2019年辽宁省营口市中考数学试卷(解析版)

2019年辽宁省营口市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）5-的相反数为（ ） A ．15-B ．5C ．15D ．5-2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．824x x x ÷= B ．2(2)(2)2x x x +-=- C ．3585315y y y =D ．633a a -=4．（3分）如图，AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，//AD BC ，32B ∠=︒，则C ∠的度数（ ）A ．64︒B ．32︒C ．30︒D ．40︒5．（3分）反比例函数4(0)y x x=->的图象位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，23AD AB =，则ADE DBCES S ∆四边形的值是（ ）A ．45B ．1C ．23D ．497．（3分）如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒8．（3分）若关于x 的方程2304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =B ．13k -且0k ≠C ．13k -D ．13k >-9．（3分）如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，//AD BC ，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．14B ．24C ．22 D ．1310．（3分）如图，A ，B 是反比例函数(0,0)ky k x x=>>图象上的两点，过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，直线AB 交y 轴正半轴于点E ．若点B 的横坐标为5，3CD AC =，3cos 5BED ∠=，则k 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．154二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）因式分解：3x y xy -= ．12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为 元．13．（3分）一个长方形的长和宽分别为10和22，则这个长方形的面积为 ． 14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是 ．15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为 ． 16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若BEF ∆是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为 ．17．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为 ．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线1:33l y =x 轴交于点1A ，与y 轴交于点2A ，过点1A 作x 轴的垂线交直线23:3l y x =于点1B ，过点1A 作11A B 的垂线交y 轴于点2B ，此时点2B 与原点O 重合，连接21A B 交x 轴于点1C ，得到第1个△112C B B ；过点2A 作y 轴的垂线交2l 于点3B ，过点3B 作y 轴的平行线交1l 于点3A ，连接32A B 与23A B 交于点2C ，得到第2个△223C B B ⋯⋯按照此规律进行下去，则第2019个△201920192020C B B 的面积是 ．三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）先化简，再求值：2821(3)33a aaa a+++-÷++，其中a为不等式组121232aa-<⎧⎪⎨+>⎪⎩的整数解．20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，3-，4．（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为．（2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率．四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．（1）本次接受问卷调查的学生有名．（2）补全条形统计图．（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．22．（12分）如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60︒方向上，位于B市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73)≈五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE BC⊥，垂足为点E，以AE为直径的O 与边CD相切于点F，连接BF交O于点G，连接EG．（1）求证：CD AD CE=+．（2）若4∠的值．=，求tan EGFAD CE24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量()y kg 与时间第t 天之间的函数关系式为2100(180y t t =+，t 为整数），销售单价p （元/)kg 与时间第t 天之间满足一次函数关系如下表：时间第t 天 1 2 3 ⋯ 80 销售单价/p （元/)kg49.54948.5⋯10（1）直接写出销售单价p （元/)kg 与时间第t 天之间的函数关系式．（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25．（14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC BC <，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60︒交线段CA 的延长线于点D ． （1）找出与AMP ∠相等的角，并说明理由． （2）如图2，12CP BC =，求ADBC的值． （3）在（2）的条件下，若133MD =，求线段AB 的长．七、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式． （3）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．2019年辽宁省营口市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）5-的相反数为（ ） A ．15-B ．5C ．15D ．5-【考点】14：相反数【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：5-的相反数是5， 故选：B ．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（3分）如图所示几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】2U ：简单组合体的三视图【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．【解答】解：根据俯视图的特征，应选B ． 故选：B ．【点评】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．824x x x ÷= B ．2(2)(2)2x x x +-=- C ．3585315y y y =D ．633a a -=【考点】4I ：整式的混合运算【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．【解答】解：826x x x ÷=，故选项A 错误；2(2)(2)4x x x +-=-，故选项C 错误； 3585315y y y =，故选项C 正确；633a a a -=，故选项D 错误；故选：C ．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 4．（3分）如图，AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线，//AD BC ，32B ∠=︒，则C ∠的度数是（ ）A ．64︒B ．32︒C ．30︒D ．40︒【考点】8K ：三角形的外角性质；7K ：三角形内角和定理；JA ：平行线的性质 【分析】根据平行线的性质求出EAD ∠，根据角平分线的定义得到264EAC EAD ∠=∠=︒，根据三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：//AD BC ，32EAD B ∴∠=∠=︒，AD 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线， 264EAC EAD ∴∠=∠=︒， EAC ∠是ABC ∆的外角，643232C EAC B ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】本题考查的是平行线的性质、三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．（3分）反比例函数4(0)y x x=->的图象位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】2G ：反比例函数的图象；4G ：反比例函数的性质 【分析】根据题目中的函数解析式和x 的取值范围，可以解答本题．【解答】解：反比例函数4(0)y x x =->，40k =-<，∴该函数图象在第四象限，故选：D ．【点评】本题考查反比例函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．6．（3分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，23AD AB =，则ADE DBCES S ∆四边形的值是（ ）A ．45B ．1C ．23D ．49【考点】9S ：相似三角形的判定与性质【分析】利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【解答】解：//DE BC ， ADE ABC ∴∆∆∽， ∴24()9ADE ABC S AD S AB ∆∆==， ∴45ADE DBCES S ∆=四边形， 故选：A ．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（3分）如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ∠=︒，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒【考点】5M ：圆周角定理【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ∠=︒，70ACB ADB ∠=∠=︒，然后利用互余计算ABC ∠的度数． 【解答】解：连接AC ，如图， BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒， 70ACB ADB ∠=∠=︒， 907020ABC ∴∠=︒-︒=︒．故答案为20︒． 故选：A ．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．8．（3分）若关于x 的方程2304kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k =B ．13k -且0k ≠C ．13k -D ．13k >-【考点】AA ：根的判别式；1A ：一元二次方程的定义 【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案． 【解答】解：当0k ≠时，△3141304k k =+⨯=+， 13k ∴-， 13k ∴-且0k ≠， 当0k =时， 此时方程为304x --=，满足题意， 故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，本题属于基础题型．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，90DAB∠=︒，//AD BC，12BC AD=，AC与BD交于点E，AC BD⊥，则tan BAC∠的值是（）A．14B24C22D．13【考点】JA：平行线的性质；7T：解直角三角形【分析】证明ABC DAB∆∆∽，得出AB BCDA AB=，证出2AD BC=，得出2222AB BC AD BC BC BC=⨯=⨯=，因此2AB BC=，在Rt ABC∆中，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：//AD BC，90DAB∠=︒，18090ABC DAB∴∠=︒-∠=︒，90BAC EAD∠+∠=︒，AC BD⊥，90AED∴∠=︒，90ADB EAD∴∠+∠=︒，BAC ADB∴∠=∠，ABC DAB∴∆∆∽，∴AB BC DA AB=，12BC AD=，2AD BC∴=，2222AB BC AD BC BC BC∴=⨯=⨯=，2AB∴=，在Rt ABC∆中，2 tan22BC BCBACAB BC∠===；故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．10．（3分）如图，A ，B 是反比例函数(0,0)ky k x x=>>图象上的两点，过点A ，B 分别作x 轴的平行线交y 轴于点C ，D ，直线AB 交y 轴正半轴于点E ．若点B 的横坐标为5，3CD AC =，3cos 5BED ∠=，则k 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．154【考点】7T ：解直角三角形；8F ：一次函数图象上点的坐标特征；6G ：反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】由3cos 5ED BED EB ∠==，设3DE a =，5BE a =，根据勾股定理求得45BD a ==，即可求得54a =，得出154DE =，设AC b =，则3CD b =，根据题意得出34EC b =，315344bED b b =+=，从而求得1b =，则1AC =，3CD =，设B 点的纵坐标为n ，则(1,3)A n +，(5,)B n ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出1(3)5k n n =⨯+=，求得154k =． 【解答】解：//BD x 轴， 90EDB ∴∠=︒，3cos 5ED BED EB ∠==， ∴设3DE a =，5BE a =，2222(5)(3)4BD BE DE a a a ∴=-=-=，点B 的横坐标为5， 45a ∴=，则54a =， 154DE ∴=， 设AC b =，则3CD b =， //AC BD ，∴4433AC BD a EC ED a ===， 34EC b ∴=，315344bED b b ∴=+=， ∴151544b =，则1b =， 1AC ∴=，3CD =，设B 点的纵坐标为n ， OD n ∴=，则3OC n =+，(1,3)A n +，(5,)B n ，A ∴，B 是反比例函数(0,0)ky k x x=>>图象上的两点， 1(3)5k n n ∴=⨯+=，解得154k =， 故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形以及勾股定理的应用，表示出A 、B 的坐标是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（3分）因式分解：3x y xy -= (1)(1)xy x x -+ ． 【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式xy ，再运用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：3x y xy -，2(1)xy x =-⋯（提取公因式）(1)(1)xy x x =+-．⋯（平方差公式）故答案为：(1)(1)xy x x +-．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．（3分）2018年国家级经济开发区成为经济发展重要增长点，实现进口总额62000亿元，用科学记数法表示为 126.210⨯ 元． 【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：62000亿元6200000000000=元126.210=⨯元， 故答案为：126.210⨯．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．13．（3和，则这个长方形的面积为 【考点】7B ：二次根式的应用【分析】长方形的面积计算公式为长乘以宽，所以将的运算法则计算，并化简成最简单二次根式即可．【解答】解：和∴==故答案为：【点评】本题考查了二次根式在长方形面积计算中的应用，明确二次根式乘法运算法则及如何化为最简二次根式是解题的关键．14．（3分）在一次青年歌手演唱比赛中，10位评委给某位歌手的打分分别是：9.5，9.8，9.4，9.5，9.6，9.3，9.6，9.4，9.3，9.4，则这组数据的众数是 9.4 ． 【考点】5W ：众数【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解． 【解答】解：数据9.4出现了三次最多为众数． 故答案为：9.4．【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．15．（3分）圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为 3 ． 【考点】MP ：圆锥的计算【分析】设该圆锥的底面半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21652180r ππ=，然后解关于r 的方程即可．【解答】解：设该圆锥的底面半径为r ， 根据题意得21652180r ππ=，解得3r =． 故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．（3分）如图，在矩形ABCD 中，5AD =，3AB =，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若BEF ∆是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为574± ．【考点】KH ：等腰三角形的性质；LB ：矩形的性质；KQ ：勾股定理【分析】如图，过点E 作EG BC ⊥于G ，可得3AB EG ==，2AE BG t ==，由勾股定理可求t 的值．【解答】解：如图，过点E 作EG BC ⊥于G ，∴四边形ABGE 是矩形，3AB EG ∴==，2AE BG t ==，5BF EF t ==-，|2(5)||35|FG t t t =--=-，222EF FG EG ∴=+，22(5)(35)9t t ∴-=-+，574t ±∴=故答案为：574±． 【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键． 17．（3分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 为BC 边上一点，122BD DC ==，以点D 为顶点作正方形DEFG ，且DE BC =，连接AE ，AG ．若将正方形DEFG 绕点D 旋转一周，当AE 取最小值时，AG 的长为 8 ．【考点】KK ：等边三角形的性质；6K ：三角形三边关系；2R ：旋转的性质；LE ：正方形的性质；KD ：全等三角形的判定与性质【分析】过点A 作AM BC ⊥于M ，由已知得出4DC =，得出6BC BD DC =+=，由等边三角形的性质得出6AB AC BC ===，116322BM BC ==⨯=，得出1DM BM BD =-=，在Rt ABM ∆中，由勾股定理得出2233AM AB BM =-=，当正方形DEFG 绕点D 旋转到点E 、A 、D 在同一条直线上时，AD AE DE +=，即此时AE 取最小值，在Rt ADM ∆中，由勾股定理得出2227AD DM AM =+=，在Rt ADG ∆中，由勾股定理即可得出228AG AD DG =+=．【解答】解：过点A 作AM BC ⊥于M ， 122BD DC ==， 4DC ∴=，246BC BD DC ∴=+=+=， ABC ∆是等边三角形， 6AB AC BC ∴===， AM BC ⊥，116322BM BC ∴==⨯=， 321DM BM BD ∴=-=-=，在Rt ABM ∆中，22226333AM AB BM =-=-=，当正方形DEFG 绕点D 旋转到点E 、A 、D 在同一条直线上时，AD AE DE +=， 即此时AE 取最小值，在Rt ADM ∆中，22221(33)27AD DM AM =+=+=， ∴在Rt ADG ∆中，2222(27)68AG AD DG =+=+=；故答案为：8．【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线1:33l y x =+与x 轴交于点1A ，与y 轴交于点2A ，过点1A 作x 轴的垂线交直线23:3l y x =于点1B ，过点1A 作11A B 的垂线交y 轴于点2B ，此时点2B 与原点O 重合，连接21A B 交x 轴于点1C ，得到第1个△112C B B ；过点2A 作y 轴的垂线交2l 于点3B ，过点3B 作y 轴的平行线交1l 于点3A ，连接32A B 与23A B 交于点2C ，得到第2个△223C B B ⋯⋯按照此规律进行下去，则第2019个△201920192020C B B 的面积是4036338．【考点】8F ：一次函数图象上点的坐标特征；2D ：规律型：点的坐标 【分析】根据一次函数解析式的求法和相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：33y x =+与x 轴交于点1A ，与y 轴交于点2A ，∴12(1,0),3)A A -，在y =中，当1x =-时，y =，∴1(1,B -， 设直线21A B 的解析式为：y kx b =+，可得：b k b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线21A B的解析式为：y =+ 令0y =，可得：34x =-，23(4C ∴-，0)，∴1122111113224C B B SB C A B ==⨯==， △112A B B ∽△223A B B ， ∴△112C B B ∽△223C B B ， ∴2231122223221211()()9C B B C B B S B B A B SB B A B ====， ∴223112998C B B C B B SS ==，同理可得：334223998C B B CB B S S==， ∴△201920192020C B B 的面积== 【点评】此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，关键是利用一次函数解决三角形面积问题方法解答．三、解答题（本大题共2小题，共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）先化简，再求值：2821(3)33a a a a a +++-÷++，其中a 为不等式组121232a a -<⎧⎪⎨+>⎪⎩的整数解．【考点】6D ：分式的化简求值；CC ：一元一次不等式组的整数解 【分析】先化简分式，然后将a 的整数解代入求值． 【解答】解：原式28(3)(3)33(1)a a a a a +-++=++ 2(1)(1)(1)a a a +-=+11a a -=+， 解不等式得 534a <<， ∴不等式组的整数解为2a =，当2a =时， 原式211213-==+． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．20．（10分）一个不透明的口袋中有4个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数1-，2，3-，4．（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率为12． （2）摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【考点】4X ：概率公式；6X ：列表法与树状图法 【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数，然后根据公式求解．【解答】解：（1）摇匀后任意摸出1个球，则摸出的乒乓球球面上的数是负数的概率2142==； 故答案为12； （2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的结果数为8，所以两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率82 123==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．四、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）21．（12分）为了了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，课题小组随机选取该校部分学生进行了问卷调査（问卷调査表如图1所示），并根据调查结果绘制了图2、图3两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答下列问题．（1）本次接受问卷调查的学生有100名．（2）补全条形统计图．（3）扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校最喜爱新闻节目的学生人数．【考点】VC：条形统计图；5V：用样本估计总体；VB：扇形统计图【分析】（1）根据D的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数；（2）根据（1）中的结果和图1中的数据可以将条形统计图补充完完整；（3）根据条形统计图中的数据可以求得扇形统计图中B类节目对应扇形的圆心角的度数；（4）根据统计图中的数据可以求得该校最喜爱新闻节目的学生人数．【解答】解：（1）本次接受问卷调查的学生有：3636%100÷==（名），故答案为：100；（2）喜爱C的有：10082036630----=（人），补全的条形统计图如右图所示；（3）扇形统计图中B 类节目对应扇形的圆心角的度数为：2036072100︒⨯=︒， 故答案为：72︒； （4）82000160100⨯=（人）， 答：该校最喜爱新闻节目的学生有160人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（12分）如图，A ，B 两市相距150km ，国家级风景区中心C 位于A 市北偏东60︒方向上，位于B 市北偏西45︒方向上．已知风景区是以点C 为圆心、50km 为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A ，B 两市的高速公路，高速公路AB 是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：3 1.73)≈【考点】TB ：解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，设CH tkm =，则BH tkm =，3AH tkm =，结合150AB km =，可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出t 的值，将其与50进行比较即可得出结论．【解答】解：高速公路AB 不穿过风景区． 过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图所示． 根据题意，得：30CAB ∠=︒，45CBA ∠=︒， 在Rt CHB ∆中，tan 1CHCBH HB∠==， CH BH ∴=．设BH tkm =，则CH tkm =， 在Rt CAH ∆中，3tan 3CH CAH AH ∠==3AH tkm ∴．150AB km=，∴3150t t+=，7537575 1.737554.75t∴=-≈⨯-=．54.7550>，∴高速公路AB不穿过风景区．【点评】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，通过解直角三角形用CH的长表示出AH，BH的长是解题的关键．五、解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AE BC⊥，垂足为点E，以AE为直径的O 与边CD相切于点F，连接BF交O于点G，连接EG．（1）求证：CD AD CE=+．（2）若4AD CE=，求tan EGF∠的值．【考点】5L：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；MC：切线的性质；5M：圆周角定理；7T：解直角三角形【分析】（1）证明AD OA⊥，可得AD是O的切线，由切线长定理得AD DF=，同理CE CF=，则CD AD CE=+；（2）连接OD，AF相交于点M，设CE t=，则4AD t=，求得3BE t=，5AB CD t==，可求出4AE t=，证得AF OD⊥，求出21tan42AO tODAAD t∠===，可证明EGF ODA∠=∠，则tan EGF∠可求出．【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，//AD BC ∴， AE BC ⊥， AD OA ∴⊥， AO 是O 的半径，AD ∴是O 的切线，又DF 是O 的切线， AD DF ∴=，同理可得CE CF =， CD DF CF =+， CD AD CE ∴=+．（2）解：连接OD ，AF 相交于点M ，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AD BC =． 4AD CE =，∴设CE t =，则4AD t =，3BE t ∴=，5AB CD t ==，∴在Rt ABE ∆中，22(5)(3)4AE t t t =-=，2OA OE t ∴==，DA ，DF 是O 的两条切线， ODA ODF ∴∠=∠，DA DF =，ODA ODF ∠=∠， AF OD ∴⊥，∴在Rt OAD ∆中，21tan 42AO t ODA AD t ∠===， 90OAD AMD ∠=∠=︒， EAF ODA ∴∠=∠，EF EF=，EGF EAF∴∠=∠，ODA EGF∴∠=∠，1tan2EGF∴∠=．【点评】此题属于圆的综合题．考查了圆周角定理、切线的性质、切线长定理、勾股定理、平行四边形的性质以及锐角三角函数的知识．注意准确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的关键．24．（12分）某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量()y kg与时间第t天之间的函数关系式为2100(180y t t=+，t 为整数），销售单价p（元/)kg与时间第t天之间满足一次函数关系如下表：（1）直接写出销售单价p（元/)kg与时间第t天之间的函数关系式．（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用【分析】（1）设销售单价p（元/)kg与时间第t天之间的函数关系式为：p kt b=+，将(1,49.5)，(2,49)解方程组即可得到结论；（2）设每天获得的利润为w元，由题意得到2(19)4761w t=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）设销售单价p（元/)kg与时间第t天之间的函数关系式为：p kt b=+，将(1,49.5)，(2,49)代入得，49.5249k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：1250kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴销售单价p（元/)kg与时间第t天之间的函数关系式为：1502p t=-+；（2）设每天获得的利润为w元，由题意得，(2100)(500.5)6(2100)w t t t=+--+22384400(19)4761t t t=-++=--+，10a =-<w ∴由最大值，当19t =时，w 最大，此时，4761w =最大，答：第19天的日销售利润最大，最大利润是4761元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．六、解答题（本大题共1小题，共14分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 25．（14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，点M 是AB 的中点，连接MC ，点P 是线段BC 延长线上一点，且PC BC <，连接MP 交AC 于点H ．将射线MP 绕点M 逆时针旋转60︒交线段CA 的延长线于点D ． （1）找出与AMP ∠相等的角，并说明理由． （2）如图2，12CP BC =，求ADBC的值． （3）在（2）的条件下，若133MD =，求线段AB 的长．【考点】RB ：几何变换综合题【分析】（1）D AMP ∠=∠．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；（2）如图，过点C 作//CG BA 交MP 于点G ．构造全等三角形(())MDA MGC ASA ∆≅∆和相似三角形()CGP BMP ∆∆∽，根据相似三角形的对应边成比例求得ADBC的值． （3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知GHC MHA ∆∆∽．故13HG CH CGMH AH AM===．易得134MH =．由（2）知，CG AD t ==，则3BM AM CA t ===．故34CH t =，94AH t =．根据题意得到：MHA DMH ∆∆∽，所以该相似三角形的对应边成比例：MH AHDH MH=．将相关线段的长度代入求t 的值，所以62AB t ==． 【解答】解：（1）D AMP ∠=∠． 理由如下：90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，60BAC ∴∠=︒． 60D DMA ∴∠+∠=︒．由旋转的性质知，60DMA AMP ∠+∠=︒． D AMP ∴∠=∠；（2）如图，过点C 作//CG BA 交MP 于点G ． 30GCP B ∴∠=∠=︒，150BCG ∠=︒． 90ACB ∠=︒，点M 是AB 的中点，12CM AB BM AM ∴===． 30MCB B ∴∠=∠=︒． 120MCG ∴∠=︒．18060120MAD ∠=︒-︒=︒． MAD MCG ∴∠=∠．DMG AMG AMC AMG ∠-∠=∠-∠， DMA GMC ∴∠=∠．在MDA ∆与MGC ∆中， MAD MCG AM CMDMA GMC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()MDA MGC ASA ∴∆≅∆． AD CG ∴=．12CP BC =． 13CP BP ∴=．//CG BM ， CGP BMP ∴∆∆∽． ∴13CG CP BM BP ==． 设CG AD t ==，则3BM t =，6AB t =． 在Rt ABC ∆中，cos BC B AB ==33BC t ∴=．∴3933AD t BC t ==；（3）如图，由（2）知CGP BMP ∆∆∽．则133MD MG ==． //CG MA ． CGH AMH ∴∠=∠． GHC MHA ∠=∠， GHC MHA ∴∆∆∽． ∴13HG CH CG MH AH AM ===． 11131344312HG MG ∴==⨯=． 1313133124MH ∴=-=． 由（2）知，CG AD t ==，则3BM AM CA t ===． 34CH t ∴=，94AH t =．MHA DHM ∠=∠，HMA D ∠=∠． MHA DMH ∴∆∆∽． ∴MH AHDH MH=． 2MH AH DH ∴=，即213913()444t t =． 解得113t =，213t =-（舍去）． 62AB t ∴==．【点评】考查了几何变换综合题．着重利用了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的灵活运用．。