动点与平行四边形存在性问题(解析版)

专题动点与平行四边形存在性问题大视野

【例题精讲】

题型一、平行四边形存在性问题

例1. 【2019·长沙市天心区期中】如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=√5．

（1）求点C的坐标；

（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；

（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】

解：（1）由题意得：A（3，0），B（0，6），设直线AB解析式为：y=kx+b，

∴

30

6

k b

b

+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得：

2

6

k

b

=-

⎧

⎨

=

⎩

，

∴直线AB解析式为：y=-2x+6，联立：y=-2x+6，y=2x，

解得：

3

2

3

x

y

⎧

=

⎪

⎨

⎪=

⎩

，

∴点C坐标为：（3

2

，3）.

（2）过点D作DG∴x轴于点G，过点P作PH∴x轴于点H，

设点D（m，2m）

∴OD=√5，

∴m2+（2m）2=5

解得：d=1，或d=-1（舍），

∴D（1，2），DG=2，

可得直线AD的解析式为：y=-x+3，

∴点P在线段AD上，且横坐标为x，

∴OH=x，PH=y P=-x+3，

∴S=S∴AOD-S∴AOP

=1

2

OA•DG-

1

2

OA•PH

=1

2

OA（DG-PH）

=33 22 x-.

（3）存在．

∴当OD为平行四边形的边时，

∴|y F|=y D=2

即：|-2x+6|=2，

解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

∴当OD为平行四边形的对角线时，

∴DF∴x轴，y F=y D=2，

∴F（2，2），

综上所述，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）．

题型二、特殊平行四边形（矩形）存在性问题

例1. 【2019·武汉市期中】如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为0.5cm/s．

（1）证明：当E在AO上运动，F在CO上运动，且E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形；（2）点E，F在AC上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形？如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：

（1）当E与F不重合时，四边形DEBF是平行四边形，

理由：

由题意知，AE=CF，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC，

∴OA-AE=OC-CF，

∴OE=OF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）当运动时间t=4或28时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形，

理由：

分为两种情况：∴∴四边形DEBF是矩形，

∴BD=EF=12，即AE=CF=0.5t，

则16-0.5t-0.5t=12，

解得：t=4；

∴当E到F位置上，F到E位置上时，

AE-AF=AC-CF，

即0.5t-12+0.5t=16，

解得：t=28，

即当运动时间t=4s或28s时，以D、E、B、F为顶点的四边形是矩形.

例2. 【2019·禹城市期末】如图，在∴ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∴ACB的角平分线于点E，交∴ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为．

【答案】见解析．

【解析】（1）证明：∴EF∴BC，

∴∴OEC＝∴BCE，

∴CE平分∴ACB，

∴∴BCE＝∴OCE，

∴∴OEC＝∴OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：

由（1）得：EO＝FO，

∴O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∴EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

（3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形，

∴∴AEC＝90°，

由勾股定理得：AC5，

S∴ACE＝1

2

AE×EC＝

1

2

×3×4＝6，

∴122+52＝132，