第八章 欧几里得空间 第五节 子空间课件ppt
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第八章欧氏空间
第九章欧氏空间［教学目标］1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。
2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。
3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。
4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。
5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。
6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学重难点］欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。
［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。
［教学时间］18学时。
［教学内容］欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。
[教学过程]§1 定义、性质定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质：（1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+（4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。
这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。
练习：394P 1（1）。
定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k =单位向量：长度为1的向量。
α单位化：αα-Cauchy Буняковский不等式：βα,∀，有βαβα≤),(等号成立当且仅当βα,线性相关。
在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子：例1中，22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ例2中，2121)()()()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ba ba badx x g dx x f dx x g x f 394P 1、（2）中，∑∑∑∑∑∑======≤n j ni j i ijn j ni ji ijnj ni j i ij y y ax x ay x a 111111定义3：非零向量βα,的夹角βα,为βαβαβα),(arccos,=， πβα≤≤,0。
6.2子空间
12
数学与计算机科学学院高等代数课件
例4、 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量作成V2的一个子空间。在空间V3里，平行于 一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作 成V3的子空间。 例5、F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项 式全体连同零多项式一起作成F [x]的一个子空间， 记为Fn[x] 。 例6、闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b] 的一个子空间。
有f x g x 1 4x x W
2
但f x hx 4 x W
8
数学与计算机科学学院高等代数课件
如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就 说，W对于V的加法是封闭的。
同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意
数k，kα仍在W内，那么就说，W 对于标量与
13
数学与计算机科学学院高等代数课件
4、子空间的交与和
(1)设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那
么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间。
一般地，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间
（个数可以有限，也可以无限）。令
W
i
i
表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，
W
i
i
也是V的一个子空间。
14
n
i
的向
量作成V 的一个子空间，这个子空间称为子空间 W1,W2,…，Wn的和，并且用符号W1+W2+…+Wn 来表示。
16
数学与计算机科学学院高等代数课件
课堂练习
1 设V表示次数不超过 的实系数多项式连同 、 n 零多项式组成的集合W f ( x) V f (1) 0 ,
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
高等代数课件 第八章
由此得 | | , x12 x22 xn2 （5）
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
《欧几里得几何学》课件
公理一
任意两点A和B可以确定一条且仅有一 条直线。
02
公理二
给定一条直线，可以找到一个且仅有 一个点，使得该点到这条直线的距离 为零。
01
公理五
通过给定直线外的一个点，有且仅有 一条与给定直线平行的直线。
05
03
公理三
通过给定的一点和不在给定直线上的 另一点，可以确定一条且仅有一条与 给定直线不同的直线。
黎曼几何学
以球面几何为基础，挑战欧几里得几何学的平坦空间假设。
弯曲空间理论
挑战欧几里得几何学的直线和圆的概念，提出空间可以弯曲。
欧几里得几何学在现代科技中的应用前景
建筑学
01
利用欧几里得几何学原理设计建筑结构和外观。
工程学
02
在机械、航空、船舶等领域，利用欧几里得几何学进行精确设
计和制造。
计算机图形学
数学教育
欧几里得几何学是数学教育中的重 要组成部分，对于培养学生的逻辑 思维和空间想象力具有重要意义。
欧几里得几何学与其他几何学的关系
非欧几里得几何
与欧几里得几何学相对，非欧几里得 几何学包括球面几何、双曲几何等， 它们在空间定义和公理体系上与欧几 里得几何有所不同。
解析几何
解析几何通过引入坐标系和代数方法 来研究几何问题，它与欧几里得几何 学相互补充，共同构成了现代几何学 的基础。
《欧几里得几何学》ppt课件
目录
• 欧几里得几何学简介 • 欧几里得几何学的基本假设 • 欧几里得几何学的基本定理 • 欧几里得几何学的推论与证明 • 欧几里得几何学的实际应用 • 欧几里得几何学的未来发展与挑战
01
欧几里得几何学简介
定义与起源
定义
欧几里得几何学，也称为欧式几 何，是基于古希腊数学家欧几里 得的几何体系，它研究的是平面 和三维空间的几何结构。
高等代数欧几里得空间课件
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，可 以表示向量之间的关系和线性变换。
VS
矩阵的性质
矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、 标量乘法和乘法满足相应的运算规则，矩 阵的转置、行列式、逆等也具有相应的性 质和定义。
矩阵的运算规则
1 2 3
矩阵的加法 矩阵的加法满足交换律和结合律，即 $A+B=B+A$和$(A+B)+C=A+(B+C)$。
运算规则二
如果 $W_1$ 和 $W_2$ 是子空间，且 $W_1 cap W_2 = {0}$， 则 $W_1 + W_2$ 是子空间。
运算规则三
如果 $W$ 是子空间，且 $u in W$，则存在唯一的 $v in W$ 使得 $u + v = 0$。
欧几里得空的同
06
构与等价
同构的定义与性质
等价性质
等价的欧几里得空间具有相同的秩，且线性变换在等价 下是可逆的。
THANKS.
矩阵运算对应线性变换运 算
矩阵的加法、标量乘法和乘法分别对应线性 变换的加法、标量乘法和复合运算。
特征与特征向量
04
特征值与特征向量的定义
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个非零的数λ和相应的非零向量x，使得Ax=λx成立， 则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A的对应于λ的特征向量。
特征向量
与特征值λ对应的非零向量x称为矩阵A的对应于λ的特征向量。
助于学生更好地理解和掌握这一概念。
04
复数域上的全体二维向量构成的集合是一个二维复数 欧几里得空间。
向量与向量的运算
ห้องสมุดไป่ตู้02
向量的定义与表示
5子空间
1 V1 , 3 V3
1 3 , 1 ,
从而有 ( ,1 ) (1 3 ,1 ) (1 ,1 ) ( 3 ,1 )
(1 ,1 ) 0
由此可得 1 0, 即有 V3
V2 V3 .
唯一性得证.
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
又 1 , 2 ,..., n是标准正交基，
A ( ), ( AX )Y
( X A )Y X AY
X ( AY ) , A ( )
§9.5 子空间
又注意到在 R n 中 X , Y , 即有 ( A ) , A ( ) A ( ),
n
m
n
V1 V2 .
再证唯一性.
即 V2 为 V1 的正交补. 设 V2 ,V3 是 V1 的正交补，则
V V1 V2 V1 V3
对 V2 , 由上式知 V1 V3
§9.5 子空间
即有 1 3 ,
又 V1 V2 , V1 V3
§9.5 子空间
一、正交子空间
二、子空间的正交补
§9.5 子空间
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对 V1 , V2 , 恒有
( , ) 0,
则称子空间 V1 与 V2 为正交的，记作 V1 V2 . 2) 对给定向量 V , 如果对 V1 , 恒有 ( , ) 0, 则称向量 与子空间 V1 正交，记作 V1 .
证明：设子空间 V1 ,V2 ,,Vs 两两正交， 要证明 V1 V2 Vs , 只须证：
欧几里得空间
即 (i , j ) 0, i j, i, j 1,2, ,m 则 1 2 m 2 1 2 2 2 m 2 .
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
例3 已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
例1 C(a,b) 为闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数
所成线性空间，对于函数 f ( x), g( x) ，定义
b
( f , g) a f ( x)g( x) dx
②
则 C(a,b) 对于②作成一个欧氏空间.
证： f ( x), g( x), h( x) C(a,b), k R
b
1 . ( f , g) a f ( x)g( x) dx
b
( g, f )=a g( x) f ( x) dx
b
b
2 . (k f , g) a k f ( x)g( x) dx ka f ( x)g( x) dx
k( f , g)
3
.
(f
g,
h)
b
a
f (x)
k 1
l 1
nn
nn
( k , l )ckiclj
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
C1
C
2
A
C1
,
C2
,
Cn
,Cn CAC
欧氏空间的定义
设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量
、 , 定义一个二元实函数，记作 ( , ) ，若 ( , ) 满足性质： , , V , k R
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间习题解答1、 设()ij a =A 是一个n 级正定矩阵，而12(,,,)n x x x α=，12(,,,)n y y y β=.在n R 中定义内积(,)αβ为'(,)αβαβ=A . 1）证明：在这个定义之下，n R 成一欧氏空间； 2）求单位向量1(1,0,,0)ε=，2(0,1,,0)ε=，，(0,0,,1)n ε=的度量矩阵；3）具体写出这个空间中的柯西-布涅柯夫斯基不等式。
解 1）只要证明按定义'(,)αβαβ=A （是数，等于其转置）的一个二元实函数是一个内积就可以了。
1 ''''(,)()(,)αβαβαββαβα====A A A ；2 ''(,)()()(,)k k k k αβαβαβαβ===A A ；3 '''(,)()(,)(,)αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+A A A4 ',(,)ij i j i ja x x αααα==∑A .由于A 是正定矩阵，所以,ij i j i ja x x ∑是正定二次型，从而(,)0αα≥，并且仅当0α=时，(,)0αα=。
由此可见，n R 在这一定义之下成一欧式空间。
2）设单位向量的度量矩阵为()ij b =B .那么111()10(,)(010)(,1,2,,)10n ij i j ij i n nn a a b a i j n a a εε⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，此即 =B A .3）,(,)ij i j i ja x x αβ=∑，α==β==，故柯西-布涅柯夫斯基不等式为,,ij i jiji i ji ja x yay y ≤∑∑2、 在4R 中，求,αβ之间的夹角,αβ<>（内积按通常定义），设 1）(2,1,3,2)α=，(1,2,2,1)β=-； 2）(1,2,2,3)α=，(3,1,5,1)β=； 3）(1,1,1,2)α=，(3,1,1,0)β=-；解 1）(,)21123(2)210αβ=⨯+⨯+-+⨯=，所以 .2αβπ<>=. 2）(,)18αβ=，(,)18αα=，(,)36ββ=，cos ,αβ<>==，所以.4αβπ<>=.3）(,)3αβ=，(,)7αα=，(,)11ββ=，cos ,αβ<>=，所以1.arccos αβ-<>=3、(,)d αβαβ=-通常称为α与β的距离，证明：(,)(,)(,)d d d αγαββγ≤+. 证 由文献[1]P.362的三角形不等式，有(,)()()(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ=-=-+-≤-+-=+. 4、在4R 中求一单位向量与(1,1,1,1)-，(1,1,1,1)--，(2,1,1,3)正交。
第八讲 欧式空间
a
2、内积的性质 、 α V 是欧氏空间， , β , γ , α i , βi ∈ V , k , ki , li ∈ R ，则 是欧氏空间， （1） α , k β = k α , β ; ） （2） α , β + γ = α , β + α , γ ; ） （3） α , o = o, β = 0; ） （4） ）
1 1 2 2 n n
－－对于实矩阵 （2） R m×n －－对于实矩阵 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n ） 内积为
A, B = ∑∑ aij bij
i =1 j =1
m
n
－－对于 （3）C [ 0,1] －－对于[ 0,1] 上实连续函数 f ( x ) , g ( x ) ， ） 内积为 b f ( x ) , g ( x ) = ∫ f ( t )g ( t ) dt
一、内积的构造、判定与证明 内积的构造、 1、欧氏空间的概念 、 是实数域R上的线性空间 上的线性空间。 设V 是实数域 上的线性空间。如果对V 中任意两个 与它们对应， 向量 α , β 有一个确定的实数 α , β 与它们对应，且满足 （1） α , β = β , α ; ） （2） kα , β = k α , β , k ∈ R; ） （3） α + β , γ = α , γ + β , γ , γ ∈ V ; ） （4） α , α ≥ 0, 当且仅当 α = o 时 α , α = 0. ） 的内积， 则称 α , β 为 α 与 β 的内积，定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。 称为欧氏空间。 一些常见的欧氏空间 （1） R n －－对于实向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn ) ） －－对于实向量 内积为 α , β = a b + a b + L + a b = αβ T
2、内积的性质 、 α V 是欧氏空间， , β , γ , α i , βi ∈ V , k , ki , li ∈ R ，则 是欧氏空间， （1） α , k β = k α , β ; ） （2） α , β + γ = α , β + α , γ ; ） （3） α , o = o, β = 0; ） （4） ）
1 1 2 2 n n
－－对于实矩阵 （2） R m×n －－对于实矩阵 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n ） 内积为
A, B = ∑∑ aij bij
i =1 j =1
m
n
－－对于 （3）C [ 0,1] －－对于[ 0,1] 上实连续函数 f ( x ) , g ( x ) ， ） 内积为 b f ( x ) , g ( x ) = ∫ f ( t )g ( t ) dt
一、内积的构造、判定与证明 内积的构造、 1、欧氏空间的概念 、 是实数域R上的线性空间 上的线性空间。 设V 是实数域 上的线性空间。如果对V 中任意两个 与它们对应， 向量 α , β 有一个确定的实数 α , β 与它们对应，且满足 （1） α , β = β , α ; ） （2） kα , β = k α , β , k ∈ R; ） （3） α + β , γ = α , γ + β , γ , γ ∈ V ; ） （4） α , α ≥ 0, 当且仅当 α = o 时 α , α = 0. ） 的内积， 则称 α , β 为 α 与 β 的内积，定义了内积的线性空间V 称为欧氏空间。 称为欧氏空间。 一些常见的欧氏空间 （1） R n －－对于实向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) , β = ( b1 , b2 ,L , bn ) ） －－对于实向量 内积为 α , β = a b + a b + L + a b = αβ T
第8章 第5讲 空间角与距离、空间向量及应用(2020高考帮·数理)
理科数学 第八章：立体几何
理科数学 第八章：立体几何
理科数学 第八章：立体几何
方法总结
利用空间向量证明平行问题的方法
线线 平行
线面 平行
面面 平行
证明两条直线的方向向量共线.
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. (1)证明两个平面的法向量平行; (2)转化为线线平行、线面平行问题.
注意 用向量法证明平行问题时,要注意解题的规范性.如证明线面平行时,仍需要说明一条直线在平 面内,另一条直线在平面外.
理科数学 第八章：立体几何
A考点帮·知识全通关
考点1 空间直角坐标系 考点2 空间向量及其运算 考点3 空间向量的应用
考点1 空间直角坐标系
理科数学 第八章：立体几何
1.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,
如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系(如图8-5-
图8-5-5
5.利用向量法求空间角
空间角
求法
设直线l,m的方向向量分别为a,b,若设直 线线角 线l与m的夹角为θ,则cos θ=
|cos<a,b>|.
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为 线面角 n,若直线l与平面α所成的角为θ,则sin
θ=|cos<a,n>|.
理科数学 第八章：立体几何
注意事项
n1⊥n2⇔n1·n2=0 n⊥m⇔n·m=0 n∥m⇔n=λm(λ∈R) n∥m⇔n=λm(λ∈R) n⊥m⇔n·m=0
理科数学 第八章：立体几何
高等代数课件
变, 即对任意, V，有 (), ()＝, .
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
18
例1 在欧氏空间V2
中， 是把V2 中任意向量
都沿逆时针方向旋转θ
角的变换，则是正交变换.
19
例2 在欧氏空间V3 中,设M是过原点的一个
平面,是V3 中任意向量 关于M的镜面反射，则
是正交变换.
20
定理8.3.1 设是n(0)维欧氏空间V的一个线性变
高等代数课件
2008
1
第八章 欧氏空间
8.1 欧氏空间的定义及基本性 质
8.2 度量矩阵与正交基 8.3 正交变换与对称变换
8.4 子空间与正交性
8.5 对称矩阵的标准形
2
8.1 欧氏空间的定义及性质
一. 解析几何内容回顾 二. 欧氏空间的定义空间 三. 内积的性质 四. 向量的长度 五. 向量的夹角 六. 向量的距离
| |, x 1 2 x 2 2 x n 2
d ( ,) | | ( x 1 y 1 ) 2 ( x 2 y 2 ) 2 ( x n y n ) 2
12
三. 正交化方法
定理 8.2.2 设{1, 2,…, m}是欧氏空间V的一个无关组, 那么 可以求出的一个正交组1, 2,…, m, 使得k可用1, 2,…, m 线性表 示, k=1,2,…,m.
设1, 2,…, n是欧氏空间V的一个基, =x11+x11+…+xnn, =y11+y11+…+ynn如果还1, 2,…, n是一个标准正交基, 则
n
,i xjj,i xi
j1
因此: 向量 关于一个标准正交基的第 i 个坐标就是 与第个 i
基向量的内积. , x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n
欧几里得几何学ppt课件
•
上面提到的一切人物都接受了欧几里得的传统。他们
确实都仔细地学习过欧几里得的<几何本来>，并使之成为
他们数学知识的根底。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。
牛顿的<数学原理>一书，就是按照类似于<几何本来>的
“几何学〞的方式写成的。自那以后，许多西方的科学家
都效仿欧几里得，阐明他们的结论是如何从最初的几个假
明过的结论作为论证命题的根据；等等。正由于如此，在 <本来>问世后2000年中，一方面<本来>作为用逻辑来表达 科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学开展起着深远 的影响；另一方面，对于<本来>在逻辑上的欠缺进展修正、 补充和研讨任务从未停顿过，对于<本来>中的定义、公理、
公设的研讨成了历代数学家的重要课题。尤其对于<本来> 中的第五公设，许多数学家对它产生了疑心，最终导致非 欧几何的创建〔见非欧几里得几何学〕。
•
在欧几里得几何体系中，第五公设和“在平面内过知直线外一点，只需一条直线
与知直线平行〞相等价，如今把后一命题称作欧几里得平行公理。它表达了“欧几里
得几何〞与“非欧几里得几何〞的区别。
Thanks
2.1 早期几何知识
• 约公元前300年，古希腊数学家欧几里得 集前人之大成，总结了人们在消费、生活 实际中获得的大量的几何知识，规定了少 数几个原始假定为公理、公设，并定义了 一些名词概念，经过逻辑推理，得到一系 列的几何命题，构成了欧几里得几何学， 简称欧氏几何。
2.2 著名作品
• 欧几里得著有<几何本来>〔以下简称<本来>〕一书， 该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述 比例和算术实际以外，其他各卷都是论述几何问题的。这 部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等 几何学〔即平面几何和立体几何〕的内容根本全包括在此 书内。中国最早的译本是明代万历年间〔1607〕由大学士 徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的<几何本来>前 6卷。<本来>之所以具有价值，不仅由于欧几里得非常详 尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把 那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演 绎的几何学体系。他是历史上第一个发明了一个比较完好 的数学实际的人
欧几里德空间知识点总结PPT课件
第15页/共24页
例6、 （1）设 A Rnn 为反对称矩阵，证明： E A 可逆，且 P (E A)(E A)1
是正交矩阵. （P395习题16） （注意：反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数）
（2）设 AT A Rnn且满足A2 4 A 3I 0
证明：A 2I是正交矩阵.
第16页/共24页
求a, b及所用的正交线性替换。 （类似P199习题5）
例2、设A是正定实对称矩阵，证明：
A E 1.
第22页/共24页
例3、设 A, B 都是实对称矩阵，
（1）证明：存在正交矩阵 T ，使得 T 1AT B
的充分必要条件是 A, B的特征多项式的根全部相同.
（2）如果 B 是正定矩阵，证明存在一个 n n
将 11,12 , ,1n1 ,
,r1,r 2 , ,rnr 的分量依次作
矩阵P的第1，2，…，n列，
使 PT AP P 1 AP为对角形．
第11页/共24页
2.对称变换定义
欧氏空间V的线性变换 ，如果
( ), ( , ( )), , V
则称 为对称变换.
注. 对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2, ,n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形 矩阵P，使 A PT P 。
第4页/共24页
二、正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，
( ), ( ) ( , ), , V
(v) 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数（重根按重数计）． (vi) 当A退化时, n－秩(A)是0为A的特征值的重数.
例6、 （1）设 A Rnn 为反对称矩阵，证明： E A 可逆，且 P (E A)(E A)1
是正交矩阵. （P395习题16） （注意：反对称实矩阵的特征值只能是0或纯虚数）
（2）设 AT A Rnn且满足A2 4 A 3I 0
证明：A 2I是正交矩阵.
第16页/共24页
求a, b及所用的正交线性替换。 （类似P199习题5）
例2、设A是正定实对称矩阵，证明：
A E 1.
第22页/共24页
例3、设 A, B 都是实对称矩阵，
（1）证明：存在正交矩阵 T ，使得 T 1AT B
的充分必要条件是 A, B的特征多项式的根全部相同.
（2）如果 B 是正定矩阵，证明存在一个 n n
将 11,12 , ,1n1 ,
,r1,r 2 , ,rnr 的分量依次作
矩阵P的第1，2，…，n列，
使 PT AP P 1 AP为对角形．
第11页/共24页
2.对称变换定义
欧氏空间V的线性变换 ，如果
( ), ( , ( )), , V
则称 为对称变换.
注. 对称变换的特征值都是实数，属于不同特征值
为上三角阵，且 tii 0,i 1,2, ,n ，并证明这个分 解是唯一的。 （P188习题7）
（2）设A为n阶正定矩阵，证明存在一上三角形 矩阵P，使 A PT P 。
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二、正交变换
1.定义
欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变，
( ), ( ) ( , ), , V
(v) 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特 特征值的个数（重根按重数计）． (vi) 当A退化时, n－秩(A)是0为A的特征值的重数.
子空间ppt课件
定理6.2.1设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W本 身也作成F上一个向量空间.定义1令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V的一个子空间.
由定理6.2.1 ，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
例1向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标量 与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称 为零空间。
一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
子空间？是不是
是不是
的子空间？
例2
的
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个 上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是的 一个子空间。不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2 的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作 成V 的子空间(6.1,例1)。
由于0∈W1 ，0∈W2 ，所以0=0+0∈W1+W2 ，因此 W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β ∈W1+W2, 那么, 因为 W1,W2都是子空间,所以 ,,于是
这就证明了W1+ W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
例8 在 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便，也说W就 是过原点的直线 l ，直线 l 是 的子空间(图6-2-1 )。这样， 中过原点的直线都是 的子空间。同 理， 中以过原点的平面π上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是 两种 是向量空间 的一个子空间。
由定理6.2.1 ，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量。
例1向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标量 与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称 为零空间。
一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。
子空间？是不是
是不是
的子空间？
例2
的
解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个 上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积 仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是的 一个子空间。不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但例3 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2 的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作 成V 的子空间(6.1,例1)。
由于0∈W1 ，0∈W2 ，所以0=0+0∈W1+W2 ，因此 W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β ∈W1+W2, 那么, 因为 W1,W2都是子空间,所以 ,,于是
这就证明了W1+ W2是V的子空间,这个子空间叫做 W1与W2 的和.
例8 在 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便，也说W就 是过原点的直线 l ，直线 l 是 的子空间(图6-2-1 )。这样， 中过原点的直线都是 的子空间。同 理， 中以过原点的平面π上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是 两种 是向量空间 的一个子空间。
欧几里得空间课件
不同类型拓扑的性质
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点，例如离散拓扑中的点是孤立的，紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ，线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用，例如在计算机科 学中，拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。
。
立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间，其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面，其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面，因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间，其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间，因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支，主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质，这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系，可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义：设E是域 P上的线性空间，F是E的 子集，如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间，则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04
不同类型的拓扑具有不同的性质和特点，例如离散拓扑中的点是孤立的，紧凑拓扑中的点是逐渐趋近于某个点的 ，线性拓扑中的点在直线上呈线性排列等。
拓扑的应用与实例
拓扑的应用
拓扑在数学、物理学、工程学和其他学 科中都有广泛的应用，例如在计算机科 学中，拓扑排序和图论中的问题解决需 要用到拓扑的性质。
。
立方体
立方体是一个三维的欧几里得空 间，其中两点之间的距离可以通 过连接这两点的线段的长度来定
义。
非欧几里得空间的例子
球面
球面是一个二维的曲面，其中两点之间的距 离可以通过连接这两点的最短线段的长度来 定义。球面不同于平面，因为球面的曲率是 变化的。
双曲几何
双曲几何是一种非欧几里得空间，其中两点 之间的距离可以通过连接这两点的线段的长 度来定义。双曲几何不同于欧氏空间，因为 它的角度和距离的定义与欧氏空间不同。
05
欧几里得空间的拓扑学
拓扑的定义与性质
拓扑的定义
拓扑是研究空间结构的一种数学分支，主要关注空间中点、线、面等基本元素之间的相互关系和性质 。
拓扑的性质
拓扑研究空间中的开集、闭集、连续性、紧致性、连通性等基本性质，这些性质在欧几里得空间和非 欧几里得空间中有所不同。
拓扑的分类与性质
拓扑的分类
根据空间中基本元素的性质和相互关系，可以将拓扑分为离散拓扑、紧凑拓扑、线性拓扑和微分拓扑等不同类型 。
子空间的定义与性质
01
02
子空间的定义：设E是域 P上的线性空间，F是E的 子集，如果F对于E的加 法和数量乘法构成域P上 的线性空间，则称F为E 的子空间。
子空间的性质
03
1. F是E的子集。
04
高等数学第八章空间解析几何教学精品PPT课件
高等数学(下册)
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
§8.4 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
高等数学(下册)
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若S1：F(x,y),z0;
z
S2：G(x,y),z0,
S1
则 M ( x ,y ,z ) C M S 1 且 M S 2
x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
解 截线方程为
y2 z2 x x2y z 0
如图,
高等数学(下册)
（ 1） 消 去 z得 投 影x25y24xyx0,
z0
（ 2） 消 去 y得 投 影x25z22xz4x0,
y0
（ 3） 消 去 x得 投 影y2
z2
2yz0 .
x0
高等数学(下册)
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
清华大学高等代数讲义-8
m
(α)W =
i=1
(α, αi )αi .
Lesson 5
5
1.8
酉空间简介
V ×V α, β −→ C −→ (α, β ) 与定义 1 不同!
Definition 11 设 V 是复数域上的线性空间，定义
使得 ∀α, β ∈ V ，k ∈ C，满足 (1) (α, β ) = (β, α)； (2) (α + β, γ ) = (α, γ ) + (β, γ )； (3) (kα, β ) = k (α, β )； (4) ∀α, (α, α) ≥ 0, (α, α) = 0 ⇐⇒ α = 0. 则称 (α, β ) 是 α 与 β 的内积. 定义了内积的复线性空间称为酉空间. 由于内积定义中没有了对称性，那么 (α, kβ ) = (kβ, α) = k (β, α) = k (α, β ). Definition 12 设 U 是一个 n 阶可逆复矩阵，如果 U U H = I ，则称 U 是一 T 个酉矩阵 (Unitary matrix)，其中 U H := U . Theorem 10 酉矩阵有以下性质： (1) |detU | = 1； (2) U −1 = U H ； (3) 两个酉阵的乘积仍是酉阵； (4) 酉阵的列（或行）向量组是 n 维酉空间 Cn 的标准正交基.
1
Lesson 5
2
1
1.1
1.1.1
Euclid 空 间
定义
定义
Definition 1 设 V 是实数域上的线性空间，定义 V ×V α, β −→ R −→ (α, β ) 对称性 线性
使得 ∀α, β ∈ V ，k ∈ R，满足 (1) (α, β ) = (β, α)； (2) (α + β, γ ) = (α, γ ) + (β, γ )； (3) (kα, β ) = k (α, β )； (4) ∀α, (α, α) ≥ 0, (α, α) = 0 ⇐⇒ α = 0. 则称 (α, β ) 是 α 与 β 的内积. 定义了内积的实线性空间称为 Euclid 空间，简称欧氏空间. 注：由对称性，就有 (γ, α + β ) = (γ, α) + (γ, β ) 和 (α, kβ ) = k (α, β ) 1.1.2 例 (α, β ) := αT β =
(α)W =
i=1
(α, αi )αi .
Lesson 5
5
1.8
酉空间简介
V ×V α, β −→ C −→ (α, β ) 与定义 1 不同!
Definition 11 设 V 是复数域上的线性空间，定义
使得 ∀α, β ∈ V ，k ∈ C，满足 (1) (α, β ) = (β, α)； (2) (α + β, γ ) = (α, γ ) + (β, γ )； (3) (kα, β ) = k (α, β )； (4) ∀α, (α, α) ≥ 0, (α, α) = 0 ⇐⇒ α = 0. 则称 (α, β ) 是 α 与 β 的内积. 定义了内积的复线性空间称为酉空间. 由于内积定义中没有了对称性，那么 (α, kβ ) = (kβ, α) = k (β, α) = k (α, β ). Definition 12 设 U 是一个 n 阶可逆复矩阵，如果 U U H = I ，则称 U 是一 T 个酉矩阵 (Unitary matrix)，其中 U H := U . Theorem 10 酉矩阵有以下性质： (1) |detU | = 1； (2) U −1 = U H ； (3) 两个酉阵的乘积仍是酉阵； (4) 酉阵的列（或行）向量组是 n 维酉空间 Cn 的标准正交基.
1
Lesson 5
2
1
1.1
1.1.1
Euclid 空 间
定义
定义
Definition 1 设 V 是实数域上的线性空间，定义 V ×V α, β −→ R −→ (α, β ) 对称性 线性
使得 ∀α, β ∈ V ，k ∈ R，满足 (1) (α, β ) = (β, α)； (2) (α + β, γ ) = (α, γ ) + (β, γ )； (3) (kα, β ) = k (α, β )； (4) ∀α, (α, α) ≥ 0, (α, α) = 0 ⇐⇒ α = 0. 则称 (α, β ) 是 α 与 β 的内积. 定义了内积的实线性空间称为 Euclid 空间，简称欧氏空间. 注：由对称性，就有 (γ, α + β ) = (γ, α) + (γ, β ) 和 (α, kβ ) = k (α, β ) 1.1.2 例 (α, β ) := αT β =
欧氏空间的定义与基本性质-PPT
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
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V1 + V2 + … + Vs 是直和.
证明
设 i Vi ，i = 1, 2, … , s , 且
1+2+…+s=0.
下面来证明 i = 0 . 用 i 与等式两边作内积，利 用正交性，得 ( i , i) = 0 . 从而 i = 0 ( i = 1, 2, … , s ) . 这就是说，和 V1 + V2 + … + Vs 是直和.
则称 与子空间 V1 正交，记为 V1 .
因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 V2
可知 V1 ∩ V2 = { 0 } ; 由 V1， V1 可知
=0.
2. 正交子空间的性质
关于正交的子空间，我们有：
定理 5 如果 V1 , V2 , … , Vs 两两正交，那么
显然，子空间 L(m+1 , … , n) 就是 V1 的正交补.
再来证唯一性. 设 V2 ，V3 都是 V1 的正交补， 于是 V = V1 V2 ， V = V1 V3 .
令 V2 ，由第二式即有
= 1 + 3 ，
其中 1 V1 ，3 V3 .
因为 1 所以
证毕
二、正交补
1. 定义 定义 11 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正 交补，如果 V1 V2 ，并且 V1 + V2 = V .
显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补.
2. 正交补的性质
定理 6
n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1
都有唯一的正交补.
证毕
由定理的证明还不难得到
推论
证明略
V1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
由分解式
V = V1 V1 可知，V 中任一向量 都可以唯一地分解成
= 1 + 2 ，
其中 1 V1 ， 2 V1 . 称 1 为向量 在子空 间 V1 上的内射影.
( , 1 ) = (1 + 3 , 1 ) = (1 , 1 ) + (3 , 1)
= ( 1 , 1 ) = 0 . 即 1 = 0 . 由此即得 V3 ，即 V2 V3 . 同理可证 V3 V2 . 因此 V2 = V3 ，唯一性得 证. V1 的正交补记为 V1 . 由定义可知 维(V1) + 维(V1) = n .
第五节
子
空
间
主要内容
正交子空间 正交补
一正交子空间
1. 定义 定义 10 设 V1 , V2 是欧氏空间 V 中两个子
空间，如果对于任意的 V1 ， V2 ，恒有 ( , ) = 0 . 则称 V1 , V2 为正交的，记为 V1 V2 . 一个向量
，如果对于任意的 V1 ，恒有 ( , ) = 0 .
证明 如果 V1 = { 0 }，那么它的正交补就是
V，唯一性是显然的. 设 V1 { 0 }. 欧氏空间的子 空间在所定义的内积下也是一个欧氏空间. 在 V1中 取一组正交基 1 , 2 , …, m , 由 扩充成V 的一组正交基 它可以
1 , 2 , … , m , m+1 , … , n .
证明
设 i Vi ，i = 1, 2, … , s , 且
1+2+…+s=0.
下面来证明 i = 0 . 用 i 与等式两边作内积，利 用正交性，得 ( i , i) = 0 . 从而 i = 0 ( i = 1, 2, … , s ) . 这就是说，和 V1 + V2 + … + Vs 是直和.
则称 与子空间 V1 正交，记为 V1 .
因为只有零向量与它自身正交，所以由V1 V2
可知 V1 ∩ V2 = { 0 } ; 由 V1， V1 可知
=0.
2. 正交子空间的性质
关于正交的子空间，我们有：
定理 5 如果 V1 , V2 , … , Vs 两两正交，那么
显然，子空间 L(m+1 , … , n) 就是 V1 的正交补.
再来证唯一性. 设 V2 ，V3 都是 V1 的正交补， 于是 V = V1 V2 ， V = V1 V3 .
令 V2 ，由第二式即有
= 1 + 3 ，
其中 1 V1 ，3 V3 .
因为 1 所以
证毕
二、正交补
1. 定义 定义 11 子空间 V2 称为子空间 V1 的一个正 交补，如果 V1 V2 ，并且 V1 + V2 = V .
显然，如果 V2 是 V1 的正交补，那么 V1 也是 V2 的正交补.
2. 正交补的性质
定理 6
n 维欧氏空间 V 的每一个子空间 V1
都有唯一的正交补.
证毕
由定理的证明还不难得到
推论
证明略
V1 恰由所有与 V1 正交的向量组成.
由分解式
V = V1 V1 可知，V 中任一向量 都可以唯一地分解成
= 1 + 2 ，
其中 1 V1 ， 2 V1 . 称 1 为向量 在子空 间 V1 上的内射影.
( , 1 ) = (1 + 3 , 1 ) = (1 , 1 ) + (3 , 1)
= ( 1 , 1 ) = 0 . 即 1 = 0 . 由此即得 V3 ，即 V2 V3 . 同理可证 V3 V2 . 因此 V2 = V3 ，唯一性得 证. V1 的正交补记为 V1 . 由定义可知 维(V1) + 维(V1) = n .
第五节
子
空
间
主要内容
正交子空间 正交补
一正交子空间
1. 定义 定义 10 设 V1 , V2 是欧氏空间 V 中两个子
空间，如果对于任意的 V1 ， V2 ，恒有 ( , ) = 0 . 则称 V1 , V2 为正交的，记为 V1 V2 . 一个向量
，如果对于任意的 V1 ，恒有 ( , ) = 0 .
证明 如果 V1 = { 0 }，那么它的正交补就是
V，唯一性是显然的. 设 V1 { 0 }. 欧氏空间的子 空间在所定义的内积下也是一个欧氏空间. 在 V1中 取一组正交基 1 , 2 , …, m , 由 扩充成V 的一组正交基 它可以
1 , 2 , … , m , m+1 , … , n .