沪教版九年级数学第一学期-基础知识点汇总

2019年九年级第一学期基础知识点汇总

第一章 相似三角形

知识点一：比例线段

关键点拨与对应举例

1. 比例

线段

!

在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即

a c

b d

=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．

列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.

2.比例

的基

本性质

(1)基本性质：a c

b d =⇔ ad ＝b

c ；（b 、

d ≠0）

(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d

d

±；（b 、d ≠0）

(3)等比性质：

a c

b d =＝…＝m

n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c m

b d n

++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）

# 已知比例式的值，求相关字母代数式的值，

常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若

35a b =，则a b b +=85

. 3.平行线分线段成比例定理 （1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线

段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则

AB DE

BC EF

=

. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要

使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于5

3

.

（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边

的延长 线)，所得的对应线段成比例.

） 即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB

OD OC

=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.

4.

黄金

分割

点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－1

2≈，那么

线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC

与AB 的比叫做黄金比．

( 例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，

那么较长线段长为5(5－1)cm ．

知识点二 ：相似三角形的性质与判定

5.相似三角形的判定

(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).

如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. 判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条

件中若有一对等角，可再找一对等角或再找

:

夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中

若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件

(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB

DF DE

=

，则△ABC ∽△DEF. F E D C

B A l 5

l 4

l 3l 2

l 1O

D

C

B

A

E

D C

B

A

F

E

D

C B A

F

E

D

C B A

(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如

图，若AB AC BC

DE DF EF

==，则△ABC∽△DEF.

中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证

明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有

等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等

或找底、腰对应成比例.

6.相似

三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等

于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为

3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面

积之比为9：4.

(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,

已知S△ADE:S△ABC=1:4，则

AF:AG=1：2.

7.相似

三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图

形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.

（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经

常把等积式化为比例式，把比例式的四条

线段分别看做两个三角形的对应边.然

后，通过证明这两个三角形相似，从而得

出结果.

]

第二章解直角三角形

知识点一：锐角三角比的定义关键点拨与对应举例

1.锐角三角比正弦: sin A＝

∠A的对边

斜边

＝

a

c

余弦: cos A＝

∠A的邻边

斜边

＝

b

c

正切: tan A＝

∠A的对边

∠A的邻边

＝

a

b

.

}

根据定义求三角函比时，一定根据题

目图形来理解，严格按照三角比的定

义求解，有时需要通过辅助线来构造

直角三角形.

2.特殊角的三角比

度数

三角比

30°45°60°

> sinA

1

2

2

2

3

2

F

E

D

C

B

A