量子力学复习提纲

2008级材料物理专业《量子力学》复习提纲

要点之一

1. 20世纪初，经典理论在解释黑体辐射、光电效应和原子光谱的线状结构等实验结果时遇到了严重的困难。 爱因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假设的启发下，提出了“光量子”的概念，认为光是由一颗颗具有一定能量的粒子组成的粒子流。

2. 描述光的粒子性的能量E 和动量P

与描述其波动性的频率（或角频率）

和波矢K

由 Planck- Einstein 方程联系起来，即：ων ==h E ；

K n h P ==λ

。

3. 德布罗意提出，一切物质粒子（原子、电子、质子等）都具有粒子、波动二重性，在一定条件下，表现出粒子性，在另一些条件下体现出波动性。

4. 描述微观粒子（如原子、电子、质子等）粒子性的物理量为能量E 和动量P

，

描述其波动性的物理量为频率

（或角频率

）和波长

， 它们间的关系可用

德布罗意关系式表示，即：ων ==h E ； K n h P

==λ

。

5. 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态不能用坐标、速度、加速度等物理量来描述，而是用波函数来描述。描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平

面波，即：)(),(Et r p i p Ae t r -⋅=

ψ。

6. 波函数在空间某点的强度，即波函数模的平方，与在该点找到粒子的几率成正比例，即描写粒子的波可认为是几率波，反映了微观粒子运动的统计规律。

7. 波函数在全空间每一点应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。

8. 通常将在无穷远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态，属于不同能级的

束缚定态波函数彼此正交，可表示为)(0*

n m dx n m ≠=⎰ψψ。

9. 设G ˆˆ和F

的对易关系为k i G F ˆ]ˆ,ˆ[=，且G G G F F F -=∆-=∆ˆˆ,ˆˆ，则G ˆˆ和F 的测不准关系式为：4

)ˆ()ˆ(2

22k G F

≥∆⋅∆；如果k 不等于零，则的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于一正数，这意味着F

ˆ和G ˆ不能同时测定。 10. 当体系处于定态时，则体系有：1）能量有确定值；2）粒子在空间几率密度与时间无关；3）几率流密度与时间无关。 11. 粒子在一维无限深势阱中的定态解可表示为：

.......,3,2,1,)(2sin 1)(=+==ψ--n e a x a n a

e

x t E i

t E i

n n n n

π

ψ，当n 为奇数时，

波函数具有偶宇称，当n 为偶数时，波函数具有奇宇称。

12. 在点电荷的库仑场中运动的电子，其处于束缚态的波函数可表示成：

),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =，其中，主量子数n =1，2，3，…，角量子数l =0，

1，2，….，n -1，磁量子数m=0，1，2，….，l 。),,(ϕθψr nlm 是算符H

ˆ、2L ˆ和z L ˆ共同本征函数，当电子处于该波函数描述的状态时，力学量H 、2L 和z

L 可以同时测得， 体系2

24

22 n e Z E s n μ-

=， L 2=2)1( +l l ，L z = m 。

13. 角动量算符2L ˆ和z

L ˆ对易，即0],ˆ[2=z L L ，因此它们有共同的本征函数完

备系)},({ϕθlm Y 。在 ),(ϕθlm Y 描述的状态中，力学量2L 和z L 可以同时测得，

L 2=2)1( +l l ，L z = m ，此时总磁矩（沿z 轴方向）M z =m c

m

e B μμ-=-

2 。 14. 电子在点电荷的库仑场中运动，其处于束缚态的第n 个能级 E n 只与n 有关，而与l 、m 无关，是 n 2 度简并的；若n = 2 时，对应E 2的波函数有 ),,(200ϕθψr 、

),,(210ϕθψr 、),,(211ϕθψr 和),,(121ϕθψr -。而在非点电荷的库仑场中运动的电

子，如 Li ，Na ，K 等碱金属原子中最外层价电子是在由核和内壳层电子所产生

的有心力场中运动，这个场不再是点电荷的库仑场，因此价电子的能级由主量子数n 和角量子数l 决定，仅对m 简并。

15. 两个算符F

ˆ与G ˆ有共同本征函数系的充要条件是这两个算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时有确定值。

16. 选定一个特定Q 表象，就相当于在Hilbert 空间中选定一个特定的坐标系，

力学量算符Q

ˆ的正交归一完备函数系{)(x u n }构成Hilbert 空间中的一组正交归一完备基底。任意态矢量),(t x ψ在Q 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元)

(t a n 是态矢量),(t x ψ在Q ˆ算符的本征矢上的投影，即：

⎰=dx t x x u t a n n ),()()(*

ψ。

17. 选定力学量Q 表象，Q ˆ算符的正交归一的本征函数完备系记为)}({x u n

，一力学量算符F ˆ在Q 表象中是一个矩阵F =（F mn ），其矩阵元为：

⎰∂∂-=dx x u x

i x F x u F m

n nm )(),(ˆ)(* ；该矩阵为厄米矩阵，对角矩阵元为实数。一力学量算符F

ˆ在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵，对角元就是算符F ˆ的本征值。 18. 在坐标表象中，x x

=ˆ，=x p ˆx

i ∂∂- ；而在动量表象中，=x ˆx p i ∂∂ ，=x p ˆ p x 。

19. 若力学量算符F

ˆ不显含时间t ，且与哈米顿算符H ˆ对易，力学量F ˆ的平均值F 不随时间而变化，则称F

ˆ为运动积分，或在运动中守恒。 20. 动量算符x P

ˆ、y P ˆ、z P ˆ 彼此对易，它们有共同的本征函数完备系：r p i p e

r

⋅-=23)2()(πψ；在该本征函数描述的状态中，x P

ˆ、y P ˆ、z P ˆ同时具有确定的值。

要点之二

1. 态叠加原理：若

1

，

2

， ,

n

是粒子的可能状态，则粒子也可处