小学奥数《容斥原理》复习过程
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容斥原理
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分， 有12人语文得满分，并且有4人语、数都 是满分，那么这个班至少有一门得满分 的同学有多少人？
如果被计数的事物有A、B两类， 那么，A类或B类元素个数= A类元素 个数+ B类元素个数—既是A类又是B 类的元素个数。
试一试：
• 某班学生每人家里至少有空调和电脑 两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？
• 2、有100位旅客，其中有10人既不 懂英语又不懂俄语，有75人懂英语， 83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的 有多少人？
• 3、求不超过100的自然数中，不能被 3、5中任何一数整除的数的个数。
4、在一次数学测验中，所有同学都答了 第1、2两题，其中答对第1题的有35人， 答对第2题的有28人，这两题都答对的 有20人，没有人两题都答错。一共有多 少人参加了这次数学测验？
容斥原理
• 一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
• （1）订阅报纸的总人数是多少？（2） 两种报纸都没订阅的有多少人？
试一试：
• 在1到1000的自然数中，能被3 或5整除的数共有多少个？不能 被3或5整除的数共有多少个？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、 手工三个小组，参加美术小组有20人， 参加音乐小组有24人，参加手工小组有 31人，同时参加美术和音乐两个小组有 5人，同时参加音乐和手工两个小组有6 人，同时参加美术和手工两个小组的有7 人，三个小组都参加的有3人，这个年级 参加课外小组的同学共有多少人？
试一试：
• 某校选出50名学生参加区作文比赛 和数学竞赛，作文比赛获奖的有16 人，数学比赛获奖的有12人，有5 人两项比赛都获奖了。
• （1）共有多少人获奖？
• （2）两项比赛都没获奖的有多少 人？
• 某校六（1）班有学生54人，每人 在暑假里都参加体育训练队，其中 参加足球队的有25人，参加排球队 的有22人，参加游泳队的有34人， 足球、排球都参加的有12人，足球、 游泳都参加的有18人，排球、游泳 都参加的有14人，问：三项都参加 的有多少人？
【例题分析】 例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方 形与边长5厘米的正方形。如图放 在桌面上，求这两个图形盖住桌 面的面积？
例2. 六一班参加无线电小组和航 模小组的共26人，其中参加无线 电小组的有17人，参加航模小组 的有14人，两组都参加的有多少 人？
例3. 六一班有学生46人，其中会 骑自行车的有19人，会游泳的有 25人，既会骑车又会游泳的有7 人，既不会骑自行车又不会游泳 的有多少人？
5、一个俱乐部里，会下中国象棋的有 69人，会下国际象棋的有52人，这两种 棋都不会下的有12人，都会下的有30人。 这个俱乐部里有多少人？
• 6、全班有50人，不会骑车的有23 人，不会滑旱冰的有35人，两样 都会的有5人。问：两样都不会的 有多少人？
• 7、六年级（2）班有48名学生， 其中会骑自行车的有27个，会游 泳的有18人，既会骑自行车又会 游泳的有10人。问两样都不会的 有多少人？
• 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类 元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素 个数—既是B类又是C类的元素个 数+既是A类又是B类而且是C类的 元素个数。
• 1、四（1）班有40个学生，其中25 人参加数学小组，23人参加航模小组， 有19个人两个小组都参加了，那么， 有多少人两个小组都没有参加？
• 一次期末考试，某班有15人数学 得满分，有12人语文得满分，并 且有4人语、数都是满分，那么 这个班至少有一门得满分的同学 有多少人？
容斥原理
• 在计数时，为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数 方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排 斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容 斥原理。
容斥原理
• 一次期末考试，某班有15人数学得满分， 有12人语文得满分，并且有4人语、数都 是满分，那么这个班至少有一门得满分 的同学有多少人？
如果被计数的事物有A、B两类， 那么，A类或B类元素个数= A类元素 个数+ B类元素个数—既是A类又是B 类的元素个数。
试一试：
• 某班学生每人家里至少有空调和电脑 两种电器中的一种，已知家中有空调 的有41人，有电脑的有34人，二者都 有的有27人，这个班有学生多少人？
• 2、有100位旅客，其中有10人既不 懂英语又不懂俄语，有75人懂英语， 83人懂俄语，问既懂英语又懂俄语的 有多少人？
• 3、求不超过100的自然数中，不能被 3、5中任何一数整除的数的个数。
4、在一次数学测验中，所有同学都答了 第1、2两题，其中答对第1题的有35人， 答对第2题的有28人，这两题都答对的 有20人，没有人两题都答错。一共有多 少人参加了这次数学测验？
容斥原理
• 一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有6人。
• （1）订阅报纸的总人数是多少？（2） 两种报纸都没订阅的有多少人？
试一试：
• 在1到1000的自然数中，能被3 或5整除的数共有多少个？不能 被3或5整除的数共有多少个？
例4. 某年级的课外小组分为美术、音乐、 手工三个小组，参加美术小组有20人， 参加音乐小组有24人，参加手工小组有 31人，同时参加美术和音乐两个小组有 5人，同时参加音乐和手工两个小组有6 人，同时参加美术和手工两个小组的有7 人，三个小组都参加的有3人，这个年级 参加课外小组的同学共有多少人？
试一试：
• 某校选出50名学生参加区作文比赛 和数学竞赛，作文比赛获奖的有16 人，数学比赛获奖的有12人，有5 人两项比赛都获奖了。
• （1）共有多少人获奖？
• （2）两项比赛都没获奖的有多少 人？
• 某校六（1）班有学生54人，每人 在暑假里都参加体育训练队，其中 参加足球队的有25人，参加排球队 的有22人，参加游泳队的有34人， 足球、排球都参加的有12人，足球、 游泳都参加的有18人，排球、游泳 都参加的有14人，问：三项都参加 的有多少人？
【例题分析】 例1. 有长8厘米，宽6厘米的长方 形与边长5厘米的正方形。如图放 在桌面上，求这两个图形盖住桌 面的面积？
例2. 六一班参加无线电小组和航 模小组的共26人，其中参加无线 电小组的有17人，参加航模小组 的有14人，两组都参加的有多少 人？
例3. 六一班有学生46人，其中会 骑自行车的有19人，会游泳的有 25人，既会骑车又会游泳的有7 人，既不会骑自行车又不会游泳 的有多少人？
5、一个俱乐部里，会下中国象棋的有 69人，会下国际象棋的有52人，这两种 棋都不会下的有12人，都会下的有30人。 这个俱乐部里有多少人？
• 6、全班有50人，不会骑车的有23 人，不会滑旱冰的有35人，两样 都会的有5人。问：两样都不会的 有多少人？
• 7、六年级（2）班有48名学生， 其中会骑自行车的有27个，会游 泳的有18人，既会骑自行车又会 游泳的有10人。问两样都不会的 有多少人？
• 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数+C类 元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素 个数—既是B类又是C类的元素个 数+既是A类又是B类而且是C类的 元素个数。
• 1、四（1）班有40个学生，其中25 人参加数学小组，23人参加航模小组， 有19个人两个小组都参加了，那么， 有多少人两个小组都没有参加？
• 一次期末考试，某班有15人数学 得满分，有12人语文得满分，并 且有4人语、数都是满分，那么 这个班至少有一门得满分的同学 有多少人？
容斥原理
• 在计数时，为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数 方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内 容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排 斥出去，使得计算的结果既无遗漏 又无重复，这种计数的方法称为容 斥原理。