二次函数中的存在性问题(平行四边形)

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二次函数的存在性问题1（平行四边形）

二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

1.【08湖北十堰】已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴

的正半轴交于点C ．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 解：⑴对称轴是直线：1=x ，点B 的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是A (-1,0)、B (3,0)，

∴AB ＝4．∴．AB PC 242

1

21=⨯==

在Rt △POC 中，∵O P ＝PA －OA ＝2－1＝1， ∴．PO PC OC 3122222=-=-=

∴b ＝．3 ………………………………3分 当01=-=，y x 时，，a a 032=+--

∴．a 3

3

=

………………………………4分 ∴．

x x y 33

3

2332++-= ………………5分 ⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为),(y x M ．

①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM ∥AB ，且CM ＝AB ． 由⑵知，AB ＝4，∴|x |＝4，3==OC y ．

∴x ＝±4．∴点M 的坐标为)3,4()3,4(-或M ．…9分 说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方． 过M 作MN ⊥AB 于N ，则∠MNB ＝∠AOC ＝90°．

∵四边形AMBC 是平行四边形，∴AC ＝MB ，且AC ∥MB ．

∴∠CAO ＝∠MBN ．∴△AOC ≌△BNM ．∴BN ＝AO ＝1，MN ＝CO ∵OB ＝3，∴0N ＝3－1＝2．

∴点M 的坐标为(2,M ． ……………………………12分

说明：求点M 的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M 的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标

为123((2,M M M -．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

2.【09浙江湖州】已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .

直线1

2

y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N .

(1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ；

(2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

（1）()41113

3M a N a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，.……………4分

（2）由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，N '∴4

13

3a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，

将N ′的坐标代入2

2y x x a =-+得21168393a a a a -=

++， 10a ∴=（不合题意，舍去）

，29

4

a =-.……………2分 334N ⎛

⎫∴- ⎪⎝

⎭，，∴点N 到y 轴的距离为3.

904A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N ' 334⎛⎫

⎪⎝⎭

，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，

它与x 轴的交点为904D ⎛⎫

∴ ⎪⎝⎭

，，点D 到y 轴的距离为94.

19199189

32222416

ACN ACD ADCN S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯=△△四边形.……………2分

（3）当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，

∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4

73

3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式， 得：27168

393

a a a a -=

-+ 第（2

）题

备用图

10a ∴=（不舍题意，舍去）

，238a =-， 12P ⎛⎫

∴- ⎪⎝⎭

7，8.……………2分 当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分， OA OC OP ON ∴==，．

P ∴ 与N 关于原点对称，4133P a a ⎛⎫

∴- ⎪⎝⎭

，，

将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168

393a a a a =

++， 10a ∴=（不合题意，舍去）

，2158a =-，5528P ⎛⎫

∴- ⎪⎝⎭

，．……………2分 ∴存在这样的点11728P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫

- ⎪⎝

⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形． 二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）

1．【09福建莆田】已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、

B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B ． (1)求抛物线的解析式；

(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值：

(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵对称轴33

22

a x a =-=-………1分 又∵OC=3OB=3，0a >，

∴C （0，－3）………2分

方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入2

3y ax ax c =++得：

330c a a c =-⎧⎨

++=⎩

解得：3

34a c ==-，

∴239

344

y x x =+-…………………4分

方法二：∵B （1，0），∴A(-4，0)

可令(4)(1)y a x x =+- 把C(0，-3)代入得：

34a =

∴3

(4)(1)4y x x =+-………………4分

239

344x x =+- （2）方法一：过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N 。 ∵ABC ACD ABCD S S S +四边形＝

＝15115

()2222

DM AN ON DM +⨯⨯+=+＝

……………5分 ∵A(-4，0)，C(0，-3)

设直线AC 的解析式为y kx b =+