MM定理的严格推导

MM 定理的严格推导

一基本模型

1. 未确定现金流的资本化率

假设公司只进行股权融资。

假设1：公司拥有的实物资产会带来一系列现金流（即收益），现金流是随机变量，不同个体对各现金流的预期期望值相同。

假设21：某一公司的股票收益与同一类别（这应该就是类别的定义吧）的另一公司的股票收益的比值为常数。也就是说，对同一类别的公司，

股票收益

股价

有完全相同的分布（不是独

立同分布，而是同一个分布）。

在上述假设下，每一类别的公司股票收益与其股价的比值的期望为常数。即，

(1)j

j k

X P ρ=

或

(2)j

k j

X P ρ=

其中，j P 是第k 类公司中、公司j 的股价，j

X

是其股票收益的期望，k ρ为常数。

k ρ具有三个含义：

a) 式(2)表示k ρ是1单位股份的期望收益。 b) 式(1)中，令1j

X

=，则1

j k

P ρ=

，表示

1

k

ρ是为获得1单位收益所支付的成本。

c) 从终身年金的角度考虑，式(1)表示k ρ是未确定现金流的贴现率，即未确定现金流

的资本化率。

1

该假设过于严格，它保证了任何情况下MM 定理的成立。该假设可放宽，比如，如果人们的投资决策只与

投资收益的分布有关，则只要假设同一类别公司的股票收益分布相同即可，不需要完全相关。

2. 债务融资和其对股价的影响

可发债情况下，债务比例越高，公司的破产风险越大，股价波动也越大。公司有不同的“杠杠”，因此同一类别的公司的股票不是完全替代了，高杠杆公司的股票应该要求更高的收益率。

假设1：所有债券在单位时间内有确定的现金流。

假设2：债券市场完全竞争。即所有债券的收益与价格的比值相同，且是确定的。 命题I ：在类别k 中，设公司j 的息前收益的期望为j

X

，公司债务的市场价值为j D ，公司

普通股的市场价值为j S ，公司价值为j j j V D S =+，则

表述1 对在类别k 下的任一公司j ，有

j

j j j k

X V D S ρ=+=

即：同一类别下的各公司价值与资本结构无关，仅取决于公司的期望收益和无杠杠公司的资本化率。同一类别所有公司的价值都是其期望收益的常数倍。 表述2 对在类别k 下的任一公司j ，有

j j

k j j j

X X S D V ρ=+

即：同一类别下各公司的平均资本成本与资本结构无关，且等于无杠杆公司的资本化率。

证明：考虑同一类别下的两个公司。公司1全部用股权融资，公司2有杠杠。设两家公司的息前收益为12,X X ，根据前面的假设，

1

2

X a X =为常数。 考虑如下两种资产组合：

组合1：用1元钱买公司2的股票。 组合2：用1元钱+借入的121V aS ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

买公司1的股票。 组合1的收益为22

1

2

X rD Y S -=

，组合2的收益为 11

111212122222211111X V V X V X V Y r r r V aS aS aS aS S aS ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=

+---=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

。 组合1-组合2构成的新组合的成本为0，收益为12122

210V D Y Y r aS S ⎛⎫

-=--=

⎪⎝⎭，得

121222

1V D

V aV aS S =+⇔=

又1122X X a X X ≡

=，11k X V ρ=，代入上式得2212

11211k

k V V X X X X V a X X ρρ====

。

证毕。

命题I I ：记j i 为第k 类别公司j 的普通股收益率，k ρ为相应的资本化率，则

()

j j k k j

D i r S ρρ=+-

即：股票的期望收益率等于相应的资本化率+杠杠化的风险溢价

证明：该命题是命题I 的推论。 由命题I ，j

j j j j j j k

k

S i D r

X V S D ρρ+=+==

，即j j j j j k

S i D r

S D ρ++=

，化简即得。证

毕。

可以发现k ρ是加权平均资本成本，即

j j j j j j

j j

S D i r S D S D ρ+

=++。

j i 还是每股份额的期望收益率，即j j

j

j

X rD i S -=

。证明该式只需将j

j j k

X S D ρ+=

代

入命题I I 。

3. 一些评论和MM 定理的数学解释

可以发现在推导命题1和2时，资本化率扮演了一个非常重要的角色，公司的价值由其期望收益和资本化率完全决定，与其资本结构无关。事实上，资本化率是风险中性测度下的贴现率，它将具有不同风险的现金流贴现到现期，从而得到公司价值。

有税情况下的MM 定理本质与无税情况相同，这里不再讨论。

MM 定理是无套利定价方法的一个特例。我们可以将不同资本结构的公司股权看成金融资产。由于MM 定理只考虑了同一类别下不同资本结构公司的市场价值，这其实是假设了现实中其他金融资产与公司股权不相关，没有作为无套利定价的参考变量。那么，在这问题中所有的金融资产即为：不同资本结构的公司股票和无风险债券。仅利用这些金融工具，我们要考虑的问题就是：公司的股票价值要满足什么条件，才能保证无套利？

这相当于给金融衍生品定价，标的资产就是公司的收益。而衍生品定价的无套利方法非常直观明白易懂。这个问题比MM 定理更简单明了，而且解决起来很简单，也更容易推广。

下面具体来解决问题。下面讨论的所有公司都处于同一类别。

设公司j 发行一份合约j C ，该合约给持有人的收益为公司的净利润，即资本收益-债券利息，则该合约是一份衍生品（MM 定理貌似没有考虑破产风险，这个合约不是看涨期权，即在资本收益小于债券利息的情况下持有人要蒙受损失），标的资产为公司的资本收益，其