第4章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

图4-7 辅助平面法作图原理
例：求作如图所示部分球体与圆锥台的相贯线。
(1) 空间分析及投影分析：
部分球体为 1／4 球前后对称地切去两块而成，圆锥台的轴 线垂直于水平面但不通过球心，其相贯线为前后对称的封闭空 间曲线。因为球与锥台的各投影都没有积聚性 , 故需用辅助平 面法求作相贯线。
(2) 作图：
② 作一般位置点。 在点I、III的高度范围 内 , 选取水平面 R 为辅助平 面,平面R与球及圆锥台的截 交线分别是以r2、r3为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅴ、Ⅵ 就是相贯线上的点。先求出 水 平 投 影 5 、 6, 然 后 找 到 5′、 6′和 5" 、 6", 如图 (d)所示。
③ 依次光滑连接各点的 投影, 并判别可见性, 完 成相贯线的投影。最后 注意，圆锥台左视轮廓 素线画到2"、4"两点， 球体左视轮廓素线上有 一段虚线, 如图 (e)所示。
① 辅助平面法的实质， 是求辅助平面分别截两立 体所得截交线的交点。
② 辅助平面位置选取的原则，是使辅助平面分别 截两立体所得截交线的形状最简单(直线和圆)，以便用 工具作图。
例：求轴线正交的水平圆柱与直立圆锥的相贯线。
解题步骤：
1'
4' 3'
1"
PV1 PV2
PV3
2" y y
4" PW1
PW2
g"(h")
c"
y
d e a g c h f b
y
2、利用辅助平面法求相贯线
作图原理 ：
如图，为了求作部分球 体与圆锥台相交的表面共有 点，假想用一平面P （称为 辅助平面）截切两立体。平 面P 与部分球体的截交线为 一个圆LA，平面P 与圆锥台 的截交线也为一个圆LB。 LA 与LB的交点K1和K2 即为辅助 平面P、球体和圆锥台三个表 面的共有点，因此也是相贯 线上的点。 这种利用三面共点的原 理求相贯线上的点的方法叫 做辅助平面法。
第 4章
平面与曲面立体相交、两曲 面立体相交
平面与曲面立体相交
两曲面立体相交
4.1
4.2
4.1
平面与曲面立体相交
一、曲面立体截交线的画法
平面与回转体表面相交，其截交线是封闭的平面图
形。 截交线是由曲线围成，或者由曲线与直线围成，或 者由直线段围成。 求回转体截交线，常利用描点法进行。
求平面与回转体截交线的一般步骤：
（2）外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相 贯线为两条平面曲线—椭圆。
例：分析并想象出物体相贯线投影的形状
的范围
2、找点。 ①作特殊点 ②作中间点
确定曲线 弯曲方向
3、依次光滑连线，并判别可见性。 4、检查、整理、加深相贯体的轮廓线。
1、利用积聚性法求相贯线
例：求轴线正交两相交圆柱体相贯线的投影。
作图步骤：
1、空间分析及投影分析
相贯线的形状为空间 闭合曲线。
相贯线的水平投影与直 立小圆柱的水平投影重 合，是一个圆。 相贯线的侧面投影积聚 在水平大圆柱侧面投影 上，即为圆的一部分。
1、圆柱的截交线
平面与圆柱面相交时，根据平面与圆柱轴线的相对 位置不同，其截交线有三种情况：圆、椭圆和矩形。
例：求正垂面与圆柱体的截交线, 如下图所示。
解题步骤
1)空间分析及投影分析 截平面与立体的相对位置； 确定截交线形状为平面曲线。 截平面与投影面的相对位置； 确定截交线的正面投影。 2)画出截交线的投影。 (1) 作截交线上的特殊位置点。 (2) 作截交线上的一般位置点。 (3) 用曲线光滑连接各点的投影。 3)补全、整理轮廓线。
关键问题——求相贯线的正面投影
a'
f' (m') c'(d')
b' e'(n') d"
a"(b") f"（e "） m"(n") c"
A F C E
y m a c d n b y
y
2、求相贯线上点的投影
①找全特殊点； ②补充中间点；
y
f
e
3、光滑连线，判别可见性
4、整理、加深轮廓线。
思考：圆柱体上挖圆柱孔的情况？
用水平面作为辅助平面求共有点
y
两正交圆柱相贯线的变化趋势（一）
两正交圆柱相贯线的变化趋势（二）
圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（一）
圆柱与圆锥相贯线的变化趋势（二）
两轴线正交的圆柱体相交，其相贯线总是弯向直径较 大的圆柱轴线。
相贯线的特殊情况:
（1）两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆， 并且该圆垂直于公共轴线。
曲面立体相贯的三种基本形式
①两外表面相交
②外表面与内表面相交
③两内表面相交
两圆柱直径的变化对相贯线的影响
曲交 线线 （为 椭两 圆条 ）平 面
相贯线弯向直径较大圆 柱轴线一侧
例：求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。
(e') (d') (f') a' g' d"
b' h' c'
e "( f " )"(b") a
① 求作特殊位置点。 很明显 , 辅助平面 P 截球体及圆锥台均为它们 的主视轮廓素线, 其交点 I、III就是相贯线上的点。 可 先 求 出 1′ 、 3′, 然 后 作出1、3及1″、3″, 如 图 (b)所示。
为了作出圆锥台左视 轮廓素线上相贯线点的投 影, 可过圆锥台轴线作侧 平面Q为辅助平面, 平面Q 与圆锥台的截交线即圆锥 台左视轮廓线, 平面Q与球 体的截交线是以r1为半径 的圆弧, 它们的交点Ⅱ、 Ⅳ就是相贯线上的点。可 先求得2"、 4", 然后作出 2′、 (4′)及2、4, 如图 (c)所示。
a
e b
多个平面截切立 体时，要分别对各截 平面进行截交线的分 析和作图。
例:已知顶部开有长方槽圆柱的主视图和俯视 图，试画出其左视图。
例:空心圆柱上部开有长方槽，若已知其V、H投影 ，试求W投影。
2、圆锥的截交线
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线 有五种形状。
例:求正垂面与圆锥体的截交线, 如下图所示。
不封闭 平面曲线
空间曲线
直线
三、求画相贯线的作图方法
求相贯线的作图实质是找出相贯的两立体表 面一系列共有点的投影。
作图方法：
①积聚性法
②辅助平面法
③辅助球面法
四、求两曲面立体相贯线的作图步骤
1、空间分析及投影分析。 分析两立体的几何形状、相对大小和相对位置， 弄清相贯线空间形状 明确相贯线的投影特点，选择求相贯线的作图方 法 确定曲线
截平面与圆柱轴线的倾角为β，其交线的H 投 影为椭圆，且椭圆的长、短轴随β的变化而变化 。
截平面与圆柱轴线成45°时,投影为圆。
例：圆柱体被P、Q 两平面截切，试完成其三视图。
a ( c ) e b ( d )
e
c(d) a(b)
c
d
解题步骤
1)空间分析及投影分析 截平面与立体的相对位置； 确定截交线形状为矩形和圆弧。 截平面与投影面的相对位置； 2)求截交线。
①空间分析及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、相似性等。 ②画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤 为： * 先找特殊点，补充中间点。 * 光滑连接各点，并判断截交线的可见性。
解题步骤
1)空间及投影分析 截平面与立体的相对位置； 确定截交线形状为椭圆。 截平面与投影面的相对位置； 确定截交线的正面投影。 2)画出截交线的投影。
(1) 作截交线上的特殊位置点，如Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ各点投影。
(2)用辅助平面法作截交线上的一般位 置点，如Ⅶ、 Ⅷ点投影。。
(3) 用曲线光滑连接各点的投影。
4.2 一、相贯线的定义
两曲面立体相交
两立体相交，表面形成的交线称为相贯线。
立体相贯的三种情况：
平面体与平面体相贯
平面体与曲面体相贯 曲面体与曲面体相贯
二、相贯线的基本性质
1、 封闭性。相贯线一般是封闭的光滑的空间曲线; 特殊情况下为不封闭或直线或平面曲线。 2、 共有性。 相贯线是两立体表面的共有线; 同时也是两立体表面的分界线。
3" 5"
PW3
5'
2'
（2 ）
1 4 y
（5） 3
1. 分析 相贯线 的 侧 面 投 影已 知 ， 可 利 用 辅助 平 面法求共有点； 2. 求 出相 贯线 上 的特殊点Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ； 3. 求 出若 干个 一 般点Ⅳ 、Ⅴ； 4. 光 滑且 顺次 地 连 接 各 点 ，作 出 相 贯 线 ， 并且 判 别可见性； 5.整理轮廓线。3)补全、理轮廓线。3、圆球的截交线
圆球的截交线总是圆。 由于截平面相对于投影面的位置不同，截交 线的投影可能是圆、椭圆或直线。
例：已知上部开有通槽的半圆球的主视图，求其 俯视图和左视图。
水平面截切圆 球，交线在俯视图 上为部分圆弧，在 左视图上积聚为直 线。
两个侧平面截切圆球，交线在左视图上为部分圆弧，在俯视 图上积聚为直线。