必修五数列复习专题

灌南高级中学高二数学试题 必修5第二章数列复习专题 2018.2
一、知识纲要
(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项．
(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列
数列的通项公式：⎩⎨
⎧≥-===-)2()
1(111n S S n S a a n n
n 数列的前
n 项和：n n a a a a S ++++= 321
2.等差数列
等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

等差数列的判定方法:
（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

等差数列的通项公式：
如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。

说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。

等差数列的前n 项和：① 2)
(1n n a a n S +=
②d n n na S n 2
)1(1-+=
说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。

等差中项：
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2
b a A +=或b a A +=2
说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=
（2）对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n n
a a a a a a ，如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ++---11
2,,,,,,12321 （3）若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k
k S S 23-成等差数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 3.等比数列
等比数列的概念：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。

等比中项：
如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么G
b a
G =，即ab G =2。

等比数列的判定方法：
（1）定义法：对于数列{}n a ，若)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列。

（2）等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。

等比数列的通项公式：
如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。

等比数列的前n 项和：
○
1)1(1)1(1≠--=q q q a S n n ○2)1(11≠--=q q
q a a S n n ○3当1=q 时，1
na S n =
等比数列的性质：
①等比数列任意两项间的关系：如果n a 是等比数列的第n 项，
m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公比为q ，则有m n m n q a a -=
②对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n
a a a a a a 。

如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321 ③若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等
比数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++ 4.数列前n 项和 （1）重要公式：
2
)
1(321+=
+++n n n ； 6
)12)(1(3212222++=
+++n n n n ；
2333)]1(2
1
[21+=++n n n
（2）等差数列中，mnd S S S n m n m ++=+ （3）等比数列中，n m m m n n n m S q S S q S S +=+=+ （4）裂项求和：
1
1
1)1(1+-=+n n n n ；（!)!1(!n n n n -+=⋅） 四、递推关系通项公式的求法：
对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一。

常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系，要求求出通项公式。

本文结合对历年高考考查的模式，总结出常见的主要有以下几种类型：
模式一：形如)(1n f a a n n +
=+递推式。

由累加法可求得通项公式为
例1．（2007北京高考题）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，），且123a a a ，，成公比不为1的等比数列．（I ）求c 的值；（II ）求{}n a 的通项公式
模式二：形如)(1n f a a n n =+递推式。

由)(1n f a a n n =+得
)(1
n f a a n
n =+，
例2．已知数列}{n a 满足，11=a ，
n
n a a n n 1
1+=
+，求通项公式n a 。

模式三：形如μλ+=+n n a a 1（其中λ、μ为常数）递推式，通常解法是设=-+β1n a
)(βλ-n a ，求出β
，因}{
1β
β
--+n n a a 是等比数列则可求出通项公式。

例3．（2007全国高考卷Ⅰ）已知数列{}n a 中12a =，1(21)(2)n n a a +=-+，,2,1=n ,3．
（I ）求{}n a 的通项公式； 模式四：形如)(1n f a a n n +
=+λ（其中λ为常数）递推式，n n n a a μλ+=+1（λ
、μ为常数）是其特殊情形。

后者的等式两边同除以n μ，得111
+⋅=
-+n n
n
n a a μμλμ
，令1-=n n n a b μ
，则可
化归为μλ+=+n n a a 1（λ、μ为常数）型。

例4．（2007天津高考题）在数列{}n a 中，∈⋅-++==++n a a a n n n n (2)2(,2111λλλ
)*N ，其中0λ>．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）略；
模式五：形如)()(1n g a n f a n n +=+（其中λ为常数）递推式，设数列)}({n h ，使
)1()
()(+=
n h n h n f ，则)()
1()(1n g a n h n h a n n ++=+，即）n h n g n h a n h a n n 1()()()1(1+⋅+⋅=+⋅+，令)(n h a b n n ⋅=，则)1()(1+⋅+=+n h n g b b n n ，即已化为模式一。

例5．已知数列{}n a 满足n a n na n n ++=+)2(1，且11=a ，求数列{}n a 的通项公式。

模式六：形如
α
λn
n a a =+1(
,
0,0,0>>>αλn a 且)1≠α递推式，它的推广形式为
)
(1n f n
n a a λ=+。

通过对等式两边取对数，得λαlg lg lg 1+=+n n a a ，再令n n a b lg =，即转化为
类型一
例6．已知数列}{n a 满足211,2n n a a a ==+，求n a 。

模式七：形如11-++=n n n a a a μλ（其中λ、μ是不为零的常数）递推式，可变形为-+2n a
)(11n n n a a a αβα-=++，则}{1n n a a α-+是公比为β
的等比数列，这就转化为了模式三。

例7．（2006福建文科高考题）已知数列{}n a 满足,3,121==a a n n n a a a 2312-=++,∈n ( )*N 。

（I ）略；（II ）求数列{}n a 的通项公式；
模式八：形如n n n n a a a a μλ+=++11及其变形形式α
μλ+=
+n n n a a a 1和n n n n a a a a μλ+=++11
α+（其中λ、μ是不为零的常数）递推式。

对n n n n a a a a μλ+=++11两边同除以1+n n a a ，再令
1
11++=
n n a b ，n
n a b 1=
，即化为等差数列形式。

例8．（2005重庆高考题）数列}{n a 满足11=a 且).1(05216811≥=++-++n a a a a n n n n 记
).1(2
11≥-
=
n a b n n （I ）略；（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S
模式九：形如)()()(11n h a a n g a n f a n n n n ++=-（其中0)(≠n f ）递推式，它是模式八的推广。

通常两边同除以1+n a a a ，得)()()(1n h a n g a n f n n =-+，有)()
()()(111n f n h n f n g a a n n +
⋅=+，再令n
n a b 1=，
得)
()
()
()(1n f n h n f n g b b n n +
⋅=+，这就化为了模式五。

例9．（2006江西高考题）已知数列｛a n ｝满足：2
3
1=a ，
且),2(1
2311
*--∈≥-+=N n n n a na a n n n ，
（I ）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）略。

解：（I ）将条件变为：)11(3111---=-
n n a n a n ，因此}1{n
a n
-为一个等比数列，其首项为1－11a ＝13，公比13
，从而n n a n 311=-，据此可得)1(133≥-⋅=n n a n n
n .
模式十：形如αμλ++=+n n n a a a 21（其中λ、μ是不为零的常数）递推式，将原式转化为21)(βγβ-=-+n n a a ，然后再通过迭代进行求解。

例10．（2005江西高考题）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 10
=a ，n n a a 2
1
1=
+ ).4(n a -⨯，.N n ∈
（1）略；（2）求数列}{n a 的通项公式a n .
模式十一：形如β
μα
λ++=+n n n a a a 1（λ、μ、α、β为常数）递推式，解常解法为：先
设函数β
μαλ++=
x x x f )(，视1+n a 、n a 为x 得到特征方程β
μαλ++=
x x x ，再以此方程的解的情况来
求解。

若此方程无解，则此数列为循环数列；若特征方程β
μαλ++=x x x 有两个不等的实根
1x 、2x ，则β
μαλ++=
+n n n a a a 1可变形为
2
1
2111x a x a k x a x a n n
n n --⋅=--++（其中μ
λμ
λ21x x k --=
）；若特征方程
β
μα
λ++=
x x x 有两个相等的实根0x ，则β
μαλ++=
+n n n a a a 1可变形为
k x a x a n n +-=-+0
011
1（其中k
为
常数）。

例11．已知数列｛a n ｝，满足1
24
3,111++==+n n n a a a a ，求a n .
模式十二：形如β
αμλ++=+n n n a a a 21
（其中λ、α为非零常数）递推式。

例12．（2007四川高考题）已知函数4)(2-=x x f ，设曲线)(x f y =在点))(,(n n x f x 处的切线与x 轴的交点为))(0,(1*+∈N n x n ，其中1x 为正实数。

（Ⅰ）、（Ⅱ）略；（Ⅲ）若41=x ，记2
2
lg
-+=n n n x x a ，证明数列}{n a 成等比数列，并求数列}{n x 的通项公式。

五、例析数列求和的常用方法
数列求和是数列教学内容的中心问题之一，也是近年高考命题的一个热点问题。

掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力。

本文例析了一些求和的方法，仅供参考。

（一）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。

如等差数列的求和公式2
)
(1n n a a n S +=
的推导。

例1．已知)(x f 满足R x x ∈21,，当121=+x x 时，2
1
)()(21=
+x f x f ，若N n f n
n f n f n f f S n ∈+-++++=),1()1
()2()1()0( ，求n S
（二）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例2．求数列}2{n n ⋅的前n 项和n S 。

（三）分组求和法 所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例3．已知数列}{n a 满足1)2
1(-+=n n n a ，求其前n 项和n S 。

（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式，再如n ++++ 321
2
)
1(+=
n n 、)12)(1(613212222++=++++n n n n 等公式。

例4．求数列n ⋅1,)1(2-n ,, )2(3-n ,1⋅n 的和。

（五）拆项（裂项）相消法：若数列}{n a 能裂项成)()1(n f n f a n -+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例5．已知数列}{n a 满足)
1(1
+=
n n a n ，求数列}{n a 的前n 项和n S
（六）通项化归法：即把数列的通项公式先求出来，再利用数列的特点求和。

例．求数列n
+++++++ 3211,,3211,211,
1的前n 项和n S
（七）并项法求和：在数列求和中，若出现相邻两项（或有一定规律的两项）和为常数时，可用并项法，但要注意n 的奇偶性。

例7．已知数列)12()1(--=n a n n ，求数列}{n a 的前n 项和100S
（八）奇偶分析项：当数列中的项有符号限制时，应分n 为奇数、偶数进行讨论。

例8．若)34()1(1--=-n a n n ，求数列}{n a 的前n 项和
（九）利用周期性求和：若数列}{n a ，都有n T n a a =+（其中0N n ∈,0N 为给定的自然数，0≠T ），则称数列}{n a 为周期数列，其中T 为其周期。

例9．已知数列}{n a 中，n
n a a a 1
1,211-
==+，求其前n 3项的和n S 3. （十）导数法：利用函数的求导来计算数列的和。

例10．求数列}{n a 前n 项和n S ，其中nx n a n sin =.
（十一）待定系数法：若数列的和是一个多项式，可以考虑用待定系数法。

例11．求31⨯，53⨯，75⨯，97⨯，， )12)(12(+-n n 的和n S （十二）组合数法
例12．求数列1，21+，321++，， n ++++ 321的和
数列专题复习
一、填空题
1．已知－1，x ，－4成等比数列，则x 的值是 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
A π
=
，3a =，b=1，则c 等于
3．一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n 是
4．已知1,a ,a ,921--四个实数成等差数列，1,b ,b ,b ,9321--五个实数成等比数列，则
)a a (b 122-的值等于
5．在△ABC 中，a=2,A=30°,C=45°,则△ABC 的面积S 的值是 6. 已知正项数列{}n a 中,
()()221
110n n n n na a a n a n N +++--+=∈,11a =,则通项n a =
7．已知等差数列共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则该等差数列的公差为
8．若}a {n 是等差数列，首项0a 1>，0a a 20082007>+，0a a 20082007<⋅，则使前n 项和0S n >成立的最大自然数n 是
9．数列}a {n ，11=a ，)2(311≥⋅=--n a a n n n ，则n a =
10．某煤矿从开始建设到出煤共需5年,每年国家投资100万元,如果按年利率为10
﹪来考虑,那么到出煤的时,国家实际投资总额是（其中77.11.1,61.11.1,46.11.1654===） 11．在△ABC 中，已知b=B c sin 2⋅，则∠C= 12．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+=
13．在函数c bx ax )x (f 2++=中，若a,b,c 成等比数列，且4)0(f -=，则f(x)有最 值（填“大”或“小” ），且该值为
14．已知数列}a {n 的前n 项和54n n S 2n +-=，则通项公式=n a
15．Rt △ABC 的三个内角的正弦值成等比数列，设最小的锐角为角A ，则sinA= 16.设函数f （x ）满足(1)f n + =
2()2
f n n
+（n ∈N *）且(1)2f =，则(20)f = ；
17.设()442
x x f x =
+，则 12320012002200220022002f f f f ++++=⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
18.某工厂生产总值的月平均增长率是p ,则年增长率是 二、解答题
19．在等比数列}a {n 中，30a a ,27a a a 42321=+=⋅⋅，求（1）1a 和公比q ；（2）若}a {n 各项均为正数，求数列}a {n ⋅n 的前n 项和。

20．在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，A,B 是锐角，c=10，且3
4
a b cosB cosA ==
（1）证明∠C=90° ；（2）求△ABC 的面积。

21．已知正数数列}a {n 的前n 项和为n S ，且对于任意的+∈N n ，有2n n )1a (4
1S += （1）求证}a {n 为等差数列；（2）求}a {n 的通项公式； （3）设1
n n n a a 1
b +⋅=，求}b {n 的前n 项和n T 。

答案：
一、 1 2或－2 2、2 3、14 4、 8- 5、13+ 6、 n 7、3 8、C. 4014 9、A 2
23n
n - 10、 671万元 11、︒︒13545或12、15
13、大、-3 14、{
)
1(2)
2(35=≥-=n n n n a 15、
215- 16 97 、17、 2001
2
18、()1211p +-
17、（1）13;1311-=-===a q a q 时当时当
（2）4
3231n
n n n s +-=
18、（1）证明略（2）24 19、（1）证明略（2）2n-1（3）1
2+n n。