§2 曲面论基本定理

第五章曲面论基本定理

§2曲面论基本定理

关于曲面如何依赖于其第一和第二基本形式，本节将要做出回答．一方面，关于唯一性，需要确定具有相同的第一和第二基本形式的曲面是否合同；另一方面，关于存在性，需要确定什么样的函数组能够成为正则曲面第一和第二基本形式的系数函数组．利用自然标架场的运动公式，以下的理论证明建立在相应的微分方程组的解的存在唯一性定理——Darboux 定理的基础之上．

曲面论基本定理给定 (u1, u2) 平面上的单连通区域U．给定U上 C2函数⎺g ij和 C1函数⎺Ωij，使⎺g= (⎺g ij)2⨯2正定、⎺Ω= (⎺Ωij)2⨯2对称，并且⎺g 和⎺Ω满足Gauss-Codazzi方程．则在E3中

①存在正则曲面S: r=r(u1, u2) , (u1, u2)∈U，使其第一和第二基本形式的系数函数组g ij=⎺g ij，Ωij=⎺Ωij；

②上述曲面S在合同意义下是唯一的．

一．相关方程及其解的性质

首先建立并考察一阶齐次线性偏微分方程组

(2.1)∂r

∂u i

=r i , ∂r i

∂u j

=⎺Γi k j r k+⎺Ωij n ,∂n

∂u i

=-⎺Ωil⎺g lk r k ;

其中 (⎺g ij)2⨯2=⎺g-1，⎺Γi k j=1

2 [(⎺g lj)i+ (⎺g li)j- (⎺g ij)l]⎺g

lk，i, j, k, l= 1, 2 ．

任意取定一点 (u01, u02)∈U，任意取定右手标架 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} ，考虑微分方程组 (2.1) 在初始条件

(2.2)r(u01, u02) =r0 ,

r i(u01, u02) = (r i)0 ,

n(u01, u02) =n0 ,

i= 1, 2

之下的解，并且满足适定条件

(2.3)[r i•r j](u01, u02) =⎺g ij(u01, u02) ,

[r i•n](u01, u02) = 0 ,

[n•n](u01, u02) = 1 ，

i, j= 1, 2 ．

此即：考虑自然标架场{r; r1, r2, n} 所满足的一阶线性偏微分方程组(2.1) 在初始条件(2.2) 下的解的存在性以及在适定条件(2.3) 下的解的性质．而由Gauss-Codazzi方程的导出过程可见，方程组(2.1) 解函数的二阶偏导次序可交换的充要条件即为⎺g和⎺Ω满足Gauss-Codazzi方程，故可得下列引理1，并由Darboux定理得到推论1．

引理1在曲面论基本定理条件下，方程组(2.1) 是完全可积的，即：若方程组 (2.1) 有解 {r; r1, r2, n} ，则解函数的二阶偏导可交换次序．

推论1在曲面论基本定理条件下，∀(u01, u02)∈U，存在单连通区域U0⊂U，满足 (u01, u02)∈U0，使方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 下存在唯一一组解 {r; r1, r2, n} ．

注记一般而言，单连通条件是必要的．从本质上看，微积分学相应的结论是说，单连通区域上的二元函数f(u1, u2) 若具有连续的二阶偏导函数且偏导次序可交换，即f ij=f ji，则沿路径的积分⎰ d f=⎰f i d u i只依赖于路径的端点而与中间途径选取无关，从而使二元函数f是单连通区域上的单值函数．

引理2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域U0⊂U，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解 {r; r1, r2, n} 一定满足

(2.4)

r i•r j=⎺g ij，

r i•n= 0 ，

n•n= 1 ，

(r1, r2, n) > 0 ，

i, j= 1, 2 ．

证明[想法是等价地转化为一阶线性常微分方程组的解的存在唯一性

问题]沿着从 (u01, u02)∈U0出发的任意一条曲线Γ: u i=u i(t) , i = 1, 2 ，函

数组 {r; r1, r2, n} 由 (2.1) 式直接可验证满足下列三组等式：

(r i•r j-⎺g ij)k=r ik•r j+r i•r jk-⎺g ijk

=⎺Γi l k r l•r j+⎺Ωik n•r j+⎺Γj l k r l•r i+⎺Ωjk n•r i-⎺g ijk

=⎺Γi l k(r l•r j-⎺g lj) +⎺Γj l k(r l•r i-⎺g li) +⎺Γi l k⎺g lj+⎺Γj l k⎺g li-⎺g ijk

+⎺Ωik n•r j+⎺Ωjk n•r i

=⎺Γi l k(r l•r j-⎺g lj) +⎺Γj l k(r l•r i-⎺g li) +⎺Ωik n•r j+⎺Ωjk n•r i，

(r i•n)j=r ij•n+r i•n j

=⎺Γi l j r l•n+⎺Ωij n•n-⎺Ωjl⎺g lk r k•r i

=⎺Γi l j r l•n+⎺Ωij(n•n- 1) +⎺Ωij-⎺Ωjl⎺g lk(r k•r i-⎺g ki) -⎺Ωjl⎺g lk⎺g ki

=⎺Γi l j r l•n+⎺Ωij(n•n- 1) -⎺Ωjl⎺g lk(r k•r i-⎺g ki) ，

(n•n- 1)i= 2n i•n

=-2⎺Ωil⎺g lk r k•n．

从而，沿着曲线Γ，函数组 {r i•r j-⎺g ij , r i•n , n•n- 1} 是关于t的一阶齐次线性常微分方程组在初始条件(2.3) 下的解，即为零解，从而{r; r1, r2, n} 是沿着曲线Γ连续可微的标架场并且适合 (2.4) 式中的等式．由混合积的连续性可知，标架场{r; r1, r2, n} 沿着曲线Γ是右手的．进一步，由曲线Γ的任意性和区域U0的单连通性，得知 (2.4) 式成立．□

推论2在曲面论基本定理条件下，对于推论1所确定的单连通区域U0⊂U，方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下的唯一解 {r; r1, r2, n} 是正则曲面S: r(u1, u2) 的自然标架场，并且其第一和第二基本形式的系数函数组g ij=⎺g ij，Ωij=⎺Ωij．

从上述过程中可以进一步体会标架空间在几何学中的合理运用．

二．曲面论基本定理的证明和说明

曲面论基本定理的证明对于推论1所确定的单连通区域U0⊂U，推论1和推论2说明方程组 (2.1) 在初始条件 (2.2) 和适定条件 (2.3) 下所存在的唯一解 {r; r1, r2, n} 对应于解曲面S: r(u1, u2) 在初始条件 (2.2) 和适定条件(2.3) 下在区域U0内的存在性和唯一性结论．以下需要证明解曲面在区域U0内的唯一性结论②．

已知方程组 (2.1) 在区域U0内的两张解曲面S: r=r(u1, u2) 和S*: r= r*(u1, u2) 同时以 (u1, u2) 为参数并具有相同的第一和第二基本形式的系数函数组g ij=g*ij，Ωij=Ω*ij；要证这两张曲面合同．任取定点(u01, u02)∈U0，这两张曲面在此对应点的自然标架分别记为 {r0; (r1)0, (r2)0, n0} 和{r*0; (r*1)0, (r*2)0, n*0} ，则这两个右手标架之间相差一个线性变换；因为这两个右手标架的度量系数矩阵相同，所以其间相差的线性变换是一个平移和正交变换的复合，并且该变换对应于一个刚体运动σ: E3→E3．由于第一和第二基本形式的系数函数组在刚体运动下都不变，故不妨设S* 在σ