2021年新高考数学总复习讲义：函数零点

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知识讲解

一、函数的零点

1.零点的定义：对于函数()y

f x ，使()0f x 的实数x 叫做函数()y f x 的零点．

2.函数零点的等价关系

函数()y f x =的零点就是方程()0f x =实数根，亦即函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标．即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点． 3.零点存在性判定定理

定理：如果函数()y f x =在区间[]a b ，

上的图象是连续不断的一条曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函()y f x =在区间()a b ，

内有零点，即存在()c a b ∈，，使得()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的根．

4.对函数零点存在的判断中，必须强调：

1）()f x 在[]a b ，

上连续； 2）()()0f a f b <；

3）在()a b ，

内存在零点． 这是零点存在的一个充分条件，但不是必要条件．

注意：函数()y f x 的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()y f x 的图象与x 轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

5. 二次函数零点的判定

判别式2=4b ac △ 0△ 0△ 0△