拓扑学习题

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一、选择题.

1、在实数空间中,有理数集Q 的内部o Q 是(A )

A 、∅;

B 、Q ;

C 、R Q -;

D 、R .

2、在实数空间中,有理数集Q 的边界Q ∂是(D )

A 、∅;

B 、Q ;

C 、R Q -;

D 、R .

3、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,则下列关系正确的是(A )

A 、()()()d A

B d A d B =; B 、A B A B -=-;

C 、()()()d A

B d A d B =; D 、A A =. !

4、设X 是一个拓扑空间,,A B 是X 的子集,则下列关系错误的是(C )

A 、()()()d A

B d A d B =; B 、A B A B =;

C 、()()()d A B d A d B =;

D 、A A =.

5、平庸空间的任一非空子集为(D )

A 、开集;

B 、闭集;

C 、既开又闭;

D 、非开非闭.

6、离散空间的任一子集为(C )

A 、开集;

B 、闭集;

C 、既开又闭;

D 、非开非闭.

7、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑,则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为(B )

*

A 、{,{1},{3},{1,3}}T =∅;

B 、{,,{1}}T A =∅;

C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =∅;

D 、{,,{1}}T X =∅.

8、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =∅是X 的拓扑,则X 的子空间{2,3}

A =的拓扑为(

B )

A 、{,{3},{2,3}}T =∅;

B 、{,,{2},{3}}T A =∅;

C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =∅;

D 、{,,{3}}T X =∅.

9、设126X X X X =⨯⨯⨯…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间,p 是X 到1X 的投射,则

p 是(D )

A 、单射;

B 、连续的单射;

C 、满的连续闭映射;

D 、满的连续开映射.

10、设R 是实数空间, Z 是整数集,则R 的子空间Z 的拓扑为(B )

A 、{,}T Z =∅;

B 、T =P ()Z ;

C 、T Z =;

D 、{}T Z =.

11、有理数集Q 是实数空间R 的一个(A )

A 、不连通子集;

B 、连通子集;

C 、开集;

D 、以上都不对.

12、整数集Z 是实数空间R 的一个(A )

A 、不连通子集;

B 、连通子集;

C 、开集;

D 、以上都不对.

13、设12,X X 是离散空间,则积空间12X X ⨯是(C )

A 、离散空间;

B 、不一定是离散空间;

C 、平庸空间;

D 、不连通空间.

14、设12,X X 是平庸空间,则积空间12X X ⨯是(C )

A 、离散空间;

B 、不一定是离散空间;

C 、平庸空间;

D 、不连通空间.

15、实数空间R 中的连通子集E 为(D )

A 、开区间;

B 、闭区间;

C 、区间;

D 、以上都不对.

16、实数空间R 中的不少于两点连通子集E 为(A )

A 、开区间;

B 、闭区间;

C 、区间;

D 、以上都不对.

二、填空题.

1、同胚的拓扑空间所共有的性质叫(拓扑不变性质).

2、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A =(X ), A =(X ).

,

3、{1,2,3}X =的拓扑{,,{2},{2,3}}T X =∅,则X 的子集{1,2}A =的内部为({2}).

4、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为({,}T X =∅).

5、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射,如果它是一个满射,并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑,则称f 是一个(商映射).

6、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,若X 中任何一个开集U 的像集()f U 是Y 中的一个开集,则称映射f 是一个(开映射).

7、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B 使得,A

B A B X =∅=,则X 是一个(不

连通空间).

8、若任意n ≥1个拓扑空间12,,,n X X X …都具有性质P ,且积空间12n X X X ⨯⨯⨯…也具有性质P ,则性质P 称为(有限可积性质).

三、判断.

1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. (√) ¥

2、设12,T T 是集合X 的两个拓扑,则12T T 不一定是X 的拓扑. (×)

3、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A =∅. (√)

4、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集,则X 是一个不连通空间. (√)

四、证明题.

1、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个映射,则以下条件等价:

(1)f 是一个连续映射;

(2)Y 中的任何一个闭集B 的原像1()f B -是一个闭集;

(3)对于X 中的任何一个子集A ,()()f A f A ⊂;

(4)对于Y 中的任何一个子集B ,11()()f B f B --⊃.

2、设,X Y 是两个拓扑空间,:f X Y →,则映射f 连续⇔对于每一点x X ∈,映射f 在点x 处连续.

3、设A 是一个由非空集合构成的族,并且A 中的元素两两不相交,则存在集合C 使得对每一个A ⊂A ,C A 是一个单点集.

4、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射,则()f X 是Y 的一个连通子集.

5、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,证明:如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得Y A B ⊂,则或者Y A ⊂,或者Y B ⊂.

6、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,证明:如果,A B 是X 的两个无交的开集使得Y A B ⊂,则或者Y A ⊂,或者Y B ⊂.

7、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集,Z X ⊂满足Y Z Y ⊂⊂,则Z 也是X 的一个连通子集.

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