韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用陈历强一，求弦长在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。
求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。
能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221ky y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。
请看下面的例子：例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。
解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。
由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=25p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得x 1+x 2=14162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030/14)0(012)4/1(21212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用
浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。
通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。
在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。
结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。
通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。
了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。
【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。
1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。
它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。
韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。
韦达定理在三角与解析几何中的应用
2n+1 1 2n+1 2 2n+1 3 −(C3 C1 + C5 C1 + C7 C1 2n+1 n 2(n−1) + · · · + C2 x n+1 C1 ) cos
2n+1 2 2n+1 3 +(C5 C2 + C7 C2 + · · · 2n+1 n 2(n−2) +C 2 n+1 C2 ) cos
2π 3π · cos 2n · cos 2n ··· (ii) cos 2nπ +1 +1 +1 nπ cos 2n = 21 n. +1
證: (i) 考察方程 sin(2n + 1)x = 0, 顯然, xi =
iπ (i 2n+1
(1)
= 1, 2, . . . , n) 是方程
(ai (i = 0, 1, 2, . . . , n) 為複數, 且 a0 = 0)
2n+1 n 2(n−3) + · · · + C2 x+··· n+1 C3 ) cos 2n+1 +(−1)n C2 n+1 ].
x−
2n+1 3 (C 7 C3
&#為直角, 求這一
令 y = cos2 x, 則方程
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 (C 1 + C3 + C5 + C7 2n+1 n 2n+1 1 + · · · + C2 C1 n+1 )y − (C3 2n+1 2 +C 5 C1
韦达定理在解析几何中的一点应用
韦达定理在解析几何中的一点应用职业中专数学教材中，解析几何的内容是直线和圆以及圆锥曲线。
其要求比较简单，但职业中专的学生数学基础参差不齐，对一部份学有余力的同学如何拓展数学知识面，又不能太难太繁，就显得格外重要。
本文试引进“韦达定理”来探索解析几何中的一些新思路，确能化繁为简，既拓展了学生的数学知识面，又适合职业学校学生接受能力，对培养职业学校学生的数学兴趣作一些尝试。
一、向量运算加韦达定理学生对向量运算比较熟练，可结合向量的加法，数乘，数量积运算，从中找出韦达定理的应用。
引例1设椭圆C：x25a2+y25b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o，AF=2FB.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=1554，求椭圆C的方程.解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y10.（Ⅰ）直线l的方程为y=3（x-c），其中c=a2-b2.联立y=3（x-c），x25a2+y25b2=1 得（3a2+b2）y2+23b2cy-3b4=0∴y1+y2=-23b253a2+b2，y1y2=-3b453a2+b2∵AF=2FB，∴-y1=2y2.∴y1 + y2 = -y2y1 y2 = -2y22消去y2得2y1+y22+y1y2=0…………（注意此处构造使用韦达定理的条件）即2-23b253a2+b22-3b453a2+b2=0整理得4a2=9c2得离心率e=c5a=253.（Ⅱ）因为AB=1+153y2-y1，所以253·43ab253a2+b2=1554.由c5a=253得b=553a.所以554a=1554，得a=3，b=5.椭圆C的方程为x259+y255=1.说明：向量是研究解析几何的重要工具，通过向量运算所得式子与韦达定理的积式和和式联立方程组，利用解方程的思想进行消元，最终达到我们的计算目的。
二，在拓展解析几何中，常常碰到直线与圆锥曲线的交点、求弦长、弦中点或求点的轨迹等问题，用常规方法计算量大，不适合职业学校的学生，试用韦达定理化繁为简。
5.解析几何中韦达定理的运用
(2)证明：将直线 l 的方程 y kx 1代入圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1 ，
得 (1 k 2 )x2 4(1 k)x 7 0 ，设 M (x1 , y1) 、 N (x2 , y2 ) ，则
x1
x2
4(1 k 1 k2
)
，
x1
x2
3 x1x2 2(x1 x2 ) 4
1点 2k 3睛
4k 2 12 4k2 3
3k
8k 2 4k2
3
4k 2 4k 2
12 3
2
8k 2 4k2
3
4k 4
1 k
所以 k·k 为定值 1.
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
点 睛
k2 1
3
3
点 所睛以实数
k
取值范围为
(
4
7 , 4
7)
3
3
2．涉及向量的数量积的问题
【例 2】已知：过点 A(0 , 1) 且斜率为 k 的直线与圆 C : (x 2)2 ( y 3)2 1
相交于 M , N 两点（1）求实数 k 取值范围；（2）求证： AM AN 为定值
，则
x1
x2
8m 5
线点段 睛
AB
的中点为
P(4 5
,
1) ， 5
x1
x2
8 5
，
8m 5
8 5
，即 m
1，满足（**）式
平面解析几何中韦达定理的运用
．
，
，
９
ｋ
４Ｓ ２０
＋ ＿＿ ｌ
２
５
例 １ 知 直 线ｘ ｖ ２ 抛 物 线 ｖ＝ ｘＥ于 Ａ、 两 点 ， ． 已 —＝ 与 ４ Ｓ Ｂ 试求 线 段 Ａ 的 中点 坐 标 。 Ｂ 解 ： 直 线Ｙ ｘ ２ ｔ 抛 物 线 Ｖ ４ ， 将 ＝一４入 。 ｘ 消去 ｖ 方 程 ｘ一 ｘ ４ ＝ 得 ８＋ ＝ Ｏ 。设 Ａ（ Ｙ ） Ｂ（ ， ， 南韦 达 定理 知 ｘ＋ ， ８ 从 而线 段 ＡＢ ｘ ， ， ｘ ｖ ） 则 ，ｘ＝ ， 小点 横 坐 标 为４， 代 入 商 线 ｙ ｘ ２ 纵 坐 标 为 ２ 故 线 段 Ａ 巾 再 ＝一得 ， Ｂ
２用 于 求 参 数 的 范 围 ．
说明 ： 围问题 一般 是将两 曲线联 立方 程消 去其 中的一 个变 范 量得 出关于 另一个 变量 的一 元二 次方程 ，然 后或 保证 根 的存在 ， 再结合 图形 的实 际情况 确保 有交 点 ．最后 才能运 用 韦达 定理 ， 建 立出符 合条 件的关 系式 ， 此关 系式并 检验 后得正 确结 论。 解
一
ａ 一３
当 点 Ｐ Ｑ 定 点 Ａ的 同侧 时 ， 、 点 对 应 的 参 数 ｔ ｔ 号 ， 、在 Ｐ Ｑ两 ２ ，同 因 此 有 ｉＩｈＩｈ＋ ； Ｐ Ｑ 顶 点 Ａ的 异 侧 时 ， Ｑ 应 的 参 ｔ ＋ ＝ ｔ 当 、 在 Ｉ Ｐ、 对
（ｌｔ） （】ｔ ‘４ｌ＝ ２ 所 以ＩＰ＋Ａ ＝ ｌｔ＝ ２ ｔ ２‘ ｔ ２ 一 ｔ２１ ， － ＝ ＋） ｔ １ Ａ ＩＩＱＩｈ＋２ １ 。 １ （ ） Ｑ＝ ｔ ４ ／７。 ２ Ｉ Ｉｈ一２ 、 Ｐ １ ＝
说 明 ：此 题是 利用 直 线 参 数 方 程 中 ｔ 几 何 意 义 求 解 的 ， 的
韦达定理在平面在几何中的应用
韦达定理在平面在几何中的应用姓名：莫……学号：201040432018班级：10数学本科（2）班院系：兴义民族师范学院1 引言韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.摘要韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20++=（a≠0）的两个根。
在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。
下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。
韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。
AbstractWada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems.Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation1、韦达定理概述根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。
韦达定理在解析几何中的应用
韦达定理在解析几何中的应用【摘要】平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
【关键词】韦达定理；结合方法；应用平面解析几何，是用代数方法研究平面图形的一个数学分科。
它所提出的问题以及问题的结论都是几何的，而中间的论证和推导基本上是代数方法。
因此，许多代数中的定理和运算法则在解析几何中是不可缺少的工具。
这里着重讨论韦达定理的应用。
韦达定理的内容是：若一元二次方程的两根是，则。
它是关于一元二次方程的根与一元二次方程未知量系数关系的一个结论。
解析几何是用代数方法解决几何问题的一门学科，在中学数学教学中，解析几何知识的考查，往往综合性较强，是学生学习的难点。
二次曲线的方程与直线方程结合可化为一元二次方程，与韦达定理有相通之处，分析问题中的一些结论与韦达定理的关系，在解题时活用韦达定理，求出方程中的待定系数，可以巧妙的解决学生认为的所谓“难题”。
这样，不仅可以体会灵活应用知识的技巧，提高分析问题和灵活运用知识的能力，还可以培养学生学习数学的兴趣。
下面举例说明韦达定理结合解析几何中的有关结论的应用。
1．韦达定理与中点坐标公式的结合解析几何中中点坐标公式：若，则中点的坐标为。
其中含有“ ”，与韦达定理中的结论“ ”相联系。
例：已知椭圆的某一条弦被点平分，求所在直线的方程。
分析：要求直线方程，根据确定直线的条件，已经知道直线上一点，再找一个条件，如斜率。
作为直线方程未知量的系数，通过整理，可以和韦达定理联系，巧列方程求出。
解：设所在直线的方程为，再设由方程组消去得：由韦达定理得：即：解得：所在直线的方程为当然，若应用中点纵坐标求解，只须由表达，即。
然后由解出。
这种类型的题目在解析几何习题中有许多，有的还将条件进一步变通。
例：抛物线，和直线相交所得弦的中点在上，求抛物线方程。
浅谈韦达定理四种应用
浅谈韦达定理四种应用韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，由法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在其著作《论方程的识别与订正》中提出。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中学数学教学和中考中有着广泛的应用。
可以将其应用归纳为：（1）不解方程求方程的两根和与两根积；（2）求对称代数式的值；（3）构造一元二次方程；（4）求方程中待定系数的值；（5）在平面几何中的应用；（6）在二次函数中的应用。
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。
韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。
韦达定理与一元二次方程的根根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
韦达定理最重要的贡献是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础，对一元方程的应用创造和开拓了广泛的发展空间。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
韦达定理是开拓了广泛和无限的发展空间。
韦达定理最重要的作用是对代数学的推进，它最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，用字母代替未知数，指出了根与系数之间的关系。
韦达定理为数学中的一元方程的研究奠定了基础。
利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，韦达定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现。
浅谈韦达定理在解题中的应用
浅谈韦达定理在解题中的应用韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理．纵观近年各省、市的中考(竞赛)试题可以发现，关于涉及此定理的题目屡见不鲜，且条件隐蔽．在证(解)题时，学生往往因未看出题目中所隐含的韦达定理的条件而导致思路闭塞，或解法呆板，过程繁琐冗长．下面举例谈谈韦达定理在解题中的应用，供大家参考．一、直接应用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a＋b和a·b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理．例1 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，D是AB边上一点，且BC＝DC，设AD＝d．求证：(1)c＋d＝2bcosA；(2)c·d＝b2－a2．分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明．证明：如图，在△ABC和△ADC中，由余弦定理，有a2＝b2＋c2－2bccosA；a2＝b2＋d2－2bdcosA(CD＝BC＝a)．∴ c2－2bccosA＋b2－a2＝0，d2－2bdcosA＋b2－a2＝0．于是，c、d是方程x2－2bxcosA＋b2－a2＝0的两个根．由韦达定理，有c＋d＝2bcosA，c·d＝b2－a2．例2 已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解．解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．由韦达定理，得a＋b＝－1，a·b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．二、先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b 形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．∵ x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．则z2≤0，又∵z为实数，∴z2＝0，即△＝0．于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．由已知二式，易知x、y是t2＋3t－8＝0的两个根，由韦达定理三、已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5 已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．解：设x2＋px＋q＝0的两根为a、2a，则由韦达定理，有a＋2a＝－P，①a·2a＝q，②P2－4q＝1．③把①、②代入③，得(－3a)2－4×2a2＝1，即9a2－8a2＝1，于是a=±1．∴方程为x2－3x＋2＝0或x2＋3x＋2＝0．解得x1＝1，x2＝2，或x1＝－1，x2＝－2．例6 设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．证明：设方程x2＋px＋q＝0的两根为α、β，x2＋qx＋P＝0的两根为α＇、β＇．由题意知α－β＝α＇－β＇，故有α2－2αβ＋β2＝α＇2－2α＇β＇＋β＇2．从而有(α＋β)2－4αβ＝(α＇＋β＇)2－4α＇β＇．①把②代入①，有p2－4q＝q2－4p，即p2－q2＋4p－4q＝0，即(p＋q)(p－q)＋4(p －q)＝0，即(p－q)(p＋q＋4)＝0．故p－q＝0或p＋q＋4＝0，即p＝q或p＋q＝－4．四、关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7 m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．解：设公共根为α，易知，原方程x2+mx－3＝0的两根为α、－m－α；x2－4x－(m－1)＝0的两根为α、4－α．由韦达定理，得α(m＋α)＝3，①α(4－α)＝－(m－1)．②由②得m＝1－4α＋α2，③把③代入①得α3－3α2＋α－3＝0，即(α－3)(α2＋1)＝0．∵α2＋1＞0，∴α－3＝0即α＝3．把α＝3代入③，得m＝－2．故当m＝－2时，两个已知方程有一个公共根，这个公共根为3．。
巧用韦达定理的逆定理
巧用韦达定理的逆定理
唯达定理：唯达定理是一个重要的定理，是德国数学家拉瓦锡（L.Von Weitkowitz）在1831年第一次证明的，它指出：在一个正多面体中，如果相邻两个顶点之间的距离之和等于面体的所有面的总距离，则正多面体为等距。
韦达定理的逆定理：韦达定理的逆定理的推导来源于韦达定理，可以用于证明一定的正多面体不是边等距的。
该定理认为，如果存在一个正多面体，其中边不是等距的，且总原距离的和大于所有相邻顶点之间距离的总和，则此多面体不是一个等距正多面体。
1、韦达定理
韦达定理由德国数学家拉瓦锡（L.Von Weitkowitz）在1831年首次推导出来，该定理宣称：在一个正多面体里，如果每条边的总长度跟它们相邻顶点之间的距离和相等，则这个正多面体为等距正多面体。
2、韦达定理的逆定理
韦达定理的逆定理由韦达定理推导而来，它可以用于证明一定的正多面体不是边等距的。
根据逆定理，若存在一个正多面体，其中边不是等距的，且边总长度大于相邻顶点之间的距离之和，则此多面体不是边等距的正多面体。
3、应用
以上是韦达定理和韦达定理的逆定理关于正多面体的定义，并可以根
据它们进行证明或推导，但是它们也适用于多种其他的场景。
比如在数学中，可以用它们来证明曲线的曲率问题，而在物理学中，则可以用来研究多边形的抛物线特性，例如反射现象等等。
另外，由于韦达定理可用于求解几何形状转换问题，因此也可以用在求解几何图形变换的最优解。
韦达定理在解析几何中的应用1
韦达定理在解析几何中的应用一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+by ax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，若22=AB ，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
（. 答案：3222=+y x ） 例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率23=e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。
（答案：1585222=+y x ） 例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。
（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标； （3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2211MPMQ+为定值。
[例3变式训练]求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程答案：（1）2214p y y -=； 2214p x x = ；（2）直线AB 过定点()2,0p ；（3）21p。
设直线:PQ x my p =+，由22x my py px=+⎧⎨=⎩消去x 有：22220y pmy p --=，所以1221222y y pm y y p+=⎧⎨=-⎩，MP=1y ，MQ=2y ， 2212222222222121211111(1)(1)1y y m y m y m y y MP MQ ++=+=⋅+++ 222121222222212()211(2)2(2)11()1(2)y y y y pm p m y y m p p +---=⋅=⋅=++-二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅ 。
韦达定理在解题中的应用
贵州师范大学数学与科学系数学教育（师范类）专业2001级毕业论文选题登记表（代开题报告）贵州师范大学本科学生毕业论文（设计）题目：韦达定理在解题中的应用学院：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级：2001级学生姓名：指导教师：论文字数：3250个完成日期：2005年3月20日韦达定理在解题中的应用摘要：韦达定理（及其逆定理）是中学数学中的一个重要定理；它的应用贯穿在中学数学内容之中；在解决方程、三角、几何等问题中有着广泛的应用；本文主要介绍实数范围内韦达定理在一元二次方程中的应用。
关键词：方程、应用(Maths and Computer science department 、Guizhou Normal University 、Guiyang 、Guizhou 、China 、550001) Abstract: Veda Theory is an important theory of Maths in Middle school; And it is used in many parts of Middle Maths, solving problems of equation 、triangle 、 geometry and so on. This essay introduces in real the use of Veda Theory in quadratic equation. Keyword: equation 、application.韦达定理（及其逆定理）是初中课程中的重要定理，不仅在初中，就是在高中解题时都经常会用到它。
鉴于它应用的灵活性，在解决有关方程、三角、几何等问题中都有着广泛的应用。
一些问题，可以运用韦达定理直接求解。
比如：已知方程，求两根的和与积；已知一元二次方程的一个根，求另一个根与未知系数等等。
另一些问题，初看起来没有方程的影子，也不是两数之和与两数之积问题，没有直接运用韦达定理的条件。
浅谈韦达定理法在解析几何解题中的应用
浅谈韦达定理法在解析几何解题中的应用作者：黄织卿来源：《文理导航》2011年第22期韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终。
利用一元二次方程根与系数关系的韦达定理解题的方法叫韦达定理法。
在平面解析几何中，韦达定理法是解决其习题的主要技巧之一。
在教学中通过一些典型例题的分析,可以培养学生严谨的解题习惯和提高学生解决问题的能力。
本文通过教学体会，着重探讨了如何通过韦达定法理解决解析几何习题中的有关问题。
一、利用韦达定理法解决关于弦中点的问题在处理圆锥曲线中特殊点的轨迹方程时，若能灵活利用韦达定理法来求解会带来很大的方便。
例1.过椭圆+=1内一定点（1，0）引弦，求该弦的中点的轨迹方程。
解：设过点（1，0）的弦所在的直线方程为y=k（x-1），弦的中点坐标为P（x0，y0），则得方程组：y=k（x-1）+=1消去y，并整理后得：（9k2+4）x2-18k2x+9k2-36=0。
根据韦达定理可得x1+x2=因此中点P的坐标为x0==，y0=k（x0-1）=所以=-k，由此可得k=-。
将k=-代入y0=k（x0-1）中得y0=-（x0-1），整理后得4x02+9y02-4x0=0将x0、y0分别换成x、y，故所求轨迹方程为4x2+9y2-4x=0。
二、利用韦达定理法解决关于弦长的问题弦长问题在解析几何中是一个典型常见的问题，解决此类问题时韦达定理法常常起到关键的作用。
例2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得弦长为，求该抛物线的方程。
解：设抛物线的方程为y2=2px，将y=2x+1代入上抛物线方程中得（2x+1）2=2px，整理后得4x2+2（2-p）x+1=0。
∵△=[2（2-p）]2-4×4×1>0∴p4。
设直线与抛物线的两交点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理有x1+x2=（p-2），x1x2=∵│AB│====。
韦达定理在解析几何中的应用
解：设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 L 的方程为 y=kx-1. 联立方程组 y=kx-1 和 y=x2 2
消去 y 得
x2+2kx-2=0. 因 4k 2 8 0 ，所以直线与曲线有两不同交点 由韦达定理得 x1+x2=-2k, x1x2= -2.
y1 y2 kx1 1 kx2 1 x1 x2 2 k k 1 又x x x x2 x1 x2 1 2 1
所以： (3 2 y1 )(3 2 y2 ) y1 y2 0 ，整理得： 5 y1 y2 6( y1 y2 ) 9 0 又由 x2+y2+x-6y+m=0 与 x+2y-3=0 联立消去 x 得： 6m 2 y y 5 y 20 y 6 m 0 ，由韦达定理得： y1 y2 4 ， 1 2 5 6m 5 6 4 9 0 所以： ，解得 m 9 5
韦达定理在解析几何 中的应用
p 2
一.求弦长
2 y 例1.已知直线L的斜率为2，且过抛物线 2 px
的焦点，求直线L被抛物线截得的弦长。
p 解：易知直线 L 的方程为 y=2(x- 2 ). 联立方程组 p y2=2px 和 y=2(x- 2 ) 消去 x 得 y2-py-p2=0.∵△=5p2>0,
则直线 L 的方程为 y = x-1.
作业 3:求 m 的值，使圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 的两个交点 A、B 满足 OA⊥OB.
解析：设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 因为 OA
y y OB ,所以： x x
韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
叶忠国
【期刊名称】《襄阳职业技术学院学报》
【年(卷),期】2010(009)001
【摘要】平面解析几何,是用代数方法研究平面几何图形的一个数学分支,它所提出的问题以及问题的结论都是几何形式,而中间的论证和推导基本上是用代数方法.本文通过具体的例子,介绍了韦达定理和逆定理在解析几何中的应用.
【总页数】3页(P30-31,34)
【作者】叶忠国
【作者单位】襄樊职业技术学院,公共课部,湖北,襄樊,441050
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.韦达定理的逆定理的应用 [J], 夏林鑫
2.韦达定理逆定理在解竞赛题中的应用 [J], 王志
3.谈韦达定理及其逆定理在解题中的应用 [J], 陈启耀
4.韦达定理的逆定理在解析几何证题中的应用举例 [J], 于志洪
5.韦达定理逆定理的应用 [J], 汪健
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Ｌ ｌ Ｂ ｌ Ａ ＋ＩＢ｛ Ｉ Ｑ Ｉ Ｉ Ｎ Ｉ ＝ Ａ ＝ｌ Ｆ Ｉ Ｆ ＝ Ａ ＋ Ｂ
＝ｘｌ ＋ｘｚ ＋ｐ一
２ｐ＋ ｔ ｎ２ ｐ ａ ０
一
ｔ
ｎ
２ ０
＋Ｐ ＝
，
南 达 理 ｘｘ｛ ． 韦 定 得 一＝ ＋ ：
设 弦 中 ・ ・
即 为所 求 函数 关 系 式 ．
则ｘ ： ＝ 薷 ｙ － ＋ ：薷 ｂ ｋ ＝
１ 若 ｋ 为 常 量 ， ｂ为 参 变 量 ， ） 则
Ｘ Ｋ Ｋ
（ ３ ） （ ４ ）
２ 函数 Ｌ —ｎ 。 的定 义域是 ０ ０ 竹 ） ：ｓｉ ＿ ． ＜＜ ． Ｕ
ａ２
一
表示一个椭圆， 其离心率 ｅ ＝
二
２
：
．
例 ３设 直 线 ｙ ｋ ＋ ． ＝ ｘ ｂ和 圆 ｘ＋ ２ ｒ 相 交 ， 求 出 ２ ｙ＝ ２ 不 交 点 坐 标 ， 所 成 弦 的 中 点 坐 标 ， 且 ， ） ｋ为 常 求 并 １若 量 ， ｂ为 变 量 时 ，求 证 弦 的 中 点 轨 迹 是 一 条 线 段 ； ） ２
证 明 ： 抛 物 线 方 程 为 ｙ＝ ｐ （ ＞ ） 它 的 一 组 设 ２ ２ ｘｐ ０ ，
＝
阜
．
（） ３
平 行 弦 的 斜 率 是 ｋ， 程 是 ｙ ｋ ＋ ． 方 ＝ ｘ ｂ
由 程 ｛２ｂ 去 得ｙ孕ｙ ： 方 组ｙｘ＋ ２ｐ ＝ｘ消 ： ＋ ｏ 一 ， ｙ ＝ｋ
此 方程两 根为 弦与抛 物线二 交点 的纵 坐标 。
如 果 方 程 ａ ： ｂ ＋ ＝ （ 、 Ｃ都 是 实 数 ， ≠０ 的 ｘ＋ ｘ ｃ ０ ａ ｂ、 ａ ） 两 根 是 和 ｐ， 么 ：ｔ １ 一 ， ｐ ． 之 ， 果 那 ｅ＋３ ・ ＝ 反 ＝ 如
ａ ａ
Ｊ２ ＋ ２ ＝ ２ ｂ） ａ ａ 【 ｙ ｂ
［＝ （－ ） ｙ ｋｘ ｃ
圭远叠婴和避塞理在竖＿ 析．
一 廛旦
证明：方程 ｘｙｒ 南 组｛＋＝ ２２２
Ｉ＝ ｘ ｂ ｙ ｋ＋
（ １ ）
（） ２
设 Ａ、 Ｂ到抛物 线准线 的距 离 为 Ｉ Ｑ ｝ ｌ Ｎ Ｉ Ａ 和 Ｂ ，
依抛 物线 定义有 ：
把 （ 代 入 （ ） ｘ＋ ２ ２ ｋ ＋ ｒ ２） １ 得 ２ｋｘ＋ ｂ ｘ ｂ＝ ２ ．
由 达 理 ｘ２ 韦 定 得 －＝ ＋器 ｘ
所 以弦 中点 的横坐标 是 ｘ ＝ 代 入 （ 纵 坐 标 ｙ ｃ ２） ＝ － ２ｋ ｂ
・ ． ． ．
＝ ｋ ａｃ ２ ２
，
例 １连 接 抛 物 线 上 任 意 两 点 的 线 段 叫 抛 物 线 的 ． 弦 ， 证抛 物线 的平行 弦 的中点在 一条 直线上 。 求
襄 樊职 业技 术 学院 学报 第 ９卷 第 １ 期
双 月刊 ２ １ ０ ０年 １ 月
韦达定理和逆定理在解析几何中的应用
叶 忠 国 （ 樊职 业技 术学 院 公 共课部 ，湖北 襄樊 ４ １５ ） 襄 ４０ ０
摘
要： 平面解析 几何 ， 用代数 方法研 究平 面几何 图形的一个教学分支 ， 是 它所提 出的 问题以及 问题 的结论都
（） １
（） ２
消 去 Ｙ得 （２ ａｋ） ２ ２ｋｘ ａ （ ｋｃ） ０， 方 ｂ＋ ＂ｒ 一 ａｃ ￣— ２ ｂ一 ２－ 此 ｘ 两 个 数 仅 和 Ｂ满 足 如 下 关 系 ：ｔ １ 一 ， ・ ｏ＋３ ｐ＝ ＝
ａ ａ
程 二 根 为 过 Ｆ点 弦 与 椭 圆 二 交 点 的 横 坐 标 。
该纵 坐标 与 ｂ值无 关 ， 以 ｙ ｝ 为平 行 弦的 中 所 ＝Ｋ
点 轨 迹 方 程 ， 是 平 行 于 ｘ轴 的 一 条 直 线 。 它 例 ２过 椭 圆 的一 焦 点 作 弦 ， 证 各 弦 中 点 的 轨 迹 ． 求 还 是 一个 椭 圆 ， 的离 心 率 和原 椭 圆 的 离 心 率 相 等 。 它 证 明 ： 椭 圆 方 程 为 ＋ ＝ｌａ ｂ Ｏ ， 它 的 设 （＞ ＞ ） 过
是几何形式 ， 而中间的论证和推导基本上是用代数方法。本文通过具体 的例 子， 介绍 了韦达定理和逆定理在解析 几
何中的应用。 关键词 ： 韦达定理； 解析几何 ； 应用
中 图分 类 号 ： ６ ３ ２ Ｇ ３． ６ 文 献 标识 码 ： Ａ 文 章 编号 ：６ １９ ４ ２ １） ｌ０ ３－ ３ １７ — １Ｘ（０ ０ Ｏ 一 ０ ０ ０
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若 ｂ为 常 量 ， ｋ为 变 量 时 ， 证 弦 的 中 点 的 轨 迹 是 一 求
段 圆弧 ［ ２ １
焦 点 Ｆｃ， ） 直 线 方 程 是 ｙ ｋｘ ｃ （ ０的 ＝ （— ）． 由方 程 组
收 稿 日期 ：０ ９ １－ ９ ２ ０ －０ １ 作者简介： 叶忠 国 （９ ４ ）男 ， 北 随 州人 。副 教 授 ， 究 方 向 ： 学 教 育 教 学 。 １５ 一 ， 湖 研 数
那 么 这 两 个 数 ｄ和 １ 方 程 ａ ｂ ＋ ＝ （ 、 Ｃ都 ３是 ｘ＋ ｘ ｃ Ｏ ａ ｂ、 是 实 数 ， ≠０） 根 。｛ 述 是 韦 达 定 理 及 其 逆 定 理 。 ａ 的 １ １ 上
下 面 通 过 具 体 的 例 子 说 明 它 在 解 析 几 何 中 的应 用 。
由 （ ） ＝ ｒ ， ／ ３） 理 得 ｂｘ＋ ￣Ｚｂｃ ＝ ． ２ ｋ ｊ － 代 ｋ（ 整 Ｚ ａ － Ｚｘ Ｏ
即
＋
－１ ．
由韦达定理得 Ｙ ｙ 牟 ｌ２ ． ＋＝
（ （ ） 手）
这 是经 过椭 圆一 焦点 诸 弦 中点 的 轨迹 方程 ， 它
但 ｙ毕 ＝ ＝ 二 ｝为弦中 Ｋ 点的 纵坐标。
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