柯西-黎曼的四种不同形式
格林公式 柯西黎曼方程
格林公式柯西黎曼方程格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
格林公式是由英国物理学家约翰·格林于1845年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流的关系。
柯西黎曼方程是由德国物理学家威廉·柯西黎曼于1876年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电场的关系。
格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
格林公式是由英国物理学家约翰·格林于1845年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流的关系。
格林公式的公式形式是：∇×E=-∂B/∂t，其中E是电场，B是磁场，t是时间。
格林公式表明，电磁场的变化是由电流引起的，电流的变化会导致电磁场的变化。
柯西黎曼方程是由德国物理学家威廉·柯西黎曼于1876年提出的，它是一个关于电磁场的基本方程，它描述了电磁场的变化，以及电磁场与电场的关系。
柯西黎曼方程的公式形式是：∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t，其中B是磁场，J是电流密度，E是电场，μ0是真空磁导率，ε0是真空电导率，t是时间。
柯西黎曼方程表明，电磁场的变化是由电流和电场引起的，电流和电场的变化会导致电磁场的变化。
格林公式和柯西黎曼方程是物理学中最重要的两个方程之一，它们是物理学家们用来描述物理现象的基础。
它们的公式形式描述了电磁场的变化，以及电磁场与电流和电场的关系，这些关系是物理学家们用来研究物理现象的基础。
格林公式和柯西黎曼方程的发现和研究，为物理学的发展做出了重要贡献，它们也是物理学家们研究物理现象的重要工具。
柯西-黎曼方程由来
柯西-黎曼方程由来
柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）是复分析中的一组偏微分方程，它们为复变函数在开集中为全纯函数提供了充要条件。
这组方程以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和德国数学家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名。
柯西-黎曼方程的起源可以追溯到18世纪，最初出现在达朗贝尔（d'Alembert）的著作中。
后来，欧拉（Leonhard Euler）在1777年将这些方程与解析函数联系起来。
柯西在1814年采用了这些方程来构建他的函数理论，而黎曼则在1851年发表了关于此函数理论的论文，进一步发展了这一理论。
柯西-黎曼方程的形式如下：
对于复变函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \)，其中 \( z = x + iy \)，\( u \) 和 \( v \) 分别是实部和虚部，柯西-黎曼方程为：
1. \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \)
2. \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)
这些方程表明，如果一个复变函数在某个区域内满足柯西-黎曼方程，那么这个函数在该区域内是解析的。
反之，如果一个函数在某个区域内解析，那么它在该区域内必然满足柯西-黎曼方程。
这一理论对于复变函数的解析性质和复分析的发展具有重要意义。
试推导极坐标系中的柯西黎曼方程
试推导极坐标系中的柯西黎曼方程试推导极坐标系中的柯西黎曼方程在复变函数理论中，柯西黎曼方程是一个非常重要的概念，它描述了复函数的解析性质。
对于极坐标系中的柯西黎曼方程，我们需要从复变函数的极坐标形式出发进行推导和分析。
一、复数的极坐标形式在复数的极坐标形式中，一个复数z可以表示为z = r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
这种表示方式对于描述复数在平面上的位置和方向非常方便。
二、复函数的极坐标形式对于一个复变函数f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ)，其中u和v分别为实部和虚部，r和θ分别为极坐标系中的径向距离和角度。
我们可以通过复变函数的链式求导法则得到f(z)在极坐标系中的偏导数形式。
三、柯西黎曼方程的极坐标形式将复变函数f(z)表示为u(r,θ) + iv(r,θ)，我们可以通过对f(z)在极坐标系中进行偏导数运算，推导出柯西黎曼方程的极坐标形式。
(1) 对f(z)进行径向距离r的偏导数运算，得到u和v关于r的偏导数形式。
(2) 对f(z)进行角度θ的偏导数运算，得到u和v关于θ的偏导数形式。
(3) 将上述得到的偏导数形式带入柯西黎曼方程，通过对比实部和虚部的项，得到柯西黎曼方程的极坐标形式。
四、个人观点和理解柯西黎曼方程作为复变函数理论中的重要定理，其极坐标形式的推导和应用对于理解复函数的解析性质以及在极坐标系中的计算具有重要意义。
通过深入研究和推导柯西黎曼方程的极坐标形式，可以更好地理解复变函数在极坐标系中的性质和行为。
总结回顾在本篇文章中，我们从复数的极坐标形式出发，推导了复函数在极坐标系中的偏导数形式，进而得到了柯西黎曼方程的极坐标形式。
通过对该方程的推导和分析，我们加深了对复变函数解析性质的理解，也为在极坐标系中复函数的运算和计算提供了重要的参考依据。
结语复数的极坐标形式和柯西黎曼方程的极坐标形式是复变函数理论中的重要概念，它们对于研究和应用复函数具有重要意义。
柯西积分定理针对的积分路径
柯西积分定理针对的积分路径柯西积分定理针对的积分路径一、引言在复变函数中，积分是一种重要的数学工具。
积分路径是指一个复平面上的曲线，通过它可以计算出函数沿着该曲线的积分值。
而柯西积分定理则是指，如果一个函数在一个区域内解析，那么该函数沿着任何闭合路径的积分值都为零。
二、柯西积分定理的表述柯西积分定理有两种不同的表述方式：一种是针对单连通区域（simply connected domain）的情况，另一种则是针对多连通区域（multiply connected domain）的情况。
1. 单连通区域对于单连通区域内解析的函数f(z)，如果C是任意一条简单闭合曲线（simple closed curve），那么沿着C所围成的区域内f(z)dz=0。
2. 多连通区域对于多连通区域内解析的函数f(z)，如果C是任意一条简单闭合曲线，并且C不包含任何奇点（singularity），那么沿着C所围成的区域内f(z)dz=0。
三、解析函数与柯西积分定理1. 解析函数解析函数也叫全纯函数，是指在某个区域内可导的复函数。
如果一个函数在某个区域内解析，那么它在该区域内的导数存在。
2. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是解析函数的必要条件。
对于一个解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，它满足以下两个条件：(1) u和v在所考虑的区域内连续且具有一阶连续偏导数；(2) u和v满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x=∂v/∂y 且∂u/∂y=-∂v/∂x。
3. 柯西积分定理与解析函数柯西积分定理是基于解析函数的性质而得出的结论。
由于解析函数沿着任何闭合路径的积分值都为零，因此可以通过对路径进行变形来证明两种不同路径上的积分值相等。
四、积分路径1. 积分路径分类根据路径是否闭合可以将积分路径分为两类：开放路径和闭合路径。
开放路径是指起点和终点不重合的路径，而闭合路径则是指起点和终点重合的路径。
2. 积分路径性质对于一条简单闭合曲线C，它具有以下两个性质：(1) C是连通的；(2) C不自交，即不存在两个不同的点p和q使得从p到q有两条不同的路径。
柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系
分类号（宋体小三加黑）论文选题类型U D C 编号本科毕业论文（设计）（黑体小初）（宋体小一加黑）题目（宋体小二加黑）学院（宋体小三加黑）专业年级学生姓名学号指导教师二○年月（宋体三号加黑）华中师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。
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学位论文作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保障、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关学位论文管理部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。
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本学位论文属于1、保密□，在_____年解密后适用本授权书。
2、不保密□。
（请在以上相应方框内打“√”）学位论文作者签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录内容摘要............................................. 1残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
关键词............................................... 1酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
Abstract............................................. 1彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
Keywords............................................. 1謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
1.Cauchy-Schwarz不等式的简介........................ 2厦礴恳蹒骈時盡继價骚。
2.Cauchy-Schwarz不等式的四种形式.................... 2茕桢广鳓鯡选块网羈泪。
柯西黎曼Cauchy-Riemann方程的证明
1 引言解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式．现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的．本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．2 基本概念与定理定义2．1[1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000()()limz z z Df z f z z z →∈--存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或0(z z df z dz=）．即000()()lim '()z z f z f z f z z z →-=-．有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数．定义2．2[1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析，并称()f z 是区域D 内的解析函数．如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ⊂，而()f z 在G 内解析．若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点．例1 试证明(Re f z z z =）在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 00()(0)R e limlimlim R e 00z z z f z f z z z z z→→→-===-故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =．设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限000()()R e R e limlimz z z z f z f z z z z z z z z z →→--=--0000000()()lim()()x x y y x iy x x iy x x x i y y →→+-+=-+-002200000()lim()()x x y y x x i xy x y x x i y y →→-++=-+-当z 沿平行于实轴的方向趋近0z 时，因0y y =，故 000()()l i mz z f z f z z z →--220000()limx x x x iy x x x x →-+-=-00lim [()]x x x x iy →=++002x iy =+当z 沿平行于虚轴方向趋近于0z 时，因0x x =，故 00000000()()()limlim()z z y y f z f z ix y y x z z i y y →→--==--因为0x ，0y 至少有一个不为零，于是0002x iy x +≠．故当00z ≠时，()f z 不可微．因而除00z =外，()f z 都不可微．在00z =处尽管函数()f z 可微，但不存在00z =的一个邻域，使()f z 在此邻域内每一点都可微，故()f z 在00z =点也不解析，从而()f z 在z 平面上任何点都不解析． #此例说明函数在一点可微，但在这一点不一定解析．有了可微性和解析性的定义之后，即得下述定理： 定理2．3[2]设函数(,)(,)f u x y iv x y =+定义与区域D ，000z x iy D =+∈，则()f z 在点0z 处可微的必要与充分条件是：(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，且满足Cauchy-Riemann 方程,u v v uxy x y∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （1）证： 必要性 设0(0)z z z D z +∆=∈∆≠，w u i v ∆=∆+∆．因()f z 在点0z 可微，则有00lim'()z w f z z∆→∆=∆．令0'()w f z zε∆-=∆．即得0'()w f z z z ε∆=∆+∆ （2） 当0z ∆→时，0ε→．令0'()f z a ib =+，z x i y ∆=∆+∆，12i εεε=+，则当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．于是由（2）式，12()()()()u i v a ib x i y i x i y εε∆+∆=+∆+∆++∆+∆12()a x b y i b x a y ηη=∆-∆++∆+∆+其中112x y ηεε=∆-∆，221x y ηεε=∆+∆．则比较实部与虚部，则 1u a x b y η∆=∆-∆+， 2v b x a y η∆=∆+∆+ （3）其中a 与b 与x ∆，y ∆无关．因112zηεε≤≤+∆，而当0x ∆→，0y ∆→时，10ε→，20ε→．故当0z ρ∆==→时，10ηρ→，于是10()ηρ=．同理20()ηρ=．由（3）即知u ，v 在点00(,)x y 处可微，且在点00(,)x y 处有u a x∂=∂，u b y∂=-∂，v b x∂=∂，v a y∂=∂，于是,u v v uxyxy∂∂∂∂==-∂∂∂∂， 因此满足Cauchy-Riemann 方程．充分性 设(,)u x y ，(,)v x y 在点00(,)x y 处可微，则在点00(,)x y 处有 1u u u x y x yη∂∂∆=∆+∆+∂∂．2v v v x y xyη∂∂∆=∆+∆+∂∂．其中10lim0ρηρ→=，20lim0ρηρ→=，z ρ==∆．因Cauchy-Riemann 方程（1）成立，如令u v a xy∂∂==∂∂，v u b xy∂∂=-=∂∂，则12()w u i v a x b y i b x a y ηη∆=∆+∆=∆-∆++∆+∆+12()()()a ib x i y i a ib z ηηη=+∆+∆++=+∆+．故 w a i b zzη∆=++∆∆．其中12i ηηη=+．因12120i zzηηηηηρρ+=≤+→∆∆（当0ρ→）， 故 0l i m0z z η∆→=∆．于是 00l i m'()z w a i b f z z∆→∆=+=∆．因此()f z 在点0z 可微． #３ 几种不同形式的Cauchy-Riemann 方程3．1 梯度形式定理3．1[3] 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，(,)u x y ，(,)v x y 的Cauchy-Riemann 方程等价于(),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4）证：若实形式的C-R 条件成立，即,u v xy ∂∂=∂∂,u v yx ∂∂=-∂∂那么有(),gradu gradv =12,12u u v vu v u ve e e e xyxy x x y y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂++=⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ ()0v u u vC R y y y y⎛⎫∂∂∂∂--+= ⎪∂∂∂∂⎝⎭条件， 其中1e ，2e 分别与x 轴，y 轴正向相同的单位矢量．gradu =,gradv == (),0,.gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩反之，若（4）式成立，则有22220,.u v u vx x y y u u v v x y x y ∂∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩ （5） 设,u v u v p q xyyx∂∂∂∂=-=+∂∂∂∂那么，方程组（5）化为0,0.v v p q x y u v u v p q x y y x ∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎨⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎪++-= ⎪ ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎩（6）其中0,0.u v u v xyyx∂∂∂∂+≠-≠∂∂∂∂此方程组的系行列式为J =vx u v x y ∂⎛∂∂∂ + ∂∂⎝vy u v y x ∂⎫⎪∂⎪∂∂⎪-⎪∂∂⎭=v u v v u v x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂--+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫=--+≠⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦事实上，若220v u v u v v x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 由（5）式可知220v u v u u u x y y x x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫--+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故我们有222220,v u v u u u v v x y y x x y x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫--+-+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦220,u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+--= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭即22u v u v x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂-+=- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭． 这是一个矛盾的结论，所以方程组（6）只有零解．于是0,0,.uv q x y p u v yx ∂∂⎧=⎪=∂∂⎧⎪⎨⎨=∂∂⎩⎪=-⎪∂∂⎩即3.2 复形式若考虑二实变数,x y 的复值函数(),f x y ，引进复变数,,z x iy z x iy =+=-则()()11,22x z z y z z i =+=-． 于是()(),,.22z z z zw f z f x y f i ⎛⎫+-=== ⎪⎝⎭这里形式地把(),f x y 考虑为z 与z 的函数，而把z 与z 视为独立的自变量，因此()f z 可以对自变量z 与z 求导数．定理3．2[4]()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程0f z∂=∂．证：1212f f x fy f f i z x z y z x y f f x f y f f i x y x y z z z⎧⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+=+⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎪⎝⎭⎨⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎪=+=- ⎪⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎩（7）()f z 在区域D 内解析的充分必要条件是(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微且满足Cauchy-Riemann 方程u v xy∂∂∂∂=，.u v yx∂∂∂∂=-而'()u v u v xxyyf z ii∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-+，所以f(z)应满足偏微分方程.f f xyi∂∂∂∂= （8）将（7）和（8）比较，得0f z∂=∂．因此解析函数f （z)是以条件0f z∂=∂为其特征，即Cauchy-Riemann 方程的复形式可表示为0f z∂=∂．（7）式在作为极限定义时并没有什么方便之处，但我们仍然可以把它们作为对于z 及z 的形式导数．这里值得一提的是，实际上z 与z 并不是独立变量，因为他们是互相共轭的．也就是说，一个解析函数与z 无关，而是z 的独立函数．这也是我们把一个解析函数看作确实是一复数的函数，而不称之为两个实变数的复值函数的理由．3．3 极坐标形式 定理3． 3． 1[4]：()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是()cos sin z r i φφ=+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的极坐标形式，即11u vr r v u rr φφ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （9） 证：因为cos ,sin ,cos ,sin ,u R v R x r y r θθφφ====所以cos sin u R R rrrθθθ∂∂∂=-∂∂∂， （10）cos sin u R R θθθφφφ∂∂∂=-∂∂∂， （11）sin cos v R R rrrθθθ∂∂∂=+∂∂∂， （12）sin cos v R R θθθφφφ∂∂∂=+∂∂∂， （13）将(10)cos (12)sin (11)cos θθθ⨯+⨯+⨯得cos sin ,cos sin .u v R r r r u v R θθθθφφφ∂∂∂⎧+=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪+=∂∂∂⎪⎩将（9）式代入得1(cos sin ),(cos sin ).v u R r r v u R r r r θθφφθθφ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪--=⎪∂∂∂⎩（14）再把()()()()13cos 11sin ,12cos 10sin ,θθθθ⨯-⨯⨯-⨯得cos sin ,cos sin .vu r v u R rr rθθθφφφθθθ∂∂∂⎧-=⎪∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪-=⎪∂∂∂⎩ （15） 比较（14）式与（15）式，得,.RrR r R r rR θφθφ∂∂∂∂∂∂∂∂⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ （16）（16）就是我们所需要的Cauchy-Riemann 方程．定理3． 3． 2[5] 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程,.R R x y R R y x θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩证： 设()()()(),,cos sin f z u x y iv x y R i θθ=+=+是z x iy =+在D 区域内的解析函数，于是有Cauchy-Riemann 方程的实形式,u v u vxy y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂． 而cos ,sin ,u R v R θθ==所以cos sin ,u R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R yyrθθθ∂∂∂=-∂∂∂cos sin ,u R R yyyθθθ∂∂∂=-∂∂∂sin cos .v R R xxxθθθ∂∂∂=-∂∂∂故cos sin sin cos ,R R R R x xy y θθθθθθ∂∂∂∂-=+∂∂∂∂ (17)cos sin sin cos .R R v R R yyx xθθθθθ∂∂∂∂-=--∂∂∂∂（18） 将（17），（18）两式分别乘以cos θ，sin θ或sin θ，cos θ-再相加，得,.R R x y R R yx θθ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （19）（19）式就是所需求的Cauchy-Riemann 方程．下面推导在条件之下的()f z 的导数表达式．因为(cos sin )(sin cos )11'()()(cos sin )(cos sin )uv R R i R i R Rx x x x x x f z if z R i R i R x x θθθθθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂+-++∂∂∂∂∂∂∂∂===+++∂∂，所以1'()()()R f z f z i R x xθ∂∂=+∂∂． 若我们应用（19）式，则有1'()()()Rf z f z i y R y θ∂∂=-∂∂．参考文献：[1]刘声华，潘吉富，郑基允．复变函数[M]．长春：吉林教育出版社 1988．[2]钟玉泉．复变函数论(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1988．[3]L V 阿尔福斯．复分析[M]．上海：上海科学出版社，1984．[4]谭小江，伍胜健复变函数简明教程[M]．北京：北京大学出版社，2006．[5]Jerrld E Maislen． Basic complex analysis[M]．Freeman W H ahd Company， 1973致谢本论文是在湖州师范学院张孝惠老师精心指导下完成的．从最初的论文选题到论文初稿的修改乃至最后的定稿都倾注了这位老师的大量心血．整个毕业论文阶段的学习使我受益非浅，特此向张老师表示深深的敬意和诚挚的感谢！此外，还要感谢刘太顺教授，是他给我打下了坚实的复变函数基础，在理论上给予我很大的帮助；感谢同寝室一起学习的同学给予我的关心和支持，感谢湖州师范学院多年来对我的教育、培养．在此，我向各位给予我帮助支持的领导、老师、同学、亲人致以最真挚的谢意，谢谢大家！。
柯西黎曼方程
柯西黎曼方程我们已经对复变函数的概念有了基本的认识。
但是，在物理学的研究中，在工程技术的应用计算中，人们往往不是对所有的复变函数感兴趣，而是只对一类有特殊性质的复变函数感兴趣，这一类有特殊性质的复变函数被称为解析函数。
设w=f(z)是区域G内的单值函数，如果在G内某点z处以下的极限存在：则函数在该点可导，称此极限是函数在该点的导数，记为f'(z)。
需要注意的是，只有当Δz以任意方式趋于零时，极限值相等，极限才会存在。
利用这个要求就能够得到函数可导的必要条件。
考虑自变量的两种特殊的变化方式：第一种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于实轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成第二种变化方式是让自变量的增量Δz沿着平行于虚轴的方向趋于零。
在这种情况下，上述极限如果存在，就可以写成另一方面，上述极限如果存在，那么，自变量按这两种方式变化得到的两个极限值必须相等！由此得到：我们把这两个等式称为柯西―黎曼方程。
如果一个函数在区域G内每一点都可导，它就是G内的解析函数。
由这个定义可知，解析函数在其定义域内处处满足柯西―黎曼方程。
或者可以这样说，如果一个复变函数在某个区域内处处满足柯西—黎曼方程，这个复变函数就是一个定义在这个区域内的解析函数。
柯西—黎曼方程把一个解析函数的实部与虚部联系起来，这意味着并不是随便找两个二元实变函数就可以构造出一个解析函数。
一个特定的二元实变函数，只能与另一个特定的二元实变函数配对，才能成为某个解析函数的实部和虚部。
利用解析函数的实部和虚部的这种相互关联性，对一个特定的二元实变函数，可以通过柯西—黎曼方程找到与它配对的另一个二元实变函数。
如果有一个二元实变函数u(x,y)，我们希望用这个函数做实部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的虚部的全微分：同样，如果有一个二元实变函数v(x,y)，我们希望用这个函数做虚部构造一个解析函数，就可以通过柯西—黎曼方程得到这个解析函数的实部的全微分：我们知道，只要知道了一个函数的全微分，就可以通过积分求出这个函数本身。
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质.doc.gzip
第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广与牛顿-莱布尼茨积分不同，柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。
由于本篇中暂时避开了近代极限理论，所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。
同样，关于柯西-黎曼积分的性质，我们也只能用几何图形来说明。
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质1.柯西-黎曼积分的定义 设函数)(x f 定义在区间[,]a b 上.首先用分点：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=把区间[,]a b 划分成n 个小区间，并用nx∆表示最大小区间的长度。
柯西在19世纪初，建议把函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为“极限”1101lim()()()d nnb i i i xai f xx x f x x --∆→=-=∑⎰（图4-1）【注意】不能把其中的0nx ∆→改写为n →∞，因为n →∞时不一定有0nx ∆→。
后来，德国数学家黎曼(Riemann ，1826─1866 )又把柯西关于积分的定义做了修改。
现在，国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2)：设函数)(x f 定义在有限(开、闭或半开半闭)区间b a ,上。
第一步，用任意划分方法(记为P )把区间,a b 划分成n 个小区间：图4-11n -1x图4-2n -1i -1i 101211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=第二步，在每一个小区间上都任意取一点，如在第i 个小区间],[1i i x x -上取的那一点记为i ξ，做出积分和121(P;,,,)()nn n n iii f x σσξξξξ===∆∑ 1()iii x x x-∆=-第三步，让所有小区间都无限变小，即让最大小区间的长度0nx∆→，若有极限1lim()n niix i f x ξσ∆→=∆=∑而且与区间的划分方法P 和每一个小区间上那一点(1)i i n ξ≤≤的选取方法都无关，则称函数()f x 在区间,a b 上可积分(简称可积)，并称极限值01lim()()d nnb iixai f x f x xξσ∆→=∆==∑⎰(4-1)为函数)(x f 在区间b a ,上的积分。
大学物理-复变函数的导数与解析性
又
得微分公式
(微分与导数的关系)
二、柯西——黎曼条件 (C–R 条件)
要解决的问题：给定一函数 w = f (z) = u(x , y) + i v(x, y)，
如何判断 f (z) 在点 z 是否可导？
导数存在的必要条件：
f (z) 在点 z 可导的必要条件是
存在，且
满足 C – R 条件：
证明：由函数导数的定义，z 以任何方式趋于零时,极限
z0 z
故 f (z) 在 z = 0 点不可导。
四、复变函数导数的几何意义 设 w = f (z) 在 z0 可导，即有
复变函数的几何意义：当 z 在 Z 平面沿曲线 L 变动时，w 在 W 平面沿曲线 L' 变动。z, w, f ' (z0) 的表示式：
ห้องสมุดไป่ตู้
由导数的定义式可得：
导数的几何意义： 1. 导数的模 f ' (z0) 表示通过点 z0 的无穷小线段 z，映射 为 W 平面的 w 时，长度的放大系数。 2.导数的辐角 arg f ' (z0) 表示曲线 L 上点 z0 的切线与曲线 L' 上的点 w0 的切线的夹角，即从 Z 平面到 W 平面映射 前后切线的转动角。
同理 f 'y 存在且等于 B，故
(全微分与偏导数及自变量 微分间的关系)
对一元函数，可微与可导是同一回事，而对多元函数，
偏导数存在不一定可微，但在一定条件下，偏导数与可微
性之间密切联系。以下定理说明了这种联系：
定理：若 f 'x (x ,y) 及 f 'y (x ,y) 在点 (x ,y) 及某一邻域内存在， 且在该点它们都连续，则函数 u = f (x,y) 在该点可微。
写出柯西-黎曼条件
写出柯西-黎曼条件柯西-黎曼条件是一个重要的数学实体，它至今仍然被广泛使用。
它由拉文克雷·柯西和威廉·黎曼在十九世纪中叶用来描述函数及其导式的性质，该条件也被称为“可微条件”。
柯西-黎曼条件被广泛用于维护性质在分析和几何方面的研究中，尤其是在实数函数中。
柯西-黎曼条件定义的核心思想是，对于任何函数使f'(x)在任何点x0上可导，该函数就必须满足两个等式：f'(x)=f'(x0)+f''(x)(x-x0)和f'(x)=f'(x0)+f''(x)(x-x0)+较小项。
第一个等式称为“无界微分式”，它说明函数在某点处可微，函数在该点的导数可以用它的原函数和一个无界微分式描述。
第二个等式则说明函数在该点处有一个有限的导数，该等式通常被称为“微分有限式”。
柯西-黎曼条件的另一重要性质是，只有当函数的“微分有效式”条件满足时，函数的导数才存在且连续。
微分有效式是指某个函数的多元微分。
例如，对于一个拥有N个变量的函数，如果其N-1微分都存在且处处可导，则微分有效式就被满足。
柯西-黎曼条件的另一个重要用途是在复杂的数学分析和几何中的应用。
它给出的性质更加精准，能够用来解决多种特殊函数的极限问题，从而优化现有算法的性能。
从几何的角度来说，柯西-黎曼条件的性质可以帮助描述一个函数的几何形状，从而为若干几何图形的设计提供可行解。
从上面可以看出，柯西-黎曼条件是一个非常重要的数学实体，它是分析学中最重要结构之一。
条件的定义给出了函数有效性的充分条件，为多种数学方法的应用提供了基础。
这也使得对函数的理解和探索变得更加便捷，从而有助于更好地探索数学。
数学物理方法1-3
4.若函数在点a不解析,则称点a是f (z)的奇点。 例： 在z=0点无定义，故z=0是f (z)的奇点。
说明：下述情况之一的点z0都是奇点： a. f(z)在点z0无定义或无确定值； b. f(z)在点z0不连续； c. f(z)在点z0不可导； d. f(z)在点z0可导，但找不到某个邻域在其内处处可导。
补充：全微分
对于一元函数 y=f (x)，y关于x微分的特性：
1. 它与自变量的改变成正比；
2. 当自变量的改变趋于零时，它与函数的改变量之差是较
自变量的改变量更高阶的无穷小。 函数的改变量
dy Ax
对于二元函数 u=f(x,y)
函数的微分
定义：若函数 u=f(x,y) 的全改变量Δu可表示为
u( x, y) (4 x 1)dy C 4 xy y C
0
y
与式(3)完全一致，求f (z)的方法与式(5)相同。
(c) 不定积分法。 ux= –4y 对 x 作不定积分，由于被积函数
是二元函数，故“积分常数”应与积分变量x无关，但它 可以是另一变量y的函数，即
(5)
(b) 曲线积分法。由式(2)得
u ( x, y )
( x, y ) (0,0) ( x, y )
(u x dx u y dy ) C [4 ydx (4 x 1)dy] C
(6)
(0,0)
积分分两段进行，即由(0,0)到(x,0)，再到(x, y )在(0,0)段， y=0，dy=0；在(x,0)到(x, y )段，dx=0。由此得
还要求它在某个区域中处处可导。
2.解析函数的实部和虚部通过柯西—黎曼条件互相联 系，并不独立。
例1：讨论f(z)=x + i xy的解析性，即求解其解析区域。 解：1. f (z)可导区域，即u, v可微并满足C–R条件的区域
极坐标形式下柯西-黎曼条件的推导及其运用
极坐标形式下柯西-黎曼条件的推导及其运用推导：柯西-黎曼条件（Cauchy-Riemann Conditions）要求复变函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在矩形或极坐标形式下必须满足下面两个关系：$$\frac{\partial{u}}{\partial{x}}=\frac{\partial{v}}{\partial{y}}$$$$\frac{\partial{u}}{\partial{y}}=-\frac{\partial{v}}{\partial{x}}$$(1)令$z=re^{i\theta}$，其中$r$是极径，$\theta$是极角，于是，$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta, u=u(r,\theta),v=v(r,\theta)$，代入上述两式能得到$$\frac{\partial{u}}{\partial{r}}=\frac{u_\theta}{r}-\frac{v_r}{r}$$$$\frac{\partial{v}}{\partial{r}}=\frac{v_\theta}{r}+\frac{u_r}{r}$$(2)等同于$$\frac{u_r}{r}=\frac{v_\theta}{r}-\frac{u_\theta}{r^2}$$$$\frac{v_r}{r}=-\frac{u_\theta}{r}-\frac{v_\theta}{r^2}$$即柯西-黎曼条件可以写为极坐标形式$$u_r=v_\theta$$$$v_r=-u_\theta$$运用：$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是复变函数，且满足柯西-黎曼条件。
故可以把它重新表示成极坐标形式 $f(z)=u(r,\theta)+iv(r,\theta)$。
这些满足柯西-黎曼条件的复变函数可以表示成微分的形式：$$f(z)=F(z)+C，其中F=f_zdz=u_rdr+v_rd\theta,C为任意常数$$因此，柯西-黎曼条件的极坐标形式可以用于求解更复杂的复变函数等问题。
无穷级数中的柯西定理和黎曼定理
无穷级数中的柯西定理和黎曼定理在《微积分》（上册）第364页上提到柯西定理和黎曼定理，它们说的是绝对收敛级数与非绝对收敛级数（即条件收敛级数）各自的特性或两者的区别。
设有级数121`n n n u u u u ∞==++++∑而它对应的绝对值级数为121`n n n u u u u ∞==++++∑令2n n n u u p +=，2n n n u u q -=，因为0n n p u ≤≤，0n n q u ≤≤，所以若级数1`n n u ∞=∑收敛，则正项级数1n n p ∞=∑和1n n q ∞=∑都收敛（比较判别法），从而级数 1111()n n n n n n n n n u p q p q ∞∞∞∞=====-=-∑∑∑∑也收敛。
此时，称1n n u ∞=∑的收敛性为绝对收敛。
其次，若级数1`n n u ∞=∑发散，但级数1`n n u ∞=∑收敛，则后者的收敛性称为非绝对收敛或条件收敛。
此时，1n n p ∞=∑和1n n q ∞=∑都发散，（反证法）譬如若1n n p ∞=∑收敛，根据111n n n n n n u p q ∞∞∞====-∑∑∑，则1n n q ∞=∑也收敛，从而1`1`1`n n n n n n u p q ∞∞∞====+∑∑∑也收敛，这与1`n n u ∞=∑发散的假设矛盾。
现在，设有收敛的任意项级数121`n n n u u u u S ∞==++++=∑ （★）用任意方式重新配置级数（★）的项的次序（即用任意方法交换它的项的次序），得到新的级数121`k k k u u u u ∞=''''=++++∑ （★★）原来级数的每一项都不遗漏也不重复出现在新级数中，而新级数各项也都是原级数中的项（没有添加新的项），并且认为新级数的项k u '对应原级数的项记为k n u 。
现在所要讨论的问题是：（1）级数（★★）是否仍收敛？（2）若收敛，它是否仍收敛于级数（★）的和数s ？在讨论这两个问题时，必须把级数的绝对收敛与非绝对收敛（即条件收敛）区别开来。
c-r方程 柯西黎曼
在数学分析中，柯西-黎曼方程是复变函数可微性与解析性的必要条件。
它由法国数学家奥古斯丁-路易·柯西和德国数学家伯恩哈德·黎曼独立提出。
柯西-黎曼方程的形式如下：
设f(z)是定义在复数域C上的复变函数，如果在点z0的邻域内存在一个复数w0使得
那么称f(z)在点z0可微，w0称为f(z)在点z0处的导数。
如果f(z)在C的某个开集U内可微，那么称f(z)在U内解析。
柯西-黎曼方程是复变函数解析性的必要条件，但不是充分条件。
也就是说，如果一个复变函数在某一点可微，那么它在这一点解析；但如果一个复变函数在某一点解析，它不一定在这一点可微。
柯西-黎曼方程在复分析中有着广泛的应用。
例如，它可以用来证明高斯积分定理和柯西积分定理，以及研究复变函数的性质。
柯西-黎曼方程是复分析的基础之一，也是数学中一个重要的方程。
下面是柯西-黎曼方程的一些应用：
1. 证明高斯积分定理。
高斯积分定理是指，如果f(z)是定义在复数域C上的连续函数，那么沿圆周C的
积分等于在C内部区域D上的二重积分。
柯西-黎曼方程可以用来证明高斯积分定理。
2. 证明柯西积分定理。
柯西积分定理是指，如果f(z)是定义在复数域C上的连续函数，那么沿圆周C的
积分等于0。
柯西-黎曼方程可以用来证明柯西积分定理。
3. 研究复变函数的性质。
柯西-黎曼方程可以用来研究复变函数的性质，例如，它可以用来证明复变函
数的导数存在，以及复变函数的解析性。
柯西-黎曼方程在复分析中有着广泛的应用。
它是复分析的基础之一，也是数学中一个重要的方程。
不同形式柯西—黎曼方程的比较与分析
厂 ）筹 ｉ 一３ 一 ＋ （ ＝ ｉ＋ ． ａ ｕｖ
如果 我们 设 ＿（ 一ｚ ， ＋ｉ（ ）２ ＇ＣＳ ｓ ｑ （≠Ｏ ， ａ ｃ ｙ Ｒｅ ｎ 厂 ） ） ｗ ｘ， ，＝／ Ｏ ｉ ０ ２ ）Ｃ ｕｈ — ｉ （ － （ ｎ ｍａ ｎ方 程 又可 以写成
一 一
塑 一 一 塑
７ 却 ’ ３ — ｒ ｒ
在此 形式 下 ＿（ ） 厂 ｚ 的导 数可 写 成
） ｒｉ）（ ｓ ｕ ｖ 舅 ｉ ＝ ｑ Ｃ ｉ ３一 【一 ７－ 一Ｏ ｎ ￣ Ｓ ３ ） ｒ Ｔ
上 面两 种 形 式 的 Ｃ ｕ ｈ — ｅ ｎ ａ ｃ ｙＲｉ ｍａ ｎ方 程 ， 我们 分 别 称 为实 形式 与极 坐 标形 式 ． 由于 它们 的直 观性 好 ． 理论 性 强 ， 用广 泛 ， 应 同时 又便 于理 解 和记 忆 ， 以是一 般 国 内外 教材 中重点 介 绍 的对 象 （ ［ —４ ） 另 所 如 １ ２． 外 ， 们 还 清楚 知 道 ， — 我 ｃ Ｒ条 件 只 是 ＿ ｚ 在 点 可 导 的 必 要条 件 ， 厂 ） （ 并非 充要 条 件 ． 因为 导 出 ｃ Ｒ 条 件 时 — 只用 可 导这 个 较 一般 性 条 件 的特 殊情 形 ． 证 明见 Ｅ ］ ４ —４ ） 下 面 在 ｃ Ｒ方 程 上 述 两 种 形 式 的 基础 （ ２Ｐ ７ ９． —
Ｉ ．／ ｕ ￣户 ， 。 ３ ＋３ ， ｕ 一
其 中 十 ≠０ ３ ｕ
， 一
≠ ０ 此 方 程组 的系数 行 列 式 为 ．
Ｏ ｖ
，
３ ｘ
３ ｕ ．Ｏ ｖ ３ｘ 。３ｖ ｚ
ｖ
Ｏｖ
Ｏ Ｊ ｆ － Ｊ ｖ ｌ ｆ 一 １ ｌｘ。 塑１ 塑４ ３ ．
解析函数
【证明】设 f (z) zn ，故
f (z z) f (z) (z z)n zn
z[nzn1 n(n 1) zn2z (z)n1] 2
lim f (z z) f (z) nzn1
z 0
z
例 2.1.2 讨论函数 f (z) z 在复平面上的可导性.
【解】由
f (z z) f (z)
即 ux v y，显然在复平面处处不满足C-R条件，故 原函数在复平面处处不可导。 说明：上述例题告诉我们，用C-R条件来判断函数不 可导是方便的．但当满足C-R条件时，函数就一定可 导吗？
例2.1.4 讨论函数w f (z) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足.
1. 直角坐标形式的柯西—黎曼条件
即已知一个函数可导，得出其必须满足的条件.
设w f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内可导，则
由函数可导的定义，使用直角坐标，考察沿两个不同的方
向 z 0 ，得到的极限值应该相等.
注意到：
f (z z) f (z) z
u(x x, y y) iv (x x, y y) [u(x, y) iv (x, y x iy
其中 令 由上式得
lim (z) 0
z 0
f (z z) f (z) u i v ,
f (z) a i b, (z) 1 i 2
u i v (a ib)(x i y) (1 i 2)(x i y) (ax by 1x 2y) i(bx ay 2x 1y)
iz z
由于沿 e方向和沿 er 方向的导数应该相等，比较可 得极坐标形式的柯西－黎曼条件 (2.1.10)。
柯西-黎曼的四种不同形式
1 研究柯西-黎曼不同形式的目的1.1 柯西-黎曼定义在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：u v x y ∂∂=∂∂ (1) u v y x ∂∂=-∂∂ (2)柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。
通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。
假设u 和v 在开集C 上连续可微。
则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。
1.2 柯西-黎曼不同形式形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是y v x u ∂∂=∂∂， xvy u ∂∂-=∂∂，简称..R C -方程，是它的实形式[1]。
形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ϕϕi r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成,1ϕ∂∂=∂∂u r v u ϕ∂∂-=∂∂ur r v 1， 称之为它的极坐标形式[1]。
形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_则)(21),(21__z z iy z z x -=+=于是有).2,2(),()(__i zz z z f y x f z f -+===ωz 和_z 视为独立变量且为函数，最终形式为0_=∂∂zf ，称之为它的复形式[1]。
形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成(,)0gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨=⎪⎩的形式，称之为它梯度形式[1]。
分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。
函数解析的充要条件及Cauchy-Riemann方程的不同形式
函数解析的充要条件及Cauchy-Riemann方程的不同形式程希伟【摘要】解析函数是复变函数论中最基本的概念之一，在这里给出了五个函数解析的充要条件，还推导出函数解析的另一个充要条件，并探讨出Cauchy-Riemann方程另外两种形式。
【期刊名称】《赤峰学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)013【总页数】2页(P7-8)【关键词】解析函数;充要条件;柯西黎曼方程【作者】程希伟【作者单位】淮南师范学院数学与计算科学系，安徽淮南 232038【正文语种】中文【中图分类】O174.5引理1函数在区域D内解析的充要条件是：二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内可微且u(x,y)，v(x,y)在D内满足C.-R.方程.引理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是:ux,uy,vx,vy在D内连续且u(x,y)，v(x,y)在D内满足C.-R.方程.引理3函数f(z)在区域G内解析的充要条件是：f(z)在G内连续；且对任一周线C，只要C及其内部全含于G内，就有引理4函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是：在区域D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.引理5函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是：f(z)在D内任一点a的邻域内可展成z-a的幂级数.函数f(z)=u+iv解析的充分必要条件fz¯=0.证明必要性而f(z)是解析函数，由C.-R.得，ux-vy=0，uy+vx=0,代入(4)即fz¯=0.必要性:证毕.3.1 极坐标下的柯西黎曼方程为证明若f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)=x+iy f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)而f(z)=p(x,y)+iq(x,y)解析，C.-R.方程为px=qy；py=-qx即将(1·)x+(2·)y得=vθ，即rur=vθ.将(1·)y+(2·)x得，即rvr=uθ.极坐标下柯西黎曼方程为那么极坐标这下函数解析的充要条件可改写为，且u,v可微.3.2 Cauchy-Riemann方程的梯度形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)v(x,y)的Cauchy-Riemann方程的梯度形式为证明在代数形式下的柯西黎曼方程为ux=vy，uy=-vx，那么有其中e1,e2是与x,y轴正向相同的单位矢量.所以已知调和函数v(x,y)，以v(x,y)为虚部的解析函数证明因为v(x,y)是调和函数，共轭关系知存在u(x,y)使得f(z)=u+iv在D内解析，取D内任一点z0，那么f(z)在z0的某一邻域内可展开为其收敛半径为R,必有将(5)(6)代入(4)中有将ε换成z得出以下结论同理有已知u(x,y)是单连通区域D内的调和函数，z0为D内任一点，则在D内以u(x,y)为实部的解析函数为〔1〕钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.〔2〕杨纶标，郝志峰.复变函数[M].北京：科学出版社，2003.。
柯西-黎曼例题
柯西-黎曼例题柯西-黎曼例题是一个普遍存在的数学知识点，也是一个重要的数学思想和方法，它在近代数学界有着深远的影响。
柯西-黎曼例题是20世纪以来数学发展中被广泛使用的技术，被称为“最微不足道的法则”，它在数学领域的使用影响深远，涉及到数学基础理论构建、数学建模等。
柯西-黎曼例题是由20世纪的德国数学家黎曼提出的一种数学方法，它的核心思想是对一个问题的研究，应该从若干个特定的细节例题中开始，以便在其中寻求全面的理论。
而这些特定的例题，就是我们所说的柯西-黎曼例题。
柯西-黎曼例题包括三个主要部分：四边形定理、三角形定理和多边形定理。
四边形定理是柯西-黎曼例题中最为常见的一个定理，它表述如下：每一个三角形都有两个对角线，这两个对角线的交点就是四边形的顶点，四边形的面积等于四边形的对角线的乘积的一半。
四边形定理的意思是说，只要给定了三角形的两个边和它们的夹角，就可以求出四边形的面积。
三角形定理是柯西-黎曼例题中最为重要的一个定理，它表述如下：每一个三角形都有三个顶点，各边的平方和等于两条相距最远的边的平方与其他两边的乘积。
三角形定理的意思是说，只要给定了三角形的三条边，就可以求出它的面积。
多边形定理是柯西-黎曼例题中最为复杂的一个定理，它表述如下：对一个多边形的所有内角的和，等于（n-2）*180度，其中n为多边形的边数。
多边形定理的意思是说，只要给定了多边形的边数，就可以求出多边形的内角之和。
柯西-黎曼例题广泛被应用于数学领域，在数学基础理论构建方面，它作为数学定理推导的基础知识，被广泛用于推导复杂的数学定理。
此外，柯西-黎曼例题还被广泛用于数学建模，用于解决复杂的优化问题，求解最优解的各种方式，以及解决统计计算问题。
柯西-黎曼例题在当今数学领域依然保持巨大的影响力，它是一项技术性的、细节化的构建工作，也是一个有效的方法，用于构建复杂的数学定理，求解复杂的数学问题，给数学建模带来更多的可能性。
柯西-黎曼例题，作为近代数学发展史上一个重要的技术，已被广泛用于数学基础理论构建、数学建模以及优化求解等各个方面，特别是在构建复杂的数学定理方面，它的作用是不可忽视的。
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1 研究柯西-黎曼不同形式的目的
1.1 柯西-黎曼定义
在一对实值函数),(y x u 和),(y x v 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程：
u v x y ∂∂=
∂∂ (1) u v y x ∂∂=-∂∂ (2)
柯西-黎曼方程是函数在一点可微的必要条件。
通常，u 和v 取为一个复函数的实部和虚部：),(),()(y x iv y x u iy x f +=+。
假设u 和v 在开集C 上连续可微。
则iv u f +=是全纯的，当且仅当u 和v 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1)和(2) [1]。
1.2 柯西-黎曼不同形式
形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是
y v x u ∂∂=∂∂， x
v
y u ∂∂-=∂∂，
简称..R C -方程，是它的实形式[1]。
形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ϕϕi r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成
,1ϕ∂∂=∂∂u r v u ϕ
∂∂-
=∂∂u
r r v 1， 称之为它的极坐标形式[1]。
形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_
则
)(21
),(21_
_z z i
y z z x -=+=
于是有
).2,2(
),()(_
_i z
z z z f y x f z f -+===ω
z 和_
z 视为独立变量且为函数，最终形式为
0_
=∂∂z
f ，
称之为它的复形式[1]。
形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成
(,)0gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨
=⎪⎩
的形式，称之为它梯度形式[1]。
分析出了柯西-黎曼方程的四种不同形式，为我们进一步探讨复变函数中柯西-黎曼方程的应用奠定坚实的基础[2]。
2 研究柯西--黎曼方程的应用的目的
在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。
利用柯西-黎曼方程判断一个复变函数的解析性，是非常简单的事。
反过来用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常繁琐的事。
同时已知一解析函数的实部（或虚部），利用柯西-黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部（或实部），从而得到函数的表达式。
定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点
iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v y u ∂∂-
=∂∂[4]。
定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v y u ∂∂-
=∂∂[4]。
定义一 如果实二元函数(,)H x y 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程0H ∆=，即222222
220
u u x y
v v x y
⎧∂∂+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩，则称(,)H x y 为在区域D 内的调和函数[4]。
定义二 在区域D 内满足..R C -方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v
y u ∂∂-=∂∂
的两个调和函数,u v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数[4]。
定理三 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内(,)v x y 必为
),(y x u 的共轭调和函数[4]。
定理四 设),(y x u 是在单连通区域D 调和函数,则存在由式
00(,)
,)((,)x y x y u u
v x y dx dy C y x
∂∂=-
++⎰∂∂所确定的函数(,)
v x y ,使+u iv f =是D 内解析函数
[4]。
利用定理一可以判断函数在一点的可导性，定义二、三认识柯西-黎曼方程的性质，而利用定理二、三、四可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。
形式一：在复变函数中，设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，则柯西-黎曼方程形式是
y v x u ∂∂=∂∂， x
v
y u ∂∂-=∂∂，
简称..R C -方程，是它的实形式[1]。
形式二：设函数)sin (cos ),(),()(θθi R y x iv y x u z f +=+=是)sin (cos ϕϕi r z +=在D 区域的解析函数，..R C -也可写成
,1ϕ∂∂=∂∂u r v u ϕ
∂∂-
=∂∂u
r r v 1， 称之为它的极坐标形式[1]。
形式三：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，iy x z +=,iy x z -=_
则
)(21
),(21_
_z z i
y z z x -=+=
于是有
).2,2(
),()(_
_i z
z z z f y x f z f -+===ω
z 和_
z 视为独立变量且为函数，最终形式为
0_
=∂∂z
f
称之为它的复形式[1]。
形式四：设函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其可写成
(,)0gradu gradv gradu gradv =⎧⎪⎨
=⎪⎩
的形式，称之为它梯度形式[1]。
定理一 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内一点
iy x +可导的充要条件是),(y x u 和),(y x v 在点),(y x 可微，并且在该点满足柯西-黎曼方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v y u ∂∂-
=∂∂[4]。
定理二 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 内，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在D 内可微，并且满足柯西-黎曼方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v y u ∂∂-
=∂∂[4]。
定义一 如果实二元函数(,)H x y 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普
拉斯方程0H ∆=，即222222
220
u u x y
v v x y
⎧∂∂+=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩，则称(,)H x y 为在区域D 内的调和函数[4]。
定义二 在区域D 内满足..R C -方程
y v x u ∂∂=∂∂，x
v
y u ∂∂-=∂∂
的两个调和函数,u v 中，v 称为u 在区域D 内的共轭调和函数[4]。
定理三 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则D 内(,)v x y 必
为),(y x u 的共轭调和函数[4]。
定理四 设),(y x u 是在单连通区域D 调和函数,则存在由式
00(,)
,)((,)x y x y u u
v x y dx dy C y x
∂∂=-
++⎰∂∂所确定的函数(,)v x y ,使+u iv f =是D 内解析函数[4]。
以上都附带适当证明,还有一些经典、精辟例题。