线性方程组与向量的线性相关性

x 4 c2
2020/7/21
6
x1 2 x2 x3 x4 1,
例1.1
解线性方程组
x2 x3 x4 x5 x1 x2 x4 2 x5
1, 2,
(P78,
Ex.2(1))
2 x2 2 x3 x4 x5 0.
解： 1 2 1 1 0 1r3 r1 1 2 1 1 0 1
3xx11
x2 x2
3x3 3x3
x4 1, 4x4 4,
x1 5x2 9x3 8x4 0.
解：
1 1 3 1 1
(A,b)3 1 3 4 4
1 5 9 8 0
r2 3r1 1 1 3 1 1
r3 r1
0 0
4 4
6 6
7 7
1 1
2020/7/21
11
RR100((AA),b=)14R4(A2,,b6R)63=(A r )<7n712.，一则11般1是地r不2r，3是(对方r24于)程n100组元一方110 定程有组0323唯AX一=0174解b，？若1014
2020/7/21
8
一、非齐次线性方程组解的研究
例2.1 求解非齐次线性方程组
一般地，对于方程3x组x11A2Xxx2=2b，53xx若33R3(xxA44)12,R , (A,b)，则是不是
方程组一定无解呢2？x1 x2 2x3 2x4 3.
解： 1 2 3 1 1r2 3r1 1 2 3 1 1
线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.
2020/7/21
4
二、初等行变换解线性方程组(以例说明)
2xx11
x2 x3 4x4 1, 3x2 x3 5x4 4,
x1 2x3 7x4 1.
行对应方程，列 对应未知元
1 1 1 4 1 r2 2r11 1 1 4 1
(A, b) 2 1
3 0
r1 r2
1 0
0 1
3 2
3 2
3 4
7 4
5 4
1 4
0
0
0
0
0
选择 x3 , x4 作为自由未知数,
xx x x 12xx 1 2 43 2323cc2 3 2 3 x12xc ,,c 331 1 43744 3 7 4xxc c442 2 45144 5 1 4,,,,
x1
x2
x2 x3
x3 4x4 3x4
2,
1,
0 0 0 0 0
0 0.
r1
r2
1 0
0 1
2 1
7 3
1 2
0 0 0 0 0
未知元的个数多于方 程的个数，则存在不 受约束的未知元，称
x 1 12c17c2,
为自由未知元.
x x
2 3
2c13c2,
c1,
(
c1
,c
2
为任意常数).
第三章 线性方程组与向量的线
性相关性
线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的 最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线 性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本 先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的 线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.
本章重点：
线性方程组的有解性的条件 向量的线性相关性的基本概念与基本结论 线性方程组的解的结构理论 向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充)
2 x1 2 x 2 3 x 3 0.
解： 1 1 1 1
1 1 1 1
R(RA((A,A b),)b=)R (123A3,,b)R=122(nA，)631则3.032是一 不rr般r432是地32rrr方111，程023对00组于02一112n元定1363方有2 程唯01032组一A解X？=b，若
2020/7/21
1
§3.1 消元法
对于一般形式的线性方程组，最基本且较简便的方法是 消元法，在本节将介绍线性方程组的消元过程可以用矩 阵的初等行变换来实现.
一、线性方程组的矩阵形式 二、初等行变换解线性方程组
2020/7/21
2
一、线性方程组的矩阵形式
线性方程组的一般形式：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
r1
2r2
0 0
0 0
0 0
1 0
3 0
2 0
x x x x x
1 2 3 4 5
1c1c2, 1c12c2,
c1,
23c2,
c2 ( c1 ,c 2为任意常数).
2020/7/21
7
§3.2 线性方程组的一般理论
在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线性方 程组有非零解的条件. 一、非齐次线性方程组解的研究 二、齐次线性方程组解的研究
(A,
b)
0 10
1 1 2
1 0 2
1 1 1
1 2 1
1r3 r2 0 1 1 1 1 1
02rr442rr32
000 1 0 0 0 20
0 0 0 21 1 1 0 110 3 3 0 21 0 2 2 10
r2 r3 1 1 0 2 2 1 110 10 03 1 11 1
r1 r3 0 1 1 0 2 1
(A,b)3 2
1 1
5 2
3 2
2 3
r3
2r1
0 0
5 5
4 4
0 0
1 1
r3 r2
1 0
2 5
3 4
1 0
1 1
0 0 0 0 2
方程组无解. 此时
R(A,b)3,R(A)2.
2020/7/21
9
例2.2 求解非齐次线性方程组 (P78, 例2)
x1 x2 x3 1,
x1 2x2 x3 2, 3x1 x2 6x3 3,
1 2
5 7
4 1
r3
r1
0 0 1
1 1 3 0Hale Waihona Puke Baidu21 3 7
2 2 1
r3
r2
1 0
1 1
1 1
4 3
1 2
0 0 0 0 0
相当于将第一、二
方程中x 1 的消去了
2020/7/21
5
若选择x3 , x4 作为自由未知元，则 x 2受
x2x33x42的约束
1 0
1 1
1 1
4 3
1 2
r3 2r2 1
r4 r3 00
r2(1) r3 (1)
00
00
1
11 00
00
1 1
2 2 1 1
10
11 2022
r2 2r3 r1 r3
r1 r2
11 01
0 1
0 0
0 0
00 36
0 3
1 0
2 0
x1 x2
6, 3,
x 3 2 .
2020/7/21
10
例2.3 求解非齐次线性方程组
a21x1 a22x2 a2nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
a11
A
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
,
amn
x 1
X
x2
,
x n
b 1
b
b2
,
b n
2020/7/21
3
线性方程组的矩阵形式：
AXb.
A矩称阵为A ~线为性线方性程方组程的组系的数增矩广阵矩；阵若. 令 A ~(A, b)，则称