自回归移动平均模型

② (一阶)自回归序列平稳的条件
xt xt1 t xt1 xt2 t1

xt t t1 2t2 3t3
均值为零？ 是否平稳？ 方差为有限常数？
自协方差与t无关？
AR(1)平稳的条件
xt
t
t1 2t2
等,则称xt 为随机过程 当取T为离散集，如T ， 2，1，0，1，2，或 T 1，2，等，则称xt 为随机序列
随机序列的现实
• 对于一个随机序列，一般只能通过记录 或统计得到一个它的样本序列x1,x2,···, xn， 称它为随机序列{xt}的一个现实
• 随机序列的现实是一族非随机的普通数 列
(1) 自回归模型及其性质
• 定义 • 平稳条件 • 自相关函数 • 偏自相关函数 • 滞后算子形式
① 自回归模型的定义
• 描述序列{xt}某一时刻t和前p个时刻序列 值之间的相互关系 xt 1xt1 2 xt2 p xt p t 随机序列{εt}是白噪声且和前时刻序列xk （k<t ）不相关，称为p阶自回归模型， 记为AR(p)
主要内容
• 确定性时间序列模型 • 随机时间序列模型及其性质 • 时间序列模型的估计和预测
一. 确定性时间序列模型
• 时间序列：各种社会、经济、自然现象 的数量指标按照时间次序排列起来的统 计数据
• 时间序列分析模型：解释时间序列自身 的变化规律和相互联系的数学表达式
确定性时间序列模型
• 滑动平均模型 • 加权滑动平均模型 • 二次滑动平均模型 • 指数平滑模型
• 自协方差函数
rk E(xt xtk )
Ext (1xtk1 x2 tk2 xp tk p tk ) Ext1xtk1 Ext2 xtk2 Ext p xtk p 1 rk1 2rk2 prk p
一类特殊的平稳序列 ——白噪声序列
• 随 均机值序为列零{，xt方}对差任为何有x限t和常xt都数不相关，且
Ext 0
r0


2 x
rk 0(k 0)
• 正态白噪声序列：白噪声序列，且服从 正态分布
3. 随机时间序列模型
• 自回归模型（AR） • 移动平均模型（MA） • 自回归—移动平均模型（ARMA）
(1) 滑动平均模型
yˆt

yt

yt 1
N
ytN 1
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化，并用 于预测趋势
(2) 加权滑动平均模型
yˆtw

a0 yt

a1 yt1
N
aN 1 ytN 1
其中
N 1
ai
i0 1 N
tN
作用：消除干扰，显示序列的趋势性变化；并通 过加权因子的选取，增加新数据的权重，使趋势 预测更准确
0 1, k k , k 1
自相关函数的估计
T
ˆx

(xt x)(xtk x)
t 1 T

(xt x)2
rˆk rˆ0
t 1
x
1 T
T t 1
xt
平稳序列的判断
ρk
ρk
1
1
0
k
平稳序列的自相关函数
迅速下降到零
0
k
非平稳序列的自相关函数
缓慢下降


3 t 3


• 均值
E(t ) 0 E(xt ) 0
成立
• 方差
Var
( xt
)


2
(1

2


4


Hale Waihona Puke Baidu
6
)
(1)t充分大时Var (xt
)


2

1
2
，与t无关
满足这两个
(2) 1时，Var (xt )为有限常数 条件成立
AR(1)平稳的条件
• 自协方差
(2) 时间序列的统计性质(特征量)
• 均值函数：某个时刻t的性质

E(xt ) t xpt (x)dx
pt (x)是xt 的概率密度函数
时间序列的统计性质
• 自协方差函数：两个时刻t和s的统计性质 rt,s Cov(xt , xs ) E(xt Ext )( xs Exs )
二. 随机时间序列模型及其性质
• 随机时间序列 • 平稳时间序列 • 随机时间序列模型
1. 随机时间序列
• 随机过程与随机序列 • 时间序列的性质
(1) 随机过程与随机序列
设T为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，
对于该随机变量的全体xt ,t T
当取T为连续集，如T (,)或T [0,)
(3) 二次滑动平均模型
yˆˆt

yˆt

yˆ t 1
N
yˆtN 1
tN
对经过一次滑动平均产生的序列再进行滑动平均
(4) 指数平滑模型
yˆt yˆt1 ( yt1 yˆt1) yˆt yt1 (1 ) yˆt1
0 1 平滑常数
本期预测值是前期实际值和预测值的加权和
2)
Varxt
2(与t无关的有限常数) x
3) 对任意整数t和k， r t,t+k只和k有关rt,tk rk
• 随机序列的特征量随时间而变化，称为非平 稳序列
xt t
xt t
平稳序列的特性
• 方差
rt ,t

r0

E[(xt


)2
]


2 x
• 自相关函数：
k

rk

2 x

rk r0
rt,tk Cov(xt , xtk )
E(xt xtk )
2 k (1 2 4 6 )
t充分大时，rt ,t k

2 1
k 2
k Var(xt )
仅与k有关，与t无关
结论： 1 时，一阶自回归序列渐进平稳
③ AR(p)的自相关函数
rt,s rs,t
rt,t Var (xt )
时间序列的统计性质
• 自相关函数
t,s
rt , s rtt rss
t,s s,t
t,t 1
2. 平稳时间序列
• 所谓平稳时间序列是指时间序列
{xt, t=0,±1,±2,···}
对任意整数t， Ex2 ，且满足以下条件： t 1) 对任意t，均值恒为常数 Ext (与t无关的常数 )