七年级数学竞赛题：乘法公式

七年级数学竞赛题：乘法公式

乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性，又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数等式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意： 1．熟悉每个公式的结构特征．

2．正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用． 3．逆用 即将公式反过来逆向使用． 4．变用 即能将公式变换形式使用．

5．活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例1 1，2，3…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是_____．

(全国初中数字联赛试题) 解题思路 因2

2

()()a b a b a b -=+-，而a+b 与a-b 的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

例2 设a 、b 、c 、x 、y 、z 满足下列等式2

222,2,2,3

6

2

x a b y b c z c a π

π

π

=-+

=-+

=-+

则z ，y ，z

中，至少有一个值( )·

(A)大于0 (B)等于0 (c)不大于0 (D)小于0

(2002年全国初中数学竞赛题)

解题思路 孤立地较难判断z ，y ，z 的取值范围，不妨整体考虑x+y+z ，关键是由式子的特点联想到相关公式．

例3 计算下列各题：

(1)6(7+1)(72+1)(74

+1)(78+1)+1； (天津市竞赛题) (2)1.23452+0.76552

+2.469×0.7655． (“希望杯”邀请赛试题) （3）2

2

2

22222(13599)(246100)+++

+-++++

解题思路 若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式，简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

例4 设a ＋b ＝1，2

2

7

7

2,a b a b +=+求的值． (西安市竞赛题) 解题思路 由常用公式不能直接求出7

7

a b +的结构，必须把7

7

a b +表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果． 例5 观察：1×2×3×4＋1＝52

2×3×4×5＋1＝112

3×4×5×6＋1＝192

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明．

(2)根据(1)，计算2000×2001×2002×2003+1的结果(用一个最简式子表示)

(2002年湖北省黄冈市竞赛题)

解题思路 从特殊情况人手，观察找规律．

A 级

1．若2x+5y-3=0，则4x ·32y =___________________. (2002年绍兴市竞赛题) 2．数348-1能被30以内的两位偶数整除的是_____________．

3．已知222

246140,x+y+z=x y z x y z ++-+-+=那么__________。

(2001年天津市竞赛题)

4．若x+y=10,3322

100,x y x y +=+=则_________．

5．把26

(1)x x -+展开后得121121211210,a x a x a x a x a ++

+++121086420a a a a a a a ++++++则=____。

6．已知122002,,,a a a 均为正数，且满足

M=（122001a a a +++）（2320012002a a a a ++

-），

N=（1220012002a a a a ++

+-）·（232001a a a +++），

则M 与N 之间的关系是( )．

(A)M>N (B)M

7．乘积(1-212)(1-2

1

3

)……(1-211999)(1-212000)等于( )． (A)19992000 (B)20012000 (C)19994000 (D)2001

4000

(重庆市竞赛题)

8．若M=102210276a b a +-+，N=22

251a b a +++，则M －N 的值是( )． (A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)可正可负 9．若x －y=2，2

2

1992

19924,x y x

y +=+则的值是 ( )．

(“希望杯”邀请赛试题)

(A)4 (B)19922 (C)2

1992

(D)4

1992

10．已知55

44

33

22

22,33,55,66,b c d a b c d a ====则、、、的大小关系是( )．

(北京市竞赛题)

(A)a>b>c>d (B)a>b>d>c

(C)b>a>c>d (D)a>d>b>c 11．已知a+b=p ，ab=q ，求5

5

a b +的值． 12．观察下面各式规律：

(1×2+1)2=12+(1×2)2+22； (2×3+1)2=22+(2×3) 2+32；

(3×4+1)2=32+(3×4) 2+42

……

写出第2003行式子，写出第n 行式子并证明你的结论．

B 级

1．()n

a b +展开式中的系数，当n=1，2，3，…时可以写成“杨辉三角”的形式(如下图)，请借助于“杨辉三角”求出1．01n 的值=__________。

(《学习报》公开赛试题)

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对 的两个面上二数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分 别为a 、b 、c ，则2

2

2

a b c ab bc ac ++---的值为_____．

3．已知x ，y ，z ，满足等式x+y=5，z 2

=xy+y- 9，则2x+3y+4z=________.

4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为________．

(2001年全国初中数学联赛试题) 5．已知19992000,19992001,19992002a x b x c x =+=+=+，则多项式2

2

2

a b c ++－ab －bc －ac 的值为( )．

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 6．计算(2+1)(22+1)(24+1) (22)

+1)的值是( )．

(A)4

2n

-1 (B)2

22n

-1