【2021中考数学】一元二次方程专项训练含答案

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湖南省2021年中考数学真题分项汇编—专题05 一元二次方程(含答案解析)

专题05 一元二次方程一、单选题1．（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程22340x x -+=，则它根的情况为（） A ．没有实数根B ．两根之和是3C ．两根之积是2-D ．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】先找出2,3,4a b c ==-=，再利用根的判别式判断根的情况即可．【详解】解：22340x x -+=∵2,3,4a b c ==-=∴2=4932230b ac ∆-=-=-<∴这个一元二次方程没有实数根，故A 正确、D 错误． ∵122c x x a==，故C 错误． 123+-2b x x a ==，故B 错误．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、根的判别式、根与系数的关系、熟练掌握∆<0，一元二次方程没有实数根是关键．2．（2021·湖南张家界市·中考真题）对于实数,a b 定义运算“☆”如下：2a b ab ab =-☆，例如23336222⨯-⨯==☆，则方程12x =☆的根的情况为（）A ．没有实数根B ．只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题根据题目所给新定义将方程12x =☆变形为一元二次方程的一般形式，即20ax bx c ++=的形式，再根据根的判别式24b ac ∆=-的值来判断根的情况即可．【详解】解：根据题意由方程12x =☆得：22x x -=整理得：220x x --=根据根的判别式2141(2)90∆=-⨯⨯-=>可知该方程有两个不相等实数根．故选D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据∆的值来判断根的情况，注意0∆>时有两个不相等的实数根；0∆=时有一个实数根或两个相等的实数根；∆<0时没有实数根． 3．（2021·湖南邵阳市·中考真题）在平面直角坐标系中，若直线y x m =-+不经过第一象限，则关于x 的方程210mx x ++=的实数根的个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1或2个【答案】D【分析】直线y x m =-+不经过第一象限，则m =0或m ＜0，分这两种情形判断方程的根．【详解】∵直线y x m =-+不经过第一象限，∴m =0或m ＜0，当m ＝0时，方程变形为x +1=0，是一元一次方程，故有一个实数根；当m ＜0时，方程210mx x ++=是一元二次方程，且△=2414b ac m -=-，∵m ＜0，∴-4m ＞0,∴1-4m ＞1＞0,∴△＞0,故方程有两个不相等的实数根，综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根，故选D ．【点睛】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键．二、填空题4．（2021·湖南中考真题）一元二次方程2x 3x 0-=的根是_______．【答案】12x 0,?x 3== 【详解】四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．注意识别使用简单的方法进行求解，此题应用因式分解法较为简捷，因此，212x 3x 0x(x 3)0x 0x 30x 0,?x 3-=⇒-=⇒=-=⇒==，．5．（2021·湖南长沙市·中考真题）若关于x 的方程2120x kx --=的一个根为3，则k 的值为______．【答案】1-【分析】将3x =代入方程可得一个关于k 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将3x =代入方程2120x kx --=得：233120k --=，解得1k =-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键． 6．（2021·湖南娄底市·中考真题）已知2310t t -+=，则1t t+=________．【答案】3．【分析】先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可．【详解】解：22111t t t t t t t++=+=，又∵2310t t -+=，∴213t t +=，则2113=3t t t t t t++==，故答案为：3．【点睛】本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 7．（2021·湖南中考真题）关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，则m =________．【答案】254 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m 的方程，即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程250x x m -+=有两个相等的实数根，∴()2540m ∆=--=，解得：254m =，故答案是：254．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则0∆=，是解题的关键． 8．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程260x x k ++=有两个相等的实数根，则实数k 的值为_______．【答案】9【分析】直接利用根的判别式进行判断即可．【详解】解：由题可知：“△=0”，即2640k -=；∴9k =；故答案为：9．【点睛】本题考查了用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解决本题的关键是牢记：△>0时，该方程有两个不相等的实数根；△=0时，该方程有两个相等的实数根；△<0时，该方程无实数根．三、解答题9．（2021·湖南常德市·中考真题）解方程：220x x --=【答案】12x =，21x =-【详解】分析：利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．详解：由原方程，得：（x +1）（x ﹣2）=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 10．（2021·湖南永州市·中考真题）若12,x x 是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则1212,b c x x x x a a+=-⋅=．现已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ．（1）若2,4m n ==-，求,p q 的值；（2）若3,1p q ==-，求m mn n ++的值．【答案】（1）1,8p q ==-；（2）-1．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到2,q mn p m n p+=-=．（1）把2,4m n ==-，代入2,q mn p m n p+=-=，即可求出,p q 的值；（2）把3,1p q ==-，代入2,q mn p m n p +=-=，得到,2133m n mn +=-=-．利用整体代入即可求解．【详解】解：∵已知一元二次方程220px x q ++=的两根分别为m ，n ，∴2,q mn p m n p+=-=．（1）当2,4m n ==-时，2,28q p p-=-=-，解得1,8p q ==-，经检验，1,8p q ==-是方程的根，∴1,8p q ==-；（2）当3,1p q ==-时，,2133m n mn +=-=-． ∴21133m mn n m n mn ++=++=--=-．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到2,q mn p m n p+=-=是解题关键． 11．（2021·湖南张家界市·中考真题）2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？【答案】（1）10%；（2）13.31万【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，根据题意列出等式解出x 即可；（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x ，由题意得：210(1)12.1x +=，解得：110%x=，221 10x=-（不合题意，舍去），答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%．（2）12.1(110%)13.31⨯+=（万人），答：六月份的参观人数为13.31万人．【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．。

2021中考数学专题训练一元二次方程及其应用含答案.docx

2021中考数学专题训练：一元二次方程及其应用一'选择题1. 一元二次方程（x+l ）（x-l ）=2x+3的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 2.一元二次方程必一4x —1= 0配方后可化为（） A. （X +2）2 = 3 B. （X +2）2 = 53. 一元二次方程X 2+2X -3 = 0的根是（A. Xi = 1, X2=—3C. xi = —1, X2 = 3 4. 关于x 的一元二次方程必一Sx+sin a =0有两个相等的实数根，则锐角a 等于（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°5. 有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患了流感，假设每轮传染中一个人传染相同数量的人，则第一轮传染后患流感的人数为（）A. 10B. 50C. 55D. 456. 若关于x 的一元二次方程x 2-2x+m=0无实数根，则实数m 的取值范围是（）A. m<lD. m> 1 7. 关于x 的一元二次方程必 + fcc —2 = 0信为实数）根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根Xl=l, X2 = 3B. m>lC. m<lD.没有实数根C.没有实数根B.有两个相等的实数根D.不能确定8.某市2018年GDP比2017年增长了11.5%,由于受到国际因素的影响，2019 年的GDP比2018年增长了7%.若这两年GDP的年平均增长率为x,则x满足的关系式是()A.11.5% + 7%=xB.(l + 11.5%)x(l+7%) = 2(l+x)C.11.5% + 7% = 2xD.(1+11.5%)X(1+7%)=(1+X)29.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取降价措施.调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件，若商场每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价()A. 5 元B. 10 元C.20元D. 10元或20元10.某专卖店销售一种机床，三月份每台售价为2万元，共销售60台.根据市场调查知：这种机床每台售价每增加0.1万元，每个月就会少售出1台.四月份该专卖店想将销售额提高25%,则这种机床每台的售价应定为()A. 3万元B. 5万元C. 8万元D. 3万元或5万元二' 填空题11.一元二次方程2x2—4= ~5x的根的判别式/=.12.一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21= 0的根，则三角形的周长为.13.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现,如果这种贺年卡每张的售价每降低0.1元,那么商场平均每天可多售出100 张，商场要想平均每天盈利120元，设每张贺年卡应降低x个0.1元，则所列方程为.14.相邻的两个自然数，若它们的平方和比这两数中较小数的2倍大51,则这两个自然数分别为.15.2018-内江已知关于x的方程ax1 + bx+l= 0的两根为xi = l, x2 = 2,则方程a(x+ 1)2+Z?(x+1) +1 =0 的两根之和为.16.某校课外生物小组的试验园地是长32 m,宽20秫的矩形，为了便于管理, 现要在试验园地开辟宽度均为x秫的小道(图中的阴影部分).(1)如图①，在试验园地开辟一条纵向小道，则剩余部分的面积为秫2(用含x的代数式表示)；(2)如图②，在试验园地开辟三条宽度相等的小道，其中一条是横向的，另两条互相平行.若使剩余部分的面积为570 /必，则小道的宽度为m.三' 解答题17.解方程:(V+2)2=(2V+1)2.18.解方程：(1)3必一4x=2；(2)(L 6片2(6—x)；⑶必一1 = 4x(用配方法);(4)4(x—3)2=(3X+5)2.19.2019-北京若关于x的方程%2-2x+2m—1= 0有实数根，且秫为正整数，求m的值及此时方程的根.20.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间.据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加0.5万元，就会少租出商铺1间(假设年租金的增加额均为0.5万元的整数倍).该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用0.5万元.(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益=租金一各种费用) 为275万元？21.古希腊数学家丢番图在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax=b\a>0, Z?>0)的方程的图解法是：如图，以;和b为两直角边作RtA ABC,再在斜边上截取BD=*则AD的长就是所求方程的解.(1)请用含字母。

【2021中考数学专题】一元二次方程实际应用含答案

九年级数学中考复习—方程专题：一元二次方程实际应用1．“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．（1）求每年绿化面积的平均增长率；（2）已知每平方米绿化面积的投资成本为60元，若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化投资成本需要多少元？2．为了创建国家级卫生城区，某社区在九月份购买了甲、乙两种绿色植物共1100盆，共花费了27000元．已知甲种绿色植物每盆20元，乙种绿色植物每盆30元．（1）该社区九月份购买甲、乙两种绿色植物各多少盆？（2）十月份，该社区决定再次购买甲、乙两种绿色植物．已知十月份甲种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠元（a＞0），十月份乙种绿色植物每盆的价格比九月份的价格优惠a%．因创卫需要，该社区十月份购买甲种绿色植物的数量比九月份的数量增加了a%，十月份购买乙种绿色植物的数量比九月份的数量增加a%．若该社区十月份的总花费与九月份的总花费恰好相同，求a的值．3．疫情未退，学生到校仍需随身携带口罩等个人防护用品，某商家推出了“经济型”和“豪华型”两种便携式防疫包，“经济型”的售价是“豪华型”的．（1）六月第一周该商家两种防疫包的总销售额为3600元，“豪华型”的销售额是“经济型”的2倍，销售量比“经济型”多40个，求“经济型”防疫包销售了多少个？（2）为增加销量，该商家第二周决定将“豪华型”的售价下调a%，“经济型”的售价保持不变，结果与第一周相比，“豪华型”便携式防疫包的销量增加了2a%，“经济型“的销量增加了a%，最终第二周的销售额比第一周的销售额增加了a%，求a的值．4．书籍是人类宝贵的精神财富．读书则是传承优秀文化的通道．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次．若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．5．某社区“百果园”水果店一直销售的是沙漠蜜瓜，1月份新引进一种金美人蜜瓜，其中金美人蜜瓜的销售单价是沙漠蜜瓜的倍，1月份，沙漠蜜瓜和金美人蜜瓜总计销售400kg，金美人蜜瓜的销售额为8640元，沙漠蜜瓜的销售额为4320元．（1）求金美人蜜瓜，沙漠蜜瓜的销售单价各为多少；（2）受疫情影响，水果销量急剧下降，于是百果园在4月推出“心享会员”活动，充值金额后不仅返还现金券，所有水果还可享受降价a%的折扣，非心享会员则需按原价购买，就金美人蜜瓜而言，4月销量比1月销量增加了a%，其中遇过心享会员购买的销量占4月金美人蜜瓜总销量的，不计会员充值费用以及返还的现金券，4月金美人蜜瓜的销售总额比1月金美人蜜瓜的销售总额提高了a%，求a的值．6．新冠疫情以来，口罩成为了生活和工作的必需品．某口罩生产企业主要生产过滤式和供气式两种口罩．有过滤式口罩机和供气式口罩机各10台，统计发现，去年每台过滤式口罩机的产量比每台供气式口罩机多60万个，过滤式口罩的出厂价为0.2元/个，供气式口罩的出厂价为4元/个，两种口罩全部售出，总销售额为10200万元．（1）去年每台供气式口罩机的产量为多少万个？（2）今年，为了加大口罩供应量，该企业优化了生产方法，在保持口罩机数量不变的情况下，预计每台过滤式口罩机和供气式口罩机的产量将在去年基础上分别增加2a%和a%．由于过滤式口罩更受市场欢迎，出厂价将在去年的基础上上涨a%，而供气式口罩的出厂价保持不变，两种口罩全部售出后总销售额将增加a%，求a的值．7．某水果店购进一批优质水果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该水果在一天内的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）之间的数量满足如表所示的一次函数关系．…32.53535.538…销售量y（千克）售价x（元/…27.52524.522…千克）（1）某天这种水果售价为28元/千克，求当天该水果的销售量；（2）如果水果店该天获利400元，那么这天水果的售价为多少元？8．“新冠“疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必需品．某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如表：普通口罩N95口罩进价（元/包）820（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价．（2）按（1）中售价销售一段时间后，发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包．该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价．（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包（6000≤a≤7000）该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售．若这2万包口罩的利润率等于10%，则N95口罩每包售价是元．求慕美人葡萄和夏音葡萄的销售单价；（2）根据这两周的统计可以发现，该水果店的慕美人葡萄更受欢迎．为了促销，第三周该水果店决定将两种葡萄打包（慕美人葡萄和夏音葡萄各1千克）一起出售，打包价格在两种葡萄原销售单价之和的基础上打八折，如果单独购买一种，则为原价，没有折扣．在该促销活动下，第三周一共卖出了260千克慕美人葡萄，240千克夏音葡萄．第三周所获利润为6800元；第四周该水果店进一步扩大了促销力度，单独购买慕美人葡萄的在原价基础上降低2a元，结果单独购买慕美人葡萄的销售数量比上一周增加了5a%，而单独购买夏音葡萄的在原价基础上下降了2a%，结果单独购买夏音葡萄的销售数量比上一周增加了10a千克，而打包购买的折扣不变，销售数量下降了3a%．最后，第四周该水果店所获利润比第三周减少了528元，求a的值．10．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．参考答案1．解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：1000（1+x）2＝1210．解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．所以每年绿化面积的平均增长率为10%．（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）1331000×60＝798600000（元）答：2021年的绿化投资成本需要798600000元．2．解：（1）设该社区九月份购买甲种绿色植物x盆，购买乙种绿色植物y盆，依题意，得：，解得：．答：该社区九月份购买甲种绿色植物600盆，购买乙种绿色植物500盆．（2）依题意，得：（20﹣）×600（1+a%）+30（1﹣a%）×500（1+a%）＝27000，整理，得：1.2a2﹣30a＝0，解得：a1＝25，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为25．3．解：（1）第一周“经济型”防疫包的销售额为3600÷（1+2）＝1200（元），第一周“豪华型”防疫包的销售额为1200×2＝2400（元）．设“经济型”防疫包销售了x个，则“豪华型”防疫包销售了（x+40）个，依题意，得：＝×，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．答：“经济型”防疫包销售了80个．（2）第一周“经济型”防疫包的销售单价为1200÷80＝15（元），第一周“豪华型”防疫包的销售单价为2400×（80+40）＝20（元）．依题意，得：20（1﹣a%）×（80+40）（1+2a%）+15×80（1+a%）＝3600（1+a%），整理，得：0.24a2﹣9.6a＝0，解得：a1＝40，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为40．4．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608．化简得：4x2+12x﹣7＝0．∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜450．答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．5．解：（1）设沙漠蜜瓜的销售单价为x元，则金美人蜜瓜的销售单价为x元，依题意，得：+＝400，解得：x＝27，经检验，x＝27是原方程的解，且符合题意，∴x＝36．答：金美人蜜瓜的销售单价为36元，沙漠蜜瓜的销售单价为27元．（2）1月份金美人蜜瓜的销售数量为8640÷36＝240（千克）．依题意，得：36（1﹣a%）××240（1+a%）+36×（1﹣）×240（1+a%）＝8640（1+a%），整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为20．6．解：（1）设去年每台供气式口罩机的产量为x万个，则每台过滤式口罩机的产量为（x+60）万个，依题意，得：4×10x+0.2×10（x+60）＝10200，解得：x＝240．答：去年每台供气式口罩机的产量为240万个．（2）240+60＝300（万个）．依题意，得：4×10×240（1+a%）+0.2（1+a%）×10×300（1+2a%）＝10200（1+ a%），整理，得：a2﹣50a＝0，解得：a1＝50，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为50．7．解：（1）设该一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0），将（25，35），（22，38）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y＝﹣x+60（15≤x≤40）．当x＝28时，y＝﹣28+60＝32．答：当水果售价为28元/千克时，当天该水果的销售量为32千克．（2）依题意，得：（x﹣10）（﹣x+60）＝400，整理，得：x2﹣70x+1000＝0，解得：x1＝20，x2＝50（不合题意，舍去）．答：这天水果的售价为20元．8．解：（1）设普通口罩每包的售价为x元，N95口罩每包的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：普通口罩每包的售价为12元，N95口罩每包的售价为28元．（2）设普通口罩每包的售价降低m元，则此时普通口罩每包的售价为（12﹣m）元，日均销售量为（120+20m）包，依题意，得：（12﹣m﹣8）（120+20m）＝320，整理，得：m2+2m﹣8＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴12﹣m＝10．答：此时普通口罩每包的售价为10元．（3）设N95口罩每包售价是n元，依题意，得：（20000﹣a）n﹣20×20000＝20×20000×10%，∴a＝20000﹣．∵6000≤a≤7000，∴6000≤20000﹣≤7000，∴≤n≤．又∵a和n均为正整数，∴n＝32．故答案为：32．9．解：（1）设慕美人葡萄的销售单价为x元，夏音葡萄的销售单价为y元，依题意，得：，解得：．答：慕美人葡萄的销售单价为60元，夏音葡萄的销售单价为80元．（2）设打包销售了慕美人葡萄和夏音葡萄各m千克，则单独售出慕美人葡萄（260﹣m）千克，单独售出夏音葡萄（240﹣m）千克，依题意，得：（60+80）×0.8m+60×（260﹣m）+80×（240﹣m）﹣40×260﹣50×240＝6800，解得：m＝200，∴260﹣m＝60，240﹣m＝40．又∵第四周该水果店所获利润比第三周减少了528元，∴（60﹣2a﹣40）×60（1+5a%）+[80（1﹣2a%）﹣50]×（40+10a）+[（60+80）×0.8﹣40﹣50]×200（1﹣3a%）＝6800﹣528，整理，得：a2﹣2a﹣24＝0，解得：a1＝6，a2＝﹣4．答：a的值为6．10．解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝150，解得：x1＝10，x2＝7.5，当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），则养鸡场的宽是10m，长为15m．（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：x（33﹣2x+2）＝200，整理得：2x2﹣35x+200＝0，△＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，因为方程没有实数根，所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．11。

【2021中考数学专题复习】一元二次方程实际应用含答案

2021年九年级数学中考复习一元二次方程实际应用一．解答题（共10小题）1．为响应“美丽台州，美化环境”的号召，某校开展“美丽台州，清洁校园”的活动，该校经过精心设计，在绿化工作中设计一块170m2的矩形场地，矩形的长比宽的2倍长3m，则这块矩形场地的长和宽各是多少米？2．如图，某农场准备围建一块矩形菜地．其中一边靠墙（墙的长度不超过50m），另外三边用长为100m的篱笆围成．（1）怎样围才能使矩形菜地的面积为1200m2？（2）能否使所围矩形菜地的面积为1300m2？为什么？3．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按销售单价不低于成本价，且不高于60元的价格销售，要使销售该商品每天获得的利润为800元，求每天的销售量应为多少件？4．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）若按此百分率再降价一次，是否会亏本，请说明理由．5．为了推进全民阅读，某社区增加了阅览室的开放时间，据统计：该社区阅览室在2018年图书借阅总量是7500册，2020年图书借阅总量是10800册．（1）求该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率；（2）如果2020年该社区居民借阅图书人数有1320人，预计2021年达到1440人，并且2020年至2021年图书借阅总量的增长率不低于2018年至2020年的年平均增长率，那么2021年的人均借阅量比2020年增长m%，求m的值至少是多少？6．某电商品牌旗舰店销售A、B两款玩具，其中A款玩具定价为60元/件，B款玩具定价为50元/件．（1）若该旗舰店按定价在10月份售出A、B两款玩具共300件，销售总额不低于17000元，则至少销售A款玩具多少件？（2）11月份，商家为回馈新老客户，共庆“双十一”，决定与网红直播合作，在“双十一”当晚通过直播促销A、B两款玩具．“双十一”当晚直播时，A款玩具的售价比定价降低了元，实际销量在（1）问的最低销量的基础上增加了a%；B款玩具以定价的8折销售，销量比A款玩具“双十一”当晚实际销量少a%．“双十一”当晚两款玩具的直播销售总额比（1）问中的两款玩具最低销售总额增加了2250元，求a的值．7．湖北省预计将于今年年底实现全省贫困人口全部脱贫．2018年，湖北省精准脱贫专项资金合计约30亿元，据扶贫办报告，2020年湖北省政府将合计拨款43.2亿元用于脱贫攻坚最后一战．根据以上信息，请你计算在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为多少？8．返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了x瓶免洗抑菌洗手液．（1）当x＝80时，每瓶洗手液的价格是元；当x＝150时，每瓶洗手液的价格是元；当x＝时，每瓶洗手液的价格恰好降为5元．（2）若学校购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手瓶？9．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为12米的墙，另外三边用长为25米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，所围成矩形鸡舍的长、宽分别是多少时，鸡舍面积为80平方米？10．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．【解答】解：设这块矩形场地的宽是x米，则长是（2x+3）米，依题意，得：x（2x+3）＝170，整理，得：2x2+3x﹣170＝0，解得：x1＝﹣10（不合题意，舍去），x2＝8.5，∴2x+3＝20．答：这块矩形场地的长是20米，宽是8.5米．2．【解答】解：（1）设AD＝xm，则AB＝（100﹣2x）m，依题意，得：x（100﹣2x）＝1200，整理，得：x2﹣50x+600＝0，解得：x1＝20，x2＝30，当x＝20时，100﹣2x＝60＞50，不合题意，舍去；当x＝30时，100﹣2x＝40＜50，符合题意．答：围成的长为40m，宽为30m．（2）设AD＝ym，则AB＝（100﹣2y）m，依题意，得：y（100﹣2y）＝1300，整理，得：y2﹣50y+650＝0．∵△＝（﹣50）2﹣4×1×650＝﹣100＜0，∴原方程无实数根，∴不能使所围矩形菜地的面积为1300m2．3．【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，解得：x1＝40，x2＝70，∵销售单价不低于成本价，且不高于60元，∴x＝40，∴y＝﹣2x+160＝﹣2×40+160＝80（件）．答：每天的销售量应为80件．4．【解答】解：（1）设两次下降的百分率为x，依题意，得：40（1﹣x）2＝32.4，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：两次下降的百分率为10%．（2）32.4×（1﹣10%）＝29.16（元），∵29.16＜30，∴若按此百分率再降价一次，会亏本．5．【解答】解：（1）设该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为x，依题意，得：7500（1+x）2＝10800，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该社区图书借阅总量从2018年至2020年的年平均增长率为20%．（2）依题意，得：（1+m%）≥，解得：m%≥0.1，∴m≥10．答：m的值至少是10．6．【解答】解：（1）设销售A款玩具x件，则销售B款玩具（300﹣x）件，依题意，得：60x+50（300﹣x）≥17000，解得：x≥200．答：至少销售A款玩具200件．（2）依题意，得：（60﹣）×200（1+a%）+50×0.8×200（1+a%）（1﹣a%）＝17000+2250，整理，得：a2+100a﹣7500＝0，解得：a1＝50，a2＝﹣150（不合题意，舍去）．答：a的值为50．7．【解答】解：设在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为x，依题意，得：30（1+x）2＝43.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：在2018～2020年期间，湖北省脱贫专项资金年平均增长率为20%．8．【解答】解：（1）∵x＝80＜100，∴每瓶洗手液的价格是8元；∵x＝150＞100，∴每瓶洗手液的价格是8﹣0.2×＝7（元）；当x＝100+×10＝250（瓶）时，每瓶洗手液的价格恰好降为5元．故答案为：8；7；250．（2）∵100×8＝800（元），800＜1200，1200÷5＝240（瓶），240＜250，∴100＜x＜240．依题意，得：x（8﹣×0.2）＝1200，整理，得：x2﹣500x+60000＝0，解得：x1＝200，x2＝300（不合题意，舍去）．答：一共购买了200瓶洗手瓶．9．【解答】解：设BC的长为xm，则AB的长为（25+1﹣x）m．依题意得：（25+1﹣x）x＝80，化简，得x2﹣26x+160＝0，解得：x1＝10，x2＝16（舍去），（25+1﹣x）＝8米，答：若矩形猪舍的面积为80平方米，长和宽分别为10米和8米；10．【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50﹣x）元。

2021年全国各省市数学中考分类汇编一元二次方程含答案

2021年全国各省市数学中考分类汇编一元二次方程含答案一、选择题1. (2021·四川省南充市)已知方程x 2-2021x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 12-2021x 2的值为（）A. 1B. −1C. 2021D. −20212. (2021·四川省眉山市)已知一元二次方程x 2-3x +1=0的两根为x 1，x 2，则x 12-5x 1-2x 2的值为（）A. −7B. −3C. 2D. 53. (2021·山东省临沂市)方程x 2-x =56的根是（）A. x 1=7，x 2=8B. x 1=7，x 2=−8C. x 1=−7，x 2=8D. x 1=−7，x 2=−84. (2021·云南省)若一元二次方程ax 2+2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）A. a <1B. a ≤1C. a ≤1且a ≠0D. a <1且a ≠05. (2021·山东省泰安市)已知关于x 的一元二次方程kx 2-（2k -1）x +k -2=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A. k >−14 B. k <14 C. k >−14且k ≠0D. k <14且k ≠06. (2021·浙江省丽水市)用配方法解方程x 2+4x +1=0时，配方结果正确的是（）A. (x −2)2=5B. (x −2)2=3C. (x +2)2=5D. (x +2)2=37. (2021·四川省泸州市)关于x 的一元二次方程x 2+2mx +m 2-m =0的两实数根x 1，x 2，满足x 1x 2=2，则（x 12+2）（x 22+2）的值是（）A. 8B. 32C. 8或32D. 16或408. (2021·四川省)2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A. (1+n)2=931B. n(n −1)=931C. 1+n +n 2=931D. n +n 2=9319. (2021·湖北省武汉市)已知a ，b 是方程x 2-3x -5=0的两根，则代数式2a 3-6a 2+b 2+7b +1的值是（）A. −25B. −24C. 35D. 3610. (2021·全国)一元二次方程x 2-4x +3=0的解为（）A. x 1=−1，x 2=3B. x 1=1，x 2=3C. x 1=1，x 2=−3D. x 1=−1，x 2=−311. (2021·浙江省台州市)关于x 的方程x 2-4x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A. m >2B. m <2C. m >4D. m <412. (2021·四川省广安市)关于x 的一元二次方程（a +2）x 2-3x +1=0有实数根，则a 的取值范围是（）A. a ≤14且a ≠−2 B. a ≤14 C. a <14且a ≠−2D. a <1413. (2021·湖南省邵阳市)在平面直角坐标系中，若直线y =-x +m 不经过第一象限，则关于x 的方程mx 2+x +1=0的实数根的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 1或2个14. (2021·黑龙江省)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 14B. 11C. 10D. 915. (2021·四川省宜宾市)若m 、n 是一元二次方程x 2+3x -9=0的两个根，则m 2+4m +n 的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 12二、填空题16. (2021·黑龙江省绥化市)已知m ，n 是一元二次方程x 2-3x -2=0的两个根，则1m +1n =______ .17. (2021·四川省广安市)一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长为______．18. (2021·江苏省宿迁市)若关于x 的一元二次方程x 2+ax -6=0的一个根是3，则a =______ .19.(2021·江苏省宿迁市)方程2x2−4−xx−2=1的解是______ .20.(2021·青海省)已知m是一元二次方程x2+x-6=0的一个根，则代数式m2+m的值等于______ .21.(2021·湖北省十堰市)对于任意实数a、b，定义一种运算：a⊗b=a2+b2-ab，若x⊗（x-1）=3，则x的值为______ .22.(2021·湖北省随州市)已知关于x的方程x2-（k+4）x+4k=0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若2x1+2x2=3，则k= ______ .23.(2021·湖南省岳阳市)已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为______ .24.(2021·湖北省黄冈市)若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是______ .（写出一个即可）25.(2021·湖南省长沙市)若关于x的方程x2-kx-12=0的一个根为3，则k的值为______ .26.(2021·四川省资阳市)若x2+x-1=0，则3x-3x= ______ .27.(2021·甘肃省庆阳市)关于x的方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是______ 。

初三中考数学复习用配方法求解一元二次方程专项训练题含答案

2021 初三中考数学复习用配方法求解一元二次方程专项训练题1．用直接开平方法解方程x 2－1＝0得( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x 1＝1，x 2＝－1D ．x 1＝0，x 2＝12．以下二次三项式是完全平方式的是( )A ．x 2－8x －16B ．x 2＋8x ＋16C ．x 2－4x －16D ．x 2＋4x ＋163．一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( )A ．(x －3)2＝14B ．(x －3)2＝4C ．(x ＋3)2＝14D ．(x ＋3)2＝44. 边长为a 的正方形的面积为8，那么以下说法中，错误的选项是( )A ．a 是无理数B ．a 是方程x 2－8＝0的解C ．a 是8的算术平方根D ．a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＞0a －4＜05. 用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，那么方程可变形为( )A ．(x －1)2＝13 B ．3(x －1)2＝13 C ．(x －1)2＝23 D ．(3x －1)2＝1 6. 二次三项式x 2－4x ＋5的值( )A ．可以等于0B ．大于1C ．不小于1D ．既可以大于0，也可以小于07. M ＝29a －1，N ＝a 2－79a(a 为任意实数)，那么M 、N 的大小关系为( ) A ．M ＜N B ．M ＝N C ．M ＞N D ．不能确定8. 用配方法把方程x 2＋x －1＝0化为(x ＋12)2＝m ，那么m ＝____，方程的解为_________.9. 计算(3x ＋2)2的结果为9x 2＋□x＋4，那么“□〞中的数为 .10. 用适当的数填空：9x 2－6x ＋＝( )2.11. 用配方法解一元二次方程x 2－43x ＝1时，应先两边都加上____.12．当x ＝时，代数式x 2－8x ＋12的值是－4.13．假设一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，那么b a ＝____. 14．点A(2x ，y 2＋4)与点B(x 2＋1，－4y)关于y 轴对称，试求x ＋y 的值为 .15. 用配方法解以下方程：(1)x 2＋4x ＝0(2)x 2－23x －6＝0(3)4x 2＋8x ＋1＝016. 请将二次三项式x 2＋2x ＋3化成(x ＋a)2＋b 的形式，求a 、b 的值．17. 在实数范围内定义运算“⊕〞，其法那么为：a ⊕b ＝a 2－b 2，求方程(4⊕3)⊕x ＝24的解．18. 等腰三角形的底边长为3，其腰长为方程x 2－4x ＋3＝0的一个根，求这个三角形的周长．参考答案：1---7 CBADC CA8. 54 x ＝－1±529. 1210. 1 3x －111. 4912. 413. 414. －315. (1) 解：(1)x 1＝0，x 2＝－4(2)x 1＝3＋3，x 2＝－3＋ 3(3) x1＝－1＋32x2＝－1－3216. 解：∵x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2，∴a＝1，b＝2.17. 解：∵a⊕b＝a2－b2，∴(4⊕3)⊕x＝(42－32)⊕x＝7⊕x＝72－x2，∴72－x2＝24，∴x2＝25，∴x＝±5.18. 解：解方程得x1＝1，x2＝3，根据三角形三边关系知：当x＝1时，不符合题意舍去．当x＝3时，其周长为3＋3＋3＝9.。

2020-2021中考数学《一元二次方程组的综合》专项训练及详细答案

2020-2021中考数学《一元二次方程组的综合》专项训练及详细答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2= == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴xx2.18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后的百分率，40元降至 32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．9．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元． ()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.11．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600．化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=．答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．12．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3）若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．13．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.14．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ 的长为cm ?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm ；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P 、Q 经过t 秒，使△PBQ 的面积为8cm 2，则PB=6-t ，BQ=2t ，根据三角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可；（2）设经过x 秒后线段PQ 的长为2cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断．【详解】(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ，∵∠B ＝90°， ∴12(6－t)× 2t ＝8，解得t 1＝2，t 2＝4， ∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2；(2)设x 秒后，PQ ＝2 cm ，由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32，解得x 1＝25，x 2＝2，故经过25秒或2秒后，线段PQ 的长为2 cm ； (3)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，S △PBQ ＝12×(6－y)× 2y ＝10，即y 2－6y ＋10＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32．又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。

2020-2021中考数学一元二次方程组综合试题含详细答案

2020-2021中考数学一元二次方程组综合试题含详细答案一、一元二次方程1．解方程：(x+1)(x ﹣3)=﹣1．【答案】x 1x 2=1【解析】试题分析：根据方程的特点，先化为一般式，然后利用配方法求解即可.试题解析：整理得：x 2﹣2x=2，配方得：x 2﹣2x+1=3，即（x ﹣1）2=3，解得：x 1，x 2=12．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．【答案】（1）k ＞34；（2 【解析】【分析】（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，利用完全平方公式进行变形即可求得答案.【详解】（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，∴k ＞34； (2)当k ＝2时，原方程为x 2－5x ＋5＝0，设方程的两个根为m ，n ，∴m ＋n ＝5，mn ＝5，∴==.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．3．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=1 2 .【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x（2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．4．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x 的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.7．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍．（1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50．【解析】【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答．【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人，依题意得：7.5-x ≤2x ，解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%，解得m =50答：m 的值为50．【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．8．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤ （2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥，由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥，化简得：()210k -≤，得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤，故不存在k 使2212120x x x x --≥．9．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可．试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得1﹣2a+a 2=0，解得a 1=a 2=1，所以a 的值为1.10．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值；（2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）m=517-；（2）0＜T≤4且T≠2．【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）∵x 12+x 22=6，∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6整理，得m 2﹣5m+2=0解得m=； ∵﹣1≤m ＜1所以m=．（2）T=+=====2﹣2m ． ∵﹣1≤m ＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根.(1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．12．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围；（2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.13．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元降至 32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵（a b-）2=a﹣2ab+b≥0∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x＞0时，按照公式a+b ab a=b时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣x＞0，1x-＞0，则也可以按公式a+b ab a=b时取等号）来计算；（2）将y27101x xx++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面积公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x＞0时，x1x+≥1xx⋅=2；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0． ∵﹣x 1x -≥21x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2．故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5≥2()411x x +⋅++5=4+5=9，∴y 的最小值为9．（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥13+236x x⋅=25．当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．15．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ V 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ V 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB V 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）；综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.。

2021年九年级初中数学中考复习方程专题：一元二次方程实际应用大全含详细解析答案

一元二次方程实际应用共三套含解析答案2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（一）1．某网店销售一款羽绒服，每件售价900元，每天可卖2件．为迎接“双11”抢购活动，该网店决定降价销售，市场调查反映：售价每降低50元，每天可多卖1件．已知该款羽绒服每件进价400元，设该款羽绒服每件售价x元，每天的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求网店每天盈利1600元，且销售量最大时，该款羽绒服的售价．2．万州物产丰富，新田水柿子香甜多汁回味无穷，深秋时节正是品尝新田水柿子的最佳时机．某水果摊贩看准商机，购进并销售新田水柿子和外地柿饼，11月中旬，新田水柿子和外地柿饼的销售单价分别为6元/千克、20元/千克，水柿子比柿饼多售出150千克，两种柿子的销售总金额为10000元．（1）11月中旬新田水柿子和外地柿饼各销售了多少千克？（2）11月下旬新田水柿子开始过季，其他水果开始上市，该水果摊贩准备将外地柿饼的销售单价在11中旬的基础上下调a%，新田水柿子的单价在11月中旬的基础上上调a%，价格的变动导致销售量的变化，其中，预计外地柿饼的销售量将在11中旬的基础上上涨a%，新田水柿子的销售量在11月中旬的基础上减少a%，最终预计11月下旬水果摊两种柿子的销售总金额将与中旬持平，求a的值．3．某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第档次产品；（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？4．口罩在疫情防控中起着非常重要的防护作用，主要是保护呼吸道，预防呼吸道飞沫的传播，减少病毒或细菌的侵袭，预防感染的作用，同时还可以预防有害物质的入侵，极大地减少交叉感染的几率．某药店新购进一批口罩进行销售，平均每天可售出500个，每个盈利0.6元，为了让利于民，药店决定采取适当的降价措施，根据以往的经验，如果每个口眾的售价每降价0.1元，那么平均每天多售出100个．（1）若每个口罩的售价降价0.2元，则平均每天可售出个；若每个口罩的售价降价x元，则平均每天可售出个；（2）该药店要想通过销售这种口罩，每天盈利达到240元，每个口罩的售价应降价多少元？5．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x的范围．6．某公司一月份营业额为10万元，若二、三月份增长率相同，到三月份时，营业额达到12.1万元．求二、三月份的平均增长率．7．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．8．如图，某小区有一块长为22.5m，宽为18m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为270m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？9．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌40m长的墙的材料．（1）当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；（2）能否围成矩形花园面积为210m2，为什么？10．2020年12月，宝应高铁站即将开通运营，宝应将迈入高铁时代．建设部门打算对高铁站广场前一块长为20m，宽为8m的矩形空地进行绿化，计划在其中间修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分）．（1）若他们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少米？（2）为使修建两块相同的矩形绿地更美一点，设计部门打算修建的两块相同的矩形绿地与原矩形空地相似，两块绿地之间及周边仍然留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度应改为多少米？参考答案1．解：（1）依题意，得：y＝2+＝20﹣．（2）依题意，得：（x﹣400）（20﹣）＝1600，解得：x1＝600，x2＝800，∵销售量最大，∴x＝600．答：当每件售价定为600元时，该网店每天盈利1600元．2．（1）设新田水柿子销售了x千克，外地柿饼销售了y千克，由题意得：解得答：新田水柿子销售了500千克，外地柿饼销售了350千克；（2）由题意得，令a%＝t，则原方程整理得5t2﹣t＝0，解得：（舍去），∵，答：a的值为20．3．解：（1）1+（14﹣10）÷2＝3（档）．故答案为：3．（2）设该烘焙店生产的是第x档次的产品，则每件利润为10+2×（x﹣1）＝（2x+8）元，每天的产量为76﹣4（x﹣1）＝（80﹣4x）件，依题意得：（2x+8）（80﹣4x）＝1080，整理得：x2﹣16x+55＝0，解得：x1＝5，x2＝11．又∵该烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，∴x＝5．答：该烘焙店生产的是第5档次的产品．4．解：（1）若每个口罩的售价降价0.2元，则平均每天可售出500+×100＝700个；若每个口罩的售价降价x元，则平均每天可售出（500+1000x）个；故答案为：700；（500+1000x）；（2）解设每个口罩可降价x元，由题意，得：（0.6﹣x）（500+1000x）＝240，解得x1＝0.3，x2＝﹣0.2（不合题意，舍去）．答：每个口罩可降价0.3元．5．解：（1）设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（10+x）（500﹣20x）＝5520，解得：x＝2或x＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得：（10+x）（500﹣20x）≥6000，解得：5≤x≤10，答：每千克水果涨价x的范围是5≤x≤10．6．解：设这两个月营业额的平均增长率是x，由题意可得：10（1+x）2＝12.1，解得x1＝0.1；x2＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两个月营业额的平均增长率是10%．7．解：设AB长为xm，则BC长为（24﹣3x）m．依题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m．8．解：设人行通道的宽度为x米，则两块矩形绿地合在一起长为（22.5﹣3x）m，宽为（18﹣2x）m，依题意得：（22.5﹣3x）（18﹣2x）＝270，整理得：2x2﹣33x+45＝0，解得：x1＝1.5，x2＝15，当x＝15时，22.5﹣3x＝﹣22.5＜0，不合题意，舍去．答：人行通道的宽度为1.5米．9．解：（1）设BC＝xm，则AB＝CD＝（40﹣x）m，x≤25，则（40﹣x）x＝150，解得：x＝10或30（舍去30），故x＝10（m）；∴AB＝15（m）．答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2；（2）由题意得：则（40﹣x）x＝210，化简得：x2﹣40x+420＝0，△＝1600﹣4×420＜0，故不能围成矩形花园面积为210m2．10．解：（1）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（20﹣3a）（8﹣2a）＝56，解得：a＝2或a＝（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米；（2）设人行通道的宽度应改为x米，根据题意得，＝，解得：x＝，答：人行通道的宽度应改为米．2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（二）1．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加件，每件商品，盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？2．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．由2017年的5000亿元增加到2019年的7500亿元．求我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率．（参考数值：≈2.45）3．某商场购进一批每盒40元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60元时，每天可售出400盒．当售价每提高1元时，销量就相应减少10盒．（1）若商场要每天获得9000元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？（2）过季处理时，经过两次打折商品每盒售价为29.4元，商场平均每次打几折？4．某商场销售一种商品，每件进货价为190元．调查发现，当每件销售价为210元时，平均每天能销售8件；当销售价每降低2元时，平均每天就能多销售4件．商场要想使这种商品平均每天的销售利润达到280元，且尽量减少库存，求每件商品的销售价应定为多少元？5．2020年以来，受疫情影响，一些传统商家向线上转型发展，某商家通过“直播带货”，商品网上零售额得以逆势增长．若该商家销售一种进价为每件40元的商品，当销售单价为80元时，平均每天可销售100件；经数据分析发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加10件．（1）当销售单价为65元时，每天的销售量为件；（2）该商家想在每天获得6000元利润的前提下，最大程度让利于顾客，应将销售单价定为多少元？6．某商店进了一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，使库存减少最快，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天多售出2件，当每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利达到1200元？7．为贯彻落实党的十九大关于实施健康中国战略的要求，满足职工群众对美好生活的新期待，促进城乡加速融合，我市总工会决定对开展职工春秋（乡村）游活动予以推进．据统计，我市某农庄今年7月接待了1280人参观游玩，后几月每月都有增加，若9月份该农庄接待了2880人参观游玩，且进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率相同．（1）求该农庄游玩人数的月平均增长率；（2）因条件限制，该农庄每月接待能力不超过5000人，在进入该农庄参观游玩人数的月平均增长率不变的条件下，该农庄能否全部接待10月份的参观游玩人数？并说明理由．8．某超市1月份的营业额为20万元，3月份的营业额为28.8万元，如果每月比上月增长的百分数相同，求平均每月的增长率为多少？9．研究所在研究某种流感病毒发现，若一人携带此病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患病（假设每轮每人传染的人数相同），求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？10．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，某快递公司今年三月份完成投递的快递总件数为10万件，五月份完成投递的快递总件数12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名业务员能否完成今年6月份的投递任务？为什么？参考答案1．解：（1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元，故答案为：2x，（50﹣x）．（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，化简得：x2﹣35x+250＝0，解得：x1＝10，x2＝25，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝10不合题意，舍去，∴x＝25，答：每件商品降价25元，商场日盈利可达2000元；2．解：设年平均增长率为x，依题意，得5000（1+x）2＝7500，整理，得x2+2x﹣＝0，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣（不合题意，舍去），∴x＝﹣1+≈﹣1+＝0.225＝22.5%．答：我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率约为22.5%．3．解：（1）设每盒月饼的售价应提高x元，每天获得9000元的利可润，根据题意得：（60+x﹣40）（400﹣10x）＝9000，解得：x＝10，∴60+x＝70．答：每盒月饼的售价应定为70元，每天获得9000元的利可润．（2）设每次打y折，根据题意可得：60＝29.4，解得：y1＝7，y2＝﹣7（不合题意舍去）．答：商场平均每次打七折．4．解：设每件商品降价x元销售，则每件商品的利润为（210﹣190﹣x）元，平均每天的销售量为8+×4＝（8+2x）件，依题意，得：（210﹣190﹣x）（8+2x）＝280，整理，得：x2﹣16x+60＝0，解得：x1＝6，x2＝10．当x＝6时，8+2x＝20，当x＝10时，8+2x＝28．∵要尽量减少库存，∴x＝10，∴210﹣x＝200．答：每件商品的销售价应定为200元．5．解：（1）100+10×（80﹣65）＝250（件）．故答案为：250．（2）设将销售单价定为x元，则销售每件商品的利润为（x﹣40）元，平均每天的销售量为100+10（80﹣x）＝（900﹣10x）件，依题意，得：（x﹣40）（900﹣10x）＝6000，整理，得：x2﹣130x+4200＝0，解得：x1＝60，x2＝70，又∵要最大程度让利于顾客，∴x＝60．答：销售单价定为60元．6．解：设每件衬衫应降价x元，则销售每件衬衫的利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得：x1＝10，x2＝20．当x＝10时，20+2x＝40；当x＝20时，20+2x＝60．∵要使库存减少最快，∴x＝20．答：当每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利达到1200元．7．解：（1）设该农庄游玩人数的月平均增长率为x，依题意，得：1280（1+x）2＝2880，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．答：该农庄游玩人数的月平均增长率为50%．（2）2880×（1+50%）＝4320（人），∵4320＜5000，∴该农庄能全部接待10月份的参观游玩人数．8．解：设平均每月的增长率为x，依题意，得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：平均每月的增长率为20%．9．解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，依题意，得：1+x+x（x+1）＝169，解得：x1＝12，x2＝﹣14（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．（2）169×（1+12）＝2197（人）．答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．10．解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，依题意，得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%．（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），0.6×21＝12.6（万件）．∵13.31＞12.6，∴该公司现有的21名业务员不能完成今年6月份的投递任务．2021年九年级数学中考复习——方程专题：一元二次方程实际应用（三）1．如图是一张长10dm，宽6dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个相同边长的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒．若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长．2．火锅是重庆人民钟爱的美食之一；解放碑某老火锅店为抓住“十一黄金周”这个商机，通过网上广告宣传和实地派发传单等一系列促销手段吸引了不少本地以及外地游客，火锅店门庭若市．据店员统计；仅“十一黄金周”前来店内就餐选择红汤火锅和清汤火锅的游客共2500人，其中红汤火锅和清汤火锅的人均消费分别为80元和60元．（1）“十一”期间，若选择红汤火锅的人数不超过清汤火锅人数的1.5倍，求至少有多少人选择清汤火锅？（2）随着“十一”的结束，前来店内就餐的人数逐渐减少，据接下来的第二周统计数据显示，与（1）选择清汤火锅的人数最少时相比，选择红汤火锅的人数下降了a%，选择清汤火锅的人数不变，但选择红汤火锅的人均消费增长了a%，选择清汤火锅的人均消费增长了，最终第二周两种火锅的销售总额与（1）中选择清汤火锅的人数最少时两种火锅的销售总额相等，求a的值．3．某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元．甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，每天少卖出2袋．乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋．假定甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数．（1）当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出袋，乙零食的售价为元；（2）当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润是268元？4．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB、BC边各为多少米？5．光明村下辖一组、二组共500户村民，1户村民有且只有1户房屋．在精准扶贫工作中，该村率先在一组开展蔬菜大棚升级和房屋外立面改造项目试点工作．已知该村平均1户居民有1.25个蔬菜大棚参与升级，1个蔬菜大棚升级费用比1户房屋外立面改造费用的2倍还多40元．经统计，光明村一组共100户村民，光明村一组蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的总费用不低于68000元．（1）1个蔬菜大棚升级费用最少多少元？（2）光明村一组蔬菜大棚升级和房屋外立面改造成功完成后，光明村二组计划按（1）中取得最小值时蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的价格开展上述两项精准扶贫工作．但由于各方面因素的影响，施工方将蔬菜大棚升级和房屋外立面改造的报价分别上涨了a%和a%．在实际施工中，为了降低总费用，村民们积极参与劳动，节约了部分人力成本与运输成本，使得1个蔬菜大棚升级费用与1户房屋外立面改造费用在施工方报价的基础上分别下降了2a%和（30+a）元．这样，光明村二组蔬菜大棚升级和房屋外立面的实际总费用为251000元，求a的值．6．为做好开学前后新冠肺炎疫情防控工作，保障广大师生员工生命安全和身体健康，重庆实验外国语学校决定向某医药生产厂家购买防疫物资，学校原计划订购84消毒液和医用酒精共5000瓶，已知消毒液每瓶单价24元，酒精每瓶单价20元．（1）据悉，学校计划购买防疫物资的总资金不超过112000元，那么原计划最多购买消毒液多少瓶？（2）后来，学校决定就以112000元的总资金，按照（1）中消毒液的最大数量进行购买，但学校后勤处通过调查统计发现医用酒精的需求量更大，于是学校接受了后勤处的建议，在原计划的基础上消毒液少订购了10a瓶，医用酒精多订购了原计划的，医药生产厂家决定对医用酒精给予优惠，单价降低元，消毒液单价不变，最终学校比原计划只多花费了10a元就完成了订购，求a（a≠0）的值．7．一根长8m的绳子能否围成一个面积为3m2的矩形？若能，请求出矩形的长和宽；若不能，请说明理由．8．一批发市场某服装批发价为240元/件．为拉动消费，该批发市场规定：当批发数量超过10件时，给予降价优惠，但批发价不得低于150元/件．经市场调查发现，优惠时批发价y（元/件）与x（件）之间成一次函数关系，当批发数量为15件时，批发价为210元/件；当批发数量为22件时，批发价为168元/件．（1）求批发价y（元/件）与x（件）之间的一次函数表达式；（2）在该市场降价优惠期间，某顾客一次性支付了3600元，求该顾客批发了多少件服装？9．2018年，某市某楼准备以每平方米5000元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金的周转，决定进行降价促销，经过连续两年的下调后，2020年的均价为每平方米4050元．（1）求平均每年下调的百分率；（2）假设2021年的均价仍然下调相同的百分率，则购买一套100平方米的房子需要多少万元？10．某商场销售一批名牌衬衣，平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存．商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天盈利1200元，每件衬衣降价多少元？参考答案1．解：设剪去的正方形边长为xdm，则做成的长方形纸盒的底面长为（10﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）dm，依题意，得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32，整理，得：x2﹣8x+7＝0，解得：x1＝1，x2＝7．∵6﹣2x＞0，∴x＜3，∴x＝1．答：剪去的正方形边长为1dm．2．解：（1）设有x人选择清汤火锅，则有（2500﹣x）人选择红汤火锅，依题意，得：2500﹣x≤1.5x，解得：x≥1000．答：至少有1000人选择清汤火锅．（2）依题意，得：80（1+a%）×（2500﹣1000）（1﹣a%）+60（1+a%）×1000＝80×（2500﹣1000）+60×1000，整理，得：12a2﹣120a＝0，解得：a1＝10，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为10．3．解：（1）甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出30﹣2×2＝26（袋），则乙销售了10袋，乙零食的售价为14﹣1＝13（元）．故答案为：26，13；（2）设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元，由题意得，（5+x）（30﹣2x）+（6+2x）（14﹣﹣7）＝268，∴3x2﹣31x+76＝0，解得x1＝4，x2＝，∵售价均为整数，∴x＝4．答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元．4．解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，x（36﹣3x）＝96，解得：x1＝4，x2＝8，当x＝4时，36﹣3x＝24＞20（不合题意，舍去），当x＝8时，36﹣3x＝12．答：AB＝8米，BC＝12米．5．解：（1）设1户房屋外立面改造费用为x元，则1个蔬菜大棚升级费用为（2x+40）元，依题意，得：100x+100×1.25（2x+40）≥68000，解得：x≥180，∴2x+40≥400．答：1个蔬菜大棚升级费用最少为400元．（2）依题意，得：400（1+a%）（1﹣2a%）×（500﹣100）×1.25+[180（1+a%）﹣（30+a）]×（500﹣100）＝251000，整理，得：4a2﹣900＝0，解得：a1＝15，a2＝﹣15（不合题意，舍去）．答：a的值为15．6．解：（1）设原计划购买消毒液x瓶，则原计划购买医用酒精（5000﹣x）瓶，依题意，得：24x+20（5000﹣x）≤112000，解得：x≤3000．答：原计划最多购买消毒液3000瓶．（2）依题意，得：24×（3000﹣10a）+（20﹣）×（5000﹣3000）（1+）＝112000+10a，整理，得：a2﹣50a＝0，解得：a1＝60，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为50．7．解：设矩形的长为xm，则宽为（﹣x）m，依题意，得：x（﹣x）＝3，整理，得：x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝1，当x＝3时，﹣x＝1＜3，符合题意；当x＝1时，﹣x＝3＞1，不符合题意，舍去．答：一根长8m的绳子能围成一个面积为3m2的矩形，围成矩形的长为3m，宽为1m．8．解：（1）设批发价y（元/件）与x（件）之间的一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将（15，210），（22，168）代入y＝kx+b，得：，解得：．当y＝150时，﹣6x+300＝150，解得：x＝25．∴批发价y（元/件）与x（件）之间的一次函数表达式为y＝．（2）240×10＝2400（元），150×25＝37500（元），∵2400＜3600＜37500，∴10＜x＜25．依题意，得：x（﹣6x+300）＝3600，整理，得：x2﹣50x+600＝0，解得：x1＝20，x2＝30（不合题意，舍去）．答：该顾客批发了20件服装．9．解：（1）设平均每年下调的百分率为x，根据题意得：5000（1﹣x）2＝4050，解得：x1＝10%，x2＝190%（舍去）．答：平均每年下调的百分率为10%．（2）如果下调的百分率相同，2021年的房价每平方米为：4050×（1﹣10%）＝3645（元），买100平方米的住房需3645×100＝364500（元）＝36.45（万元），答：购买一套100平方米的房子需要36.45万元．10．解：设每件衬衣降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．又∵要尽快减少库存，∴x＝20．答：每件衬衣降价20元．。

2021年中考数学考点复习专题-【一元二次方程】专项提升训练

2021中考数学复习专题【一元二次方程】专项提升训练一．选择题1．方程4x2＝5x+81化成一元二次方程一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．4、5、81B．4、﹣5、81C．4、﹣5、﹣81D．﹣4、﹣5、﹣812．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有（）A．6人B．7人C．8人D．9人3．关于x的方程3x2﹣2mx＝15，有一个根为3，则m的值等于（）A．2B．﹣C．﹣2D．4．用配方法将二次三项式x2+4x﹣96变形，结果正确的是（）A．（x+2）2﹣100B．（x﹣2）2﹣100C．（x+2）2﹣92D．（x﹣2）2﹣925．对于实数a、b，定义运算“★”如下：a★b＝a2﹣ab，如3★2＝32﹣3×2，则方程（x+1）★3＝2的根的情况是（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根6．一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣且k≠0B．k≥﹣1C．k≤﹣1且k≠0D．k≥﹣1或k≠07．关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x﹣3＝0的一个根是1，则另一根和k的值分别为（）A．x＝﹣3，k＝﹣3B．x＝3，k＝﹣3C．x＝3，k＝3D．x＝﹣3，k＝38．已知x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，则m+n的最大值等于（）A．B．4C．D．9．已知关于x的方程x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，则k的值为（）A．3B．6C．﹣6D．±610．如果x＝4是关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0的一个根，则另一个根是（）A．x＝2B．x＝3C．x＝1D．与p有关，不能确定二．填空题11．方程（2x﹣3）x＝3（2x﹣3）的根是．12．某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是．13．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为．14．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根x1，x2满足，则m＝．15．若一元二次方程x2﹣6x+1＝0可以配方成（x+p）2＝q的形式，则代数式p+q的值为．三．解答题16．按照要求解方程（1）x2+2x﹣2＝0（公式法）；（2）（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0（因式分解法）．17．已知关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围：（2）若方程的两个实数根x1，x2，＝x1x2﹣2，求k的值．18．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留2米宽的小门EF（不用篱笆），设AD长为x米，AB长为y米．（1）求y关于x的函数表达式，并直接写出x的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．19．“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩．（1）求该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均年增长率．（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克．①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？20．有n个方程：x2+2x﹣8＝0；x2+2×2x﹣8×22＝0；…；x2+2nx﹣8n2＝0．小静同学解第1个方程x2+2x﹣8＝0的步骤为：“①x2+2x＝8；②x2+2x+1＝8+1；③（x+1）2＝9；④x+1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝﹣2．”（1）小静的解法是从第几步骤开始出现错误的？请把以后正确步骤完成．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2＝0．（用含有n的式子表示方程的根）参考答案一．选择题1．解：方程4x2＝5x+81，整理得：4x2﹣5x﹣81＝0，则二次项系数为4，一次项系数为﹣5，常数项为﹣81．故选：C．2．解：设参加活动的同学有x人，则每人送出（x﹣1）张贺卡，依题意得：x（x﹣1）＝42，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．故选：B．3．解：∵关于x的方程3x2﹣2mx＝15的一个根是3，∴3×32﹣6m＝15，解得m＝2．故选：A．4．解：x2+4x﹣96＝x2+4x+4﹣4﹣96＝（x+2）2﹣100，故选：A．5．解：∵（x+1）★3＝2，∴（x+1）2﹣3（x+1）＝2，即x2﹣x﹣4＝0，∴△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴方程（x+1）★3＝2有两个不相等的实数根．6．解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣2＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4k×（﹣2）＝4+8k≥0，k≠0，解得：k≥﹣且k≠0，故选：A．7．解：当x＝1时，1+k﹣1﹣3＝0，解得：k＝3，则x2+2x﹣3＝0，设方程x2+2x﹣3＝0的解为x1、x2，则有：x1+x2＝﹣2，∵x1＝1，∴x2＝﹣3．∴另一根和k的值分别为x＝﹣3，k＝3．故选：D．8．解：∵x＝m是一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0的一个根，∴x＝m满足一元二次方程x2+2x+n﹣3＝0，∴m2+2m+n﹣3＝0，∴n＝﹣m2﹣2m+3，∴m+n＝m﹣m2﹣2m+3＝﹣（m﹣）2+≤，∴m+n的最大值为，9．解：∵（x﹣m）2＝0，∴x2﹣2mx+m2＝0，∵x2﹣kx+9＝0可以配方成（x﹣m）2＝0的形式，∴m2＝9，则m＝±3，∴k＝2m＝±6，故选：D．10．解：（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，x2﹣5x+6﹣p2＝0，设方程的另一个解为x＝t，根据题意得4+t＝5，解得t＝1，∴另一个根是x＝1．故选：C．二．填空题11．解：移项得，（2x﹣3）x﹣3（2x﹣3）＝0，分解因式得：（2x﹣3）（x﹣3）＝0，解得：x1＝，x2＝3．故答案为：x1＝，x2＝3．12．解：设该店销售额平均每月的增长率为x，依题意，得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．故答案是：20%．13．解：∵y2﹣y﹣＝0，∴y2﹣y+＝1，∴（y﹣）2＝1，故答案为（y﹣）2＝1．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1＝0的两根是x1、x2，∴x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝m2﹣2（2m﹣1），∵x12+x22＝14，∴m2﹣2（2m﹣1）＝14，解得m＝6或m＝﹣2，当m＝6时，方程为x2﹣6x+11＝0，此时△＝（﹣6）2﹣4×11＝36﹣44＝﹣8＜0，不合题意，舍去，∴m＝﹣2，故答案为：﹣2．15．解：∵x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣6x＝﹣1，∴x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8，∴p＝﹣3，q＝8，则p+q＝﹣3+8＝5，故答案为：5．三．解答题16．解：（1）∵a＝1，b＝2，c＝﹣2，∴△＝22﹣4×1×（﹣2）＝12＞0，则x＝＝＝﹣1，即x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵（x+2）2﹣4（x﹣3）2＝0，∴[（x+2）+2（x﹣3）][（x+2）﹣2（x﹣3）]＝0，即（3x﹣4）（﹣x+8）＝0，则3x﹣4＝0或﹣x+8＝0，解得x1＝，x2＝8．17．解：（1）∵关于x的方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴△≥0，即62﹣4×（k+1）≥0，解得k≤8，∴k的取值范围为k≤8；（2）∵方程x2﹣6x+k+1＝0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2＝6，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣2，∴＝x1x2﹣2，∴＝k+1﹣2，即（k+1）2﹣2（k+1）﹣120＝0，∴k1＝11，k2＝﹣11，∵k≤8，∴k＝﹣11．18．解：（1）∵AD＝BC＝x米，AB+AD+BC＝34+2＝36（米），∴AB＝（36﹣2x）米．∵，∴9≤x≤17．（2）依题意，得：x（36﹣2x）＝160，整理，得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝10．答：AD的长为10米．19．解：（1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，依题意，得：100（1+x）2＝256，解得：x1＝0.6＝60%，x2＝﹣2.6（不合题意，舍去）．答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．（2）①设售价应降低y元，则每天可售出（200+45y）千克；②依题意，得：（20﹣10﹣y）（200+45y）＝2125，整理，得：9y2﹣50y+25＝0，解得：y1＝5，y2＝．∵要尽量减少库存，∴y＝5．答：售价应降低5元．20．解：（1）小静的解法是从第⑤步骤开始出现错误，正确解法如下：∵x2+2x﹣8＝0，∴x2+2x＝8，∴x2+2x+1＝8+1，即（x+1）2＝9，则x+1＝±3，∴x＝﹣1±3，∴x1＝2，x2＝﹣4；（2）∵x2+2nx﹣8n2＝0，∴x2+2nx＝8n2，∴x2+2nx+n2＝8n2+n2，∴（x+n）2＝9n2，∴x+n＝±3n，∴x1＝2n x2＝﹣4n．。

【九年级】2021年九年级数学上一元二次方程解法专题练习(含答案)

【九年级】2021年九年级数学上一元二次方程解法专题练习(含答案)2021年九年级数学上册一元二次方程解法专题练习题一用适当的方法或按要求解下列一元二次方程：1、x（x+4）=5（x+4）2、(x-2)2=3(x-2)3、x（x?1）=2（x+1）（1?x）4、2（x?3）2=?x（3?x）5、(2x?1)2=(3?x)26、3（x?1）2=x（x?1）7、x2?6x?9=0（分体式方法）8、3x2=2?5x（公式法）9、x2+2x?1=010、x2-4x+1=011、（x?1）2?2（x?1）=15．12、?3x2+4x+1=0．13、2x2＋3＝7x;14、(1－2x)2＝x2－6x＋9.15、（x?1）（x?3）=8．16、3x2?6x+1=0（用配方法）17、x(x+4)=8x+1218、3y2＋4y－4=019、x2?2x=2x+1．20、x（x?3）=4x+6．21、2x2－4x－1＝0.22、2x2－5x－3＝0.23、x2－2x－24＝0.24、x2?4x+2=025、(x+3)(x－1)＝12二、答疑题26、已知一元二次方程x2－11x＋30=0的两个解恰好分别是等腰△abc的底边长和腰长，求△abc底边上的高.27、未知关于x的一元二次方程x2+x+m2?2m=0存有一个实数根为?1，谋m的值及方程的另一实根．28、已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式(m+1)2+(m+1)(m-1)的值．29、未知关于x的一元二次方程(a-1)x2-5x+4a-2=0的一个根为x=3.（1）求a的值及方程的另一个根;（2）如果一个等腰三角形（底和腰不成正比）的三边短都就是这个方程的木，谋这个三角形的周长.30、先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2?2x?2=0的正数根．31、先化简，再表达式：，其中a就是方程x2+4x-3=0的木．32、先化简，再求值：，其中m是方程2x2+4x-1=0的根．33、用分体式方法证明：(1)a2－a＋1的值为正；(2)－9x2＋8x－2的值小于0.34、(1)解方程：①x2-6x-4=0；②x2-12x+27=0．(2)轻易写下方程(x2-6x-4)(x2-12x+27)=0的求解：．35、现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）谋4※7的值；（2）求x※x+2※x?2※4=0中x的值；（3）不论x就是什么数，总存有a※x=x，谋a的值．36、阅读下面的例题，解方程（x?1）2?5|x?1|?6=0.解方程x2?|x|?2=0；解：原方程化为|x|2?|x|?2=0．令y=|x|，原方程化成y2?y?2=0解得：y1=2y2=?1当|x|=2，x=±2；当|x|=?1时（相左题意，舍弃）∴原方程的解法x1=2，x2=?2．37、基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．（1）先行利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．38、例如图，在△abc中，ab=10，点p从点a已经开始沿ac边向点c以2m/s的速度匀速移动，同时另一点q由c点已经开始以3m/s的速度沿着cb匀速移动，几秒时，△pcq的面积等同于450m2？参考答案1、x（x+4）?5（x+4）=0，（x+4）（x?5）=0，x+4=0或x?5=0，所以x1=?4，x2=5．2、略；3、x（x?1）=2（x+1）（1?x），移项得：x（x?1）+2（x+1）（x?1）=0，因式分解得：（x?1）（x+2x+2）=0，x?1=0，或x+2x+2=0，解得：x1=1，x2=?．4、2（x?3）2?x（x?3）=0，（x?3）（2x?6?x）=0，x?3=0或2x?6?x=0，所以x1=3，x2=6．5、可用直接开平方6、3（x?1）2=x（x?1），3（x?1）2?x（x?1）=0，（x?1）[3（x?1）?x]=0，x?1=0，3（x?1）?x=0，x1=1，x2=．7、x2?6x+9?9=18，x2?6x+9=18，（x?3）2=18，x?3=±3，x1=3+3，x2=3?3；8、∵a=3，b=5，c=?2，∵b2?4ac=52?4×3×（?2）=49＞0，∴x==，∴x1=?2，x2=．9、x2+2x+1=2，（x+1）2=2，x+1=±，所以x1=?1+，x2=?1?；10、略；11、解：（x?1）2?2（x?1）?15=0，[（x?1）?5][（x?1）+3]=0，（x?1）?5=0或（x?1）+3=0，所以x1=?6，x2=?2．12、?3x2+4x+1=0，3x2?4x?1=0，b2?4ac=（?4）2?4×3×（?1）=28，x=，x1=，x2=．13、x1＝，x2＝3.14、因式分解，得(1-2x)2=(x-3)2.开平方，得1-2x=x-3或1－2x=-(x-3)．Champsaurx1=，x2＝-2.15、x2?4x?5=0，（x?5）（x+1）=0，x?5=0或x+1=0，所以x1=5，x2=?1．16、3x2?6x+1=0，3x2?6x=?1，x2?2x=?，x2?2x+1=?+1，（x?1）2=，x?1=，x1=1+，x2=1?；17、x1=-2,x2=6;18、19、原方程化成：x2?4x=1配方，得x2?4x+4=1+4整理，得（x?2）2=5∴x?2=，即x1=2，x2=2．20、【答疑】求解：x2?7x?6=0，△=（?7）2?4×1×（?6）=73，x=，所以x1=，x2=．21、∵a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝16＋8＝24，∴x＝＝.∴x1＝，x2＝.22、x2－x＝，x2－x＋＝.(x－)2＝.x－＝±.∴x1＝3，x2＝－.23、.移项，得x2－2x＝24.配方，得x2－2x＋1＝24＋1，即(x－1)2＝25.开方，得x －1＝±5.∴x1＝6，x2＝－4.24、方程整理得：x2?4x=?2，配方得：x2?4x+4=2，即（x?2）2=2，开方得：x?2=±，Champsaur：x1=2+，x2=2?；25、26、4或。

2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程(含答案解析)

2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=5162．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5 3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．94．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥145．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．20226．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A．（1+n）2＝931B．n（n﹣1）＝931C．1+n+n2＝931D．n+n2＝9319．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝6010．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝4511．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为． 13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为． 16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为． 18．若关于x 的方程2x 2+x ﹣m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值等于． 19．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x +n ﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n 的值是．20．如果（m +2）x |m |+x ﹣2＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为． 21．已知a ，b 是方程x 2+3x ﹣1＝0的两根，则a 2b +ab 2的值是．22．若a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，则a 3﹣a 2+5b ﹣2＝． 23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是． 24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= ．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝．26．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为．28．如果关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．29．已知关于x的方程x2﹣mx+1＝0的一个根为1，那么m的值是．30．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．33．已知关于x的方程2x2﹣5x+k＝0的一个根是1，求k的值和另一个根．34．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件（20≤x≤40）．（1）请用含售价x（元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？42．解下列方程（x﹣2）2﹣9＝0．43．解方程：x2+5＝6x．44．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．2021年长沙市中考数学总复习：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．用配方法解方程4x2﹣2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x−12）2=12B．（x−14）2=12C．（x−14）2=316D．（x−14）2=516【解答】解：4x2﹣2x﹣1＝0，x2−12x=14，x2−12x+（14）2=14+（14）2，（x−14）2=516．故选：D．2．小亮根据x的取值：1.1，1.2，1.3，1.4，1.5分别代入x2+12x﹣15求值，估算一元二次方程的近似解x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x﹣15﹣0.590.84 2.29 3.76 5.25由此可确定一元二次方程x2+12x﹣15＝0的近似解x的范围正确的是（）A．1.1＜x＜1.2B．1.2＜x＜1.3C．1.3＜x＜1.4D．1.4＜x＜1.5【解答】解：由表可以看出，当x取1.1与1.2之间的某个数时，y＝0，即这个数是x2+12x ﹣15＝0的一个根．x2+12x﹣15＝0的一个解x的取值范围为1.1＜x＜1.2．故选：A．3．一元二次方程x2+6x+9＝0的常数项是（）A．0B．1C．6D．9【解答】解：方程x2+6x+9＝0是一元二次方程的一般形式，其中常数项是9．故选：D．4．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜14B．k≤14C．k＞14D．k≥14【解答】解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤1 4．故选：B．5．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（）A．﹣2018B．2018C．2020D．2022【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，则原式＝ab﹣a﹣b+1＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A．6．关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，∴x1x2＝﹣2x2＝﹣2，x1+x2＝﹣2+1=−k 2，解得：x2＝1，k＝2，则方程的另一个根x2和k的值为x2＝1，k＝2．故选：A．7．下列关于x的方程ax2﹣bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（）A．无实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．有且只有一个实数根【解答】解：∵△＝（﹣b）2﹣4a×0＝b2，而a，b是不为0的常数，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．8．2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有931人参与了传播活动，则方程列为（）A ．（1+n ）2＝931B ．n （n ﹣1）＝931C ．1+n +n 2＝931D ．n +n 2＝931【解答】解：由题意，得 n 2+n +1＝931，故选：C ．9．某超市2020年3月份的猪肉价格为60元/千克，经过两个月连续两次降价后，5月份的猪肉价格为40元/千克，设平均每次降价的百分率为x ，则根据题意可列方程为（） A ．60（1﹣2x ）＝40 B ．60（1﹣x ）2＝40 C ．40（1+2x ）＝60D ．40（1+x ）2＝60【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程： 60（1﹣x ）2＝40．故选：B ．10．一次围棋比赛，要求参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（） A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x +1）＝45C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x +1）＝45【解答】解：本次比赛共有x 个参赛棋手，所以可列方程为：12x （x ﹣1）＝45．故选：A ．11．若12﹣3k ＜0，则关于x 的一元二次方程x 2+4x +k ＝0的根的情况是（） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】解：△＝42﹣4k ＝16﹣4k ， ∵12﹣3k ＜0， ∴k ＞4，∴16﹣4k ＜0，即△＜0， ∴方程无实数根．故选：C ．二．填空题（共19小题）12．若关于x 的方程kx 2﹣kx +1＝0有两个相等的实数根，则实数k 的值为 4 ．【解答】解：根据题意得k ≠0且△＝k 2﹣4k ＝0，解得k ＝4．故答案为4．13．如果关于x 的一元二次方程（m +1）x 2﹣2x ﹣1＝0有两个实数根，那么m 的取值范围是 m ≥﹣2且m ≠﹣1 ．【解答】解：根据题意得m +1≠0且△＝（﹣2）2﹣4（m +1）×（﹣1）≥0，解得m ≥﹣2且m ≠﹣1．故答案为m ≥﹣2且m ≠﹣1．14．已知关于x 的一元二次方程（14m ﹣1）x 2﹣x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是 m ≤5且m ≠4 ．【解答】解：∵一元二次方程有实数根， ∴△=1−4×(14m −1)≥0且14m −1≠0，解得：m ≤5且m ≠4，故答案为：m ≤5且m ≠4．15．若一元二次方程x 2﹣c ＝0的一个根为x ＝1，则另一个根为 x ＝﹣1 ．【解答】解：把x ＝1代入方程得：c ＝1，方程为x 2﹣1＝0，即x 2＝1，开方得：x ＝1或x ＝﹣1，则另一根为x ＝﹣1．故答案为：x ＝﹣1．16．一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2的根是 x 1＝2，x 2＝4 ．【解答】解：（x ﹣3）（x ﹣2）＝x ﹣2，（x ﹣3）（x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，（x ﹣2）（x ﹣3﹣1）＝0， x ﹣2＝0或x ﹣3﹣1＝0，所以x 1＝2，x 2＝4．故答案为：x 1＝2，x 2＝4．17．若关于x 的一元二次方程x 2+3x +a ＝0有一个实数根为x ＝﹣2，则另一个实数根为 ﹣1 ．【解答】解：设另一个实数根为t，根据题意得﹣2+t＝﹣3，解得t＝﹣1．故答案为﹣1．18．若关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值等于−18．【解答】解：∵关于x的方程2x2+x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣m）＝0，解得：m=−1 8，故答案为：−1 8．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，则1m−n的值是﹣3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+n﹣3＝0有两个相等实数根，∴m≠0，△＝（﹣2）2﹣4m（n﹣3）＝0，解得：mn﹣3m＝1，除以m得：n﹣3=1 m，∴1m−n＝﹣3，故答案为：﹣3．20．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为2．【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得m＝±2，m≠﹣2，∴m＝2，故答案为：2．21．已知a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则a2b+ab2的值是3．【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴根据根与系数的关系得：a+b＝﹣3，ab＝﹣1，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3，故答案为：3．22．若a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两个不同的实数根，则a3﹣a2+5b﹣2＝3．【解答】解：∵a ，b 是方程x 2﹣x ﹣5＝0的两个不同的实数根，∴a 2﹣a ＝5，a +b ＝1，∴a 3﹣a 2＝5a ，∴a 3﹣a 2+5b ﹣2＝5a +5b ﹣2＝5（a +b ）﹣2＝5×1﹣2＝3．故答案为：3．23．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＞98 ．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2﹣3x +2＝0无实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k ×2＜0且k ≠0，解得k ＞98，故答案为：k ＞98．24．若方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两个根分别为x 1和x 2，则1x 1+1x 2= −34 ．【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣4，所以1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=3−4=−34．故答案为−34．25．关于x 的方程ax 2﹣bx ﹣c ＝0的系数满足ac ＞0，则此方程的根x ＝b±√b 2+4ac 2a ．【解答】解：∵ax 2﹣bx ﹣c ＝0，∴△＝b 2+4ac ，∵对于任意实数b ，b 2≥0，ac ＞0，∴b 2+4ac ＞0，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根．∴x =b±√b 2+4ac 2a ．故答案为：b±√b 2+4ac 2a ．26．已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，则式子3m 2+6m ﹣mn 的值为 4 ．【解答】解：∵m 是方程x 2+2x ﹣1＝0的根，∴m 2+2m ﹣1＝0，∴m 2+2m ＝1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2（m 2+2m ）﹣mn ＝2×1﹣mn ＝2﹣mn ，∵m ，n 是方程x 2+2x ﹣1＝0的两个实数根，∴mn ＝﹣1，∴3m 2+6m ﹣mn ＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．27．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 x （x +12）＝864 ．【解答】解：∵矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，∴矩形的长为（x +12）步．依题意，得：x （x +12）＝864．故答案为：x （x +12）＝864．28．如果关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +k ＝0有两个相等的实数根，那么实数k 的值是94 ．【解答】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4k ＝0，解得k =94．故答案为94． 29．已知关于x 的方程x 2﹣mx +1＝0的一个根为1，那么m 的值是 2 ．【解答】解：当x ＝1时，方程x 2﹣mx +1＝0为12﹣m +1＝0，即2﹣m ＝0，解得m ＝2，故答案为：2．30．已知关于x 的方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x 的方程a （x +c ﹣2）2+b ＝0的两根分别为 3，0 ．【解答】解：方法一：∵方程a （x +c ）2+b ＝0（a ，b ，c 为常数，a ≠0）的两根分别为﹣2，1，∴a （﹣2+c ）2+b ＝0或a （1+c ）2+b ＝0，∴（﹣2+c ）2=−b a 或（1+c ）2=−b a ，∴﹣2+c +1+c ＝0，解得，c＝0.5，∴（﹣2+0.5）2=−b a，∴−ba=94，∵a（x+c﹣2）2+b＝0，∴（x+0.5﹣2）2=9 4，解得，x1＝3，x2＝0，故答案为：3，0．方法二：∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，∴方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为：﹣2+2＝0或1+2＝3，故答案为：3，0．三．解答题（共20小题）31．解方程：（1）5x2﹣3x＝x+1；（2）x（x﹣2）＝3x﹣6．【解答】解：（1）将方程整理为一般式为5x2﹣4x﹣1＝0，则（x﹣1）（5x+1）＝0，∴x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x1＝1，x2＝﹣0.2；（2）∵x（x﹣2）＝3x﹣6，∴x（x﹣2）﹣3（x﹣2）＝0，则（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．32．若一元二次方程x2﹣x＝1的两个实数根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．【解答】解：∵x2﹣x＝1，∴x2﹣x﹣1＝0，∴x1+x2＝1、x1x2＝﹣1，∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣1﹣1+1＝﹣1．33．已知关于x 的方程2x 2﹣5x +k ＝0的一个根是1，求k 的值和另一个根．【解答】解：将x ＝1代入原方程，得：2×12﹣5×1+k ＝0，解得：k ＝3，∴原方程为2x 2﹣5x +3＝0，∴方程的另一个根为52−1=32． 34．已知：关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．【解答】（1）证明：∵a ＝1，b ＝﹣（m ﹣1），c ＝﹣m ，∴△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（m ﹣1）]2﹣4×1×（﹣m ）＝m 2+2m +1＝（m +1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：将x ＝1代入原方程，得：12﹣（m ﹣1）×1﹣m ＝0，解得：m ＝1，∴原方程为x 2﹣1＝0，∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．35．“疫情”期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40）．（1）请用含售价x （元/件）的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；（2）已知每件工艺品需要20元成本，每天销售该工艺品的纯利润为900元．①求该商品的售价；②为了支持“抗疫”行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额．【解答】解：（1）∵该商品的售价为x 元/件（20≤x ≤40），且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，∴每天能售出该工艺品的件数为60+3（40﹣x ）＝（180﹣3x ）件．（2）①依题意，得：（x ﹣20）（180﹣3x ）＝900，整理，得：x 2﹣80x +1500＝0，解得：x 1＝30，x 2＝50（不合题意，舍去）．答：该商品的售价为30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元．36．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0∴n＝4，m＝4．根据上述材料，解答下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝0，求x+2y的值；（2）已知a﹣b＝6，ab+c2﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2﹣2y+1＝x2﹣2xy+y2+y2﹣2y+1＝（x﹣y）2+（y﹣1）2＝0，∴x﹣y＝0，y﹣1＝0，∴y＝1，x＝1，∴x+2y＝1+2＝3；（2）∵a﹣b＝6，即a＝b+6，代入得：b（b+6）+c2﹣4c+13＝0，整理得：（b2+6b+9）+（c2﹣4c+4）＝（b+3）2+（c﹣2）2＝0，∴b+3＝0，c﹣2＝0，解得b＝﹣3，c＝2，则a＝3，则a+b+c＝3﹣3+2＝2．37．已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，化简：|1−m|+√m2+4m+4．【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4（m﹣1）2﹣4（m2+5）＞0，即﹣8m﹣16＞0，解得：m＜﹣2，则|1−m|+√m2+4m+4＝|1﹣m|+|m+2|＝1﹣m﹣m﹣2＝﹣2m﹣1．38．解方程：（2x+3）2＝（x﹣1）2．【解答】解：方法一：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴2x+3＝x﹣1或2x+3＝1﹣x，解得x1＝﹣4，x2=−2 3．方法二：∵（2x+3）2＝（x﹣1）2，∴（2x+3）2﹣（x﹣1）2＝0，则（2x+3+x﹣1）（2x+3﹣x+1）＝0，∴3x+2＝0或x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2=−2 3．39．解下列一元二次方程（1）x2+4x﹣8＝0（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）【解答】解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，∴x2+4x＝8，则x2+4x+4＝8+4，即（x+2）2＝12，∴x+2＝±2√3，∴x1＝﹣2+2√3，x2＝﹣2﹣2√3；（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，解得x1＝3，x2＝8．40．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得：△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，解得：m＜0．∴m的取值范围是m＜0．（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，∵x12+x22＝12，∴(x1+x2)2−2x1x2＝12，∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），∴m的值是﹣2．41．因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？【解答】解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：20（1+x）2＝28.8，解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．（2）设每杯售价定为a元，由题意得：（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，解得：a1＝21，a2＝20．∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．42．解下列方程（x ﹣2）2﹣9＝0．【解答】解：∵（x ﹣2）2﹣9＝0，∴（x ﹣2）2＝9，∴x ﹣2＝±3，∴x ﹣2＝3或x ﹣2＝﹣3，解得，x 1＝5，x 2＝﹣1．43．解方程：x 2+5＝6x ．【解答】解：x 2+5＝6x ，x 2﹣6x +5＝0，（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，x ﹣1＝0，x ﹣5＝0，x 1＝1，x 2＝5．44．如图1，有一张长40cm ，宽20cm 的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm ，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm 2，求纸盒的高．【解答】解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm ），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm ）．答：纸盒底面长方形的长为17cm ，宽为14cm ．（2）设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是150cm 2，依题意，得：(40−2x)2×（20﹣2x ）＝150，化简，得：x 2﹣30x +125＝0，解得：x 1＝5，x 2＝25．当x ＝5时，20﹣2x ＝10＞0，符合题意；当x ＝25时，20﹣2x ＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150cm2，纸盒的高为5cm．45．已知关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤94且k≠0，∵x1+x2=−3k，x1x2=1k，而x1+x2+x1x2＝4，∴−3k+1k=4，解得k＝1，经检验，k＝1为分式方程的解，∴k的值为1．46．已知Rt△ABC的两条直角边长为一元二次方程x2+kx+12＝0的两根．（1）当k＝﹣7时，求Rt△ABC的周长；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，求k的值及△ABC的周长．【解答】解：（1）当k＝﹣7时，方程为x2﹣17x+12＝0，解得x1＝3，x2＝4，此时直角三角形的两直角边分别为3，4，所以斜边为√32+42=5，所以Rt△ABC的周长为3+4＝5＝12；（2）当Rt△ABC为等腰直角三角形时，即一元二次方程x2+kx+12＝0的两根相等，则△＝k2﹣4×12＝0，解得k＝±4√3，因为两直角边的和为﹣k＞0，所以k＝﹣4√3，所以两直角边为2√3，2√3，所以斜边为2√3×√2=2√6，所以△ABC的周长为2√3+2√3+2√6=4√3+2√6．47．在实数范围内，对于任意实数m、n（m≠0）规定一种新运算：m⊗n＝m n+mn﹣3，例如：3⊗2＝32+3×2﹣3＝12．（1）计算：（﹣2）⊗（﹣1）；（2）若x⊗1＝﹣27，求x的值；（3）若（﹣y）⊗2的最小值为a，求a的值．【解答】解：（1）（﹣2）⊗（﹣1）＝（﹣2）﹣1+（﹣2）×（﹣1）﹣3=−32；（2）由题意得x⊗1＝x+x﹣3＝﹣27，解得x＝﹣12；（3）（﹣y）⊗2＝y2﹣2y﹣3＝（y﹣1）2﹣4，∵（y﹣1）2﹣4的最小值为﹣4，∴a的值为﹣4．48．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？【解答】解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．49．解方程：（1）x2﹣16＝0；（2）4x2+1＝﹣4x．【解答】解：（1）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4，即x1＝4，x2＝﹣4；（2）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2=−1 2．50．解方程：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0．（2）3x2﹣5x﹣1＝0．【解答】解：（1）3x（x﹣4）﹣2（x﹣4）＝0，（x﹣4）（3x﹣2）＝0，x﹣4＝0，3x﹣2＝0，x1＝4，x2=2 3；（2）3x2﹣5x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝37，x=5±√37 2×3，x1=5+√376，x2=5−√376．第21 页共21 页。

【通用版】2021年中考数学《一元二次方程》专题训练(含答案)

【通用版】中考数学系列专题训练（含答案）1、一元二次方程A级基础题1．一元二次方程x2－3x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝32．(浙江舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是( )A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(江苏南京改编)解方程(x－5)2＝19，用以下哪种方法最恰当( )A．配方法 B．直接开平方法 C．因式分解法 D．公式法4．(湖南娄底)关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定5．(湖南湘潭)若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是( )A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜16．如图214，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )图214A．7 m B．8 mC．9 m D．10 m7．(吉林)若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为________．8．一元二次方程x2－2x＝0的解是____________．9．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为____________．10．已知关于x的方程x2＋2x＋a－2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．11．(沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2.3.4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．12.先化简，再求值：(x －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－1，其中x 为方程x2＋3x ＋2＝0的根．B 级中等题13．已知2是关于x 的方程x2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( )A ．10B ．14C ．10或14D ．8或1014．(四川南充)若2n(n≠0)是关于x 的方程x2－2mx ＋2n ＝0的根，则m －n 的值为________．15．(四川绵阳)已知a ＞b ＞0，且2a ＋1b ＋3b －a ＝0，则b a＝________. 16．(黑龙江绥化)已知关于x 的一元二次方程x2＋(2m ＋1)x ＋m2－4＝0.(1)当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m 的值．C 级拔尖题17．(江苏盐城)某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒.2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．(1)2014年这种礼盒的进价是多少元每盒？(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？参考答案1．D 2.B 3.B 4.A 5.D 6.A7．－1 8.x1＝0，x2＝2 9.－4,210．解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，a－2>0.解得a<3.∴Δ＝22－4()(2)∵该方程的一个根为1，∴1＋2＋a－2＝0.解得a＝－1.∴原方程为x2＋2x－3＝0.解得x1＝1，x2＝－3.∴a＝－1，方程的另一根为－3.11．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．12．解：原式＝(x －1)÷2－x －1x ＋1＝(x －1)÷1－x x ＋1＝(x －1)×x ＋11－x＝－x －1. 由x 为方程x2＋3x ＋2＝0的根，解得x ＝－1，或x ＝－2. 当x ＝－1时，原式无意义，所以x ＝－1舍去；当x ＝－2时，原式＝－(－2)－1＝2－1＝1.13．B 14.12 15.－1＋3216．解：(1)∵方程x2＋(2m ＋1)x ＋m2－4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2m ＋1)2－4(m2－4)＝4m ＋17＞0，解得m ＞－174. ∴当m ＞－174时，方程有两个不相等的实数根． (2)设方程的两根分别为a ，b ，根据题意，得a ＋b ＝－2m －1，ab ＝m2－4.∵2a,2b 为边长为5的菱形的两条对角线的长，∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝(－2m －1)2－2(m2－4)＝25.解得m ＝－4或m ＝2.∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ＝－2m －1＞0.∴m ＝－4.17．解：(1)设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为(x －11)元/盒．根据题意，得3500x ＝2400x －11. 解得x ＝35.经检验：x ＝35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．(2)设年增长率为a ，2014年的销售数量为3500÷35＝100(盒)．根据题意，得(60－35)×100(1＋a)2＝(60－35＋11)×100.解得a ＝0.2＝20%或a ＝－2.2(不合题意，舍去)．答：年增长率为20%.专题2：投影与视图---三视图1. 下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是( )A.圆锥B.六棱柱C.球D.四棱锥2. 一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为( )A.2πB.12π C.4π D.8π 3. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A.四棱锥B.四棱柱C.三棱锥D.三棱柱4. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( )5. 已知某几何体的三视图(单位：cm)，则该几何体的侧面积等于( )A.12πcm2B.15πcm2C.24πcm2D.30πcm26. 用4个棱长为1的正方体搭成一个几何体模型，其主视图与左视图如图所示，则该立方体的俯视图不可能是( )7. 下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )8. 由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的、和的形状，然后综合起来考虑整体形状.9. 一个长、宽、高都互不相等的长方体的主视图、俯视图、左视图都是 .10. 一座楼房的三种视图中，图可以反映出楼房的高度，图可以反映出楼房的建筑面积.11. 三视图都是正方形的几何体是.12. 如图所给的三视图表示的几何体是.13. 如图，由四个小立方体组成的几何体中，若每个小立方体的棱长都是1，则该几何体俯视图的面积是.14. 如图，这是一个长方体的主视图和俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方体的体积是cm3，表面积为.15. 下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为(结果保留π).16. 图甲是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是(把图乙中正确的立体图形的序号都填在横线上).17. 三棱柱及其三视图如图所示，△EFG中，EG＝12cm，∠EGF＝30°，则AB的长为cm.18. 如图是一个几何体的三视图(单位：厘米).(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D.请你求出这个线路的最短路程.19. 如图所示，是由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.(1)请你画出这个几何体的一种左视图；(2)若组成几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.参考答案：1—7 CCDAB DC8. 前面上面左侧面9. 长方形10. 主视或左视俯视11. 正方体12. 圆锥13. 314. 18 42cm215. 24π16. ①②④17. 618. 解：(1)圆锥；(2)表面积S＝S扇形＋S圆＝πrl＋πr2＝12π＋4π＝16π(平方厘米)；(3)如图将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程.由条件得，∠BAB′＝120°，C为弧BB′的中点，所以BD＝33(厘米).19. 解：(1)左视图有答图所示的5种情形.(2)n＝8,9,10,11.专题3：命题与证明一、选择题1.下列命题中，错误的是（）A. 矩形的对角线互相平分且相等B. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等C. 等腰梯形的两条对角线相等D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2.下列说法中，正确的是（）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个角的余角一定比这个角小C. 一对对顶角的两条角平分线必在同一条直线上D. 有公共顶点并且相等的两个角是对顶角。

2021年中考数学一元二次方程测试题(附答案)

2021年中考数学一元二次方程测试题（附答案）一、单选题（共6题；共12分）1.关于的一元二次方程 ax 2−2x +2=0 有两个相等的实数根，则a 的值为（） A. 12 B. −12 C. 1 D. -12.关于x 的方程 (x −1)(x +2)=ρ2 （ ρ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A. 两个正根B. 两个负根C. 一个正根，一个负根D. 无实数根3.目前以 5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展.某市2019年底有 5G 用户2万户，计划到2021年底全市 5G 用户数累计达到8.72万户.设全市 5G 用户数年平均增长率为 x ，则 x 值为（）A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%4.定义运算： m ☆n =mn 2−mn −1 .例如 :4☆2=4×22−4×2−1=7 .则方程 1☆x =0 的根的情况为（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根 5.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x.则可列方程为（）A. 5000(1+2x)=7500B. 5000×2(1+x)=7500C. 5000(1+x)2=7500D. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75006.关于x 的一元二次方程 x 2+(k −3)x +1−k =0 根的情况，下列说法正确的是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定二、填空题7.一元二次方程 x 2+2x −8=0 的两根为 x 1,x 2 ，则 x 2x 1+2x x 12+x1x 2= ________ 8.已知关于x 的一元二次方程 (m −1)2x 2+3mx +3=0 有一实数根为 −1 ，则该方程的另一个实数根为________9.如果关于x 的方程x 2﹣4x +m =0有两个相等的实数根，那么m 的值是________．10.如图是一张长 12cm ，宽 10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积 24cm 2 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ cm ．11.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了________个人．12.若关于x 的一元二次方程 x 2+2x −k =0 无实数根，则k 的取值范围是________.13.方程（x+1）2=9的解是________.14.已知 x 1,x 2 是一元二次方程 x 2−4x −7=0 的两个实数根，则 x 12+4x 1x 2+x 22 的值是________． 15.已知关于x 的一元二次方程 (a −1)x 2−2x +a 2−1=0 有一个根为 x =0 ，则a 的值为________．三、计算题16.阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值.问题：解方程x2+2x+4√x2+2x−5=0（提示：可以用换元法解方程），解：设√x2+2x=t(t≥0)，则有x2+2x=t2，原方程可化为：t2+4t−5=0，续解：17.解方程：x2−2x−3=0.四、综合题18.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．19.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，说明理由．20.已知关于x的方程x2−4x+k+1=0有两实数根. （1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x2−4，求实数k的值.答案一、单选题1. A2. C3. C4. A5. C6. A二、填空题7. −3728. −139. 4．10. 211. 12 12. k＜-1 13. 2或-4 14. 2 15. -1三、计算题16. 解：续解：(t+2)2=9，∴t+2=±3，解得t1=1，t2=−5（不合题意，舍去），∴t=√x2+2x=1，x2+2x=1，∴(x+1)2=2，∴x1=−1+√2,x2=−1−√2，经检验都是方程的解.17. 解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，即x+1=0或x-3=0，解得：x1=-1，x2=3四、综合题18. （1）第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．19. （1）解：∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=(−2)2−4(k+2)⩾0解得k≤−1；（2）解：由一元二次方程根与系数关系，x1+x2=2,x1x2=k+2∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2即(k+2)(k−2)=2，解得k=±√6．又由（1）知：k≤−1，∴k=−√6．20. （1）解：∵关于x的一元二次方程x2−4x+k+1=0有两个实数根，∴△≥0，即(−4)2−4×1×(k+1)≥0，解得：k≤3，故k的取值范围为：k≤3.（2）解：由根与系数的关系可得x1+x2=4，x1x2=k+1由3x1+3x2=x1x2−4可得3(x1+x2)x1x2=x1x2−4，代入x1＋x2和x1x2的值，可得：12k+1=k+1−4解得：k1=−3，k2=5（舍去），经检验，k=−3是原方程的根，故k=−3.。