自动控制理论54频域奈氏判据
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根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N&#函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
Ⅰ型系统补半圆
1．奈氏路径
顺时针方向包围(-1,j0)点。
２．奈氏判据
a. 如果开环系统是稳定的,即P=0个开环极点在s 的右半平面 ，则闭环系统稳定的充要条件是GH曲 线不包围（-1，j0）点；
b. 如果开环系统是不稳定的,且已知有P个开环 极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条 件是GH曲线按逆时针绕（-1，j0）点P圈，否则 闭环系统是不稳定系统。
12
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H (s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j
)H
(
j
)
K 1 T2 j j 2 1 T1 j
0 0
变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
所以
Im
Z = N +P =1，
说明为不稳定系统，有一个
闭环极点在s的右半平面。
1 0
0
K1
2K
1
Re
010
Ⅱ型系统： 对n>m的系统， G(s)H(s)的奈魁斯特曲
线中补进一个半径为无穷大的圆，使奈氏曲线 从- ∞ 到 +∞时闭合。
11
例6: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=-1+1=0
所以系统稳定。
3
例2: 一系统开环传递函数为：
G(s)H (s) K , ( K 0)
Ts 1
试判断系统的稳定性的K和T值范围。 W=0-
解：本系统的开环频率特性
- 2
K
W=0+
1
Im
0
Re
G( j)H ( j) K
2K1
2 1
j
1-2 2
1
先作0 + 到+∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
再根据对称性，作出0-到 -∞时的G(jω)H(jω)曲线。
9
题中 1 ，即当s从 0 -转到0 + 时，G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一
圈，N =1，又因为P =0，
例3: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
1
K
T1s 1
T2s
, ( T1 T2 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
(
j)
1
T1
K
j 1
T2
j
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的0圈，即 N=0。
G(s)H(s) a s 1
( a 0)
Im
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j) a j 1
W=0-
-a2 W=0+
1
0
Re
当 0 0 变化时，
系统的奈氏曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于s的右
半平面，即：P=1。
当a>1图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=-1。
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是顺时针方向绕（-1，j0）点0圈，即 N=0。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
Ⅰ型系统： 对n>m的系统， G(s)H(s)的奈氏曲线中
补进一个半径为无穷大的半圆，使奈氏曲线从j∞ 到 +j∞时闭合。
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的0圈(当 满足条 件： )，即 N=0。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0
8
例5 试判断系统的稳定性 ：G(s)H (s) K1(s 1) s(s 1)
( K1 0)
解
G( j)H ( j)
K1( j 1) j( j 1)
7
例5: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 T1s1 T2s
( T1,2 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 T1 j1 T2 j
j j0 j0 j
系统的幅相曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。
P=0当图。当图T中当1=T中奈TT11奈氏2<>, T，氏曲2P,P曲线=因=00线是。为。是通系逆过统时（有针-01个，方开j向0）环绕点极（，点-1所位，名于j0闭）s的环点右系的半统0平圈有面，虚，即根即N，：=2。 系图统中不根奈稳据氏定奈曲。氏线判是据逆,时闭针环方系向统绕在（s右-1，半j平0）面点极的点2数圈Z2，=N即+PN==02。 所以系根统据稳奈定氏。判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
1
3. 公式
Z = N+ P
P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
N —— GH曲线按顺时针绕（-1，j0）点的圈 数。
Z——为闭环系统位于s右半平面的极点数。
当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右 半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。
2
例1: 一系统开环传递函数为：
Tj 1
当
0 0
系统的奈氏曲线如图所示。
变化时，
P根当=据即当1T。奈T<：氏0>P系0判=系统0据。统有, 有闭0一个环个系开开统环环稳极极定点点Z=位位N于于+Pss=的的0右,右N半半=平-平1面,即面，图，即中Im： 奈根氏图0据圈曲中奈，线奈氏是则氏判逆0曲<据时K线针, <闭方是1。环向逆系绕时（统针-稳1方，定向j0Z）绕=点N（+的-K-2P11WW=，圈==000,，+-j0N1）则=0K点,即>的014。 Re
(s)
K
s2 1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
(
j)
j
2
K
1
Tj
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是顺时针方向绕（-1，j0）点的2圈2，即 N=2。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
G(s)H
(s)
K
s1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 Tj
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
Ⅰ型系统补半圆
1．奈氏路径
顺时针方向包围(-1,j0)点。
２．奈氏判据
a. 如果开环系统是稳定的,即P=0个开环极点在s 的右半平面 ，则闭环系统稳定的充要条件是GH曲 线不包围（-1，j0）点；
b. 如果开环系统是不稳定的,且已知有P个开环 极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要条 件是GH曲线按逆时针绕（-1，j0）点P圈，否则 闭环系统是不稳定系统。
12
例7: 一系统开环传递函数为：
G(s)H (s)
K 1 T2s s2 1 T1s
( T1,2 0, K 0)
试分析时间常数对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的乃氏图。
解：本系统的开环频率特性
G(
j
)H
(
j
)
K 1 T2 j j 2 1 T1 j
0 0
变化时，
系统的幅相曲线如图所示。
所以
Im
Z = N +P =1，
说明为不稳定系统，有一个
闭环极点在s的右半平面。
1 0
0
K1
2K
1
Re
010
Ⅱ型系统： 对n>m的系统， G(s)H(s)的奈魁斯特曲
线中补进一个半径为无穷大的圆，使奈氏曲线 从- ∞ 到 +∞时闭合。
11
例6: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=-1+1=0
所以系统稳定。
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例2: 一系统开环传递函数为：
G(s)H (s) K , ( K 0)
Ts 1
试判断系统的稳定性的K和T值范围。 W=0-
解：本系统的开环频率特性
- 2
K
W=0+
1
Im
0
Re
G( j)H ( j) K
2K1
2 1
j
1-2 2
1
先作0 + 到+∞时的 G(jω)H(jω)曲线。
再根据对称性，作出0-到 -∞时的G(jω)H(jω)曲线。
9
题中 1 ，即当s从 0 -转到0 + 时，G(jω)H(jω) 曲线以半径为无 穷大顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一
圈，N =1，又因为P =0，
例3: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
1
K
T1s 1
T2s
, ( T1 T2 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
(
j)
1
T1
K
j 1
T2
j
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的0圈，即 N=0。
G(s)H(s) a s 1
( a 0)
Im
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j) a j 1
W=0-
-a2 W=0+
1
0
Re
当 0 0 变化时，
系统的奈氏曲线如图所示。
因为系统有一个开环极点位于s的右
半平面，即：P=1。
当a>1图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 N=-1。
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是顺时针方向绕（-1，j0）点0圈，即 N=0。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0 所以系统稳定。
6
Ⅰ型系统： 对n>m的系统， G(s)H(s)的奈氏曲线中
补进一个半径为无穷大的半圆，使奈氏曲线从j∞ 到 +j∞时闭合。
图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的0圈(当 满足条 件： )，即 N=0。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=0
8
例5 试判断系统的稳定性 ：G(s)H (s) K1(s 1) s(s 1)
( K1 0)
解
G( j)H ( j)
K1( j 1) j( j 1)
7
例5: 一系统开环传递函数为：
G(s)H
(s)
K
s1 T1s1 T2s
( T1,2 0, K 0)
试判别系统的稳定性。
解：本系统的开环频率特性
G( j)H ( j)
K
j1 T1 j1 T2 j
j j0 j0 j
系统的幅相曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。
P=0当图。当图T中当1=T中奈TT11奈氏2<>, T，氏曲2P,P曲线=因=00线是。为。是通系逆过统时（有针-01个，方开j向0）环绕点极（，点-1所位，名于j0闭）s的环点右系的半统0平圈有面，虚，即根即N，：=2。 系图统中不根奈稳据氏定奈曲。氏线判是据逆,时闭针环方系向统绕在（s右-1，半j平0）面点极的点2数圈Z2，=N即+PN==02。 所以系根统据稳奈定氏。判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。
1
3. 公式
Z = N+ P
P——为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数。
N —— GH曲线按顺时针绕（-1，j0）点的圈 数。
Z——为闭环系统位于s右半平面的极点数。
当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右 半开平面，系统是稳定的；反之，系统则是不 稳定的。
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例1: 一系统开环传递函数为：
Tj 1
当
0 0
系统的奈氏曲线如图所示。
变化时，
P根当=据即当1T。奈T<：氏0>P系0判=系统0据。统有, 有闭0一个环个系开开统环环稳极极定点点Z=位位N于于+Pss=的的0右,右N半半=平-平1面,即面，图，即中Im： 奈根氏图0据圈曲中奈，线奈氏是则氏判逆0曲<据时K线针, <闭方是1。环向逆系绕时（统针-稳1方，定向j0Z）绕=点N（+的-K-2P11WW=，圈==000,，+-j0N1）则=0K点,即>的014。 Re
(s)
K
s2 1 Ts
( T 0, K 0)
试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性
G(
j)H
(
j)
j
2
K
1
Tj
0 0
系统的奈氏曲线如图所示：
变化时，
因为系统有0个开环极点位于s的右半平面，即：P=0。 图中奈氏曲线是顺时针方向绕（-1，j0）点的2圈2，即 N=2。
根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=N+P=2 所以系统不稳定。