平面曲线的方程

当t在[a, b]内变动时，向径r (t )的终点描绘出一条曲线。 y A P( x(t ), y (t ))
r (a) r (t ) r (b)
B
x
O
从而可得曲线的坐标式参数方程：
x x(t ), (a t b). y y(t )
例3 一个圆在一直线上无滑动地滚动，求圆周上的一点 的轨迹.
一、曲线的方程
• 曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线 上点的坐标x与y应满足的制约条件，一般用 方程表示为
F ( x, y) 0
或
y f ( x).
定义2.1.1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一
条曲线之间有着关系：
①满足方程的 x, y 必是曲线上某一点的坐标； ②曲线上任何一点的坐标 x, y 满足这个方程， 那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做 这个方程的图形。 “点的坐标满足方程”也说成“点满足方程”
注意： 求曲线的方程，在化简过程中，会增添不属于 给定条件的点，此时，需要把方程中代表那些不符合 给定条件的点去掉.
•
例2
已知两点 A 2, 2 和 B 2,2 ，求满足条件
MA MB 4 的动点M 的轨迹方程
解： 设M的坐标为M ( x, y), 则由
MA MB 4
( x - 2) 2 ( y - 2) 2 x y - 2
(1)
两边平方化简可得
xy 2.
(2)
可以看出方程(1)和方程(2)不同解。
在方程(1)中x y 2 0, 但是在方程(2)中，没有此限制，
于是要求的方程为： xy 2,( x y 2).
从而如果在(2)中加上条件x y 2后，两个方程便同解.
利用cos3 4cos 3cos ,sin 3 3sin 4sin 得
3 3
3 x a cos , 3 y a sin
此曲线为四尖点星形线.
x2 y 2 椭圆 2 2 1的参数方程： a b
①
x a cos ， ( ) y b sin
第二章 轨迹与方程
取定相应坐标系后
平面上的点
空间上的点
一一对应 一一对应
二元有序数组(x,y)
三元有序数组(x,y,z)
将图形看作点的轨迹，就可以建立轨迹与方程的对应。
本章内容：
1.平面曲线的方程 2.曲面的方程 3.空间曲线的方程
§1 平面曲线的方程Байду номын сангаас
本节内容：
• 一、曲线的方程
• 二、曲线的参数方程
而这向径可由t0 (a t0 b)通过r (t ) x(t )e1 y(t )e2
完全决定；
此时，就把表达式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2
叫做曲线的向量式参数方程， 其中t为参数.
即r (t ) x(t )e1 y(t )e2叫做一条曲线的向量式参数方程，
2a 2bt x 2 , 2 2 b a t t R. 2 2 2 y b(b a t b 2 +a 2t 2
②
二、曲线的参数方程
向量函数： r r (t ), a t b,
因变量 自变量
向量式参数方程：
定义2.1.2
若取t (a t b)的一切可能取的值，如果：
(1)由r (t ) x(t )e1 y(t )e2表示的向径r (t )的终点总在一
条曲线上；
(2)这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，
解： 设运动开始时，P点与A点重合， 经过一段时间后， P点运动到如图所示，
则r OP OC CP
设 = (i , OC), (CP, CB), 因为| OC | a b, 所以OC i (a b)cos j (a b)sin
OC i (a b)cos j (a b)sin
• 例1
求圆心在原点，半径为R 的圆的方程.
解： 根据圆的定义，有
圆上任意一点到圆心的距离等于半径, 从而设圆上任意一点的坐标为M ( x, y), 于是M ( x, y)到圆心(0,0)的距离等于半径R,
从而
| OM | R,
根据两点之间的距离公式，可得
x 2 y 2 R x2 y 2 R2 .
得
( x 2) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 =4
( x 2) 2 ( y 2) 2 ( x 2) 2 ( y 2) 2 4
两边平方化简可得
( x 2) 2 ( y 2) 2 x y 2
a b r [(a b) cos b cos ]i b a b [(a b) sin b sin ] j b
从而可得其坐标式参数方程为
a b x [(a b) cos b cos ], b y [(a b) sin b sin a b ] b 特殊地，当a 4b时，
r a( sin )i a(1 cos ) j
设P点的坐标为( x, y), 从而可得P点的坐标式参数方程为
x a( sin ), ( ). y a(1 cos ) 当0 时，消去，可得
a y x a arccos 2ay y 2 . a

),
又
|OA|= AP a
AC aj ,
所以OA=a i ,
所以r OP OA AC CP a i aj (a sin )i (a cos ) j a( sin )i a(1 cos ) j , 此为P点轨迹的向量式参数方程.
由图可知，
a AB PB b
a 所以 = , b ba 又因为 (i , CP) b 由于| CP | b, ba ba 所以CP ib cos jb sin b b
r OP OC CP OC i (a b)cos j (a b)sin ba ba CP ib cos jb sin b b ba 所以r [(a b) cos b cos ]i b ba [(a b) sin b sin ] j b a b [(a b) cos b cos ]i b 向量式参数方程 a b [(a b) sin b sin ] j b
开始 解： 取直角坐标系，设半径为a的圆在x轴上滚动，
时点P恰好在原点O(如图),
由图可知
r OP OA AC CP
设 (CP, CA), 则CP与x轴形成的有向角为
2 从而CP =ia cos( ) ja sin( ) 2 2 =(a sin )i (a cos ) j (CP, i ) (
当圆在直线上每转动一 周时, 点P在一周前后 的运动情况是相同的 ,因此曲线是由一系列完 全相 同的拱形组成 (如图),曲线叫旋轮线或摆线 .
y
o
x
例4 已知大圆半径为a, 小圆半径为b, 设大圆不动，而 小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆周上某一定点P的 轨迹叫做内旋轮线(或称内摆线),求内旋轮线的方程.