第四章稳恒磁场(2)解析
习题4
第四章 稳 恒 磁 场§4.1 磁的基本现象和基本规律思考题：1、 地磁场的主要分量是从南到北的，还是从北到南的？答：地磁场的北极（Ｎ极）位于地理南极附近，南极（Ｓ极）位于地理北极附近，所以地磁场的主要分量是从地理南极到地理北极。
2、 如图取直角坐标系，电流元I 1dl 1放在x 轴上指向原点O ，电流元I 2dl 2放在原点O 处指向Z 轴。
试根据安培定律回答，在下列各情形里电流元1给电流元的力dF 12、以及电流元2给电流元1的力dF 21，大小和方向各有什么变化？ （１） 电流元２在zx 平面内转过角度θ； （２） 电流元２在yz 平面内转过角度θ；（３） 电流元１在xy 平面内转过角度θ； （４） 电流元1在zx 平面内转过角度θ. 答：根据安培定律在图示情况下，dF 12＝０，方向沿Ｚ轴负向。
（１）dF 12＝０， 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。
方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。
（２）dF 12＝０， 大小不变，方向始终与I 2dl 2方向相反。
（３）dF 12＝０， 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。
方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。
（４） 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。
方向沿x 轴正向或负向。
大小始终不变，方向是在xz 平面内，垂直于dl 1 xyzI 2dl 2I 1dl 1O()()的矢径到电流元其中的矢径到电流元其中112221213212211211121221112123121122122212d I d I r r r d I d I r B d d I F d d I d I r r r d I d I r B d d I F d ⨯⨯=⨯=⨯⨯=⨯=2221121rd I d I dF =2221121sin rd I d I dF θ=2221121r d I d I dF =2221121sin rd I d I dF θ=2112212sin r d I d I dF θ =2221121rd I d I dF =3、 根据安培定律证明：任意两个闭合载流回路L 1和L 2之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
大学物理稳恒磁场解读
2018/9/27
24
r the displacement from
I dl
I
Idl toward P.
dB
the contribution of Idl to the magnetic induction at point P.
r
P
B
the magnetic field of I at point P.
I
S
2018/9/27 5
I
Magnetic field lines surrounding a long and straight wires
2018/9/27
6
I
Magnetic field lines for a tightly wound solenoid of finite length carrying a steady current.
Gauss’ theorem
B dS 0
Ampere’s circulation theorem (Ampere’s Law) L B d l 0 Ii
i
11
2018/9/27
Affect of magnetic field force on currents
right hand rule
26
Superposition Principle of Magnetic Induction
B d B
L
B Bi
u Idl r B d B＝ 4 r
L
0
L
3
2018/9/27
27
DISCUSSION
4真空中的稳恒磁场
X
0 I ′I F′ 0 I ′I F ′ = I ′l ′B = l ′; = 2π r l ′ 2π r 解:
同向相吸; 同向相吸 反向相斥. 反向相斥 也可认为: 也可认为 I ′在 I 处 产生… 产生…
[例3] 求两根平行载流直导线间单位长度上的相互作用力 例 求两根平行载流直导线间单位长度上的相互作用力.
r 再次利用场强叠加原理 求出整个电流场分布 利用场强叠加原理， ④再次利用场强叠加原理，求出整个电流场分布 B = 整个电流
P
∑
I
r Bi 。
3 2
I
1 2. 应用举例
[例1] 求圆电流在轴线上任一点产生的磁感应强度 例 求圆电流在轴线上任一点产生的磁感应强度. v 解: ①设场点 建坐标 取微元 Idl 设场点,建坐标 取微元: 建坐标,取微元
Bv
S
n
S
θ
Φ m = BS
Φm = BS⊥ = v v BS cosθ = B S
B
v v v v n v dφ = B ds B ds
v v Φ m = ∫∫S B ds
S
三.磁场力公式 磁场力公式
v 方向: v v v θv q⊕ f = 0 B v f = qvB Idl dF = Idl B v 方向: ⊙ 方向: ⊙ v v v v v v f洛 = qv × B dF安 = Idl × B
m
M=0
的特殊方向
(二)磁感应线 二 磁感应线 磁感应线(magnetic line of force) 1.规定 规定 v (1)场线上各点的切向就是该点的B 方向 场线上各点的切向就是该点的 方向;
v 磁力线; 磁力线 B 线
描述磁场的几何方法 人为地虚拟方法 切向描述矢量场的方向 疏密描述矢量场的强弱 磁场是“无源” 磁场是“无源”有旋场 场的唯一性和有限性所决定
电磁场4恒定磁场
S
L
S
磁化电流体密度：
Jm M
磁化电流面密度：
JS
M
en
结论：
➢有磁介质存在时，场中任一点的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用在真空中产生的磁场；
➢磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。
磁偶极子与电偶极子对比
模型
电量
产生的电场与磁场
电 偶
v p P
1 4π0
pv
1 R
pv evR 4π0R2
➢电流与电流之间 存在相互作用
➢磁场对运动电荷的作用 运动电荷既能产生磁效应也 受到磁力的作用
表明： ➢电流与电流之间，磁铁与电流之间都存在力的作用 ➢磁铁和电流周围存在磁场 ➢磁力是通过磁场来传递的
运动电荷
磁场
运动电荷
存在于电流或永久磁铁周围空间且能 对运动电荷和电流施加作用力的物质
（1） 安培定律
dF
Idl
0
4
I
dl
eR
l R2
点电荷q1对点电荷q2 的作用力
F
1
4 0
q2q1 R2
eR
电荷之间相互作用 力通过电场传递
F q
1
4 0
V
dV
R2
eR
qE
点电荷 库仑定律 电场强度
电流元I′dl′对电流元
Idl的作用力
F
0 4
Idl
(
I
dl
eR
)
R2
电流之间相互作用 力通过磁场传递
F
Idl
0
l
4
l
I
dl
eR
R2
Idl B
l
电流元 安培定律 磁感应强度
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
稳恒磁场2a-毕萨拉定理
I α H = k tan r 2
1 k = k折 2
5
理论分析： B.S.L定律的建立
dl cos α = − dr dr ⇒ = − cos α dl
1
§2 载流回路的磁场
2.1 毕奥－萨筏尔定律 Biot 和 Savart通过设计实验研究电流对磁极的作用力 在数学家 Laplace 的帮助下, 得出 B-S定律(早于安培)
μ 0 I (d l × r ) dB = 4π r3 与 Idl、 θ 成正比，与r 2成反比 sin
d B ⊥ (d l , r ) 构成的平面
dI = jdl
与其对称的电流元dI’ B 由对称性可知： = Bz μ 0 jdz μ 0 dI = Q dB = 2π r ′ 2π r 2 + z 2 μ 0 jdz r dB z = 2π r 2 + z 2 r 2 + z 2
+∞
P
z ⊙ o ⊙
r′
r
v dB合
v v dB ′ dB
P
+∞ −∞
无限长螺线管： β 1 = π 半无限长螺线管：
...................
β1
R P
β2 = 0
β
l
R β 2 dl
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
大物电磁学课后答案4
/
4 8r 2；5
6 B5 0 ；
Idl 7
321 8来自 B7 B8
0Id
l
r7
0Id l r8
/ /
4r7 3 4r83
0
Id
l
k
/ 4R
2；
20Id lk / 8R2
.
4-3 在电子仪器中，常把载有大小相等方向相反电流的导线扭 在一起，这是为什么？
找出 idt 与 Fdt 的关系）
解：(1) F BI L， Fdt BLIdt mV m 2gh 即 BL Idt BLq m 2gh ，
B
×××××× ××××××
L
m 2gh
q
BL
K
（2）m 10克，L 20厘米，h 0.30米，b 0.10特，求得q 1（库仑）
解：
B
0I 2a
(sin
1
sin
2
)
0
I
A
L
0I 2L sin
600
(cos2
cos1
)
1.73
104
(特斯拉）。
4-14 如图所示，一根宽为a的“无限长”平面载流铜板，其厚 度可以忽略，铜板中的电流为I，求铜板中心上方h处的磁感应 强度B，并讨论h>>a,h<<a两种情况，其结果说明了什么？
4-13一半径为R＝0.10米的半圆形闭合线圈，载有电流I＝10安 培，放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行，磁感应强 度 B=5.0x103高斯。（1）求线圈的磁矩P；（2）求线圈所受磁 力矩的大小和方向；（3）在此力矩作用下线圈转90o（即转到线 圈平面与B垂直），求力矩作功。
物理学稳恒磁场课件
B内ab 由安培环路定理
0
N l
abI
n N l
b B内a
c d
B 0nI
均匀场
由安培环路定理可解一些典型的场
无限长载流直导线
密绕螺绕环
匝数
B 0I 2 r
Ir
B 0 NI 2 r
无限大均匀载流平面
B 0 j
2
(面)电流的(线)密度
场点距中心
的距离 r
电流密度
I
Idl
B dF
安培指出 任意电流元受力为
dF Idl B
安培力公式
整个电流受力 F Idl B
l
例1 在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线， 电流强度为I，导线两端连线与磁感强度方向夹角 =30°，求此段圆弧电流受的磁力。
解：在电流上 任
ab 2R
取电流元 Id l
(b)
洛 仑兹力是相对论不变式 B 磁感强度
(Magnetic Induction)
或称磁通密度 (magnetic flux density) 单位：特斯拉(T)
§3 磁力线 磁通量 磁场的高斯定理
一.磁力线
1. 典型电流的磁力线
2. 磁力线的性质
无头无
与电流
与电流成右
尾 闭 套连
手螺旋关系
合二曲. 线磁通量
IS
(体)电流的(面)密度
如图 电流强度为I的电流通过截面S
若均匀通过 电流密度为 J I S
(面)电流的(线)密度
I
如图 电流强度为I的电流通过截线 l
l
若均匀通过 则
j I l
§6 磁力及其应用
一 1..洛带仑电兹粒力子在磁f场m 中受qv力
电磁学赵凯华第三第四章稳恒磁场
问题：磁作用不满足牛顿第三定律？本节思考题3
现在是19页\一共有66页\编辑于星期四
4.磁感应强度矢量（磁场强度？） B
(1) 通过与电场强度的对比引入磁感应强度矢量
点电荷电场强度的引入
电流元磁感应强度的引入
两点电荷之间的库仑力
两电流元之间的安培力
F12
1
4 0
q1q2 r122
rˆ12
dF12
正确的安培定理数学表达式
dF12
k
I1 I 2dl2
(dl1 r122
rˆ12 )
该公式与安培实验结果相符（自行验证）
现在是14页\一共有66页\编辑于星期四
安培定理数学表达式说明见下页
安培定理数学 表达式的说明
I1 dl1
r12 F12
dF12
k
I1 I 2dl2
(dl1 r122
F
B
(6) B 的广义定义（电流元受力）
B大小： B dFmax / Idl
再由 dF Idl dB
唯一确定(见图)
B方向： 在dF=0时的电流元方向上。两个:θ=0,π
现在是23页\一共有66页\编辑于星期四
(7) B 的量纲、单位
dF
IdlB sin
B
dF
Idl sin
∴ 量纲：
第四章 (真空中)稳恒电流的磁场 magnetic field
§1. 磁的基本现象和规律
作业：p255思考题2
磁现象研究发展概要
习题6,10,20,25,30
1820年之前（库仑实验：1784--1785 ），人们认为磁和电是没有关系 的物理问题。 1820年丹麦人奥斯特的电流的磁效应揭示：运动的电产生磁 。发现的意义：电磁之间有相互联系。
稳恒磁场PPT教学课件
★ 注意事项：
1.符号规定：电流方向与L的环绕方向服从右手关
系的I为正，否则为负。
2.安培环路定律对于任一形状的闭合回路均成立。
3.B的环流与电流分布有关，但路径上B仍是闭合路
径内外电流的合贡献。 4.物理意义：磁场是非保守场，不能引入势能。
§4.4磁场对载流导线的作用
1.安培力 2.平行无限长直导线间的相互作用 3.矩形载流线圈在均匀磁场中所受的力矩 4.载流线圈的磁矩
安培力是作用在自由电子上洛伦兹力的宏观表现。 如图，考虑一段长度为ΔI的金属导线，它放置在垂直 纸面向内的磁场中。设导线中通有电流I，其方向向上。
从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向 下作定向运动形成的。设自由电子的定向运动速度为 u，导体单位体积内的自由电子数为（自由电子数密 度）n，每个电子所带的电量为-e。所以根据电流的 定义:
4.1.3 安培定律
正象点电荷之间相互作用的规律—库仑定律是 静电场的基本规律一样，电流之间的相互作用是稳 恒磁场的基本规律。这个规律是安培通过精心设计 的实验得到的，称之为安培定律。
我们把相互作用着的两个载流回路分割为许多 无穷小的线元，叫电流元，只要知道了任意一对电 流元之间相互作用的基本规律，整个闭合回路受的 力便可通过矢量迭加计算出来。但在实验中无法实 现一个孤立的稳恒电流元，从而无法直接用实验来 确定它们的相互作用。
B
0 4
2nI (cos 1
cos 2 )
下面线管 L , 1 0, 2
B 0nI
2.在半无限长螺线管的一端
B 0nI
2
1
0,
2
2
或1
2
，2
0
§4.3 磁场的高斯定理与安培环路定理
大学物理东南大学第七版上册第四章知识点总结
大学物理东南大学第七版上册第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理r适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为e S dS方向为外法线方向1E dS⑸真空中的高斯定理：e S o E dSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面E Q4r20(r R)(r R)均匀带电的球体Qr40R3E Q240r(r R)(r R)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(r R)无限长均匀带电圆柱面E(r R)20r面对称：无限大均匀带电平面E E⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UA AP E dl(UP0)B电势差的定义式：UAB UA UB A电势能：Wp qo PP0E dlE dl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：S D dS q0,int E0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为C rC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容UU U举例：平行板电容器C圆柱形电容器 C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oL R2ln(R1Q211Q U C(U)2 ③ 电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式We wedV E2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小B F方向：小磁针的N极指向的方向 qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
稳恒磁场2-磁场的通量定理和环路定理
解：
B
上：向右
下：向左
B dl B dl B dl B dl B dl
l
l1
l2
l3
l4
l1 P
B
=0
=0
B dl B dl B dl Bl1 Bl3
l
l1
l3
××××××××××××××××××
5.与环路铰链的电流有时也要通过积分求得；
6.对所得结果作必要的讨论；
7.解题前必须作一个好的图，这对正确求解是十分必 要的。
l
b
f
c
B dl Bbcl 0nIl
b
e
B dl 0
B外 0
f
结论
B内 0nI
B外
0
el
f
b
c
Bbc
dl
L
B
均匀场 I
例4：无限大载流平面，面电流的线密度 i (平面内通过 垂直于电流方向的单位长度的电流强度）,求空间的磁感 应强度。
B dl 0
L
B外 0
×
×
×
.
.L .
用安培环路定理解题小结
1.安培环路定理的成立是普遍的，但为了用它求磁场， 电流分布必须具有特殊对称性；
2.分析对称性，选取适当的闭合回路作为安培环路；
3.把 B dl 从形式上积出来；
4.求出与所选回路铰链的电流,利用安培环路定理求 出磁场；
B d l 0 Ii 内
(任意 L)
i
（1）磁场的基本定律 （2）B由空间所有电流激发，但 B的
第四章习题 稳恒电流的磁场
第四章习题稳恒电流的磁场第四章稳恒电流的磁场一、判断题1、在安培定律的表达式中，若r21?0，则aF21??。
2、真空中两个电流元之间的相互作用力满足牛顿第三定律。
意一点都不受力，则该空间不存在磁场。
4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用?0nI 表示。
5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。
?3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元I0dl放在空间任?6、对于长度为L的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B。
7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。
8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。
9、安培环路定理中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。
10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。
??CB?dl??0I二、选择题1、把一电流元依次放置在无限长的栽流直导线附近的两点A和B，如果A点和B点到导线的距离相等，电流元所受到的磁力大小（A）一定相等（B）一定不相等（C）不一定相等（D）A、B、C都不正确2、半径为R的圆电流在其环绕的圆内产生的磁场分布是：（A）均匀的（B）中心处比边缘处强（C）边缘处比中心处强（D）距中心1/2处最强。
3、在均匀磁场中放置两个面积相等而且通有相同电流的线圈，一个是三角形，另一个是矩形，则两者所受到的（A）磁力相等，最大磁力矩相等（B）磁力不相等，最大磁力矩相等（C）磁力相等，最大磁力矩不相等（D）磁力不相等，最大磁力矩不相等4、一长方形的通电闭合导线回路，电流强度为I，其四条边分别为ab、bc、cd、da如图所示，设B1、B2、B3及B4分别是以上各边中电流单独产生的磁场的磁感应强度，下列各式中正确的是：（A）?（B）?C1B1?dl??0IB1?dl?0C2（C）?B1?B1?dl?0（D）?C1??c?B?B12?B3?B4?dl??0I??I和I设电流IB21单独产生的磁场为1,电流I2单独产生的磁5、两个载流回路，电流分别为1?场为B2,下列各式中正确的是：（A）?C2B1?dl??0?I1?I2??（B）（C）C1B2?dl??0I212 ??B?B??dlC1??0?I1?I2?（D）6、半径为R的均匀导体球壳，内部沿球的直线方向有一载流直导线，电线I从A流向B后，再沿球面返回A点，如图所示下述说法中正确的是：??B?B??dlC212??0?I1?I2??（A）在AB线上的磁感应强度B?0 ?（B）球外的磁感应强度B?0 ?（C）只是在AB线上球内的部分感应强度B?0 ?（D）只是在球心上的感应强度B?07、如图所示，在载流螺线管的外面环绕闭合路径一周积分（A）0（B）?0nI ?LB?dl等于?0nI（C）2 （D）?0I LI8、一电量为q的点电荷在均匀磁场中运动，下列说法正确的是（A）只要速度大小相同，所受的洛伦兹力就相同。
大学物理电子西安电子科技大学
cosdl
l r2
dB 0
4π
Idl r2
dBx
0
4π
I cosdl
r2
B
0IR
4π r3
2π R
dl
0
B
0 IR2
（2 x2 R2）32
第四章 —— 稳恒磁场
17
§2 毕奥—萨伐尔定律
IR
B
ox* x
B
0 IR2
（ 2 x2 R2）32
讨 论
1）若线圈有 N 匝
《电磁学》 多媒体教学课件
西安电子科技大学理学院
第四章 稳恒磁场
§1 磁的基本现象和规律 §2 载流回路的磁场 §3 磁场的“高斯定律”与安培环路定 理 §4 磁场对载流导线的作用 §5 带电粒子在磁场中的应用
第四章 —— 稳恒磁场
2
§1 磁的基本现象和规律
一、磁现象
1、磁铁的磁现象
NN
SS
磁极：N，S
Iz
x
C
o
1
r0
dB *P y
dB 方向均沿
x 轴的负方向
解
dB
0
4π
Idz sin
r2
B dB 0 Idz sin 4π CD r 2
z r0 cot , r r0 / sin
dz r0d / sin2
第四章 —— 稳恒磁场
13
§2 毕奥—萨伐尔定律
方
向定义为该点的 B 的方向.
Fmax
v q +
磁感强度大小 B Fmax qv
运动电荷F在磁q场v中受B力
稳恒电流与稳恒磁场课件
x
dBx x
r dB
·16 ·
Ch a p t e r 10. 稳恒电流与稳恒磁场 §10. 2 磁场的描述 毕奥-萨伐尔定律 运动电荷的磁场
B 0 I sin
4 r2
dl 0 IR sin
2 r2
L
B
Bx
0
2
(R2
IR2 x2 )3/ 2
B
方向： 沿 +x 方向。
Id l r dB dB
ne 2
m
E eˆ i
ne2
m
E
v2
令：
c
ne2
m
称作电导率(conductivity)，Ω-1·m-1
j c E ( 欧姆定律的微分形式 )
·6 ·
Ch a p t e r 10. 稳恒电流与稳恒磁场
§10. 1 稳恒电流
如图让稳恒电流垂直通过某段导体截面 S。
j
cE
c
V l
I
j dS
jSc
S l
V
S
E
V I
令：R
1
c
l S
l S
( 即电阻 )
l
I j
S
I
V R
或 V IR ( 欧姆定律 )
j
eˆ n S
·7 ·
说明
Ch a p t e r 10. 稳恒电流与稳恒磁场
§10. 1 稳恒电流
☻V = IR 仅适用于 R 为常量的情形。对于非线性：
微分电阻：
R
dV dI
☻电阻随温度 t 变化较明显：
☻载流圆线圈内磁感 线
ox
dBx x
的绕向与线圈中的电
流构成右手关系。
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由偏转角（刻度）可直接读出 I。
6.其它应用
进水
出水
发动机
B
电流
F B
•
电极
海水
•I
接发电机
F
超导磁流体船
噪音极低，航速极快，军事领域应用受到重视。
电磁轨道炮 原理示意图
炮弹 易溶金属
~ 10 6 A
当通电后 巨大电流（大于4兆安）熔化易溶金属 形成的等离子体受安培力作用 弹出炮弹
a ~ 10 6 g 在1ms内 弹块速度可达10km/s
IBdh
dF1 dF2 IBdh (大小相等方向相反 )
O
B
dl1 1
dh 2 dl2
x1
x2
I
O'
窄条所受力矩为：
dL dF1 x1 dF2 x2 IBdh(x1 x2 ) dS
总力矩：
L dL IBdS IBS 矢量形式： L IS B
B
S I
B
若线圈与B成任意角
解:在地球赤道附近的地磁场沿水平方向，靠近 地面处的磁感应强度约为B= 0.3×10-4T ，按洛 仑兹力公式，可算出磁场对质子的作用力为
F qvBsin
1.6 1019 1.0 107 0.3104 sin 900 N
4.81017 N
此力约是质子重量的109倍，因此当讨论 微观带电粒子在磁场中的运动时，一般可以 忽略重力的影响。
§4 磁场对载流导线的作用
1.安培力
磁感应强度B定义式：
dF Idl B
dF
B
Id l
大小： dF IdlBsin
由此式可得电流元 Idl 在外磁场 B 中受力情况，
此力称为安培力，上式称为安培公式。
一段电流在磁场中受力
计算一段电流在磁场中受到的安
培力时，应先将其分割成无限多电
流元，将所有电流元受到的安培力
线圈所受合力（均匀磁场中）
F Idl B I( dl ) B 0
L
L
0
② 线圈所受的力矩
先考虑线圈平面与B平行，将线圈分成许多窄条，
O
B
dl1 1
dh 2 dl2
x1
x2
dF1 Idl1 B sin1 IBdl1 sin1
IBdh dh
同理，
I
O'
dF2 Idl2 B sin2
L
2Fab
l2 2
sin
2Il1B
l2 2
s
in
Il1l2B sin
方向使n 转向 B
线圈面积S
写成矢量形式： L IS B
结论：矩形线圈在均 匀磁场中所受合力为零，所 受力矩为 IS B 。
4.载流线圈的磁矩
对任意形状的平面载流线圈，同样有上面的结果。
证明：
① 线圈所受合力为零 电流元受力 dF Idl B
求：相互作用力 解：在圆电流上任取电流元
dF Idl B
Idl B 0
l
dF 0
I I
5.磁电式电流计原理
F NIaB
力矩：
L磁
F
b 2
F
b 2
Fb
NIabB
NISB
游丝的弹性恢复力矩 L弹 方向与 L磁 相反
L弹 D
偏转角
平衡时，
L弹 L磁 0
D NISB NSB I
F qv B F Idl B
相似
②分析
定向运动的电子群
安培力是磁场对电流的作用
宏观 微观
磁场对定向运动电子群的作用 定向运动电子群在磁场中的受力 单个电子在磁场中受力的作用
m
B
B
o L
I
F
❖. = 180时
L 0, 线圈受力矩为0。
m
线圈处于非稳定平衡态。这时如
果外界的扰动使线圈稍有偏离，磁 场的力矩会使它继续偏转。
F
oI
B F
线圈转动特性
载流线圈的力矩总是使线圈的
m
转
F2
mo
B
向B
自学电动机原理
o F1
例题4、 如图，长直导线过圆电流的中心且 垂直圆电流平面，电流强度均为I
洛伦兹力特点
洛伦兹力受力条件：带电、运动、磁场，夹角
洛伦兹力不对粒子做功
P F v Fv cos ( / 2) 0
dA Pdt 0
粒子速率、动能不变（仅受洛伦兹力时） dA d ( 1 mv2 ) 0 2
问题 力改变什么？
二.洛伦兹力与安培力的关系
①力表达式比较
洛伦兹力 安培力
§5 带电粒子在磁场中的运动
一.洛伦兹力 ①.洛伦兹力实验演示
热灯丝 k
真空管 绝缘
负高压
荧 光 屏
②.实验结论 磁场对运动电荷有作用力
洛伦兹力的表达式:
例洛伦. 宇兹力宙 射 线 中 的 一 个 质 子 以 速 率 v= 1.0×107m/s竖直进入地球磁场内，估算作用 在这个质子上的磁力有多大？
Il1 B
sin
2
cd边受到安培力:
Fcd
Il1 B
sin
2
Fda
o
d Fcd
a
l1
I
B
cn
Fabb l2 o'
Fbc
Fab与Fcd大小相等方向相反，不在一条直 线上，不能抵消，为一对力偶，产生力矩。
Fcd
作俯视图,
l2 sin
2
o
I
a (b ) Fab
l2
n
d (c) B
线圈受到的力矩大小为：
nˆ I
② 受力分析
Fda o d
da边受到安培力:
Fda
Il 2 B
sin(
2
)
Il2B cos
bc边受到安培力:
a l1
I
B
cn
b l2 o' Fbc
Fbc
Il 2 B
sin(
2
)
Il2B cos
Fda 与 Fbc大小相等方向相反，作用在一条直 线上，相互抵消。
ab边受到安培力:
Fab
度，可将B分解为两
个分量，如图。
B//
只有 B‖ 分量使线
圈受到力矩的作用。
定义矢量： m IS
称为任意形状载流平面线圈的磁矩。 载流平面线圈在均匀磁场中所受的力矩可写成：
L mB
其特点与电偶极子在均匀电场中所受力矩相似：
L pE
若平面载流线圈处于非均匀磁场中，线圈 除受力矩作用外，还可能受到一个不为零的 合力的作用。
B1//
B1 B1
B2// B2
B B
⊙
B2
力矩/线圈 转动特 性
L m B, L mB sin
❖. = 0 时
F
L 0, 线圈受力矩为0。
线圈处于稳定平衡态这时如果 o
外界的扰动使线圈稍有偏离，磁场的
力矩会使它回到平衡位置。
I
F
❖. = 90时
F
m
L ISB, 线圈受力矩最大。
矢量求和----矢量积分。
F dF Idl B
I
B
Idl dF
结论：均匀磁场中曲线电流受力
均匀磁场中曲线电流受的安 培力，等于从起点到终点的 直线电流所受的安培力。
F IL B
b
L
B
aI
2.平行无限长直导线间的相互作用
3.矩形载流线圈在均匀磁场中所受的力矩
①均匀磁场中的任意载流平面线 圈的空间取向规定：右手定则