说：‘这些假说不必是真的，甚或根本无需象是真的；倒不如说，它们只需求一点就足够了：它们应使计算同观测一致。
’当然，伽利略本人也很愿意强调哥白尼体系作为计算工具的优越性。
但是同时他又揣测，甚至相信，哥白尼体系是对世界的真实描述；在他看来（教会的看法也一样），这是事情最为重要的方面。
他确实有充分的理由相信这个理论的真理性。
他在望远镜里观察到，木星及其卫星构成了哥白尼太阳系（按照此说，诸行星是太阳的卫星）的缩微模型。
另外，如果哥白尼是对的，那么当从地球上观察的时候，里面的行星（也只有它们）应当象月亮那样显示盈亏，而且伽利略在他的望远镜里曾看到金星的盈亏。
一个不等式猜想的反例
一个不等式猜想的反例作者：阴洪生 上海市晋元高级中学 （地址：上海市新村路2169号 邮编 200333）文[1]提出了一个猜想：对任意实数x , y 和i x , i y (1,2,,i n = ) 都成立不等式21)(∑=-n i i x x +21)(∑=-n i i y y ≥(∑=+-+ni i i y x y x 12222)2, (1) 等号成立当且仅当11y x =22y x =---=n n y x =y x 且 i x 与x 同号（1,2,,i n = ）. 文[1]的定理2证明了如下的结论：如2≥n 时存在∑=+≥+n i i i y x y x 12222，则猜想成立. 本文的目的是给出反例说明猜想 (1) 一般不成立. 由于从向量的观点很容易看出（1）式的几何意义，从而举出反例，我们引入向量),,(y x f = i e =),(i i y x .于是（1）式成为 2121|)||(|||∑∑==-≥-ni i n i i e f e f ，两边开平方得 ||1∑=-n i i e f ≥ |∑=-ni i e f 1||||| （2）这就是猜想 (1) 的向量形式. 式（2）与三角不等式有紧密的联系. 众所周知，向量的三角不等式及其推广是下面的（3）和（4）：||||b a + ≥ ||b a + （3）||1a +||2a + … +||n a ≥ 12||n a a a +++ （4）这两不等式对任意向量都成立，等号成立当且仅当各向量方向相同. 如果我们在（2）式中令0=f ，并且诸i e 方向不同的话，所得结果就与（4）矛盾. 由此可得反例1. 在（1）中令2=n ，0==y x ，111==y x ，12=x ，22=y ，计算即知（1）不成立.也可以构造0≠f 的例子.反例2. 在（1）中令2=n ，1==y x ，,21=x 01=y ，02=x ，22=y ，计算即知（1）也不成立.进一步分析知，（2）式等价于下面的（5）和（6）同时成立：||1∑=-n i i e f ≥ ∑=-n i i e f 1|||| （5）||1∑=-n i i e f ≥∑=n i i e 1||||f - （6）注意式（5）是（4）的变形，因此总成立；但（6）并不是总成立的. 上面提到的文[1]的定理2在假定||f ≥ ∑=n i i e1||也即假定（6）的右边为负（从而（6）成立）时推出（2）成立，这是显然的. 式（6）有下面的几何解释. 设,2=n 在四边形ABCD 中，令 AB =1e ，BC =2e ，AD =f ，于是CD =21e e f --. 从而（6）式就是要求 |CD| ≥ |AB| + |BC|–|AD|，也即四边形两邻边边长之和大于另两邻边边长之和，这当然不能成立. 具体例子构造如下.反例3. 设平面上A,B,C,D 四点的坐标分别为A(0,0), B(0,4), C(4,4), D(1,0). 因此向量AB=(0,4), BC=(4,0), AD=(1,0), CD=(-3,-4). 易知 |CD| +|AD| ≥ |AB| + |BC| 不成立.于是我们在（1）中令2=n ，1=x ，0=y ，01=x ，41=y ，42=x ，02=y ，计算即知（1）不成立.参考文献[1] 潭志中，单土尊. 两个代数不等式及应用，数学通讯，2004（1）.。
比贝尔巴赫(Bieberbach)猜想
比贝尔巴赫(Bieberbach)猜想具有中学数学知识的人都知道“函数”这一重要概念．一般地，可用符号y=f(x)表示函数，x与y表示变量，f表示x与y之间的变化的关系．当x取某一确定的值，就可以得到一个确定的y值．如果x只取实数值，得到的y值也是实数值，那么就称y=f(x)为一个实函数．如果x可取复数值，y得到的也可以是复数，那么这函数就称为复变函数或简称复函数．为了与实函数相区别，复函数通常记为z=f(z)．可求导数的复函数叫解析函数．假设R为复平面C中的一个区域，若对R中任意两个不同的点z1，z2有f(z1)≠f(z2)，则称f(z)在R上是单叶的．进一步，若在单位圆D={z∈C：|z|＜1}中有f＇(z)≠0，则称f(z)单叶正则．如果加上规范条件f(0)= 0及f＇(0)= 1，f(z)按Taylor级数展开得f(z)=z+a2z2＋…＋a n z n＋…，|z|＜1这种函数的全体称为正规族，记为S．在S中扮演重要角色的是Koebe函数若θ为任意实数，则e-iθK(e iθz)∈S，且将单位圆映到全平面除去由数的一个旋转．1916年，德国数学家比贝尔巴赫研究S中的函数f(z)，发现其系数具有一个共同的性质：|a1|≤1，|a2|≤2，……，由此他猜想：有|a n|≤n，且这个界限只能被Koebe函数的旋转所达到．这就是著名的比贝尔巴赫猜想．由于这一猜想对于了解解析函数的内在性质具有重要意义，因此这个关于系数估计的猜想吸引了许多数学家为之奋斗了68年．有不少人为此耗费了几乎大半生的精力，有的数学家几乎快要得到这个结果，但是却在这个结果身边走了过去，没有彻底解决．一直到1984年，由在美国普度(Purdue)大学工作的德·布朗格斯(De Brdnges)所解决，这不是件容易的事．研究进展从提出猜想时起，数学家们想从最简单的n=2入手，逐步推进，扩大成果．首先，比贝尔巴赫本人利用面积原理证明了|a2|≤2．数的参数表示法，用他建立的含单参数的偏微分方程证明了|a3|≤3．1955年，Garabedian—Schiffer用变分法证明了|a4|≤4．由于这个证明较难，1960年，卡尔兹斯基(Charzyski)和谢否(Schiffer)用葛隆斯基(Grunsky)不等式很简洁地证明了|a4|≤4．这样，葛隆斯基不等式就受到了重视，是研究单叶函数系数的重要工具．1968年，美国数学家排台尔松(Pederson)和日本数学家屋查瓦(Qzawa)用不同方法证明|a6|≤6．1972年，排台尔松和谢否用Garabedian—Schiffer不等式证明|a5|≤5．以后的十年，对比贝尔巴赫猜想中后面几个系数就没有进一步的结果了．数学研究往往采用多种途径，数学家利用函数模平均然后再对M1(r，f)进行估计，用逐步逼近法获得好的上界．1925年，英国数学家李特伍德证明了|a n|＜en≈2.7183n1933年，我国数学家陈建功证得1951年苏联数学家列别捷夫(Lebedev)和米林(Milin)证得|a n|＜1.243n(n=2，3，…)1972年，费茨杰拉特(Fitzgerald)将葛隆斯基不等式指数化获得一个重要不等式——费茨杰拉特不等式上面的不等式很重要，他与米林的想法有类似之处，后来德·布朗格斯正是证明了米林猜想的不等式才证明比贝尔巴赫猜想．后来很多学者都着手改进这个不等式，力求得到好的结果．值得指出的，我国数学家胡克1958年就已得到费茨杰拉特不等式且还有些改进，可惜他的文章发表在1979年．1976年，霍尔维茨(Horowitz)将不等式改进为及1978年获得|an|＜1.0657n(n=2，3，…)1984年，我国数学家龚昇和任福尧又改进成|a n|＜10.0643n费茨杰拉特指出：“应用这种方法不能最终解决比贝尔巴赫猜想．”证明思路1984年，德·布朗格斯先证明了米林猜想，然后利用已知的、由米林猜想可以推出的Robertson在1936年提出的一个猜想，最后证明了比贝尔巴赫猜想．从这一思路可知，关键是证明米林猜想．(详细过程参看《比贝尔巴赫猜想》，龚昇著，科学出版社．)在德·布朗格斯证明米林猜想之前，七个猜想有如下关系：因此，德·布朗格斯证明了米林猜想，以上七个猜想都一举证明了，真是一箭双雕，这使数学家感到震惊．其次，更令人震惊的是：他的证明如此简明，根本不需要什么深奥的复分析知识，完全出乎人们的意料．这一猜想的证明被列为1984年世界十大科技成就之首，被誉为“20世纪数学史上重大事件”和“杰出成就”．由于研究这一猜想产生和发展起来的新方法、新技巧，对单叶函数论的理论研究产生深刻影响，同时它也是研究其他学科，例如流体力学、温度场、电磁场等的重要工具．值得一提的是，德·布朗格斯在1983年5月已经证明了这一猜想．据说他曾把自己的论文寄给美国12位数学家审阅，但绝大多数的人都不理睬他，不愿看他的论文．原因是德·布朗格斯在30年前曾发表过错误的证明．因此，他们都用老眼光看他今天，对他抱怀疑、不信任态度．在美国找不到知音，得不到支持，只得到前苏联去求援．此时，恰巧有个访问前苏联的机会，得到前苏联列宁格勒大学米林教授等著名数学家所主持的几何函数论讨论班的大力支持，一方面认真听他作的学术报告，一方面又认真严格地审查其证明过程，肯定他证明无误．这一消息传出，美国科学界才高度评价德·布朗格斯的成就，说他“创造了惊人的奇迹！”从这件事使我们体会到：要在数学方法上有所创新或在理论上有所突破，都不是一帆风顺的．看准了方向就要坚持且有一种百折不回的精神，事业才能取得成功．。
抽象代数反例八则
抽象代数反例八则抽象代数是一门深奥抽象的数学课程，反例亦是其中重要的组成部分。
反例可以帮助我们更好地理解概念，从而能够从反面来分析其他结论，从而达成最优解。
下面介绍抽象代数反例八则，希望能够帮助大家理解抽象代数。
一、无穷的反例无穷的反例是抽象代数中常见的反例，它表明一个关系性不成立。
比如，无穷多的正数之和不能是负数，因此无穷多的正数之和等于负数是一个反例。
此外，可以得出无穷多的正数之积也不能是负数，因此无穷多的正数之积等于负数也是一个反例。
二、一次反例一次反例是抽象代数中最基本的反例，它表明两个已知量之间的关系不成立。
比如，若x+y=5，那么x+y=6便是一个反例，因为知道x+y=5，就不能知道x+y=6。
三、无穷的反例的特例无穷的反例的特例是抽象代数中相对比较复杂的反例，它表明一个无穷的反例可以分解成若干特例，这些特例满足这个关系。
比如，无穷多的正数之和不能是负数，便可分解为不同的特例：1+1+1++1不能是负数，2+2+2++2不能是负数，……等等，这些特例都用来证明这个反例。
四、渐近反例渐近反例是抽象代数中比较高级的反例，它表明某种关系在一定条件下是成立的，但随着变量的增加而不成立。
比如，若x+y≤10，那么当x和y的值都较小时，x+y的值显然小于10，有x+y≤10；但随着x的值越来越大，y的增加就不能保证x+y的值仍小于10，这就是一个渐近反例。
五、数学归纳反例数学归纳反例是抽象代数中优化复杂问题的重要工具。
它可以用来证明一般问题的结论，并且可以帮助我们更好地分析问题，从而得出最优解。
举个例子，比如要证明1/1+1/2++1/n=n(1/n1/n+1)，我们可以用归纳法来证明这一结论，从而得出该结论的反例，即1/1+1/2++1/n≠n(1/n1/n+1)。
六、元素的反例元素的反例是抽象代数中比较复杂的反例，它表明某个集合中的元素使某个关系不成立。
比如，如果集合A={1, 2, 3, 4}，那么2+2≠4就是一个反例，这是因为A中的元素（1、2、3、4）使2+2≠4成为一个反例。
数学猜想：推动科学发展的强大动力之一
数学猜想：推动科学发展的强大动力之一数学进展到今天，既枝叶繁茂又根深蒂固；其每个分支都有自己的差不多问题。
但就整个数学而言，最最全然的莫过于“数”。
回答数是什么的问题，应该说是数学家们最为全然的目的。
美籍德国数学家理查·科朗特曾说过：“数是近代数学的基础。
尽管希腊人曾把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但所有的数学命题最终都应归结为关于自然数1、2、3……的命题。
这一点已变成了现代数学的指导原则。
”关于数，人们曾提出过许许多多的问题，有的差不多获得解决，有的至今仍旧是谜，我们适应上称其为“猜想”(也称推测、假设、问题等)。
为了将其破解，一代代、一批批数学家们，通过自己的努力，极大地革新并丰富了数学的内容与方法。
关于数学猜想之于数学进展的作用，德国数学家和物理学家卡尔·高斯有言：“若无某种大胆果敢的猜想，一样是不可能有知识进展的。
”数学知识的进展往往会促进科学的进展，乃至唤起科学的革命。
能够说，数学猜想是推动科学进展的强大动力之一。
数学猜想是依照已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断，它既有逻辑的成分，又含有非逻辑的成分，因此它具有一定的科学性和专门大程度的假定性。
如此的假定性命题是否正确，尚需通过验证和论证。
尽管数学猜想的结论不一定正确，但它作为一种制造性的思维活动，是科学发觉的一种重要方法。
数学猜想由前提和结论两部分组成。
它以已有的部分事实和正确的数学知识（公理、定理、公式等）为前提,以在前提的基础上作出的假定性的判定为结论。
数学猜想有的被验证为正确的(如费马猜想、卡塔兰猜想、庞加莱猜想等)，并成为定理；有的被验证为错误的(如欧拉猜想、冯·诺伊曼猜想等)；还有一些正在验证过程中(如黎曼假设、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想等)。
能够说，数学猜想的解决关于数学进展所带来的阻碍，不仅在于猜想本身的被证明或证否，解决数学猜想过程中所采纳的创新研究方法，也是数学进展的重大阻碍因子。
《猜想与反驳》读后感#(精选.)
《猜想与反驳》读后感031610171 刘腾对于我们大学生来说，哲学类的书无疑是我们的要害，我们不喜欢哲学累的书籍，因为我们认为它很空泛、很难理解、很乏味，但是自从我读了著名科学家波普尔的《猜想与反驳》时，就对哲学类的书的观点有了很大的改善。
开始读这本书时，我也是抱着无聊就随便看看的态度看的，但是当我真正的去读时，我才发现了它内在的精华。
我认为波普尔科学哲学的观点基本上和他的书的结构是相同的，即包含猜想与反驳两部分：对于他的猜想，他通过驳斥了归纳分析法和观察证实的方法，提出“科学理论是真正的猜测，他们不可能被证实但是可以北批判。
”其意思就是说科学理论并不是在观察和实践中归纳出来的，而是一些大胆的猜测，这些猜测我们是无法证明的，因为我们只能在个别的场合下证明它的正确性，但是我们无法把所有的场合都证明出来，因此归纳法也是不能成立的；犹如我们在孙老师的课上所讨论的“天下乌鸦一般黑”这个命题一样，我们只能证明世界上所有乌鸦中有限的部分，而不能证明所有的乌鸦都是黑的，因为这个实际操作是不可能的，因此通过观察的归纳法是无法符合逻辑的来证明命题的正确性的。
那么波普尔认为我们是通过大胆的猜想来引出命题的，哲学家的思辩才是命题的源泉。
而且这些命题并不具有可证实性。
对于反驳，波普尔认为对于科学命题的验证，应该是通过证伪来批判；具体就是说我们看一个命题是否是假的如果是假的，这个命题就被证伪了，如果是真的，我们继续进行证伪，知道它被证伪为止。
波普尔在这里批判了逻辑实证主义，他认为用实证的方法是不能证明命题的正确性的，原因和猜想部分里的是一样的。
对于实证主义，它认为科学的发展或者说关于命题的提出和证实是这样的路线：由观察到归纳到命题证实。
这样就是命题的提出到其成立的证明。
而对于波普尔的证伪主义则不是这样，证伪主义的关于命题的提出发展路线是这样的：思辩到猜想到证伪如果是到下一猜想如果否到继续证伪。
也就是说首先一个命题的提出并不是由实际观察所得到的，而是由哲学家（科学家）的思辨所得到的，而且关于命题的证明，波普尔认为命题的永远不能够被证实正确的，我们只能通过实际的观察实验来证明这个命题还没有错误，而这个证明过程将一直持续下去，直到这个命题被证明是错误的（即证伪），从而通过思辨提出下一个命题，并接着进行证伪，推动科学的不断向前发展。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
比尔猜想有反例
冯仰春2
（中国矿业大学孙越崎学院，江苏 徐州 221116）
摘要：比尔猜想，如果方程x y z A B C +=，且A,B,C,x,y,z 均为正整数，且x,y,z 均大于2，那么A,B,C,肯定有共同的质因数。
下面用归纳思想寻找比尔猜想反例。
关键词：比尔猜想；归纳思想；反例
引 言
.10.19= .20.29= .30.39= .40.49= .50.59= .60.69= .70.79= .80.89= .90.919
== 1 归纳
33
3
33
333
333
3
33
3.33..3.33
.32+1010.911032+10010.9911003
2+100010.999110003
2+1000010.999911000032+10000010.9999911000003
...
2+1010.91
1032+101=1103≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤
≤即
2 反例
对于方程x y z A B C +=，取A=2，B=.101，C=.103，x=y=z=3,则方程左边=.
332+101，右边=.3103，.
33
.32+101==1103左边右边，左边=右边，然而，2，.101，.103，没有共同的质因数，所以这三个数成为一个反例。
3 结 论
比尔猜想有反例。
参考文献
[1]无穷的玩意-数学的探讨与旅行/（匈）彼得（PETER，R）著；朱梧槚，袁相碗，郑毓信译。
大连理工大学出版社，2008.4
[2]数学词典，谷超豪主编，上海辞书出版社，1987。