2019-2020年高考数学复习 第91课时 第十一章 概率与统计率-抽样方法、总体分布的估计名师精品教案

2019-2020年高考数学复习 第91课时 第十一章 概率与统计率-抽样方

法、总体分布的估计名师精品教案

课题：抽样方法、总体分布的估计

一．复习目标：抽样方法、总体分布的估计

1．会用简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法等常用方法从总体中抽取样本； 2．了解统计的基本思想，会用样本频率估计总体分布． 二．知识要点：

1．（1）统计的基本思想是 ． （2）平均数的概念 ． （3）方差公式为 ． 2．常用的抽样方法是 ．

三．课前预习：

1．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ B ） 分层抽样法，系统抽样法 分层抽样法，简单随机抽样法 系统抽样法，分层抽样法 简单随机抽样法，分层抽样法 2．已知样本方差由，求得，则．

3．设有个样本，其标准差为，另有个样本，且

，其标准差为，则下列关系正确的是 （ B ）

4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调

查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的

课外阅读时间为 （ B ）

0.6小时 0.9小时

1.0小时 1.5小时

5．是的平均数，是的平均数，是的平均数，则，，之间的关系为．

6．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则．

7．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，

时间(小时)

组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同，若，则在第7组中抽取的号码是 63 ．

8．在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他个小长方形的面积之和的，且样本容量为，则中间一组的频数为 32 ．

四．例题分析：

例1．某中学有员工人，其中中高级教师人，一般教师人，管理人员人，行政人员人，从中抽取容量为的一个样本．以此例说明，无论使用三种常用的抽样方法中的哪一种方法，总体中的每个个体抽到的概率都相同．

解：（1）（简单随机抽样）可采用抽签法，将人从到编号，然后从中抽取个签，与签号相同的个人被选出．显然每个个体抽到的概率为．

（2）（系统抽样法）将人从到编号，，按编号顺序分成组，每组人，先在第一组中用抽签法抽出号（），其余组的也被抽到，显然每个个体抽到的概率为． （3）（分层抽样法）四类人员的人数比为，又

，所以从中高级教师、一般教师、管理人员、行政人员中分别抽取人、人、人、人，每个个体抽到的概率为．

例2．质检部门对甲、乙两种日光灯的使用时间进行了破坏性试验，10次试验得到的两种日光灯的使用时间如下表所示，问：哪一种质量相对好一些？

解：甲的平均使用寿命为：

10

1

214032130321202211012100?+?+?+?+? ＝2121（h ），

甲的平均使用寿命为 ：

＝10

1214022130521201211012100?+?+?+?+?＝2121（

h ），

甲的方差为：＝10

1999191142122222+?+?+?+＝129（h 2

），

乙的方差为：＝

10

1

2140

2

2130

5

2120

1

2110

1

2100?

+

?

+

?

+

?

+

?

＝109（h2），

∵＝，且＞，∴乙的质量好一些．

（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；

（2）画出频率分布直方图；

（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．

解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：

（2）频率分布直方图如下：

（3）根据累积频率分布，小于134的数据约占．

五．课后作业：

1．一个单位有职工160人，其中业务人员96人,管理人员40人，后勤人员24人，为了解职工身122 126 130 134 138 142 146 150 154 158 身高（cm）

体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样,则管理人员应抽到多少个 （ ）

2．欲对某商场作一简要审计，通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销售总额.现采用如下方法：从某本50张的发票存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号，115号，165号，…发票上的销售额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法是 （ ） 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 其它方式的抽样

3．在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则等于 （ ） 与无关

4．一个总体的个数为，用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本，个体第一次未被抽到，个体第一次未被抽到第二次被抽到，以及整个过程中个体被抽到的概率分别是 .

5．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量 .

6.有一组数据：)(,,,,321321n n x x x x x x x x ≤≤≤≤ ，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的，余下数据的算术平均值为11,则关于n 的表达式为 ；关于的表达式为 .

7．为了比较甲、乙两位划艇运动员的成绩，在相同的条件下对他们进行了6次测验，测得他们的平均速度（）分别如下：

甲：2.7 3.8 3.0 3.7 3.5 3.1 乙：2.9 3.9 3.8 3.4 3.6 2.8 试根据以上数据，判断他们谁更优秀．

8

（1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30的概率．

9．100名学生分四个兴趣小组参加物理、化学、数学、计算机竞赛辅导，人数别是30、27、23、20． （1）列出学生参加兴趣小组的频率分布表； （2）画出表示频率分布的条形图．

2019-2020年高考数学复习 第92-93课时 第十二章 极限-数列的极限、

数学归纳法名师精品教案

一知识要点

（一） 数列的极限

1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作.

2.运算法则：若、存在，则有

lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞

→∞

→∞

?=?

)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞

→∞→∞→n n n n n

n n

n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=??

?

??-=>=<=∞

→)11()

1(1)

1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设、分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为、且,则

???

????>=<=∞→)()()(0)

()(lim q p q p b a q p n g n f q

p

n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： （|q|<1）

无穷数列{a n }的所有项和： （当存在时）

（二）数学归纳法

数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数 成立。

②假设命题对n=k(k ≥)时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 的自然数,命题都成立。

二、例题（数学的极限） 例1.（1）= ;

2）．数列{a n }和{b n }都是公差不为0的等差数列，且=3,则= （3.）(a>1)= ;

（4）．2221321

lim()111

n n n n n →∞-++++++= ;

（5）.= ;

（6）．等比数列{a n }的公比为q =─1/3,则= ; 例2．将无限循环小数；1.32化为分数.

例3．已知,求实数a,b 的值;

例4．数列{a n },{b n }满足(2a n +b n )=1, (a n ─2b n )=1,试判断数列{a n },{b n }的极限是否存在，说明理由并求(a n b n )的值.

例5．设首项为a ，公差为d 的等差数列前n 项的和为A n ,又首项为a,公比为r 的等比数列前n 项和为G n ,其中a ≠0,|r|<1.令S n =G 1+G 2+…+G n ,若有=a,求r 的值.

例6．设首项为1，公比为q(q>0)的等比数列的前n 项之和为S n ,又设T n =,求.

例7．{a n }的相邻两项a n ,a n+1是方程x 2

─c n x+=0的两根，又a 1=2,求无穷等比c 1,c 2,…c n , …的各项和.

例8．在半径为R 的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

例9．如图，B 1，B 2，…，B n ,…顺次为曲线y=1/x(x>0)上的点，A 1，A 2，…，A n …顺次为ox 轴上的点，且三角形OB 1A 1，三角形A 1B 2A 2，三角形A n─1B n A n 为等腰三角形（其中∠ B n 为直角),如果A n 的坐标为(x n ,0).

(1)求出A n 的横坐标的表达式; (2)求.

二．例题（数学归纳法） 例1．用数学归纳法证明2n

n= ; 例2．用数学归纳法证明)1,(,1

21

31211>∈<

-++++

n N n n n ,第一步验证不等式 成立；

例3.是否存在常数a,b,c,使得等式1·22

＋2·32

＋……＋n(n ＋1)2

＝(an 2

＋bn ＋c)对一切自然数n 成立？并证明你的结论.(89年)

例4.已知数列{a n }=,记S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ,用数学归纳法证明S n =(n+1)a n -n.

例5．证明：> (n ∈N,n ≥2)

例6．证明：x n ─na n─1x+(n─1)a n 能被(x─a)2

整除(a ≠0).

例7.在1与2之间插入个正数，使这个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数使这个数成等差数列．记n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,．

（Ⅰ）求数列和的通项；（Ⅱ）当时，比较与的大小，并证明你的结论．

例8．若数列{a n }满足对任意的n 有：S n =,试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论.

例9．已知数列是等差数列，b b b b 112101145=+++=，…。

（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设数列的通项（其中，且），记是数列的前n 项和。试比较与的大小，并证明你的结论。

练习（数列的极限）

1. 已知{a n }是等比数列,如果a 1＋a 2＋a 3＝18,a 2＋a 3＋a 4＝－9,S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n ,那么的值等于( )(89年)

(A)8 (B)16 (C)32

(D)48

2. )]2

1

1()5

11)(411)(311([lim +-

---∞

→n n n 的值等于( )(91年) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

3.在等比数列{a n }中,a 1＞1,且前n 项和S n 满足,那么a 1的取值范围是( )(98年) (A)(1,＋∞)

(B)(1,4)

(C)(1,2)

(D)(1,)

7.lim(n n n

n

→∞++++++236236236222 )等于 ( )

(A)0 (B) ∞ (C) (D)5 8．等于：（A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）2

9． 已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1=1,公比为q ,前n 项和为S n ,=1,则公比q 的

取值范围是：

（A ）.q ≥1 （B ）.01

10.????

?

?++?++++∞→32323221lim n n n n n n n n 的值为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在

11.已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，那么等于___. 12.已知等差数列{a n }的公差d ＞0，首项a 1＞0，S ＝______.(93年) 13.如果存在，且，则＝________ 14.＝____________.(86年) 15.)1

n 2n

1n 31n 21n 1(

lim 2222n ++++++++∞

→ ＝____________.(87年) 16.已知等比数列{an}的公比q ＞1，a 1＝b(b ≠0)，则＝___. 17．求= （a >0);

18．数列,,,…的前n 项和及各项和S= .

19.n

n n 2

1)1(21211212121122?-+-+-++++

.= . 20.已知数列a 1,a 2,……a n ,……的前项和S n 与a n 的关系是S n ＝－ba n ＋1－,其中b 是与n 无关的常数,且b ≠－1； Ⅰ.求a n 和a n ＋1的关系式; Ⅱ.写出用n 和b 表示a n 的表达式; Ⅲ.当0＜b ＜1时,求极限S n .(87年)

21．在边长为a 的正方形ABCD 中内依次作内接正方形A i B i C i D i (i=1,2,3,…),使内接 正方形与相邻前一个正方形的一边夹角为α,求所有正方形的面积之和.

22．已知直线L ：x─ny=0(n∈N),圆M ：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线φ:y=(x─1)2

,又L 与M 交于点A 、B ，L 与φ交于点C 、D ，求.

23.设a 1)n(n 3221n +++?+?= (n ＝1,2,3……),b (n ＝1,2,3……),

用极限定义证明.(85年)

练习（数学归纳法）

1．由归纳原理分别探求：

(1)凸n 边形的内角和f(n)= ;

(2)凸n 边形的对角线条数f(n)= ;

(3)平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f(n)= .

2．平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成f(n) 个区域，则f(n+1)=f(n)+ .

3．当n 为正奇数时，求证x n +y n

被x+y 整除，当第二步假设n=2k─1时命题为真，进而需验证n= ，命题为真。

4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n

?1?2?3?…(2n─1)(n∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .

5.用数学归纳法证明：a n+1+(a+1)2n -1可以被a 2

+a+1整除(n ∈N).

6．若a i >0(i=1,2,3,…,n),且a 1+a 2+…+a n =1,证明：a 12+a 22+…+a n 2

≥. (n ≥2,n ∈N)

7．已知A n =(1+lgx)n ,B n =1+nlgx+lg 2

x,其中n ∈N,n ≥3,,试比较 A N 与B n 的大小.

8．数列{a n }中，n

a a a a a n n n n 122,12,211+<<+=

=+试证：.

9.试证：不论正数a,b,c 是等差数列还是等比数列，当n>1,n ∈N 且a,b,c 互不相等时，

都有a n +c n >2b n

.(n ∈N).

10.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,S n =n 2

a n (n ∈N), (1) 试求出S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表达式； (2) 证明你的猜想，并求出a n 的表达式。

11．已知{a n }满足：(n─1)a n+1=(n+1)(a n ─1),a 2=6,b n =n+a n (n ∈N).(1)求出b n 的通项公式， (2)是否存在非零常数p 、q 使数列{}成等差数列？若存在，试求出q 、q 的关系， 若不存在，说明理由.