相对论课件2

v
v u
1
uv c2
有
v
v u
1
uv c2
v x
vx u
1
u c2
v
x
v y
1
vy
u c2
v
x
1
u2 c2
v z
vz
1
u c2
v
x
1
u2 c2
27
[例]已知：火箭 ( S系) 对 地 (S 系) 速 度 为 u 0.6c ，炮弹相对火箭速度 v 0.9c 。
S S′
求：地面上看炮弹速度
v′
v ?
由速度变换可得到：
v2 vx2 vy2 vz2
c
2
1
(1
u2 c2
(1
)(1 v c
uv x c2
)2
2 2
)
若 v c，则 v c 。
若 v c，则v c 。
26
3. 一维运动情况：
令 v y v z 0 ，v x v （代数量） 则 v y v z 0 ， v x v （代数量）
l l0 1 u2 / c2 100 1 0.82 60 m 18
选手从起点到终点，这一过程在 S‘ 系中对应的空
间间隔为x’，根据洛伦兹变换式得
x x ut 100 0.8 3108 10 4.0 109 m
1 u2 /c2
1 0.82
因此， S' 系中测得选手跑过的路程为 | x | 4.0109 m
求 地面上的观测者测得此物长度。 S S' u
解 令地球参照系为 S 系，飞船为 S'
系，不明飞行物为S'' 系，则在S''
系中测得不明飞行物的长度为原 长 l 0 ，由长度收缩公式有
O O'
l0
l 1v2 / c2
l l0 1v 2 / c2 l'
S'' v
O'' x
1v 2 / c2 1v2 / c2
设一尺子沿x '方向静止在S'系中
S' u
A
B
O' x1'
x2'
P1(t1' , x1' )
P2 (t2' , x2' )
l0 x2' x1' 原长，固有长度
l0
不要求同时测量
原长l0 : 相对于尺子静 止的惯性系测得的尺
子的长度
S
S' u
P1(t1, x1) P2 (t2 , x2 )
A
B
O
1. 狭义相对论的两个基本假设
狭义相对性原理:
一切物理规律在所有惯性系中都是相同的 。
光速不变原理: 在所有惯性系中， 真空中的光速具有
相同的量值，都为 c 。
x
x ut
1
u2 c2
y
y
z z
2.洛仑兹变换 3.狭义相对论的时空观
同时性的相对性
t
t
u c2
x
1
u2 c2
1
二．长度收缩
dy dz
dt
dt
u c2
dx
1
u2 c2
v x
dx dt
dx udt
dt
u c2
dx
v y
dy dt
dy 1β 2
dt
u c2
dx
v z
dz dt
dz dt
1β 2
u c2
dx
22
v x
dx dt
dx udt
dt
u c2
dx
v y
dy dt
dy dt
1β 2
u c2
dx
v z
dz dt
由速度逆变换式有
v
v u 1 v u/c2
l l 1 u2 / c2 1vu/c2 30
例 飞船 A , B 相对于地面分别以 0.6 c 和 0.8c 的速度相向而行。
求 (1) 飞船 A 上测得地球的速度； (2) 飞船 A 上测得飞船 B 的速度； (3) 地面上测得飞船 A 和飞船 B 的相对速度。
u c , l l0，这又回到了牛顿的绝对空间。5
三. 时间延缓（时间膨胀） 讨论一个匀速运动的钟和一系列“静止”的
同步的钟的比较。
（1）S'系中的一个钟与S系中的两个钟对比
S S’ uC
S S’ uC
S系 S'系
AB
P1(t1, x1) P1(t1' , x1' )
A
B
P2 (t2 , x2 ) P2 (t2' , x2' )
仍有
l l0
1 u 2 c
4
(2)若尺子沿y或z方向放置，S与 S'系测得的尺长相同。 (3)运动尺的缩短是相对论的效应， 并不是运动
尺的结构发生了改变。 与尺一起运动的观测者感受不到尺的变短。
对长度的测量和参考系有关，以原长为最长， 在其他惯性系中沿运动方向长度缩短了
动长 原长
u2 1 c2
11
不仅运动的时钟变慢，一切与时间有 关的过程，比如生物的新陈代谢，放射 性元素的衰变等都变慢了。
时间的流逝不是绝对的，运动将改变 时间的进程。
寿命也是一种钟。 μ子，不稳定， 寿命很短 2 10-6 s 距离2 10-6 c＝600m
宇宙线观测证明：在高空中产生的μ子 能够达到地面。为什么？
求 (1) 飞船参考系上的观测者测得百米跑道的长度和选 手跑过的路程；
(2) 飞船参考系上测得选手的平均速度 。 解 设地面参考系为 S 系， 飞船参考系为 S'，选手起跑
为事件1,到终点为事件2，依题意有
x 100 m t 10 s u 0.8 c (1) S 系中测得跑道长度 100 m 为原长 l0 ，S' 系中 测得跑道长度 l 为运动长度，由长度收缩公式有
火箭从地球飞径月球的时间为
t2
t1
x2 u
x1
3.844 108 0.8 3 108
1.6
s
在 S’ 系中，火箭从地球飞径月球的时间为
另解:
t2'
t1'
t2
t1
u c2
1
x2 u 2
x1
0.96 s
t τ
c
1 β2
t2 t1 t 1 β2
17
例 一短跑选手在地面上以 10 s 的时间跑完 100 m。 一飞船沿同一方向以速率 u = 0.8 c飞行。
Δt
l c
18 3 108
6108 s
你看谁的对呢?
14
[正确解法] S系：地球，S'系：火箭 S'系相对S系速度u=0.8c 事件１：A发出光信号 事件２：Ｂ接受光信号
t2
t1
t 2 ' t1 '
u c2
x2' x1'
1
u
2
c
107
0.8c c2
30
3
107
s
0.6
15
例 地球-月球系中测得地-月距离为 3.844×108 m，一火 箭以 0.8 c 的速率沿着从地球到月球的方向飞行，先 经过地球 (事件1)，之后又经过月球 (事件2)。
由题意：
x1'
x
' 2
6
由洛仑兹 逆变换有：
t1
t1'
u c2
x1'
1 u 2
c
t2
t
' 2
u c2
x2'
1
u
2
c
t2
t1
t
' 2
t1'
u c2
1
x2' u 2
x1'
c
Δt t2 t1
x1'
x
' 2
Δ
t
' 2
t
' 1
Δt
Δ
1
u c
2
原时Δ：同一地点两
事件的时间间隔
固有时
v
y
v y
1
u c2
v x
1
u2 c2
vz
1
v z u c2
v x
1
u2 c2
24
几点讨论：
1.若u << c， 则洛仑兹速度变换
过渡到伽里略速度
变换：
v
v
u
v x
vx u
1
u c2
v
x
v y
vy
1
u c2
v
x
u2 1 c2
v z
1
vz u c2
v
x
u2 1 c2
25
2. 不可能通过参考系变换达到超光速。
求 在地球-月球系和火箭系中观测，火箭从地球飞经 月球所需要的时间。
解 取地球-月球系为 S 系，火箭系为 S’系。 S’ 系相对 S 系的速度为u=0.8c，
事件1 事件2
P1(t1, x1)
P2 (t2 , x2 )
P1(t1' , x1' ) P2 (t2' , x2' )
16
在 S 系中，地-月距离为 x2 x1 3.844108 m
7
t
1
u2 c2
t，
∴ 原时最短 。
S S’ uC
S S’ uC
AB
A
B
一个运动的钟C和一系列静止的钟A、B…
比较，运动的钟C变慢了。 一个运动的时钟和一系列 静止的同步钟相比，运动 的钟变慢。
8
t
1
u2 c2
t，
∴ 原时最短 。
一个运动的钟C和一系列静止的钟A、B… 比较，运动的钟C变慢了。 讨论：
解 (1) 根据运动的相对性，飞船 A 上测得地球的速度为: 0.6c
(2) 设地面为 S 系，飞船 A 为 S' 系，S' 系相对与 S 系的速度
为 u = 0.6 c. 依题意飞船 B 在 S 系中的速度 v = 0.8c，
S系中测量的长度（运动着的尺的长度）
小于S' 系中测量的长度（原长）。∴ 原长最长 3
l l0
1 u 2 c
讨论：
(1) 长度收缩效应是时空的属性，是相对的。
若尺子沿x方向静止在S系中
S系中测量的长度 l0 x2 x1（原长） S'中测量的长度 l x2' x1' （运动着的尺的长度）
12
例：宇宙射线中有μ子，其速率u=0.998c，其 固有寿命τ0 = 2 10-6 s. 求地面上测量,μ子衰变 前走过的距离。
解： S系：地球 S'系：μ子 S'系相对S系速度u=0.998c
t
故行程
3.2105 s 1 2
l = u t = 0.998c t = 9500 m
此行程可使μ子穿过大气层到达地球表面，实
u
x 解：由速度变换，在S 系中有
v u
v
1
uv' c2
0.9c 0.6c 1 0.6 0.9
1.5 c 0.97c 1.54
若按伽里略变换计算，则 v = 1.5 c 。 28
4.不可将速度的合成分解与速度的变换相混淆。
在同一个惯性系中，速度合成法则是由速度
的矢量性来决定的，这与速度的高低毫无关系。
S u P(x , y , z , t )
x
（x, y, z, t）
x ut
1
u2 c2
O Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z z x
x x xx
y
y
z z
t
t
u c2
x
1
u2 c2
—— 洛仑兹变换 20
x
x ut
1
u2 c2
y
y
z z
t
t
u c2
x
1
u2 c2
dx
dx udt
1
u2 c2
(2) S' 系中测得选手从起点到终点的时间间隔为 t'，
由洛仑兹变换得
t
t
u c2
x
10
0.8 100 3 108
16.7
s
1 u2 / c2
1 0.82
S' 系中测得选手的平均速度为
v x 4.0109 2.4 108 m/s 0.8c t 16.7
19
§5.洛仑兹速度变换
y
S
. y
验结果的确如此。
13
[例]宇航员在火箭尾部A发一束光，头部B接收。设
火箭的静长为30m。光的传播时间
Δt'
l' c
30 3 108
107 s
问:地面上观测光传播时间是多少？
[解法1] 据钟慢效应
[解法2]据尺缩效应
Δt
Δ t' 1 u 2
c
107 5 107 s 0.6 3
l l' 1 u 2 30 0.6 18m c
dz dt
1β 2
u c2
dx
v x
vx u
1
u c2
v
x
v y
vy
1
u c2
vx
1
u2 c2
v z
vz
1
u c2
vx
u2 1 c2
23
洛仑兹速度变换式
正变换
逆变换
v x
vx u
1
u c2
v
x
v y
vy
1
u c2
v
x
1
u2 c2
v z
1
vz u c2
v
x
1
u2 c2
vx
v x u
1
u c2
v x
在任何惯性系中的1秒钟都是这样定义的。 在不同惯性系中，观察同一个135Cs原子 发的特征频率光波的周期是不同的。
10
1971 年 ， 美 国 空 军 用 两 组 CS （铯）原子钟绕 地球一周，得到 运动钟变慢： 20310ns ， 而 理 论 值 为 ： 184 23ns ， 在 误 差 范 围内二者相符。
(１) 动钟变慢是时空的属性，是相对的。
(２)动钟变慢是相对论的效应，并不是运动
使钟的结构发生了什么改变。 与钟一起运动的观测者是感受不到钟变 慢的效应的。
（3）当 u << c 时= t ，这就回到绝对时间了。9
1秒钟 定义为相对于参考系静止的 135Cs原子 发出的一个特征频率光波周期的9192631770倍。
O' x1
x2
即要求t1 = t2
l
l x2 x1
必须同时测量
2
由洛仑兹变换有：
x1'
x1 ut 1 1 u 2
c
x
' 2
x2 ut 2 1 u 2
c
x
' 2
x1'
x2 x1 u t2 t1
1
u
2
c
l0
x
' 2
x1'
t1 t2 l x2 x1
l l0
1 u 2 c
dy dy
dz dz
dt
dt
u c2
dx
1
u2 c2
21
设同一质点在 S 和 S 中速度分别为v和 v。
vx dx dt v y dy dt v z dz dt
v'x dx' dt' v'y dy' dt' v'z dz' dt'
dx
dx udt
1
u2 c2
得ddyz
S
A
B
左图在 S 系中看，A 和 B
vA = 0.6 c
vB = - 0.6 c 相互接近的速率是 1. 2 c ，
x 这并不违反相对论。 但是
在 A 系中看，B 的速率是0. 882 c，绝不可能大于 c 。
29
例 一宇宙飞船以速度 u 远离地球沿 x 轴方向飞行，发现飞船 前方有一棒形不明飞行物，平行于 x 轴。飞船上测得此物 长为l ' ，速度大小为 v ' ，方向沿 x 轴正向。