一类具有非线性传染率的SIQR模型的稳定性

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一类具有一般非线性隔离函数及潜伏年龄SEIRS传染病模型稳定性分析

文章编号：００５６（００ —４４０１０．８２２１）５０６ —７１
一
类具有一般非线性隔离函数及潜伏年龄ＳＩＥＲＳ传染病模型稳定性分析
赵君平
（建筑科技大学理学院，陕西西安７０５）西安１０５
摘要：建立了一类具有一般非线性接触率、非线性隔离函数及染病年龄结构的ＳＩＳ传染病模型．ＥＲ综合运用
一
征．多传染病，如艾滋病、狂犬病、麻风病等，具许有较长的潜伏期（指从病原体侵人人体起，至出现临床症状为止的时间）疾病在潜伏期内的传染在疾，且
病传播过程中起重要作用．考虑到疾病传播途径的复杂性及人类社会交往模式的多样性，很难用一个
数量依据【．３］
般饱和接触率函数的ＳＲ模型的全局非负解的存ＩＳ
在唯一性、无病平衡点的全局渐近稳定性、地方病平衡点的指数渐近稳定性．文献【２研究一类具有１】
染病年龄结构ＳＩＥＲ模型的渐近性态．众所周知，潜伏期的长短可影响疾病的流行特
病年龄结构的ＳＲ模型全局非负解的存在性及唯一Ｉ性．接着，在文献［］６中，Ｍ．Ｋｉ研究了模型地方ｍ病平衡点的指数渐近稳定性．ｃＭ．ｉｓａｅ和．Ｋｒ — ｌａｂＺｔ
Ｍ．ｒｈｖ在文献［］Ｍａｔｅｅｃ７中建立并定性研究了一类具
类ＨＩ毒在同性人群中传播的ＳＡ模型．在文Ｖ病Ｉ

一类SEIQR传染病模型的稳定性分析

一类SEIQR传染病模型的稳定性分析张栋【期刊名称】《山东师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(028)003【摘要】讨论了一类具有非线性发生率的SEIQR传染病模型,确定了各类平衡点存在的阈值条件,通过Lasalle不变集原理、Liapunov函数、Hurwitz判据和第二加性复合矩阵理论,得到了各类平衡点的局部稳定和全局稳定的条件.%An SEIQR epidemic model with non-linear incidence rate is discussed in this paper,the conditions and threshold to the existence of various equilibriums are established.By means of Lasalle' s invariant set theorem、Liapunov function、Hurwitz criterion and second additive compound matrix,the conditions about the locally asymptotic stability and the globally asymptotic stability are obtained.【总页数】4页(P50-53)【作者】张栋【作者单位】沧州师范学院数学系,061001,河北沧州【正文语种】中文【中图分类】O175.1【相关文献】1.一类具有非线性发生率的肺结核SEIQR传染病模型 [J], 王来全;赵新敏;张东;薛登文2.一类具有饱和发生率和时滞的SEIQR传染病模型稳定性分析 [J], 李冬梅;张煜;Yue WU;董在飞3.一类手足口病SEIQR传染病模型的稳定性分析 [J], 孟新友;向红;朱毓杰;张小兵4.一类随机SEIQR传染病模型的动力学行为分析 [J], 李雪;胡良剑5.一类媒体报道下具有非线性隔离率的SEIQR传染病模型 [J], 侯雯珊;张太雷;方舒因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

具有非线性传染率的SIS网络传染病模型的稳定性和分支分析

８４
西南师范大学学报（自然科学版）
第４２卷
边实际的有效接触（志）．在无标度网络中，有少部分节点的度很大，网络中称这样的节点为ｈｕｂ．假设每
一
个节点潜在的传染力就等于该节点的度
，显然，Ｈｕｂ节点比其他节点在疾病传播过程中起到了更大
ｍ一１
考虑模型（１）的疾病传播，它除了和网络本身的结构有关，还依赖于病毒的传染力，所以在建模中能真实地反映出传染病模型中的传染力是一个关键的问题．对传染力刻画主要考虑两个因素对它的影响，一个
２Ｏ１７年３月
Ｍａｒ．２０１７
具有非线性传染率的ＳＩＳ网络传染病模型的稳定性和分支分析 ①
王振国，刘桂荣
１．吕梁学院数学系，山西吕梁０３３０００；２．山西大学数学科学学院，太原０３０００６
中图分类号：０１７５
用数学建模的方法来研究传染病传播的动力学行为已经有很长时间了．早些时候，人们主要研究均匀网络上的疾病的传播．通过假设每个个体相互接触的机率是相等的，每次接触并被传染的概率为，找到疾病传播的阈值，当＜时，疾病传播不会发生；当＞时，疾病就会爆发并持续存在１］．而现实中，上述假设显然是不合理的，因为群体中的每个个体之间不可能都会有相互接触的机会．如果把每个个体看成网络中的节点，个体之问的接触看成是网络中的边，那么，疾病在群体中的传播就可以看成是一个异质

一类具有B-D非线性传染率的传染病模型的全局稳定性分析

一类具有B-D非线性传染率的传染病模型的全局稳定性分析马方强;冯孝周;马晓丽【摘要】The global stability of the SIQ epidemics model with the B-D nonlinear incidence rate is researched.The threshold value R have been obtained and it shows that there is only a dis-easefree equilibrium point when R<1 ,and there is also an endemic equilibrium point if R>1 . With the help of Lyapunov function,some results about the global stability of disease free and endemic equilibrium points have been established,which are applicable for non-monotone,non-concave incidence rate.%对一类具有B-D非线性传染率的传染病模型的全局稳定性进行研究。

利用分析计算技巧与李雅谱诺夫函数构造，得到阈值R 及无病平衡点和地方病平衡点的存在条件，证明了无病平衡点和地方病平衡点的局部与全局稳定性。

结果表明，具有B-D非线性传染率的传染病模型的平衡解局部稳定性与全局稳定性由含模型参数的阀值来决定。

【期刊名称】《纺织高校基础科学学报》【年(卷),期】2016(029)003【总页数】7页(P312-318)【关键词】非线性传染率;阈值;平衡点;全局稳定性【作者】马方强;冯孝周;马晓丽【作者单位】西安工业大学理学院，陕西西安 710032;西安工业大学理学院，陕西西安 710032;西安工业大学理学院，陕西西安 710032【正文语种】中文【中图分类】O175.26控制策略能有效预防早期诸如SARS,H1N1等传染病的种群感染及扩散[1-6].传染病的传播动力学的发生率和模型相关比率规律已被广大学者所关注,并取得较多研究成果[7-8]. 一般地在种群模型中,假设S=S(t)是易感种群,I(t)为被感染种群,Q(t)为被隔离的种群,R(t)为康复种群,发病几率是经典的情形.设S和I为双线性的[9-10],比如βSI.但是当模型具有形如H(S,I)非线性发病率时,传染病模型会出现多种动力学结构[11-18].文献[11,13,15]只考虑了非线性发病率Holling反应项的模型稳定性,文献[16-18]分别研究了非线性发病率与的模型稳定性,但以上模型均未考虑易感种群与感染种群之间的内部影响.本文研究具有非线性项的传染病模型解的全局性质，主要关注具有非线性发生率SIQ流行病隔离模型假设所研究种群具有一个非常短的免疫周期(可以忽略),并且不考虑康复因素,只研究SIQ的传染病模型，即其中:A表示种群的一个恒定迁移率;d为各种群的自然死亡率;α1和α2分别为被感染种群I(t)与被隔离种群Q(t)的死亡率;δ为从被感染种群I(t)到隔离种群Q(t)的转移率;r,ε分别表示被感染种群与隔离种群的免疫力失去率.假设常数d,δ,A为正数,r,ε,α1和α2为非负常数．对系统(1),整理可得N满足从而根据式(2)可知,系统(1)的初值解满足且在D上为不变子集.为了找到系统(1)的平衡点,解方程可得两个解为和P1(S1,I1,Q1)∈R3.其中P1(S1,I1,Q1)满足由式(3)中第3式可得由式(3)中第2式可得由式(3)中第1式可得下面定义阈值则P1∈D,当且仅当R<1.利用线性化方法研究平衡解的局部稳定性.首先给出如下定理.定理1 如果R>1,系统(1)的无病平衡点P0是局部渐进稳定的;如果R<1,则系统(1)的地方病平衡点P1是局部渐进稳定的,而P0则不稳定.证明首先考察系统(1)在无病平衡点P0处的稳定性.在P0点处的雅可比矩阵为而J(P0)的特征值为显然λ1,λ2为负值,因此由特征值法可知,P0点的局部稳定性就取决于λ2的符号.当R>1时,P0是稳定的;当R<1时,P0是不稳定的.研究地方病平衡点P1的稳定性,在点P1对系统(1)处线性化,即通过化值整理可得记M1≅≅d+αi(i=1,2),M2≅,故简化的J(P1)为令整理化简可得特征方程其中,a1=M1+M2+d+d2+ε>0,a2=M2d+M1(δ+d1)+(ε+d2)(M1+M2+d)>0,a3 =(ε+d2)[M2d+M1(δ+d1)]-εM1δ.显然根据Hurwitz条件可判定,系统(1)在P2点处是局部渐近稳定的.为了行文方便，首先给出以下事实，对于系统(1),非线性发生率f(S,I)在[0,+∞)关于S是单调递增的,且显然,而,则定理2 对于系统(1),如果R>1,则系统的无病平衡点P0是全局渐近稳定的;如果R<1,则P0是不稳定的,而系统(1)在地方病平衡点P1处是全局渐近稳定的.证明首先研究无病平衡点P0的稳定性,由系统(1)中的第2个方程可知∀,存在t0>0使得S(t).T(t)≤N(t)≤A0.对于t≥t0,令C≅f(A0,0)-(r+d+δ+α1).如果R>1,则选择适当的A0,使得C1<0,由f(S,I)性质可知f(S,I)≤f(A0,0),t≥t0,且从而解得I(t)≤I(t0)exp(C1(t-t0))→0,当t→∞.令,则系统(1)可知其中C3=min{C1,C2}.最后利用I(t),Q(t)的估计可知,当t→∞时,Q(t)→0,则因而,系统在P0点处全局渐近稳定.而当R<1,则在P0点处线性化系统有一个正特征值,故P0不稳定.下面考察系统(1)的地方病平衡点P1处的稳定性.当α2=α1=0时,令N=S+I+Q,则由系统(1)知N′(t)=A-dN,从而N(t),当t→∞,利用文献[13]中判断稳定性方法知因为从而,系统(4)可写成当R<1时,(S1,I1)在区域D+={(S,I);S≥0,I>0}.为了证明(S1,I1)对系统(5)是全局稳定的,利用Lyapunov正交化方法,选取如下形式的Lyapunov函数且在{(S,I)I=I1,S=S1}.因此,(S1,I1)是全局渐近稳定的.当α1,α2≠0时,为了论证系统(1)在点P1处的全局稳定性,引入变换N=S+I+Q,则系统(1)可转化为则系统(6)对应的平衡态点为(N1,I1,Q1),且满足N1=I1+Q1+S1.为进一步简化系统,令x=N-N1,y=I-I1,z=Q-Q1,则系统(6)可化为令Λ≅-β-m(r+d+δ+α1),则由比较原理可知系统(7)的上限系统为则只需要讨论如下系统的稳定性.选择如下的Lyapunov函数关于t求导可得选择如下的U1,U2,U3>0,即从而,<0,因此系统(1)的地方病平衡点(S1,I1,Q1)是全局渐近稳定的．本文通过利用非线性理论与Lyapunov函数判别法,研究了一类具非线性发生率的传染病系统的局部稳定性与全局稳定性,并且得到了该系统的阈值．从而说明当阈值R<1时,系统(1)只有一个无病平衡点P0是全局渐近稳定的;而当R>1时,系统(1)存在一个全局渐近稳定的地方病平衡点P1.MA Fangqiang, FENG Xiaozhou,MA Xiaoli.Global dynamics of the SIQ epidemic model with the B-D nonlinear incidence rate[J].Basic Sciences Journal of Textile,2016，29(3)：312-317.【相关文献】[1] ZEUZEM S,SCHMIDIT J M,LEE J H,et al.Dynamics of hepatitis B virus infection invivo[J].Hepatology,1997,27(3):431-436.[2] NOWAK M A,BONHOEFFER S,HILL A M,et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection[J].Proceedings of the National Academy of Sciences of USA,1996,93(9):4398-4402.[3] NOWAK M A,MAY R M.Viral dynamics[M].Oxford:Oxford University Press,2000.[4] Van LENTEREN J C,WOETS J.Biological and integrated pest control inreenhouses[J].Annual Review of Entomology,1988,33:239-250.[5] BARCLAY H J.Models for pest control using predator release,habitat management and pesticide release in combination[J].Journal of Applied Ecology,1982,19(2):337-348. [6] XIAO Y N,Van Den BOSCH f.The dynamics of an eco-epidemic model with biological control[J].Ecological Modelling,2003,168(12):203-214.[7] TANG S Y,CHEN L S.The periodic predator-prey lotka-volterra model with impulsive effect[J].Journal of Mechanics in Medicine & Biologyl,2002,2(4):267-296.[8] TANG S Y,XIAO Y N,CHEN L S,et al.Integrated pest management models and their dynamical behaviour[J].Bulletin of Mathematical Biology,2005,67(1):115-135.[9] TANG S Y,XIAO Y N,CHEKE R A.Multiple attractors of host-parasitoid models with integrated pest management strategies:Eradication,persistence and outbreak[J].Theoretial Polpulation Biology,2008,73(2):181-197.[10] XIANG Z Y,SONG X Y.The dynamical behaviors of a food chain model with impulsive effect and Ivlev functional response[J].Chaos Solitons & Fractals,2009,39(5):2282-2293. [11] TANG S Y,TANG G Y,CHEKE R A.Optimum timing for integrated pest management:Modeling rates of pesticide application and natural enemyreleases[J].Journal of Theoretical Biology,2010,264:623-638.[12] 马艳丽，徐文雄，王春生.具有预防接种和隔离措施的SEIQR传染病模型[J].西安工程大学学报，2011，25(1)：90-94.MA Yanli,XU Wenxiong,WANG Chunsheng.Global stability of SEIQR epidemiological model with vaccination and segregation[J].Journal of Xi'an PolytechnicUniversity,2011,25(1):90-94.[13] LI C T,TANG S Y.The effects of timing of pulse spraying and releasing periods on dynamics of generalized predator-prey model[J].International Journal of Biomathematics,2012,5(1):1-27.[14] 胡新利. 潜伏期具有传染力的传染病模型分析[J].西安工程大学学报，2012,26(6):807-810.HU Xinli.Analysis of the epidemic model with latency and quarantine[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2012,26(6):807-810.[15] 胡新利,金上海.具有阶段结构的捕食-食饵模型的稳定性及Hopf分支[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(2):193-197.HU Xinli,JIN Shanghai.Stability and Hopf bifurcation of a predator-prey model with atage structure[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(2):193-197.[16] 王丽丽,徐瑞.一类具有治愈率的HBV病毒感染模型的全局稳定性[J].生物数学学报,2014,29(2):253-258.WANG Lili,XU Rui.Global stability of an HBV infection model with cure rate[J].Journal of Biomathematics,2014,29(2):253-258.[17] 陈晓,闵乐泉,孙起麟.改进的HBV感染模型动力学分析及数值模拟[J].生物数学学报,2013,28(2):278-284.CHEN Xiao,MIN Lequan,SUN Qilin.Dynamics analysis and numerical simulation of an anmended HBV infection model[J].Journal of Biomathematics,2013,28(2):278-284.[18] 周艳丽,张卫国,原三领.一类随机SIRS传染病模型的持久性和灭绝性[J].生物数学学报,2015,30(1):79-92.ZHOU Yanli,ZHANG Weiguo,YUAN Sanling.Persistence and extinction in stochastic SIRS epidemic model[J].Journal of Biomathematics,2015,30(1):79-92.。

具有非线性传染率和垂直传染结构的SIRS模型的稳定性分析

维普资讯
第７卷第３期
２００８年３月
南阳师范学院学报
ＪｕｎｌｏｎａｇＮｏｍａｏｒａｆＮａｙｎｒｌＵｎｉｅｓｔｖｒｉｙ
Ｖｏ．．１７ＮＯ３Ｍａ．２０ｒ０８
ｄｔｓ一１
＋仪ｌ
＝
＋
，，，６
（）１
的流行导致欧洲约一半人丧生，死亡率最高时每天
达一万人．近年来，别是ＡＤ特ＩＳ的迅速传播，已经成为当今世界迫切需要解决的问题，因此对传染病的流行规律和防治策略的研究也日益受到人们的重视．目前已有大量的文献研究流行病模型－］１５．
例，
ｉ即为单位时间内由易感者变为染病者的
，
—
＝厂一 ’
收稿日期：０８— ｌ０２００一１
作者简介：洪奎（９３一）河南南阳人，师，要从事生物数学研究。张１６，讲主
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率和垂直传染因素，立如下模型，建并对模型的动
力学性质做了完整的分析．
通过计算可得，Ｒ＝令。
得以下定理：
，可则
１模型
假设在时刻ｔ感者、病者和恢复者的数量易染
分别为Ｓｔ，（）Ｒ（）单位时间内种群的输人（），ｔ，ｔ，
模型做了详细的分析，对于一些特殊的传染病，但如乙肝、ＩＳ的母婴传播等传播途径，ＡＤ在建立数学模型时，也应考虑到这一点．文就是在这种思想本的指导下，经典的ＳＲ在ＩＳ模型中考虑非线性接触

一类具有非线性发生率的SIS传染病模型的定性分析

有唯一地方病平衡点 A2 ( S 3 , I 3 ) , 其中 : S 3 =
d +α β
1 q
,
I3
=
rS 3 d
( K
K +
- S3 rS 3
)
.
容易验证 S 3
+ I3
<
K.
定理 1 A0 (0 , 0) 为系统 (1) 的鞍点 ; 当βKq > d +α时 , A1 ( K , 0) 为系统 (1) 的鞍点 , 当βKq < d +
在单连通区域 H 内 , 取函数
P( S , I)
= rS
1-
S+I K
- βI S q +αI , Q ( S , I)
= βI S q -
dI - αI , B ( S , I)
= S- 1 I- 1
则
5 ( B P) 5S
+
5
( BQ)
5I
=-
rI - 1 - β( q - 1) S q- 2 - αS - 2
≤2α时 ,
h1 ( K -
S3 )
≥0 ; 当 S0
≥ K [α-
r
α( r - α) ] 时 , h1 ( S0 - S 3 ) ≥0.
又由于 0 ≤q < 1 时 ,
a2
< 0 , 故只需当 h2 ( K -
S3 )
≥0 ,
即
r
≤α[2 (3 3(2 -
q)α+ (4 q)α+ (3 -
q) d ] q) d
α时 , A1 ( K , 0) 为系统 (1) 的稳定结点 ; 当βKq > d +α且 dS 3 + [ d ( q - 1) + qα] ( K - S 3 - I 3 ) > 0 时 ,

一类具有非线性发生率的SI传染病模型的定性分析

当Ｓ＋（ — １（ — Ｓ一ｒ）＞０时，ｑ）Ｋａ＞０，ｂ＞０Ａ。Ｓ工，（，）为稳定的焦点或结点；当Ｓ＋（一１（ — Ｓｑ）Ｋ一）０时，＜口＜０ｂ０Ａ。ＳＩ，＞，（，）为不稳定的焦点或结点．
２极限环的存在性
定理２当
限环．
一ｄ＞０且Ｓ＋（一１（ｑ）Ｋ— Ｓ一）＜０时，系统（）Ｇ内至少存在一个极１在
证当构造外境界（ —Ｓｑ）Ｋ一Ｉ＜０时，）地方病平衡点
… Ｉ，
１平衡点分析
系统（）Ｇ内总有平衡点Ａ（，），（０．１在Ｏ０ＡｚＫ，）当
平衡点Ａ。ＳＪ（，），中其
［稿１］２０ —２０；［改日期］２０ —４１收３期０８１—９修０９０ —３［金项目］军械工程学院科研基金资助（ＪＸ６９ＪＢ８３基ＹＪＭ００，Ｃ００）
－ｄ＞０时，系统（）Ｇ内有唯一地方病１在
７２
大学数学
第２７卷
ｓ（百詈，Ｊ一）一
容易验证Ｓ＋，＜Ｋ．
．
定理１（ＡＯ０ｉ）（，）为系统（）１的鞍点；当
一
一ｄ＜０时，Ｋ，）为系统（）Ａ（Ｏ１的稳定结点，当
Ａ。ＳＪ存在且为不稳定的焦点或结点，Ｂｎｉｓｎ环域定理，（，）由ｅｄｘｏ我们只需

一类具有非线性发生率的传染病模型的全局稳定性分析

第2期
宋修朝，等：一类具有非线性发生率的 SEIR 传染病模型的全局稳定性分析
177
则
lim sup(S + E + I ) ≤ A.
t→∞
因此，集合
{ } Ω = (S, E, I ) ∈ R3 + : S +E +I ≤ A
是系统 (2) 的一个正不变集．显然系统 (2) 总存在一个无病平衡点 P0 (A, 0, 0)．利用再生矩阵[13] 可求得系统 (2) 的基本再生数
(3)
E=
将 (3) 的前两个方程相加得
µ+α+γ I. q µ+q E, µ
(4)
S =A−
所以
S =A−
为了保证 S > 0，只需
(µ + α + γ )(µ + q ) I. µq
(5)
I<
µqA . (µ + α + γ )(µ + q )
当 I ̸= 0 时，由 (3) 的第二个方程和 (4) 可知
R0 =
qβf (A) . (µ + q )(µ + α + γ )
系统 (2) 的地方病平衡点 P ∗ (S ∗ , E ∗ , I ∗ ) (I ∗ ̸= 0) 由方程组 µA − f (S )g (I ) − µS = 0, f (S )g (I ) − (µ + q )E = 0, qE − (µ + α + γ )I = 0 确定．由 (3) 的最后一个方程可得
(2)
dE dI dS = µA > 0, = f (S )g (I ) ≥ 0, = qE ≥ 0, dt S =0 dt E =0 dt I =0 所以系统 (2) 的初值在 R3 + 中的解的非负性得到了保证．将系统 (2) 的三个方程相加可得 d(S + E + I ) = µA − µS − µE − (µ + α + γ )I ≤ µA − µ(S + E &型及平衡点的存在性

一类具有潜伏期和非线性传染率的SEIR模型的全局稳定性

Ⅳ）Ⅳ一鲁１ｅ），模（前个程未现，（≤０＋（一≤ 根型１３方中出￡ｅ一出Ａ据）
ｒ
｜（）＝Ａ一｜，ｓｔｓ）一ｄ，Ｉｓ
得到降阶系｛）＝（，一ｄ８Ｅ统Ｅ（厂Ｓ，（＋）￡）
，（）＝８一（＋０）Ｅｄ＋ｃ，
Ｊ＝，一ｄ８ｓ）（＋）Ｅ），Ｅ
１（【ｔ）＝８Ｊ『Ｅ一（Ｆ０ｊｄ＋＋ｃ）
其中Ａ为人口常值输入率，为自然死亡率，ｄ为治愈率，为染病期因病死亡率，／为Ｅ的平均潜伏期，１８它们均为正常数．假设（）｜，＞０Ｓ＞０，日。ｓ），，，＞０００＝ＳＯ＝０，，），），）＝０（）．，于Ｉ，ｓ）关，ｓ为递增函数．、总人口方程为Ｎｔ＝Ａ —ｄ — Ｅ — ，≤ Ａ —ｄ（）Ｎ。：Ｎ，
一
般非线性函数ｓ，的ＳＩ，）ＥＲ模型的全局稳定性．
１模型建立
将人群分为易感者｜潜伏者Ｅ，ｓ，染病者，疾病消除者尺建立具有潜伏期且传染率为非线性函数，，，
，）的ＳＩＥＲ传染病模型：
，
｜（）＝Ａ一ｓ，）一ｄｓｔ，Ｉｓ
作者简介：秀香（９６）女，杨１６一，陕西富平人，渭南师范学院数学与信息科学学院教授．研究方向：生物数学．
自Ｋｒａ和Ｍｋｎｒｋ１２年应用动力学方法建立了著名的ＳＲｅｍｒｋａｅｄｉ在９７ｃＩ仓室模型以来，利用数学工具

具有非线性传染率的时滞SIQR模型的稳定性分析

病模型
警＝Ａ一机ｐｓ＿ｒ）
ｄＩ
＝
ｍ
—ｒ）一ｄ，一７１— ８Ｉ
（１）
ｄｔ：ｙ，一ｄＱ —ｅＱ
ｄＲ
＝
８１＋￡Ｑ— ｄＲ
进行研究．３Ｊ系统（１）中，Ｎ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）＋，（ｔ）＋Ｑ（ｔ）＋Ｒ（ｔ）表示总人口数，ｓ表示易感者，，表示感染者，Ｑ
时滞在传染病的传播过程中起着重要作用，它可以反映传染病的潜伏期、患者对疾病的感染期和恢复者对疾病的免疫期等实际现象，因此使用时滞模型更贴近实际．文献［１］研究了有媒介传染的时滞传染病模型［，文献［２］中研究了具有饱和发生率的时滞传染病模型［．本文运用文献［３］中的理论和方法对如下传染
系统（１）正平衡点存在的条件（Ｈ）：卢（号）。＞（ｙ＋ｄ＋）．
定理１系统（１）的正平衡点Ｅ（Ｓ，，，Ｑ，）当卢（号）＞（ｙ＋ｄ＋）成立时是局部渐近稳定的．
证系统（１）在Ｅ的特征方程为（＋ｄ）（＋ｄ＋￡）［＋Ｐ１＋Ｐ０＋ｅ一（ｇ１＋ｑ０）］：０其中Ｐｏ＝（２ｐｓ，＋ｄ）（ｄ＋ｙ＋），Ｐ１＝２ｄ＋２（２）
，＋２ｄ）＞０，即没有实根，得证．
定理２若条件卢（了Ａ）＜（ｙ＋ｄ＋）成立正平衡点不存在，系统的无病平衡点是局部渐近稳定的．

不连续治疗策略下一类非线性SIR模型的全局稳定性

不连续治疗策略下一类非线性SIR模型的全局稳定性
杨梅;孙福芹
【期刊名称】《天津职业技术师范大学学报》
【年(卷),期】2014(024)003
【摘要】研究一类具有不连续治疗策略和非线性发生项的SIR模型.首先运用右端不连续的微分方程理论定义模型的Filippov解,然后证明该模型的全局行为由阈值RO确定,即当Ro≤1时,无病平衡点全局渐近稳定.
【总页数】3页(P36-38)
【作者】杨梅;孙福芹
【作者单位】天津职业技术师范大学理学院,天津300222;天津职业技术师范大学理学院,天津300222
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.一类具有非线性发生率的时滞SIR模型的稳定性分析 [J], 郭艳芬;孙静
2.一类具有三个非线性项的非线性系统的全局稳定性 [J], 高发宝;鲁世平
3.复杂网络上具出生和死亡的一类分数阶SIR模型的全局渐近稳定性 [J], 魏晓丹
4.基于阈值策略带有扩散和不连续控制项的单物种生态模型的全局稳定性分析 [J], 高扬
5.不连续治疗策略下一类非线性SIR模型的全局稳定性 [J], 杨梅;孙福芹;
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一类具有非单调传染率的SEIRS时滞传染病模型的全局稳定性

一类具有非单调传染率的SEIRS时滞传染病模型的全局稳定性周艳丽;张卫国【摘要】研究了一类具有非单调传染率的SEIRS时滞传染病模型的全局稳定性,通过分析对应的特征方程,证明了无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性.当基本再生数Ro≤1和Ro＞1时,通过构造不同的Lyapunov泛函分别证明了无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性,同时对于文中主要结论给出了相应的数值模拟.【期刊名称】《上海理工大学学报》【年(卷),期】2014(036)002【总页数】7页(P103-109)【关键词】SEIRS传染病模型;非单调传染率;时滞;稳定性;李亚普诺夫泛函【作者】周艳丽;张卫国【作者单位】上海理工大学理学院,上海200093;上海医疗器械高等专科学校基础教学部,上海200093;上海理工大学理学院,上海200093【正文语种】中文【中图分类】O175.81 模型建立在传染病动力学模型中，传染率发挥着重要的作用.在以往经典的传染病模型中，通常采用双线性或标准的疾病传染率［1］，使得这些模型的动力学行为比较简单，但结果往往不能客观地反映疾病的传染机理.Capasso［2］研究了1973年发生在Bari的霍乱后，引入了饱和传染率比双线性传染率更符合实际.S（t）表示t时刻未染病但有可能被疾病传染的人数，I（t）表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数，β为接触率，α为常数，α＞0.后来，Liu等在文献［3］中提出了更一般的非线性发生率均为常数，p，q＞0.βIp（t）度量疾病的传染力描述易感者采取措施以抑制传染力.文献［4］研究的是当p＝2，q＝2时，传染病模型的定性分析和分支情况.Xiao和Ruan［5］提出的非线性发生率为更好地体现了g（I （t））与I（t）之间的变化：如疾病初期人们没有意识到疾病的危害性，没有采取有效的措施来阻止疾病的传播，此时，g（I（t））是单调增的；随着染病人数I （t）的不断增加，人们逐渐意识到疾病的危害性，采取一些有效的措施，如隔离或减少与患者的接触，此时，g（I（t））是单调减的.这能更好地反映疾病的传染规律，更符合实际，能为控制疾病传播提供更有效的防御策略.另一方面，在建立传染病模型时，考虑时滞能较好地反映传染病的潜伏期、免疫期等因素对传染病动力学的影响，因此，对时滞传染病模型的研究受到越来越广泛的重视.近几十年来，已有许多学者研究了大量的时滞传染病动力学模型［6－11］.文献［7］讨论了一类特殊的具有双时滞的SEIRS（易感者、潜伏者、染病者、恢复者）传染病模型，并得到了模型无病平衡点的全局稳定性和地方病平衡点的存在性、唯一性和稳定性的充分条件.Xu等［9］考虑了具有饱和传染率的时滞SEIRS模型，并通过迭代的方法得到了地方病平衡点全局渐近稳定的充分条件.Beretta和Takeuchi［6］研究了具有分布时滞的SIR（易感者、染病者、恢复者）传染病模型的全局稳定性.本文将研究一类具有非单调感染率的SEIRS时滞传染病模型.设t时刻的总人口N （t）＝S（t）＋E（t）＋I（t）＋R（t），E（t）表示t时刻已经感染疾病，但不具有传染能力的人数；R（t）表示t时刻从染病者类移出的人数.式中，Λ，μ，β，γ均为正常数；τ，δ为非负常数；Λ表示外界对环境的人口迁入，假设迁入的均为易感者；μ表示人口的自然死亡率；δ表示免疫丧失率，δ＞0，意味着恢复者具有暂时免疫力，δ＝0，意味着恢复者具有永久免疫力；γ表示染病者的恢复率；τ为时滞（即疾病潜伏期）.运用微分动力系统的方法，研究潜伏期和非单调发生率对系统（1）动力学行为的影响.2 平衡点和基本再生数根据实际的生物意义，系统（1）将基于以下初始条件：式中，初始函数φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ），φ4（θ）是Banach空间C＝C （［－τ，0］，ℝ4＋）上的连续函数.定义系统（1）的可行域关于可行域的不变性可得命题1.命题1 可行域Γ是系统（1）的正不变集，即若满足初始条件式（2），则当t≥0时，系统（1）所有的解（S（t），E（t），I（t），R（t））都在可行域Γ内.证明若（S（θ），E（θ），I（θ），R（θ））∈Γ（θ∈［－τ，0］），则由文献［12］可知，系统（1）的解局部存在且唯一.注意到，若对－τ≤θ≤0，有I（θ）≡0，则当t≥0时，I（t）＝0是系统（1）的第3个方程的解.由系统（1）可知，在曲面S（t）＝0上，若（0，E（t），I（t），R（t））∈Γ，则成立.同理，可以证得对所有的t≥0，有E（t）≥0，I（t）≥0，R（t）≥0.由系统（1）的第4个方程可知，在曲面R（t）＝0上，若（S（t），E（t），I（t），0）∈Γ，则在曲面E（t）＝0上，若（S（t），0，I（t），R（t））∈Γ，则在曲面I（t）＝0上，若（S（t），E（t），0，R（t））∈Γ，则0.所以，若（S（θ），E（θ），I （θ），R（θ））∈Γ，则系统（1）的解不可能从边界S（t）＝0，E（t）＝0，I （t）＝0，R（t）＝0跑出区域Γ.将系统（1）的各式相加，得到其中因此所以，（S（t），E（t），I（t），R（t））∈Γ，则Γ是系统（1）的正不变集. 定义系统（1）的基本再生数为定理1 当R0≤1时，则系统（1）在Γ内有唯一的无病平衡点当R0＞1时，则系统（1）在Γ内，除了无病平衡点P0还存在一个正平衡点P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）（地方病平衡点），其中经计算，I＊由下面的式子决定：方程（5）当且仅当R0＞1时，有唯一的正实根（地方病平衡点）.3 各类平衡点的局部稳定性利用类似于文献［8－9］的方法，证明系统（1）的无病平衡点和地方病平衡点的局部稳定性.首先讨论系统（1）在无病平衡点处的局部稳定性.计算系统（1）在无病平衡点处的线性化系统，并得到相应的特征方程显然，方程（6）有3个负实根，λ1＝－μ，λ2＝－μ，λ3＝－（μ＋δ）.方程（6）其余的根由方程决定.令若R0＞1，则无病平衡点P0是不稳定的，因为因此，方程（7）至少有1个正实根，所以，若R0＞1，则无病平衡点P0是不稳定的.若R0＜1，则方程（7）的所有的根均具有负实部（Reλ＜0）；反之，有Reλ≥0成立.由方程（7）得所以，当R0＜1时，无病平衡点P0是局部渐近稳定的.当R0＝1时，无病平衡点P0是退化的，因为，若R0＝1，对于方程（6）有唯一的零根和3个负根.由以上分析得到定理2.定理2 a.若R0＜1，则系统（1）的无病平衡点P0是局部渐近稳定的；b.若R0＝1，则系统（1）的无病平衡点P0是退化的；c.若R0＞1，则系统（1）的无病平衡点P0是不稳定的.计算系统（1）在地方病平衡点P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）处的线性化系统，并得到相应的特征方程显然，有1个根，λ＝－μ，其余的根由下面的式子决定：其中当τ＝0时，方程（8）变为如果R0＞1，通过计算可得显然因此，方程（9）当R0＞1和τ＝0时，所有的根均具有负实部.如果iω（ω＞0）是方程（9）的解，代入方程（9）并分离实部和虚部，得到如下结果：对以上两式两端平方后加在一起并整理，可得通过计算可得同理，可得通过以上分析可知，当R0＞1时，式（10）不存在正实根，所以，当R0＞1时，系统（1）的地方病平衡点存在且局部渐近稳定.通过以上分析得到定理3.定理3 若R0＞1，则系统（1）的地方病平衡点P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）是局部渐近稳定的.4 无病平衡点的全局稳定性进一步讨论系统（1）的无病平衡点在Γ内的全局稳定性.定理4 若R0≤1，则系统（1）的无病平衡点P0是全局渐近稳定的.证明考虑Lyapunov泛函显然，在Γ内部有和V（S（t），I（t））＞0成立.若R0≤1，则有当R0≤1时，且等号成立的充分必要条件是R0＝1或I＝0.当I＝0时，有当t→＋∞时，有E→0和R→0，故使得的最大正向不变集为（S，E，I，R），由李亚普诺夫－拉塞尔不变集定理［13］可知，系统（1）的无病平衡点在Γ内是全局渐近稳定的.5 地方病平衡点的全局稳定性系统（1）的第1，3，4式中不含E（t），所以，只需要研究下面的子系统：令u1＝S（t）－S＊，u2＝I（t）－I＊，u3＝R（t）－R＊，并在（0，0，0）处线性化，得到其中（S＊，I＊，R＊）是系统（11）的地方病平衡点.显然，系统（11）的P～＊（S ＊，I＊，R＊）的稳定性等价于系统（12）中零点的稳定性.定理5 若R0＞1，同时满足mi＞0（i＝1，2，3），则系统（11）的地方病平衡点P～＊（S＊，I＊，R＊）是全局渐近稳定的，其中证明令计算V1沿系统（12）的导数为令计算V2沿系统（12）的导数为令计算V3沿系统（12）的导数为令计算V4沿系统（12）的导数为定义Lyapunov泛函其正定性显然，V沿系统（12）的导数为其中由mi＞0（i＝1，2，3），得负定，所以，地方病平衡点P＊（S＊，E＊，I＊，R＊）在Γ内是全局渐近稳定的.6 讨论和数值模拟通过数值仿真验证本文所得主要结论.在图1中，取Λ＝2，β＝0.1，α＝6，γ＝0.5，μ＝0.2，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝0.957 6＜1，满足定理4的条件.从图1中可以看到，系统（1）的无病平衡点P0（10，0，0，0）是全局渐近稳定的，这与定理4的结论吻合.在图2中，取Λ＝5，β＝0.8，α＝6，γ＝0.2，μ＝0.4，δ＝0.2，τ＝2，使得R0＝7.488＞1，且m1＝ 0.785 3，m2＝5.424 8，m3＝0.2，满足定理5.从图2中可以看到，系统（1）的地方病平衡点P＊（10.477，1.724，0.937 8，0.312 6）是全局渐近稳定的，这与定理5的结论一致.图1 系统（1）无病平衡点的渐近行为Fig.1 Asymptotic behavior of the disease－free equilibrium in system（1）图2 系统（1）地方病平衡点的渐近行为Fig.2 Asymptotic behavior of the endemic equilibrium in system（1）本文的疾病传染率虽然与文献［10］的疾病传染率不同，但有着相类似的结论.本文结合实际情况，考虑到疾病初期对人们的影响较小，人们没有采取积极的措施来控制疾病的传播，这时疾病的传染力会增大.随着疾病的不断传播，人们逐渐意识到疾病的危害性，人们会采取有效的措施减少与染病者的接触，同时社会上的有关卫生部门也会对染病者采取隔离等一些措施以减少疾病的传播，这时疾病的传染力会变小，这样的传染率更符合实际，体现了人们的心理作用和社会行为.本文的基本再生数与文献［10］相同，同时得到，当R0≤1时，无病平衡点是全局渐近稳定的；当R0＞1时，地方病平衡点全局稳定性的充分条件.文献［10］主要研究的是传染率具有饱和性且带有时滞的SEIRS模型.作者在以后的工作中还可以进一步研究更一般的非线性发生率推出参数p，q对传染病模型稳定性的影响.【相关文献】［1］周艳丽，王贺桥.具有隔离和接种策略的传染病模型稳定性分析［J］.上海理工大学学报，2010，32（3）：249－252.［2］ Capasso V.A generalization of the Kermack－Mckendrick deterministic epidemic model［J］.Mathematical Biosciences，1978，42（1／2）：41－61.［3］ Liu W M，Levin S A，Iwasa Y.Influence of nonlinear incidence rates upon the behavior of SIRS epidemiological models［J］.J Math Biol，1986，23（2）：187－204. ［4］ Ruan S G，Wang W D.Dynamical behavior of anepidemic model with a nonlinear incidence rate［J］.Journal of Differential Equations，2003，188（1）：135－163.［5］ Xiao D M，Ruan S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate［J］.Math Biosci，2007，208（2）：419－429.［6］ Beretta E，Takeuchi Y.Global stability of an SIR epidemic model with time delays ［J］.Math Biol，1995，33（3）：250－260.［7］ Cooke K L，Van den Driessche P.Analysis of an SEIRS epidemic model with two delays［J］.J Math Biolo，1996，35（2）：240－260.［8］ Beretta E，Hara T，Ma W B，et al.Global asymptotic stability of an SIR epidemic model with distributed time delay［J］.Nonlinear Analysis，2001，47（6）：4107－4115. ［9］ Xu R，Ma Z E.Global stability of an SIR epidemic model with nonlinear incidence rate and time delay［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2009，10（5）：3175－3189.［10］ Xu R，Ma Z E.Global stability of a delayed SEIRS epidemic model with saturation incidence rate［J］.Nonlinear Dynamics，2010，61（1／2）：229－239.［11］ Gao S J，Chen L S，Teng Z D.Impulsive vaccination of an SEIRS model with time delay and varying total population size［J］.Bulletion of Mathematical Biology，2007，69（2）：731－745.［12］ Hale J K，Lunel S M V.Introduction to functional differential equations［M］.New York：Springer－Verlag，1993.［13］ Miller R K，Michel A N.Ordinary differential equations［M］.New York：Academic Press，1982.。

一类具有时滞的SIR_传染病模型的稳定性与Hopf_分支

第37卷第1期2023年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.37No.1Feb.2023收稿日期:2022-10-01基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省研究生科研创新项目(CX20220980)作者简介:李伟南(1998 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2634945248@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2023.01.009一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支李伟南,廖茂新∗,李冰冰(南华大学数理学院,湖南衡阳421001)摘㊀要:本文研究了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR 模型,考虑了疾病的潜伏期作为时滞因素,首先得到了模型的基本再生数R 0,然后运用时滞微分方程的稳定性和分支理论,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,得到了在地方病平衡点Hopf 分支存在的条件,最后用MATLAB 数值模拟验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;基本再生数中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2023)01-0059-05Stability and Hopf Bifurcation of SIR Infectious Disease Modelwith Time DelayLI Weinan ,LIAO Maoxin ∗,LI Bingbing(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :In this paper,a modified SIR model with nonlinear incidence and recovery rate is studied.The latent period of the disease is considered as the delay factor.First the basic regeneration number R 0of the model is obtained,then the stability of disease-free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed by using the stability and bifurcationtheory of delay differential equation.The conditions of Hopf bifurcation at endemic equilib-rium point were obtained,and the results were verified by MATLAB numerical simulation.key words :Hopf bifurcation;delay;balance;basic regeneration number0㊀引㊀言近年来,国际上传染病动力学的研究极为迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题㊂Kermack-McKendrick 模型是传染病模型中最经典㊁最基本的模型,后来学者对该模型进行了不同角度的研究,在研究过程中,研究者们发现人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月症状,在一段时间之后,某些症状才会逐步表现出来[1-3]㊂研究初期人们并未考虑到时滞延迟因素,后来研究者们发现引入时滞(单或双时滞)因素,如疾病的潜伏周期,免疫周期以及恢复周期等得到的结果更加逼近实际[4-7]㊂对此方面的研究已经取得了很多成果,为更加有效的预防和治疗传染病提供了依据[8-9]㊂基于前人既有的研究成果,本文在文献[10]一类具有非线性发生率和恢复率的修正SIR 模型中,引入时滞得到以下模型:d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)b b +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t ),d R (t )d t =α0+(α1-α0)b b +I (t )()I (t )-μR (t )㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(1)式中:S (t )㊁I (t )㊁R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;N (t )为t 时刻的人口总数;K 表示干预水平;α0和α1分别表示由于卫生保健资源的不足和亚人口感染造成的最小和最大人均恢复率;b 为医院床位数量对传染病传播的影响;A 为人口的出生率;β为接触率;μ为人口自然死亡率;γ为人群因病死亡率;τ为疾病的潜伏期㊂考虑到生物学意义,假设该系统中所有参数均为非负数㊂因系统(1)的前两个方程中没有出现R (t ),所以只需考虑前两个方程即可,其中R (t )=N (t )-S (t )-I (t )㊂d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)bb +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t )㊂ìîíïïïïïïï(2)1㊀模型的动力学分析1.1㊀平衡点的稳定性经计算可得系统(2)总存在一个无病平衡点E 0Aμ,0(),如果R 0>1,系统有唯一正平衡点(S ∗,I ∗),其中S ∗=(α0I ∗+α1b +bγ+bμ+γI ∗+μI ∗)(k +I ∗)β(b +I ∗),I∗=(A -μS ∗)k μS ∗+βS ∗-A㊂㊀㊀由基本再生数的生物意义,计算系统(2)可得基本再生数R 0=βAkμ(α1+γ+μ)㊂定理1㊀当R 0<1,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的;R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:系统(2)在E 0Aμ,0()附近对应线性近似系统为d S (t )d t=-μS (t )-βA μk I (t -τ),d I (t )d t =-(γ+μ+α1)I (t )+βA μk I (t -τ)㊂ìîíïïïï(3)㊀㊀系统(3)对应的特征方程为㊀(λ+μ)(λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ)=0㊂(4)特征值λ1=-μ,λ2满足λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ=0㊂(5)㊀㊀当R 0<1时,假设λ=α+βi,则代入式(5)可得Re(λ)=βA μke -ατcos βτ-(γ+μ+α1)ɤβAμk-(γ+μ+α1)=(R 0-1)(γ+μ+α1)㊂㊀㊀由于R 0<1,则Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有负实部,所以当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的㊂当R 0>1时,f (λ)=λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ,f (0)=γ+μ+α1-βA μk=(1-R 0)(γ+μ+α1)<0,lim λң+ɕf (λ)=+ɕ㊂则f (λ)=0必存在一个正实根,因此当R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂引理1㊀当R 0>1,τ=0时,系统(2)满足文献[10]中定理3的条件,则正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂证明:系统(2)在正平衡点(S ∗,I ∗)附近对应线性近似系统为第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支2023年2月d S (t )d t =-μS (t )-βI ∗k +I ∗S (t -τ)-kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ),d I (t )d t =(-(α0+γ+μ)-(α0-α1)ˑb 2(b +I ∗)2)I (t )+βI ∗k +I ∗S (t -τ)+kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ)㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïï(6)令m 0=-μ,m 1=-βI ∗k +I ∗,m 2=-kβS∗(k +I ∗)2,m 3=-(α0+γ+μ)-(α0-α1)b 2(b +I ∗)2㊂则系统(6)可以改写为:d S (t )d t =m 0S (t )+m 1S (t -τ)+m 2I (t -τ),d I (t )d t=m 3I (t )-m 1S (t -τ)-m 2I (t -τ)㊂ìîíïïïï(7)㊀㊀系统(7)的特征方程为:λ2-(m 0+m 3)λ+m 0m 3+e -λτ((m 2-m 1)λ+㊀m 1m 3-m 0m 2)=0㊂(8)当τ=0时,方程(8)为λ2+(m 2-m 1-m 0-m 3)λ+m 0m 3+m 1m 3-㊀m 0m 2=0㊂根据文献[10]定理3有(H1)m 2-m 1-m 0-m 3>0,m 0m 3+m 1m 3-m 0m 2>0㊂根据Routh-Hurwitz 准则,当R 0>1,τ=0时,正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂引理2㊀当τ>0时,方程(8)有一对纯虚根㊂证明:当τ>0时,设λ=ωi(ω>0)是方程(8)的纯虚根㊂代入方程(8)进行分离实部和虚部可得ω2-m 0m 3=(m 2-m 1)ωsin ωτ+(m 1m 3-m 0m 2)cos ωτ,(m 0+m 3)ω=(m 2-m 1)ωcos ωτ-(m 1m 3-m 0m 2)sin ωτ㊂ìîíïïïïïï(9)㊀㊀将式(9)两边平方之后相加可得ω4+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)ω2+(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(10)令Z 2=ω,则式(10)变为Z 2+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)Z +(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(11)假设满足(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,(H3)m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3<0㊂则方程(11)存在唯一正实根Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2,其中Δ=(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)2-4(m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)㊂显然,方程(10)仅有一个正实根ω0=Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2㊂把ω0代入(9)式可得τk =1ω0arccos(1(m 1m 3-m 0m 2)2+(m 2-m 1)2ω20ˑ((ω20-m 0m 3)(m 1m 3-m 0m 2)+ω20(m 0+m 3)(m 2-m 1))+2k πω0,k =(0,1,2,3 )㊂(12)㊀㊀引理3㊀d(Re(λ))d τλ=ω0i,τ=τk>0,其中τk为式(12)㊂证明:现只需证明d(Re(λ))d τ|λ=ω0i >0即可㊂将方程(8)对τ求导可得2λd λd τ-(m 0+m 3)d λd τ+e -λτ-λ-τd λd τ()((m 2-㊀m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)+e -λτ(m 2-m 1)d λd τ=0㊂计算再有d λd τ()-1=2λ-m 0-m 3λ[-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3]+(m 2-m 1)λ[(m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2]-τλ㊂则有signdRe λd τ()λ=ω0i{}=sign Red λd τ()-1λ=ω0i{}=sign Re2λ-m 0-m 3λ(-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3)λ=ω0i{}+第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月sign Re(m 2-m 1)λ((m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)λ=ω0i{}=sign Re 2ω0i -m 0-m 3-(m 0+m 3)ω2+[(ω20-m 0m 3))ω0i (){}+sign Re (m 2-m 1)(-(m 2-m 1)ω20+(m 1m 3-m 0m 2)ω0i)(){}=sign 2ω20+m 20+m 23(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2-(m 2-m 1)2(m 2-m 1)2ω20+(m 1m 3-m 0m 2)2{}=sign 2ω20+m 20+m 23-(m 2-m 1)2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}=sign 2ω20+m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}㊂㊀㊀根据(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,即证明横截性条件满足㊂根据上述引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支定理,可以得到如下结论:定理2㊀当τ>0且R 0>1时,若条件(H2)㊁(H3)满足,则当τɪ[0,τ0),τ0=min(τk )时,系统(2)的平衡点是局部渐进稳定的;当τ>τ0时,系统(2)的平衡点是不稳定的;在τ=τ0时,系统(2)在平衡点处出现Hopf 分支㊂2㊀数值模拟当系数取A =1,β=0.5,k =1,μ=0.1,r =0.2,α0=0.2,α1=0.3,b =0.05时,系统(2)为d S (t )d t=1-0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-0.1S (t ),d I (t )d t =0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-(0.2+0.0050.05+I (t ))I (t )-0.3I (t )㊂ìîíïïïïïïï㊀㊀此时,R 0=8.3>1,τ0=8.0,系统(2)存在唯一的正平衡点,且正平衡点是局部渐进稳定的,选择τ=7<τ0(见图1);在同样的参数条件下,选择τ=9>τ0,此时正平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀系统(2)的平衡点渐进稳定(τ=7<τ0)第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分支2023年2月图2㊀系统(2)的平衡点失去稳定性,并产生Hopf分支(τ=9>τ0)Fig.2㊀The equilibrium point of system(2)loses stability and produces Hopf bifurcation(τ=9>τ0)3㊀结㊀论本文讨论了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR模型,在引入潜伏期作为时滞参数后,对地方病平衡点和正平衡点进行稳定性分析,得到了系统(2)局部渐进稳定和Hopf分支产生的充分条件,并利用数值模拟验证了理论分析的正确性㊂参考文献:[1]RUAN S G,WANG W D.Dynamical behavior of an epi-demic model with a nonlinear incidence rate[J].Journal of differential equations,2003,188(1):135-163. [2]XIAO D,RUAN S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J].Mathematical biosciences,2007,208(2):419-429.[3]BRAUER F.The Kermack-McKendrick epidemic model revisited[J].Mathematical biosciences,2005,198(2): 119-131.[4]TCHUENCHE J M,NWAGWO A,LEVINS R.Global be-haviour of an SIR epidemic model with time delay[J].Mathematical methods in the applied sciences,2007,30 (6):733-749.[5]WANG W D.Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays[J].Applied mathematics letters, 2002,15(4):423-428.[6]原三领,韩丽涛,马知恩.一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J].生物数学学报,2001,16(4): 392-398.[7]许立滨,李冬梅,杨美英.一类具有治愈期和免疫失效期的SIRS模型[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19 (6):113-117.[8]谢英超,程燕,贺天宇.一类具有非线性发生率的时滞传染病模型的全局稳定性[J].应用数学和力学2015,36(10):1107-1116.[9]LIU L J.A delayed SIR model with general nonlinear inci-dence rate[J].Advances in difference equations,2015, 2015(1):329.[10]ALSHAMMARIl F S,KHAN M A.Dynamic behaviors ofa modified SIR model with nonlinear incidence and re-covery rates[J].Alexandria engineering journal,2021, 60(3):2997-3005.(下转第100页)第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月梯状结构连接,形成二维网状结构㊂荧光测试表明,配合物1对2,4,6-三硝基苯酚具有高灵敏性和高选择性识别,淬灭常数为6.5ˑ104L/mol,配合物1对检测废水中的TNP具有潜在的应用价值㊂参考文献:[1]ZHANG J F,LIU Y H,FENG J Y,et al.Decanuclear cluster-based metal-organic framework with a(3,11)-conneced topology and highly sensitive2,4,6-trinitro-phenol detection[J].Inorganic chemistry,2019,58(15): 9749-9755.[2]CHAKRABORTY D,BEJ S,SAHOO S,et al.Novel nan-oporous Ti-phosphonate metal-organic framework for se-lective sensing of2,4,6-trinitrophenol and a promising electrode in an energy storage devive[J].ACS suntainable chemistry&engimeering,2021,9(42):14244-14237. [3]BAIRY G,DEY A,DUTTA B,et al.2D Cd(Ⅱ)-MOf of pyridyl-imidazoquinazoline:Structure,luminescence,and selective detection of TNP and fabrication of semicon-ducting devies[J].Crystal growth&design,2022,22 (5):3138-3147.[4]LIU L,SUN B Q,DING R,et al.Role of the weak inter-actions during the2,4,6-trinitrophenol detecting process of a fluorescence-based sensor[J].The journal of physicalchemistry A,2021,125(36):7867-7875.[5]HAZRA A,BEJ S,MONDAL A,et al.Discerning detection of mutagenic biopollutant TNP from water and soil samples with transition metal-containing luminescence metal-organic frameworks[J].ACS omega,2020,5(26):15949-15961.[6]LI J,TIAN J F,YU H H,et al.Controllable synthesis of metal-organic frameworks based on anthracene ligands for high-sensitivity fluorescence sensing of Fe3+,Cr2O2-7, and TNP[J].Crystal growth&design,2022,22(5): 2954-2963.[7]SHEN K,QIN L,ZHENG H G.Diverse structures of met-al-organic frameworks via a side chain adjustment:Inter-penetration on gas adsorption[J].Dalton transactions, 2016,45(41):16205-16210.[8]李况,王秉,彭志勤,等.双配体荧光配合物的合成及其对苦味酸的选择性传感[J].浙江理工大学学报, 2021,45(4):520-526.[9]李欣書,王倩,丁斌.具有同质多晶现象的一维和二维锌(Ⅱ)配合物的水热合成及对苦味酸的可循环荧光检测性能[J].无机化学学报,2019,35(3):515-523.[10]DAS D,BIRADHA K.Luminescent coordination polymersof naphthalene based diamide with rigid and flexible di-carboxylates:Sensing of nitro explosives,Fe(Ⅲ)ion,and dyes[J].Crystal growth&design,2018,18(6): 3683-3692.(上接第63页)[11]赵瑜,原三领,李盼.一类含潜伏时滞的SIS传染病模型的定性研究[J].上海理工大学学报,2011,33(5):480-484.[12]孙梅慈,徐瑞.一类具时滞和非线性发生率的生态流行病模型的稳定性和Hopf分支[J].生物数学学报2014,29(4):603-612.[13]黄利航,赵惠文,杨亚莉.带有两类时滞的传染病-捕食模型的稳定性与Hopf分支研究[J].福州大学学报(自然科学版),2014,42(3):346-352. [14]李东梅,张煜,WU Y,等.一类具有饱和发生率和时滞的SEIQR传染病模型稳定性分析[J].哈尔滨理工大学学报,2017,22(2):78-82.[15]ZHANG T L,LIU J L,TENG Z D.Stability of Hopf bi-furcate-on of a delayed SIRS epidemic model with stagestructure[J].Nonlinear analysis:Real world applications, 2010,11(1):293-306.。

一类具有非线性发生率的时滞SIR模型的稳定性分析

讨论了平衡点的稳定性，通过数值模拟给出了系统存在周期解＿６Ｊ。
１ＳＩＲ模型
在传染病模型中，发生率起到重要的作用。文献［６］提出了一类具有免疫力和发生率的ＳＩＲ模
型：
规律，并希望以此为制定预防疾病传播的策略提供
第ｌ３卷第４期２０１４年１０月
北京工业职业技术学院学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＢＥＩＪＩＮＧＰＯＬＹＴＥＣＨＮＩＣＣＯＬＬＥＧＥ
Ｎｏ．４Ｖｏ１．１３０ｃｔ．２０１４
一
类具有非线性发生率的时滞ＳＩＲ模型的稳定性分析
郭艳芬孙静
（北京工业职业技术学院基础教育学院，北京１０００４２）
摘
要：传染病是现实世界中普遍存在的重要现象之一。考虑了一类具有时滞和非线性源自生率的ＳＩＲ模型。
第４期
郭艳芬，等：一类具有非线性发生率的时滞ＳＩＲ模型的稳定性分析
点Ｅ：（１，０）；当上
通过对特征根的分布进行分析，讨论了平衡点的稳定性，给出系统稳定和不稳定的充要条件。关键词：ＳＩＲ模型；时滞；非线性发生率；稳定性
中图分类号：０１７５．１文献标识码：Ａ文章编号：１６７１— ６５５８（２０１４）０４—３２— ０３ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１— ６５５８．２０１４．０４．００８

一类SEIRS模型稳定性分析

一类SEIRS模型稳定性分析
方玲玲;齐龙兴
【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(036)003
【摘要】建立了一个SEIRS流行病模型,考虑更一般形式的非线性发生率.对恢复类中有时滞和没有时滞的模型进行了比较.结果显示,带有时滞的模型的动力学行为与不带时滞的模型的动力学行为是不同的.对于不带时滞的模型,如果基本再生数小于l,无病平衡点(DFE)是全局渐近稳定的.当基本再生数大于l时,不论免疫期的长短系统都存在唯一的地方病平衡点,并且在一定的条件下是局部渐近稳定的.对于带有时滞的模型,DFE的稳定性依赖于基本再生数和时滞.而且,唯一的地方病平衡点的稳定性也依赖于时滞.另外,通过数值模拟显示,当时滞在一定的范围内时,周期解有可能会出现.
【总页数】10页(P21-30)
【作者】方玲玲;齐龙兴
【作者单位】江西科技学院公共教学部,江西南昌330098;安徽大学数学科学学院,安徽合肥230601
【正文语种】中文
【中图分类】O175.25
【相关文献】
1.一类SEIR流行病模型的全局稳定性分析 [J], 赵亚飞;苏强;吕贵臣
2.一类具有人口流动的SEIR传染病模型的全局稳定性分析 [J], ZHANG Lijuan;WANG Fuchang;ZHUANG Xuqin;JIN Zhitong
3.一类具有Logistic增长和病毒变异的SEIR传染病模型的稳定性分析 [J], 梁桂珍;方慧文;王伟杰
4.一类潜伏期传染的SEIR模型稳定性分析 [J], 豆中丽
5.一类潜伏期传染的SEIR模型稳定性分析 [J], 豆中丽
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一类SIS流行病传播数学模型全局渐近稳定性

令 D= 0, d + A= L, 系统( 1) 和 ( 2) 化为文[ 6] 中的模型 S Û = r - dS I = Û 推论成立 : bIS , 1 + aI ( 7) ( 8)
Q
S r d
r x- d dx + I , x
ad ( A + d + D) 2 ( R 0 - 1) - ( A+ d ) b( A+ d + ar ) ad ( A+ d + D) 2 ( R 0 - 1) b( A+ d + ar)
,
显然 V 定正, 且沿系统 ( 1) 和( 2) V 对 t 的全导数 r Sd V= Û S+ Û I = S Û dS - r ( r - dS - bIS + D I) + dS 1 + aI bIS - ( A+ d + D) I = 1 + aI ( dS - r ) 2 br - [ A+ d + D]IdS d( 1 + aI ) r ( - 1) D I = dS
*
5
讨论
4 临界情形数值模拟结果
考虑临界情形 R 0 = 1, 将系统 ( 1) 和 ( 2) 离散化, 做数值模拟分析 . 选取 r = 0. 02, b = 0. 05, a = 5, A= 0. 01, d = 0. 03, D = 0. 02, 取 9 组初值进行数值计算, 计算机模拟结果如图 1 所示 .
bIS - ( d + A+ D) I , 1 + aI 可见 , 在临界情况下, 无病平衡点很有可能是渐近稳定的.
则 5 ( BP ) 5( BQ) r D ab + =- 2 - 2< 0. 5S 5I S I S ( 1 + aI ) 2 利用 Dulac 判定定理可知系统( 1) 和( 2) 在第一象限内无闭轨线 , 故结合定理 2. 2 可知 : 当 R 0 > 1 时 , 地方病平衡点 E 全局渐近稳定 .

一类具有非线性发生率的SI传染病模型的定性分析

第 27 卷第 5 期 2011 年 10 月
大学数学
COL LEGE M AT H EM AT ICS
V ol. 27, l . 5 Oct . 2011
一类具有非线性发生率的 SI 传染病模型的定性分析
杜艳可, 徐瑞, 段立江
( 军械工程学院基础部, 河北石家庄 050003)
[ 摘要] 研究一类具有非线性发生率的 SI 传染病模型 . 应用微分方程定性理论, 给出了该系统极限环的存在性、唯一性以及无病平衡点和地方病平衡点的全局渐近稳定性的充分条件.
当 BK q - d > 0 且 q \1 时, 由定理 3 知系统在 G 内无闭轨线, 由定理 1 知 A 1( 0, 0) 与 A 2( K , 0) 均为系统( 1) 的鞍点, 而 A 3( S* , I* ) 为系统( 1) 的稳定焦点或结点, 因此从 F = { ( S, I ) | S > 0, I > 0} 内出发的轨线均走向地方病平衡点 A 3 ( S* , I * ) , 即 A 3 ( S* , I * ) 在区域 F 内全局渐近稳定.
[ 关键词] 传染病模型; 平衡点; 极限环; 全局稳定性 [ 中图分类号] O 175. 13 [ 文献标识码] A [ 文章编号] 1672- 1454( 2011) 05- 0071-05
传染病历来是危害人类健康的大敌, 借助数学模型研究传染病的传播过程和动力学行为已成为重要的研究课题, 并得到了许多好的结果[ 1] , 对传染病的防治作出了重要贡献. 根据传染病动力学常用的
局渐近稳定; 当 BK q - d > 0 且 q \1 时, 地方病平衡点 A 3( S* , I * ) 在区域 F = { ( S, I ) | S > 0, I > 0} 内

一类具有非线性传染率的SEIRV传染病模型分析

一类具有非线性传染率的SEIRV传染病模型分析吕陇;姚小娟【摘要】建立和研究一类具有非线性传染率的SEIRV传染病模型,通过构造Liapunov函数与Bendixson判据,得到疾病灭绝与否的基本再生数R0.当R＜1时,无病平衡点全局渐近稳定,且疾病最终消亡;当R0＞1时,唯一的地方病平衡点全局渐近稳定.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2013(039)005【总页数】5页(P154-158)【关键词】Liapunov函数;Bendixson判据;全局稳定性【作者】吕陇;姚小娟【作者单位】兰州理工大学技术工程学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学技术工程学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O175.12现今利用数学模型分析与研究传染病的流行过程已是数学应用的一个重要手段，大量的数学模型用于分析各种各样的传染病问题.近年来，由于传染病模型中出现了一些形式更为一般的传染率，这就使得传染病模型有更复杂的动力学性态.文［1，2］分别引入形如的非线性传染率，文［3］讨论具有传染率的SEIS模型，得到疾病的一致持续存在性，文［4］引入形如的传染率，通过分析得到SEIS流行病的全局性态，文［5，6］分别讨论形如的传染率的SEIQR模型.本文在文［4～6］的模型基础上，引入形如的非线性传染率，同时考虑接种疫苗仓室，建立一类具有非线性传染率的SEIRV的传染病模型，运用微分动力系统中诸多方法，得到其动力学性态的完整分析.1 模型的建立2 主要结果3 主要结果的证明3.1 定理1的证明3.2 定理2的证明3.3 定理3的证明4 结论参考文献：［1］ LI M Y，MULDOWNEY J S.Global stability for the SEIR model in epidemiology ［J］.Mathematical Biosciences，1995，125（2）：155-164. ［2］ RUAN S G，WANG W D.Dynamical behavior of an epidemic model with a nonlinear incidence rate［J］.Journal of Differential Equations，2003，188（1）：135-163.［3］辛京奇，王文娟，张凤琴，等.带有非线性传染率的传染病模型［J］.高校应用数学学报，2007，22（4）：391-396.［4］徐芳，栗永安，杜明银.具有常数输入的SEIS模型的全局渐近稳定性［J］.高校应用数学学报，2009，24（1）：53-57.［5］徐文雄，张太雷，徐本宗.非线性高维自治微分系统SEIQR流行病模型全局稳定性［J］.工程数学学报，2007，24（1）：79-86.［6］芦雪娟，张敏，董晓红.具有非线性传染率的SEIQR流行病模型的全局稳定性［J］.生物数学学报，2012，27（1）：136-144.［7］ LI M Y，GRAEF J R，WANG L C，etal.Global dynamics for an SEIR epidemic model with a varying total population size［J］.Mathematical Biosciences，1999，160（2）：192-213.。

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［ｄ［Ａ＋］Ａ＋（＋＋）１Ｒ）［ｄ１＋（一０］Ａ＋（２）［ｄ＝。ｄ＋＋］Ａ＋］０（）４当Ｒ＜１，。时方程（）４的特征根均为负值，Ｅ是局部渐近稳定的；Ｒ＞１时，故。当。有一正的特征根，所
当ｙ ≠０时，系统（）２有唯一的地方病平衡点Ｅ（，・，）系统（）１Ｙ，ｍ１，２变为
＝Ａ —ｄ一１ｘ
＋ｖ
ｙ＝
【＋一ｄ＋＋］旦ｙ（６ｙｌ）。
（）３
ｚ＝ｙ一（２）６ｄ＋＋ｓ
ｍ：＆＋ＹＹ—ｄｍ
Ｒ＞１时，除了无病评点之外，。还有唯一地方病平衡点Ｅ（，。。ｍ）Ｙ，，。定理２对系统（）当Ｒ＜１时，２，。无病平衡点Ｅ是局部渐近稳定的；Ｒ＞１时，。稳定，局。当。Ｅ不Ｅ是
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ｌｓ［￡ｙ）（＋（］号因得ｉｕ）（＋ｍｆ≤ ，此ａｒｐ（＋ｆ））
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为系统（）２的正向不变集．因此下面仅在集内进行讨论。
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渤海大学学报（自然科学版）
第３２卷
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／３ｙ
１＋Ｙ０
一
收稿日期：００—１２１２—１．７
基金项目：辽宁省教育厅科研基金资助项目（ｏ２００９．Ｎ：０８０）作者简介：岩（９３一）男，李１８，渤海大学硕士研究生，从事生物数学研究
１０１
渤海大学学报（自然科学版）
第３２卷
２模型分析
对系统（）ｙ：２当０时，由系统（）２的第一个方程可得＝Ａ由系统（）２的第三个方程得ｚ，：０由第四
，
个程ｍｏ此０，，系（的病衡。方得＝因，００统２无平点，Ｅ，）（ｏ为）
一
性条件满足，当＋。时，若一。对于Ｖ ∈Ｄ
，ｔ）一致趋向于ｇ）则称系统（）系统（）极（）（，ｂ是ａ的
限系统。
引理１设ｆｇ，均满足局部Ｌｓｉ条件。若系统（）ｉｃｔｐｈｚａ的任一解（）ｔ均正向有界，且其极限系统（）ｂ的平衡点Ｅ全局渐近稳定，（）则ａ的任一解（）ｔ都有ｌｘｔ：。ｉ（）Ｅｍ
ｌ１１
＝
竿一＝，删＝ｆｙ，＋一（ｌ。＋）Ｍ
所等＝
。＝
则
（）１，＋）＝，＝弓于得下定。ｍ坠。是到面理。
一ｄ０００
定１当１，（仅无平点。，。其 ‰鲁，０：ｍ０理 ≤时系２有病衡ｙｍ，＝，，０。；统）（。）中），＝当。，。＝
］ｏ — —＋Ｌ一６，为基本再生数，模型（），￣Ｒ－ｄｄ— ｑ＋ｙ＋）。（ｃ对２有
，＋，Ａ—ｄ＋ｚ＋＋ｍ：（ｙ＋＋ｍ）一１ —ＯＺＹｉ ≤Ａ—ｄ＋ｚ２（ｙ＋＋ｍ），
即有』，ｖ＜Ａ—ｄ所以～，
１模型的构造及意义
＝一一＝Βιβλιοθήκη ６，Ｑ。
㈩一
＝ｓＱ叫
一ｄＲ
这里ｓ，Ｑ，分别表示的是易感者，病者，隔离者，，，Ｒ，患被以及恢复者在ｔ时刻的数量，Ａ表示的是种群的常数输入，中Ｋ是一个正常数，系数ｄ表示的是该种群的无病者的死亡率，ｌ其而Ｏ表示因病死亡率，表示的是感染率，ｙ表示的是从患病者到被隔离者的隔离系数，是从感染未隔离者到免疫者的恢复系数，是
部渐近稳定的。
证明
一
一
一
ｄ一ｄ
Ｅ，Ｅ的存在性是显然的．系统（）Ｅ处的Ｊｃｂａ阵为：３在ａｏｉｎ矩
ｄ —
。
一
０
一
斗
０
（Ｙ）１＋０
ｄ＋
－Ｅ）：，。（
ｏ
０
ｙ
＋
一
类具有非线性传染率的ＳＱＩＲ模型的稳定性
李岩，宋燕
（渤海大学数理学院，辽宁锦州１１１）２０３
摘要：论了一类具有非线性传染率的ＳＱ讨ＩＲ模型，定了基本再生数Ｒ，Ｒ＜１则无确。当。，
病平衡点是全局渐近稳定的，Ｒ＞ｌ时，当。地方病平衡点是全局渐近稳定的。关键词：基本再生数；平衡点；定性稳
由系统（）二个方程得，３第
＝－＋ｄ＋＋６代入系统（）一个方程则３第
【
ｄ＋ａＡ－￣－（
，：ｄ．
。＋＋
ｌｙ解：＾得Ａ十。Ｊ
解得＝—
－
— — — — — — — — — — — —
显然有ｌｉｔ ≤ ，＜）非负，ｍＮ（） Ⅳ ｔ
故集合Ｄ｛５，，）Ｓ０１０Ｑ０Ｒ０Ｓ，Ｑ尺号｝统（）＝（，Ｑ尺ｌ＞，，≥ ，＞，＋＋＋ ≤ 是系１的正向集。，＞１不变
设＝，ｚ，Ｋ一常，ｓ＝妻＝，詈ｍＩ为正数故Ｉｙ＝＝，＝＇ｏ
００
００
１＋Ｙｏ
一ｄ
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ｙ＝。０代人得
ｄ＋
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．Ｅ）：，。（
一
０
００
一
（ｄ＋Ｏ＋Ｌ）２
６
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一
ｄ
第３２卷第２期
２１年６月０１
渤海大学学报（自然科学版）
ＪｕａｏｏａＵｉｅｓｙＮｔｒｃｎｅＥｉｏ）ｏｒｌｆｈｉｎｖｒｔ（ａａＳｉｃｄｔｎｎＢｉｕｌｅｉ
Ｖｏ．２．．１３Ｎｏ２
Ｊｎ２１ｕ．０１
Ａ＋（＋）ｅ／Ａ＋（＋）＝ｇ０（）６
由于（＋）＞，（＋）＞根据Ｈｒｉ判据，以方程（）ｅＩ０ｇ０，厂ｕｗｔｚ所６的特征根为负．综上知，程（）方５的特征根均为负值，Ｅ是局部渐近稳定的。故定理３对于系统（）当Ｒ＜１时，ｍｙｔ０，合Ｅ２，。ｌ（）＝结ｉ。的局部渐近稳定性可知：Ｒ＜１时，当。无病平衡点是全局渐近稳定的。为了证明地方病平衡点的全局稳定性，出下面定义和引理。给定义１设有非自治系统（）：ｔｔ），ａ：，）自治系统（）＝（，：（ｂ：ｇ）ｇＤ∈Ｒ一。设解的存在唯
从染病被隔离着到免疫者的恢复系数，假设恢复者具有永久免疫．还令Ｎ（）ｔ＝Ｓ＋＋Ｒ＋Ｑ，０，贝
Ⅳ ｔ＝）Ａ— Ｓ一（Ｘ）一（Ｘ）ｄｄ＋Ｉ，ｄ＋ＩＱ—ｄＡ— （１２Ｒ＝ｄＳ＋，＋Ｑ＋尺）一，２１一Ｑ＝Ａ— Ⅳ一，２。ｄ１一Ｑ
中图分类号：１５０７
文献标识码：Ａ
文章编号：６３— ５９２１）２— １９—０１７０６（０１０００５
０引言
文献［］论了具有双线性传染率的ＳＱ１讨ＩＲ传染病模型．文献［］论了含时滞具有饱和传染率的传２讨染病模型．文献［］３讨论了具有隔离接种且传染率为非线性的传染病模型的稳定性．文对具有隔离项具本有非线性传染率的ＳＱＩＲ模型进行了研究和讨论．