人教版八年级上册数学期末复习8专题八 动点问题

3. 如图①，等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为 一边，向上作等边三角形EDC，连接AE. (1)△DBC和△EAC全等吗？请说明你的理由； (2)试说明AE∥BC； (3)如图②，当点D运动到边BA的延长线上时，仍向上作等边 三角形EDC，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
(1)解：△DBC和△EAC全等．理由如下：
(3)如图③所示，若M为边AC延长线上一点，猜想BD，MF的 位置关系是________．请证明你的结论．
解：(1)BD∥MF.
理由如下：∵∠A＝90°，ME⊥BC，
∴∠ABC＋∠AME＝360°－90°×2＝180°，Biblioteka Baidu
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD＝ 1 ∠ABC，∠AMF＝ 1 ∠AME，
人教版八年级上册数学期末 专题八 动点问题
1. 如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10 cm，∠B＝∠C，BC＝ 8 cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点 向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A以a cm/s的速 度运动，设运动的时间为t s. (1)求CP的长(用含t的式子表示)； (2)若以C，P，Q为顶点的三角形和以B，D，P 为顶点的三角形全等，且∠B和∠C是对应角， 求a的值．
∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACE.
在△DBC和△EAC中，
BC AC BCD ACE DC EC
∴△DBC≌△EAC.
(2)证明： ∵△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC.
解：(1)∵BP＝3t，BC＝8，
∴CP＝8－3t；
(2)①BD＝CP时，∵AB＝10，D为AB的中点， ∴5＝8－3t，解得t＝1， ∵△BDP≌△CPQ， ∴BP＝CQ，即3×1＝a，解得a＝3； ②BP＝CP时，3t＝8－3t，解得t＝ 4 ，
3
∵△BDP≌△CQP， ∴BD＝CQ，即5＝a×4 ，
(3)BD⊥MF. 理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC， ∴∠ABC＋∠ACB＝∠AME＋∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD＝∠AMF， ∵∠AMF＋∠F＝90°， ∴∠ABD＋∠F＝90°， ∴BD⊥MF.
谢谢！
3
解得a＝15 ，
4
综上所述，a的值为3或 15 .
4
2．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M， N分别从点A，B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的 速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达A点时， M，N同时停止运动． (1)点M，N运动几秒后，M，N两点重合？ (2)点M，N运动几秒后，可得到等边三角形AMN? (3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以 MN为底边的等腰三角形AMN？如果能， 请求出此时M，N运动的时间．
2
∴∠ABD＋∠AMF＝
1
2
(∠ABC＋∠AME)＝90°，
2
又∵∠AFM＋∠AMF＝90°，
∴∠ABD＝∠AFM，
∴BD∥MF.
(2)BD⊥MF. 理由如下：∵∠BAC＝90°，ME⊥BC， ∴∠ABC＋∠C＝∠AME＋∠C＝90°， ∴∠ABC＝∠AME， ∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME， ∴∠ABD＝∠AMF， ∵∠ABD＋∠ADB＝90°， ∴∠AMF＋∠ADB＝90°， ∴BD⊥MF.
解：(1)设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，则2t－t＝12， ∴t＝12， 即点M、N运动12秒后，M、N两点重合．
(2)点M、N运动x秒后，可得到等边三角形AMN， 则x＝12－2x，∴x＝4， 即点M、N运动4秒后，可得到等边三角形AMN.
(3)当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形， 设此时M、N运动的时间为m秒， ∵△AMN是等腰三角形 ∴∠1＝∠2 ， ∴∠3＝180°－∠1＝180°－∠2＝∠4 ∵△ABC是等边三角形 ∴∠C＝∠B，AC＝AB ， ∴△AMC≌△ANB ∴CM＝BN 即m－12＝12×3－2m. ∴m＝16， 即M、N运动的时间为16秒时，得到以MN为底边的等腰△AMN.
(3)解：结论： AE∥BC.理由如下： ∵△ABC、△EDC都为等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°， ∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
BC AC 在△DBC和△EAC中，BCD ACE
CD CE ∴△DBC≌△EAC， ∴∠EAC＝∠B＝60°， 又∵∠ACB＝60°， ∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.
4．佳佳在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论： 在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上 一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F.
(1)如图①所示，若M为边AC上一点，则BD，MF的位置关系是 ________．请证明你的结论．
(2)如图②所示，若M为边AC反向延长线上一点，则BD，MF的 位置关系是________．请证明你的结论．