高中数学必修5不等式中均值不等式链的几种证法
均值不等式技巧
问题的关键。 2）目标函数建立后利用均值不等式求最值 ［解题］解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数， 则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y 值最小. 根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0）
得b=（0＜a＜30 ① 于是 当a+2=时取等号，y达到最小值. 这时a=6，a=－10（舍去） 将a=6代入①式得b=3 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. 解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大. 由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0） 即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0） ∵a+2b≥2 ∴2＋ab≤30 当且仅当a=2b时，上式取等号. 由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18 即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18. ∴2b2＝18．解得b=3，a=6. 故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小. ［收获］本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解 决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最 小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理 解能力、建模能力.
第1变 变结构，创造基本不等式“一正、 二定、 三相等”的条件证不等式。
［变题1］设x,y,z∈R+且x+y+z=1求证: + + ≥36. ［思路］从左到右事实上是求和式+ + 的最小值，需变式出现积为 定值的情况，而条件中是和为定值x+y+z=1，所以对待证式的左边需变 形出现积为定值的情况。 ［破解］证法一:巧用1代换 ++= ++ =14+(+)+(+)+(+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当=,=,=,x+y+z=1取等号. 证法二:分式代换法 令x= ,y= , z= 则++ =++ =14+(+)+(+)+ (+) ≥14+4+6+12=36 当且仅当……取等号. 解法三: ∵x+y+z=1 ∴mx+my+mz=m, (m>0) ∴++=+++ mx+my+mz-m =(+ mx)+( + my)+( + mz)-m
高中不等式的常用证明方法归纳总结
不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意ab b a 222≥+的变式应用。
常用2222ba b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a b aab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a b a+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
均值不等式的证明数学归纳法
均值不等式的证明数学归纳法说到均值不等式，这可是数学界的一颗璀璨明珠，简单来说就是“平均数总是比个别数值要大或者小”，这就像是我们生活中的一些道理，集体的智慧往往胜过个体的独行。
今天，我们就来聊聊这个有趣的定理，以及如何通过数学归纳法来证明它。
别担心，我会尽量让这段旅程轻松点，咱们一起边走边聊！1. 什么是均值不等式？1.1 首先，咱们得搞明白均值不等式到底是什么。
其实，它就是告诉我们，对于任意的非负数 (a_1, a_2, ldots, a_n)，它们的算术平均数 (A) 总是大于等于它们的几何平均数 (G)。
听起来有点深奥，其实没那么复杂。
比如，假设你和你的朋友们一起去吃饭，大家点了不同的菜。
算术平均就是你们每个人花了多少钱的平均数，而几何平均则是所有菜品的价格的“平均”感觉。
总的来说，集体的消费水平往往更靠谱，大家都可以分享这份快乐。
1.2 另外，均值不等式还有个很酷的特点，就是当所有数值都相等时，这个不等式成立。
而一旦你们的消费差异太大，就会发现算术平均和几何平均的差距，也正如朋友间的默契程度一样，有时候相差甚远。
2. 数学归纳法的魅力2.1 说到证明，数学归纳法可是一种非常优雅的方式，像是魔术一样，让复杂的东西变得简单。
它的基本思路就是，先证明最小的情况成立，再假设它在某个n时成立，最后证明在n+1时也成立。
简而言之，咱们就像推倒多米诺骨牌，先把第一个推倒，然后把后面的也都给推倒！2.2 让我们从简单的开始，假设你只要证明均值不等式在n=1的情况。
这个时候，只有一个数，不就等于它自己嘛，显然成立！接着，我们假设在n=k的情况下，均值不等式是对的。
然后，我们要证明在n=k+1的情况下，也成立。
这个时候，数学的乐趣就开始了。
3. 具体的证明过程3.1 在n=k的情况下，假设均值不等式成立，也就是说：frac{a_1 + a_2 + ... + a_k{k geq sqrtk{a_1 a_2 ... a_k。
均值不等式解题方法和技巧总结
利用均值不等式求最值的方法和技巧几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
一、 配凑（8种技巧）1.拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y x x x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=∙∙∙-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++-⎪∙∙-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即x =时，上式取“=”。
不等式证明的几种方法
不等式证明的几种方法刘丹华余姚市第五职业技术学校摘 要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。
通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。
关键词： 不等式 ；证明方法；分析问题引言证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。
有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。
下面介绍几种证明不等式的方法。
一、构造法构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。
当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。
构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。
（一） 、构造方程证明不等式某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。
例1 如果x ，y ，z 均为实数，且x y z a ++=，222212x y z a ++= (0)a >. 求证：203x a <≤，23o y a ≤≤， 203z a ≤≤. 证明：由已知的两个等式中消去x ，得22221()2a y z y z a --++= ⇒ 22222()2202a y a z y z az --+-+= 因为 y R ∈， 所以 224()4(2)0a z z a ∆=---≥ 所以 (32)0z z a -≤所以 203z a ≤≤同理可证： 203x a ≤≤， 203y a ≤≤.（二） 、构造函数证明不等式根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。
例2 已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，求证：111a b c a b c<<+++. 证明： 从结论形式看，各项均具有1MM+的形式，于是可构造函数 ()1x f x x=+， 易证 ()f x 在R +上为增函数 因为a ，b ，c 为ABC ∆的三边所以 a b c <+ 所以 ()()f a f b c <+ 即111111a b c b c b c a b c b c b c b c+<=+<++++++++++. 又如： 求证111a b a b a bab+≤+++++ 可用类似方法证明。
常用均值不等式及证明证明
常用均值不等式及证明证明常用的均值不等式有以下几个：1.算术均值-几何均值不等式：对于任意非负实数$a_1,a_2,...,a_n$，有$\dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}$证明：设 $S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n}$，则 $a_1 + a_2+ ... + a_n = nS$。
由均值不等式 $a_1 + a_2 + ... + a_n \geq n \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$，将等式两边同时除以 n 得到$S = \dfrac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2 ... a_n}$2.二次均值不等式（柯西-施瓦茨不等式）：对于任意实数$a_1,a_2,...,a_n$和$b_1,b_2,...,b_n$，有$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2$证明：设$x=(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)^2$，$y=(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)$。
对于任意非零实数$t$，考虑函数$f(t)=t^2y-x$。
由于 $f(t)$ 是一个二次函数，且 $f(t) \geq 0$，则 $f(t)$ 的判别式不大于 0。
即 $4y(a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 - 4y(a_1^2 +a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \leq 0$。
简化之后得到 $(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2+ ... + b_n^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n)^2 \geq 0$，即所证明的不等式。
【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411
(3)若实数
a,b
满足1
������
+
2 ������
=
������������,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1������+21������ ≤
������������
≤
������+������ 2
≤
������2+2 ������2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理 解均值不等式成立的条件,等号 成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、 范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及 需注意的问题.
课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
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1.1.1 正弦定理
一
二
三
首页
课课前前篇篇 自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(������+2������)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(������+2������)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差 法即可证明.
探究三
探究四
探究五
首页 思维辨析
课前篇 自主预习
当堂检测
课堂篇 合作学习
均值不等式的多种证明方法许兴华数学
均值不等式是数学中常见的一类不等式，它指出了一组数的平均值和它们的其他性质之间的关系。
在本文中，我们将介绍均值不等式的多种证明方法，并以许兴华数学中的相关内容为例加以说明。
1. 均值不等式的定义均值不等式是数学中一类具有广泛应用的不等式定理，它描述了数列的平均值与其他性质之间的关系。
一个常见的均值不等式是算术平均数与几何平均数之间的关系，即对于任意非负实数集合，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
2. 均值不等式的证明方法均值不等式的证明方法有多种，其中比较常见的方法包括数学归纳法、几何法、代数法等。
下面我们将分别对这些方法进行介绍，并结合许兴华数学中的相关例题进行说明。
2.1 数学归纳法证明数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它通常用于证明对于一切自然数n成立的命题。
在均值不等式的证明中，数学归纳法可以用于证明一些形如An≤Bn的不等式，其中n为自然数。
对于n个非负实数的情况，可以使用数学归纳法证明它们的算术平均数不小于几何平均数。
许兴华数学中的例题：证明n个非负实数的算术平均数不小于几何平均数。
解：首先证明n=2的情况成立，即对于两个非负实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
然后假设对于n=k的情况成立，即对于k个非负实数成立均值不等式，即(k个非负实数的算术平均数不小于几何平均数)。
那么对于n=k+1的情况，我们可以通过考虑第k+1个数与前面k个数的平均值的大小关系，来证明均值不等式对于n=k+1的情况也成立。
2.2 几何法证明几何法是另一种常用的证明方法，它通常通过在平面几何图形上进行推理，来证明一些数学定理。
在均值不等式的证明中，几何法可以用于证明一些形如a²+b²≥2ab的不等式。
在许兴华数学中，可以通过在平面上绘制平行四边形、三角形等几何图形，来证明一些均值不等式。
3. 结语以上，我们介绍了均值不等式的多种证明方法，并结合许兴华数学中的相关内容进行了说明。
均值不等式作为数学中的重要概念，在不同的数学领域都有着重要的应用，它的证明方法也有很多种。
均值不等式的证明方法及应用word文档良心出品
均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。
应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。
本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。
关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式页20共页1第PROOFS AND APPLICATIONS ON A VERAGE VALUE INEQUALIT YABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of themake inequality can modern mathematics. Using average inequalities most widely used insome difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequalityinduction, mathematical method, summarized, including Cauchy are first systematicallyJensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitutionadjustment successive model method, constructing method of average value, probabilitymethod, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average valueinequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximumand minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and provingintegral inequality.Key words average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum;:limit; integral inequality页20共页2第目录前言--------------------------------------------------------------------- 41 均值不等式的证明方法--------------------------------------------------- 51.1 柯西法------------------------------------------------------------ 51.2 数学归纳法-------------------------------------------------------- 61.3 詹森不等式法------------------------------------------------------ 71.4 不等式法---------------------------------------------------------- 71.5 几何法------------------------------------------------------------ 81.6 排序法------------------------------------------------------------ 91.7 均值变量替换法---------------------------------------------------- 91.8 构造概率模型法---------------------------------------------------- 91.9 逐次调整法------------------------------------------------------- 101.10 泰勒公式法------------------------------------------------------ 102 均值不等式的应用------------------------------------------------------ 122.1 均值不等式在证明不等式中的应用----------------------------------- 122.2均值不等式在比较大小问题中的应用--------------------------------- 132.3 均值不等式在求最值问题中的应用----------------------------------- 132.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用----------------------------- 172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用------------------------------- 192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用------------------------------- 193 结论------------------------------------------------------------------ 21参考文献:--------------------------------------------------------------- 22 致谢-------------------------------------------------------------------- 23页20共页3第前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答.均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.??1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科著名数学家阿基米德学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究??8??142?.如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.??9冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.页20共页4第1 均值不等式的证明方法. ,我们给出均值不等式首先是个正数，则定理1 设a,...,,aan n12a??a?a??n12，1?1aaa??n n21n.上式当且仅当时等号成立a?aa??n12我们把以后简称均值不等式. 上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,a??a?a n12分别记做个数的算术平均数和几何平均数,和分别叫做这aaa?n n n12n??????)aa?AGAaa(G.式即为和，(1-1)nnnn.下面给出均值不等式的几种证明方法柯西法1.12. ,由于.,得有当时0?a0,a?a?2aa(a?a)??0a2n?21212211)aa??a)?(a?a?a?a?(a,当时4?n42241331aaa4aa?aa?2aa?4aa?2a.4433423112142)?aa?aaa?a)?(?(a?a?时,当8?n85413627.aaaa?8aaaa?a4aaaa?4aaa8448541123747825663n令次之后将会得到, 这样的步骤重复a?a??a??n1221?A?aa,a?a,a?;a???a?2nnnn?111?n2n有1nn A)?nnA?(2?1nA?aa?(aAa?a)aA??222nn1122n2即n n2?nna?a??a n12?a?aa.n n21n这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.页20共页5第1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立. 2n?假设当时,命题成立. kn?则当时,1k?n?a?a??a?a11?k2k.,a?aG?a?A1k?1K?1?2K?1k11k?因为具有全对称性，所以不妨设ai a?min{a|i?1,2,,k,k?1}a?max{a|i?1,2,,k,k?1}.,ii11k??????AA0a?a?aa?A?.于是以及显然 ,,1?11kK?1?K1k?K?11A(a?a?A)?aa. 1kKK?1?111?k?1所以(a?a??a?A)AA?kA(k?1)121?K1k?1K?1KK?1???A?1?K kkk)(a?a?Aa??a?2?11kKk?1.=)A?a??aa?(a k1K1k?112?k?k k?aa(a?a?AA)A,得即两边乘以1Kkkk??1112?1?KK?1?1k??GaAaa(aa)aaA(a??A)?.2K?k1k112kK?1k?11k?1?1K?A?G.从而,有11K??K??aGa)?A(. 所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即n nn 证法二当时，不等式显然成立；2?n假设当时成立.kn?k1?G?G?k?(k?1)a，于是则当有1n?k?k时，1??1kk?1k1k?111G?1)a?(k1k?1k?)??G(GaG(G?) kk22k1k?1kk?1k?k a?(k?1)Ga?(k?1)G11k??k11?1k?1k?)??)(A?(G .kk2k2k2k?G?(k?1)A?(k?1)GG?A.,所以所以1?k1?1k?k1?1?kk页20共页6第当且仅当且时等号成立. G1)(k?k?G?aa?G?1?k?1kkk?1k??．G a A(a)?由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即n nn1.3 詹森不等式法f(x)xII，对任意)若的凸函数为区间，上式引理1(Jensen不等?in???，则，且1?)n1,?0(i?2,,ii1?i nn????x)()f(?fx (1-3)iiii1i?i?1成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.a?0(i?1,2,n,)令由,于易令 ,,知在是凸函数.)(0,f(0)x)ln f(x)??x??(x?i1?,1有下式，则由引理?i na?a??a1ln(?n12.)a??ln?(ln a?ln a)?n21nn则?a?a?a11a ln(n21,)a ln(a(ln)?a?ln a?)?a?ln nn2121nnn因此1a??a?a a ln(n21)a?ln(a),nn21n即a?a??a n12,a?aa?n n21n aa?a??.当且仅当时等号成立n121.4 不等式法x?1?ex进行推导在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式.xx e)?ef(x?f(x)应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:设，对1?xx2x1?xe?e?, 2页20共页7第x?.当因此, 时，等号成立,, 其中, .. x1e??00xx?00???1x?. 下面给出均值不等式的证明过程n?0?x.，使取一组数,.令A(1?x)a?xn1,2,,k?knkkk1?k x,可得全为零时,取等号)则由(e??(1x)x k kk111nnn??nx???k，AeAG?(a)??(1?x)A?nn??nknknn??1k?k?1k?1)G(aA(a)?.所以nn 1.5 几何法x ex G?y)e(G,可见这条切线,,作函数的图像它是凸曲线，并在点处作切线e?y n n G na ea i Gi .所因此,可以得以到见在函数的下面(图)，0?e?）n,i?1,2,3,（11?n G n)??aa?a(ea n12nA eaea Gnnn21?nA?G e)((e?()?)?,，即且从上述证明中可知，，于是n nn G GGG nnnn G??a?a?a.时，等号成立当且仅当nn121-1图页20共页8第排序法1.6aaaaaaaaa n12112?n1211??xx??x?x，取其中的一个,做序列: ,…,,n112n?n1n2?GGGG nnnnaxaaxx nn2211???1?b?xxb?xb?，则,…,,,…,,排列. :n11n1?2n GbbGbG n2n1nn111???0?0x?x??x?则由排序原理可知不妨设..n12xxx2n1xxxx111n321??????x???x??n?x , 21n xxbxbbb2n3n112aaa aa??a?n21n????n21,,即aa?a?n n12GGG n nnn)(a(a)?GA.所以nn 1.7 均值变量替换法. 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证时，不等式显然成立2n?. 假设当时，不等式成立kn?1?k?x)1,?A(i?2,,nx?axx必有一个,不全为零设则当,则1?n?k0?设时，.1ik?iii i1i?x?x?0, ,另一个为负,不妨设 ,由于为正)?x?A(A?x)Aaa?(?x)(A?x1i2?k?11211k?1211kk?从而(A?x?x)?a??a?A k?131k?12?(A?x?x)aaa k1k?11k42?3k?1kk1?Gaa1?k21??aaa.kk14?3k AA1k?k?1?1k?1k,即 .所以GA?GA?1?1kk?1?1k?k??a)?G(Aa aa?a??0x?成立．,)时取等号故原不等式当且仅当易证,(时即n12inn1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.页20共页9第有则存在,变量,并且数学期望引理2 设是一个随机EXX??22?,.41)(?EXEX)EX?E(ln X ln1.其中,建立概率模型,设随机变量的概率分布为,n,i?1,2,X0?a?)?aP(X ii n,由引理2可知111nnn???aaaa,,ln??ln aa lnln n n12iii n nn1ii?1?i?1a??a?an12.成立即a?a?a n n12n1.9 逐次调整法}a?min{a}a?max{a,a,...,aa易见中必存在最值数，不妨设,. in221i1a?(a?a)a22121不变.,但是增大.于是,用,即取代AGaa,a]?a[nn122122n)?a)(a(a?a11?2121a????(a?a),i3n n22n1i?)aa)(a?(a?2121a?a?aaa? .nn3n1n222n因此，次(有限次对于各个).,这种代换至多进行1－n aa?221)?aa??AAA?G?aaa?(A.nnnn2nn3nnnn12G?Aa?a??a时,当且仅当,取等号.即n1nn21.10 泰勒公式法1x log?(x)fa?1,x?0)(0?x处展开，有，将在设，则0?)??f''(x)xf(a02ln ax''(xf)2'0)?x)?(x)x?f(x)(x?xxf()?f(.00002因此有?',n2,)b),(i?1,?x(a,a?a,)xx)(x?()f(fx)?(x?f,n1,取000i0i n1?i nnn111???'a)(i?1,2,,?(fa()?()a?f)(aan)f.从而iiiii nnn1i?11i?i?页20共页10第??????'a()a)a)?(?a?f(a)?nf((a)?fnf故,iiiiii nnn11i??1i??11ii?1?ii1nn111)??a?a(a??n12aaa nnnnnn111)loglog???log?(log)(f()a?af,即.因此有n n21iiaaaa nnn11i?i?1111)a?a?(a?)a(a???a nn12n12)a(a?a)(a?aa1)?log?log(0?a loglog?,即 ,亦即nn n12n12aaaa na?a??a n21.,故有)1,n2,,0,a(?i?aa?a?n in12n页20共页11第2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.111. 且.求证例1已知为互不相等的正数,?b?c??a?c,a,b1abc?abc1111/b?1/c1/a?1/c1/a?1/b111???b??c??????a.证明bcacab222abc.故原不等式得证22b?a?b?1?aba?.证明例22222ab?2b??ba2b2a1??a1?.,证明由均值不等式得,,????2222ba??ab??1ab?原不等式得，即有,以上三式相加得,. bab?a?a?b1??22.证1,两弦和的半径为均与直径例3设圆交,记与和的交o CD?45CDEFEFABAB 2点分别为和Q,求证 .1?PD?QF2PC?QE?2P1?2图证明如图,设为弦的中点,连接,,则△为等腰直角三角形,POMCOCDMOM?12且.MOMP?222222222CO2?MO?)MC?MC)?(MPMCPDPC??(?)?MCMP?2(?MP)2(页20共页12第211??.??2??22??122. 同理,??QEQF2由均值不等式得，2222QF?PCPD?QE?QFQE?PD??PC?222222)??PDQF)?((PCQE?211?122.??22.即，原不等式得证1?QE?2PD?QF2PC? 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这比较大小问题是高中数学中常见的问题，.类问题的关键ba?1之间试判断若,，,,例4lg R)Q?(lg a?lg b?bp lg a??lg RP,Q,1a?b?22.的大小关系由均值不等式，得解1.Pb?)b?lg a?lg Q?(lg a?lg21a?b.Q??lg b)abR?lg?lg?(lg a22.即由于，所以不能取等号,Pa?bQ?R?ba?,2.3 均值不等式在求最值问题中的应用是重要知识点解决一些取值范围问题时运用非常广泛,均值不等式在求函数最值,达到解,,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件在实际应用问题中之一.熟练运用该,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,,题的目的变换题目所给函数的形式.,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处技巧例5求下列函数的值域：页20共页13第112；(1) (2). y?y?3x?x?2xx21122?x3x? =6y?3?2,解 (1)因为. 所以,. 值域为)6,+?[22xx2211?xy??2x??2时，(2)当. 0?x xx111-2?x??)?y?x??2???(x值域为,故时当,.??）]?[2，（－?,－20x?xxx . 的最大值求函数例6若,)x3x(8?3f(x)?2?0?x)3xx?(8?3????xf，的最大值是.解因为, 所以,故4x(8?3x?3fx) ??20??x24.使r h 和底面半径的比为何值时,例7制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高)用的材料最省? (不计加工损耗VVV2V322222??????, 解 ,设圆当且仅当rr2???2?rh22r?Vr??32?2?S rrrr233???即圆柱形的高与底面此时有,故即 , 时, 材料最省. h2rrV?2?r2:1?h:r.使用的材料最省时,半径之比为2:1均值不等式求最值时常见错误2.3.1;(3)定正;(2)运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)或不等式之间进行缩小, .在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、相等.,而且错误不易察觉,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误传递等变形.,就这一问题列举几个例子进行说明因此1??. 求的值域例81y?x??x1?x我们常常写成在解题时,分析111??31????1??12x??yx?1?x，1?1x?x?1x1????y?3,与1x?忽视均值不等式中,虽然.故但的积是常数,不一定是正数1?x1?x.下面给出正确解法因此解法是错误的的各项为“正”致错, .页20共页14第111???11?3??1?2y?x??x?x?1,当且仅时解当,当1 ?xx?11x?1x?1,即时等号成立; ?1x?2?x x?1111???1??x?1?y??x?211?1?x??,,所以,当时1?y?1?x1?x1?x1?x????. ?????,?13,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为0?x2?5x的最小值.例9求?y24x?分析在解题时,我们常常写成22?4?1?5x1x122?2??2xy??x4??4?，22224?4?44xxx?x?1 22??x4,即2.可是在当且仅当中,这是不可,所以的最小值是3x??y2?y24?x能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.11122?y?x4??y??ty?t在(),中,令, 则解在易证4??tx2t?tt24x?152,,即当且仅当,取时上递增,所以的最小值是,?2?y2x??4)??[2,0xt??222号.”“?例10若正数满足,求的最大值.xyy,x6y?x?22yx???即,仅当且常常写成,当且解分析在题时,我们y?x6?x?2y?xy?? 2??xy其实很有道理, 4.初看起来可得时取号, 将其代入上式,,的最大值为2??xy”?“在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.2y?x??xy这个问题忽视了均值不等4.的最大值不是所以不是定值中但在,,y?x?xy??2??.下面给出正确解式中积或和是定值的条件.页20共页15第2392y1x?1??取此时)当且仅当时(解因, y?2x?3,yx?”“????2y?xxy???22222??9??. , 所以号?xy max22.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 4.,求的最大值例11已知?xy?lg 1?0 ?x lg x从而有,因为，所以，解00??lg xx lg? 1?0 ?x??4??，44????y??2?lg x??lg x??14y??4?x??lg. 即即，当且仅当时等号成立，故?x 4y??max lg x1004??4lg x为定值，本题满足但因为,，所以此时不能直接应用均0?lg x 10 ?x?lg x值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.1????x0的最大值.例12求)x(1 ? 2y?x??2??21x1?2211x???????解，??12x1?2x???2x??y?x??8222??11y?x?. 故当且仅当,即时等号成立.x2?1?2x max48本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.)2x?x?(164?y?a.13已知求的最小值,例0b?a???bba?646464??3??ba?b?b??3?y?a?6412?a?b,，解当且仅当??????bb?a?bbbaa?by?12.时等号成立,即.故4? 8a?b min页20共页16第64?a.但可通过添项、减项来满足积为定值不是定值本题 ,??bba?4?.,求的最小值例14 已知?x?y sin?0 ?x x sin33141??. 解5????y?sin x?sin x???2sin x??1x sin x sinsin x sin x??31. .故且,即当且仅当时等号成立5y?3??x sin1x?sin min x sin x sin44故可通过拆项来满足等号., 本题虽有为定值但不可能成立?sinsin x?xxx sinsin.成立的条件25xx??45???xf______.则15 已知,有例?x4?2x255??????. BAC1. 最小值最小值最大值1 最大值)D(442??21?x?2151?4x?x1?????????x?2x????1f,,解当且仅当??2x????2xx?2x2?42?22x??? . 时等号成立.故选即)(D3?x便可创造出使用均值不等式但对函数式进行分离,本题看似无法使用均值不等式,.的条件 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用需证明数列单调极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,.下面举例说明而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容及数列有界..1n.例16证明重要极限的存在性e)?lim(1?n??n1n.}单调递增先证数列证明 {)?(1n1??11?1?a?a?1?aa??,，则由均值不等式，令得1n?n21n11111?(1?)?[(1).1???(1))?1](1?.nn1nnn?1n?个n个n11n?1)?(1?,即1n?nn?1页20共页17第11n?1n.所以)?? (1?)(1nn?11n}单调递增{.所以数列)(1?n1n}有上界{.再证数列)(1?n11nk?1（{为正整数）}以下面的证明可以看到一个更强的命题：数列)(1?)??(1Mk nk为上界.11n?1k?1., 当先证不等式, 时)(1?)??(1k?n nkk设，.1a?a????a?a?a n2k?11?2k k?1k1knk1n?k?)?1?([(k?1)??(n?k)]?，由均值不等式1n?k?1n?1k?1n?1kn11n?1k1?n?11k?. ,因此，所以)?)?)?()(1(1(?k?1n?1nk11111nn?1nk?1.所以,,其次由有)?(1?)?)???1?1(1(1(1?)nnnnk11k?1n}，的上界{.均是数列当时，任取一个正整数)M?(1?)(1?kn?k kn111nnk?1仍然成立时,不等式又数列{.}单调递增，所以,当)??(1(1?)?)(1kn?nnk111nnk?1（为正整数）. 因此，对于数列 {恒有}, 任)(1?(1?))??(1）（n1,2?k nnk11k?1n}的上界均是数列意选定一个值，{.)?(1M?(1?)k kn11nn} 极限存在{.极限值单调有界,由单调有界定理,所以数列{数列} )?(1(1?)nn1n.，即为e)?lim(1?e n??x1n?1}极限存在且其极限是证明数列{.例17)?(1e n1n?1}{(1?)x?.证明令n n n??11)(n?n?1n1n11?n2?nn?21n?1n??([)(?)?]??().x2n?n?1n?nx1?21?nn????xx0?x有下界,则数列. 又,所以数列单调减少.nnn页20共页18第111??n1n?)1?(?)((l)?im?1?l1im. ??nnn??????nn11n, 所以因为和的极限都存在)?(1(1?)nn111??n1n?e?(1?(1?lim(1?)))??lim. ??nnn????n??n11?n 数列{.}极限存在且其极限是因此, )?(1e n n1?n lim.18 证明例??n:）有由均值不等式（1-1证明1????1?n?1n n n?n?n?n?11??n??个?2n2n?n?22, 1???nn2nn n?1lim?n?0?1.从而有 ,故n??n2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用.????aaa.收敛，证明级数已知正项级数也收敛例191n?nn1n??n11a?0,由均值不等式，有因为,,已知级数证明)aaa?(?a)(n?1,2,n1n?1nn?n2????111????)aaa(a?a从而级数与都收敛，收敛,所以级数再由比也收敛，?aa收敛较判别法，知级数.1nnn?n?1n2221n??1n?1n?1n?1n?nn?12.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. ??ba,上是正值可积的, ,在20例证明函数且,则nk?1,2,（f）x b0?a?页20共页19第??nnnn????.1111bbbb??????dxf(x)dx)?f()ff(x)?dx(x)dxxf(x)?f(x??????n1n221??????aaaa a??a?an12,证明有利用.a?a?a n n21n)xf()(xf(x)f???dx)xf()dx)dx(ffx(x n12aaa??f(x))xf(x)f(1??n.n21?bbbn12??????bbb n???dx))f(xdxff((x)dxx????n21aaa111????????nnn??)xf()x)f(xf(??b???????n12于是dx?????????bbba???dxx)ff(x)dxf(x)dx(??????????????n21aaa???????dxx(x)dx)f(ff(x)dx1??n21aaa，1?????bbb????bbb n???dxxdx)f(f(x)dx)f(x????n21aaa1111bbbb????????nnnn????. 即dx(x)f)?f(x)ff(x)dx?(xf(x)dx)?dxxf(??????nn2112??????aaaa1?1dx)(x ln f?.在上非负连续，证明例21设dx)(?xfe）（fx[0,1]00证明由题设知在上可积，将等分，作积分和n（）fx[0,1][0,1]1nnn i1ii1??????)?lim(f)f(xdx. ，)f)?limlnln f(x)dx?lim(ln f(??nn nnn0??n0??n??n??1i?1i?1?i11nn11????n??)e?ef lim(?. 所以??1?i0??n??n??1?i a?a?...?a n12?a?aa得由均值不等??n i?1)f(limln n??i??n?dxx)ln f(n式,???.n n12n1nn i1i??n1dxx)f((f)?lim)f(lim???nnn0????nn??1?i1i?1?1dx)ln f(x?.故dx)e?(fx00页20共页20第3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.页20共页21第参考文献:[1]中译本（朱恩宽、李文铭等译）:《阿基米德全集》[M]. 西安：陕西科学技术出版社,1998.[2]陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130.[3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91.[4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80.[5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].Mathematics Magazine,1991,64:273.[6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35．[7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004．[8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004.[9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38.[10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10.[11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24．[12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南：山东科学技术出版社,2007.[13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152.[14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3):88-89.页20共页22第致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。
中学数学不等式证明的常用方法5篇
中学数学不等式证明的常用方法5篇第一篇：中学数学不等式证明的常用方法中学数学不等式证明的常用方法不等式证明是中学数学的一项基本内容，证明不等式的方法多种多样，但常见的几种方法有：放缩法、判别式、换元法、函数法、数学归纳法等[4].在这里通过学习，总结前人巧妙的证明方法，使中学生可以轻松地理解并掌握进而灵活运用常用的不等式证明方法解决有关不等式的证明问题.下面试图通过一些例子来说明.一、一般思路不等式证明的总体思路是比较不等式两边式子的大小,一般用比较法证明不等式.比较法证明不等式可分为差比法和商比法，它是不等式证明中最基本思路.明确作差、作商比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握作差、作商后对差式、商式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．但比较法证明不等式主要运用了综合法和分析法.利用题设和某些证明过的不等式作为基础，再利用不等式的性质推出欲证的不等式，称为综合法.思路是“由果索因”，即从题设条件或已知证明的结论﹑公式出发，逐步推理，得到欲证的不等式，这种方法条理清楚，易表述．分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件,只要使不等式成立的条件已经具备,就断定不等式成立.思路是“执果索因”, 即从要证明的不等式出发,寻找使这个不等式成立的某一“充分”的条件,为此逐步往前追溯,一直追溯到已知便于探求解题思路.二、典型方法分析(1)放缩法不等式的传递性，若A＞B，B＞C则A＞C告诉我们要证明A＞C 时就可以先把A缩小B，再把B缩小为C，从而证明A＞C；同样A放大为B，再把B放大为C，可以证明A＜C．例１求证：１＋12+13+Λ+1n<2n(n∈N+)．分析:注意观察不等式左边的形式,显然左边要比右边复杂,所以我们应选择从左到右来证明.先取有限项进行观察,从它们的规律分析进而得证.一般地,如果是分式就考虑放大(缩小)分子(分母).如本题就是利用放大分母1n＝22n<2n+n-1=2(n-n-1),每一项都可由此规律放大分母,从而易得证.但值得注意的是放大或缩小要适当.证明:Θ1n＝22n<2n+n-1=2(n-n-1)，∴1312＜2（2－１），<2(3-2)，……1n-11n<2(n-1-n-2)，＜2（n-n-1）．121n以上各式相加，得１＋所以原不等式成立．＋…＜2n－１＜2n．【评注】利用分数的性质，可适当地增项﹑减项，运用放缩法证明[4]，但要注意放缩法要适度，否则不能同向传递．例2 已知数列{an},an=1⋅2+2⋅3+3⋅4+L+n(n+1)n(n+1)(n+1)2<an＜.求证：22n(n+1)是前ｎ个自然数的和，与an 比较只须缩小为１2﹑2﹑3……n即可．仿此把各项放大2﹑3﹑……（n+1）所得结论过弱，只能放n(n+1)弃，于是转而联想到关系式n(n+1)<，右边的不等式证明，由此可证2得．证明由于分析: 注意到左边的式子an=1⋅2+2⋅3+3⋅4+Λ+n(n+1)>12+22+33+Λ+n2 =1+2+3+…+n =n(n+1)22n+1n(n+1)＜22又由n(n+1)<3572n+1有an＝1⋅2+2⋅3+3⋅4+Λ+n(n+1)＜+++Λ+ 22221(n+1)2＜[1+3+5+7+Λ+(2n+1)]=22n(n+1)(n+1)2<an＜综上所述． 22【评注】放缩法的基本思路: a>b,b>c,⇒a>c.[3]技巧与方法:(1)适当添上131或舍去某些项,例:(a+)2+>(a+)2;(2)如果是分式则需放大或缩小分子242或分母,如:11111 <2<=-放大缩小切记适度.k(k+1)kk(k-1)k-1k(2)判别式法有些要证明的不等式，它的已知条件是一些等式，如果这些条件可以转化为一个含参数的一元二次方程式；或者要证明的不等式可以化为一个一元二次不等式，这时往往可以用判别式求证[2]．2⎧⎪x-yz-8x+7=0例已知x,y,z是实数，且满足条件⎨22⎪⎩y+z+yz-6x+6=0求证：１≤x≤9.证明由已知等式得：yz=x2-8x+7(y+z)2=yz+6x-6= x2-8x+7+6x-6=x2-2x+1=(x-1)2 于是y,z是方程t2±(x-1)t+(x2-8x+7)=0的两个实根△＝(x-1)2－４（x2-8x+7）＞０解得１≤x≤9.【评注】本题可以将原方程组变形得到yz和y+z的表达式,再把x看作常数写成关于t的一元二次方程，最后用判别式来求解．用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．(3)换元法有些不等式可以把其中一些元素换成另一种元素，从而使条件之间的数量关系明朗化，便于解决问题[2]．1125例1 设a,b∈R+且a+b=1.求证：(a+)2+(b+)2≥.ab2 证明：Θ a+b=1可设：a=sin2θ,b=cos2θx2+y2⎛x+y⎫又≥⎪则2⎝2⎭11(a+)2+(b+)2ab111≥(a+b++)2 2ab1112)＝(sin2θ＋cos2θ＋2+2sinθcos2θ142125)≥(1+4)2=＝(1+．2sin2θ222例2 设a,b>0，求证：3a+3b＋3a-3b<23a．证明：设3a+3b＝m,3a-3b=n,则m3+n3=2a 于是要证的不等式等价于(m+n)3＜4（m3+n3）只要证：4（m3+n3）－m3-3m2n-3mn2-n3>0 而3m3+3n3-3m2n-3mn2 =3m2(m-n)+3n2(n-m)=3(m-n)(m2-n2)=3(m-n)2(m+n)>0 ∴(m-n)3<4(m2-n2)成立.【评注】本题巧用三角代换,使不等式的证明变得简捷明了.当所给的条件复杂,一个变量不易由另一变量表示时,可考虑三角代换,将两个变量都用一个参数表示.换元法中最常用的是三角代换,三角代换法多用于条件不等式的证明[3].具体代换方法有:(1)若a2+b2=1,可设a=cosθ,b=sinθ(θ为参数）;(2)若a2+b2≤1,可设a=rcosθ,b=rsinθ(θ为参数）；(3)对于1-x2,Θx≤1,由cosθ≤1或sinθ≤1知，可设x=cosθ或x=sinθ;(4)若x+y+z=xyz,由tanA+tanB+tanC=tanAtanbtanC 知,x=tanA,y=tanB,z=tanC.(A+B+C=π)(4)函数法有些不等式的证明可以借助于函数的一些性质,如单调性,函数的值域等进行证明.例:求证:|x1+x2+Λ+xn||xn||x1||x2| ++Λ+≤1+|x1+x2+Λxn|1+|x1|1+|x2|1+|xn|xx的形式,于是可以构造函数f(x)= 1+x1+x分析:要证不等式的每一项结构都是证明: 构造函数f(x)= x 1+xf(x1)-f(x2)=x1xx1-x2 -2=1+x11+x2(1+x1)(1+x2)当x1≥x2>0时,显然f(x1)<f(x2)所以函数f(x)当x≥0时是增函数Q|x1+x2+L+xn|≤|x1|+|x2|+L+|xn|∴x1+x2+Λ+xn|xn|1+Λ+≤1+|x1+x2+Λ+xn|1+|x1+|x2|+Λ+|xn|1+|x1|+|x2|+Λ+|xn|≤|xn||x1||x2|++Λ+1+|x1|1+|x2|1+|xn|【评注】本题根据不等式的特点,构造辅助函数，将不等式的证明,转化为利用函数增减性与极值来研究,是一种极好的方法.在构造函数证明不等式时,可用函数的单调性、微积分中值定理、函数的极值和最值等,将不等式问题转化为函数问题,利用函数性质来研究、解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力.不等式的证明，方法多种多样，它可以和很多内容相结合，证明时不仅用到不等式的性质，不等式的证明技能、技巧，有时还用到其它数学知识，是高中数学的一个难点.不等式证明综合题是每年高考的必备题，只要我们遵循《考试说明》的要求，以不等式的性质、定理为理论依据，借助变量代换、化归转化、分析综合等数学思想方法，就能很好的“把脉”不等式的证明.但这些方法不是孤立的，而是相互渗透的.因此，在证明不等式时要灵活运用这些方法,以使题目更容易解决.解题时只要充分展开想象，打开思路，选择恰当的的证明方法，问题便可迎刃而解.第二篇：证明不等式方法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
高三理科数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法
高 三 数 学---------不等式复习【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。
【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。
比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。
比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。
综合法常常用到如下公式：（1）22b a +≥2ab(a,b ∈R) (2)2b a +≥),(+∈R b a ab (3)ba ab +≥2(a .b>0)(4)222b a +≥),()2(2R b a b a ∈+ (5)3cb a ++≥),,(3+∈Rc b a abc利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。
对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。
另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。
【知识讲解】例1、 设1>2a>0,试比较A=1+a 2与B=a-11的大小。
解：A-B=aa a a aa ----+=--+111111322=1)1(1223-+-=--+-a a a a aaa a∵01,2>+-∈+a a R a 恒成立. 由条件知0<21<a ,∴a-1<0,∴A-B<0即A<B.例2、设a.b ∈R +,求证a a b b ≥a b b a分析:这里所证的不等式的左、右两边均正，且都为乘积的形式，所以可以考虑作商与1比较，转化为运用指数函数的性质来证明。
高中数学均值不等式和不等式的证明材料
专题八：均值不等式和不等式的证明选讲一、基础梳理1．常用的基本不等式和重要的不等式：（1”号； （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则；（32两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2； 三个正数的均值不等式：33abc c b a ≥++； n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++。
3．四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的关系是：2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+。
小结：“算数平均数几何平均数”的多种表达形式：（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0；作商比较：1,0AB A B B>>⇒>。
作差（商）比较的步骤：①作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商）；②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或约分等）；③判断差的符号（商与1的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与1的大小）。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果。
（3）分析法：执果索因。
基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。
②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。
（4）反证法：正难则反。
（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。
放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(；②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：2lg3lg5lg3lg5()lg 42+⋅<=<=；2)1()1(++<+n n n n ；（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元已知12222=+b y a x ，可设θθsin ,cos b y a x ==；已知12222=-by a x ，可设θθtan ,sec b y a x ==。
高考专题——不等式的证明
不等式的证明（证明不等式的常用方法）一、知识精要1.均值定理：a +b ≥2ab ；ab ≤（2b a +）2（a 、b ∈R +）， 当且仅当a =b 时取等号. 2.比较法：a －b ＞0⇒a ＞b ，a －b ＜0⇒a ＜b . 3.作商法：a ＞0，b ＞0，ba＞1⇒a ＞b . 特别提示1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式.2.比商法要注意使用条件，若ba＞1不能推出a ＞b .这里要注意a 、b 两数的符号. 4.利用定理和推论定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”） 推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 5.用综合法证明不等式：利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法，概括为“由因导果”.6.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”. 分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真 7.放缩法证明不等式. 常用的放大缩小的结论：()2222111111....1234n n++++<- ()()22.1.In x x +≤ ()31211.21n n n n nn n n n n <=--+>=+++()**114.,22111,.22nnn Nn N ⎛⎫≤∈ ⎪⎝⎭⎛⎫-≥∈ ⎪⎝⎭()15.142.n n ++≥8.利用单调性证明不等式.9.构造一元二次方程利用“Δ”法证明不等式. 10.数形结合法证明不等式. 11.反证法、换元法等.12．三角换元：若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (20π≤θ≤)或x = sin 2θ (22π≤θ≤π-) 若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20)若122=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20)若x ≥1，则可令x = sec θ (20π<θ≤) 若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<θ<π-)二 例题精讲【例1】.若a 、b 是正数，则2b a +、ab 、b a ab+2、222b a +这四个数的大小顺序是A.ab ≤2b a +≤b a ab+2≤222b a +B.222b a +≤ab ≤2b a +≤b a ab+2C.b a ab +2≤ab ≤2ba +≤222b a +D.ab ≤2b a +≤222b a +≤ba ab+2解析：可设a =1，b =2， 则2b a +=23，ab =2， b a ab +2=34， 222b a +=241+=25=5.2. 答案：C【例2】.设0＜x ＜1，则a =2x ，b =1+x ，c =x -11中最大的一个是 A.a B.bC.cD.不能确定解析：∵0＜x ＜1，∴1+x ＞2x =x 4＞x 2. ∴只需比较1+x 与x-11的大小. ∵1+x －x-11=x x ---1112=－x x -12＜0，∴1+x ＜x-11.答案：C【例3】.（2005年春季上海，15）若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 必要条件 解析：当a ＞0，b 2－4ac ＜0时，ax 2+bx +c ＞0.反之，ax 2+bx +c ＞0对x ∈R 成立不能推出a ＞0，b 2－4ac ＜0. 反例：a =b =0，c =2.故选A. 答案：A【例4】.（理）已知|a +b |＜－c （a 、b 、c ∈R ），给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b +c ；③a ＜b －c ；④|a |＜|b |－c ；⑤|a |＜－|b |－c . 其中一定成立的不等式是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：∵|a +b |＜－c ，∴c ＜a +b ＜－c .∴－b +c ＜a ＜－b －c .故①②成立，③不成立. ∵|a +b |＜－c ，|a +b |≥|a |－|b |， ∴|a |－|b |＜－c .∴|a |＜|b |－c . 故④成立，⑤不成立. 答案：①②④（文）若a 、b ∈R ，有下列不等式：①a 2+3＞2a ；②a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a +a1≥2.其中一定成立的是__________. 解析：①a 2+3－2a =（a －1）2+2＞0， ∴a 2+3＞2a ；②a 2+b 2－2a +2b +2=（a －1）2+（b +1）2≥0， ∴a 2+b 2≥2（a －b －1）；③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3（a 2－b 2）+b 3（b 2－a 2） =（a 2－b 2）（a 3－b 3）=（a +b ）（a －b ）2（a 2+ab +b 2）. ∵（a －b ）2≥0，a 2+ab +b 2≥0，但a +b 符号不确定， ∴a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3不正确； ④a ∈R 时，a +a1≥2不正确. 答案：①②【例5】.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为____________.解析：设甲地至乙地的距离为s ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v （v 2＞v ＞0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t =v v s +2+v v s -2=22222v v s v -， 平均速度v 1=ts 2=2222v vv -.∵v 1－v 2=2222v v v -－v 2=－22v v ＜0， ∴v 1＜v 2.答案：v 1＜v 2【例6】 设a ＞0，b ＞0，求证：（b a 2）21（ab 2）21≥a 21+b 21.剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明.证法一：左边－右边＝abb a 33）（）（+－（a ＋b ）＝abb a ab b ab a b a ）（））（（+-+-+＝ab b ab a b a ））（（+-+2＝abb a b a 2））（（-+≥0.∴原不等式成立.证法二：左边＞0，右边＞0，右边左边＝）（））（（b a ab b ab a b a ++-+＝ab bab a +-≥abab ab -2＝1. ∴原不等式成立.注解：该例若用函数的单调性应如何构造函数呢？解法一：令f （x ）=a x x +，易证f （x ）在（0，+∞）上为增函数，从而a x x +＞b y y +. 再令g （x ）=x m m +，易证g （x ）在（0，+∞）上单调递减. ∵a 1＞b 1，a 、b ∈R +.∴a ＜b . ∴g （a ）＞g （b ），即a m m +＞b m m +，命题得证. 解法二：原不等式即为1+a x a x＞1+b y b y ， 为此构造函数f （x ）=1+x x ，x ∈（0，+∞）. 易证f （x ）在（0，+∞）上为单调增函数，而a x ＞b y ， ∴1+a x a x＞1+by b y ，即a x x +＞b y y +.【例8】 设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a ＜1.求证：log a （a x ＋a y ）＜log a 2＋81.剖析：不等式左端含x 、y ，而右端不含x 、y ，故从左向右变形时应消去x 、y . 证明：∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2y x a +＝22x x a -. ∵x －x 2＝41－（x －21）2≤41，0＜a ＜1， ∴a x＋a y≥241a ＝2a 81.∴log a （a x＋a y）＜log a 2a 81＝log a 2＋1.【例9】 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1.求证：（1+a ）（1+b ）（1+c ）≥8（1－a ）（1－b ）（1－c ）.剖析：在条件“a +b +c =1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a +b +c ”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：∵a 、b 、c ∈R +且a +b +c =1， ∴要证原不等式成立， 即证［（a +b +c ）+a ］·［（a +b +c ）+b ］［（a +b +c ）+c ］≥8［（a +b +c ）－a ］·［（a +b +c ）－b ］·［（a +b +c ）－c ］.也就是证［（a +b ）+（c +a ）］［（a +b ）+（b +c ）］·［（c +a ）+（b +c ）］≥8（b +c ）（c +a ）（a +b ）. ①∵（a +b ）+（b +c ）≥2））（（c b b a ++＞0， （b +c ）+（c +a ）≥2））（（a c c b ++＞0， （c +a ）+（a +b ）≥2））（（b a a c ++＞0， 三式相乘得①式成立.故原不等式得证.【例10】 已知a ＞1，n ≥2，n ∈N *. 求证：n a －1＜na 1-. 证法一：要证n a －1＜na 1-， 即证a ＜（na 1-+1）n .令a －1=t ＞0，则a =t +1. 也就是证t +1＜（1+nt ）n . ∵（1+n t ）n =1+C 1n n t +…+C n n （nt ）n ＞1+t ， 即n a －1＜na 1-成立. 证法二：设a =x n ，x ＞1. 于是只要证nx n 1-＞x －1，即证11--x x n ＞n .联想到等比数列前n 项和1+x +…+x n －1=11--x x n， ① 倒序xn －1+xn －2+…+1=11--x x n .②①+②得2·11--x x n =（1+x n －1）+（x +x n －2）+…+（x n －1+1）＞21-n x +21-n x +…+21-n x ＞2n . ∴11--x x n ＞n .【例11】 求证：||1||b a b a +++≤||1||a a ++||1||b b +.剖析：|a +b |≤|a |+|b |，故可先研究f （x ）=xx+1（x ≥0）的单调性. 证明：令f （x ）=xx+1（x ≥0），易证f （x ）在［0，+∞）上单调递增. |a +b |≤|a |+|b |，∴f （|a +b |）≤f （|a |+|b |），即||1||b a b a +++≤||||1||||b a b a +++=||||1||||||1||b a b b a a +++++≤||1||||1||b b a a +++.三 课堂练习1. 设x ＞0，y ＞0，且xy －（x +y ）=1，则 A.x +y ≤22+2B.x +y ≥22+2C.x +y ≤（2+1）2D.x +y ≥（2+1）2解析：∵x ＞0，y ＞0，∴xy ≤（2y x +）2. 由xy －（x +y ）=1得（2y x +）2－（x +y ）≥1. ∴x +y ≥2+22.答案：B2.已知x 、y ∈R ，M =x 2+y 2+1，N =x +y +xy ，则M 与N 的大小关系是 A.M ≥N B.M ≤N C.M =N D.不能确定 解析：M －N =x 2+y 2+1－（x +y +xy ） =21［（x 2+y 2－2xy ）+（x 2－2x +1）+（y 2－2y +1）］ =21［（x －y ）2+（x －1）2+（y －1）2］≥0. 答案：A3.设a ＞0，b ＞0，a 2+22b =1，则a 21b +的最大值是____________.解析：a 2+22b =1⇔a 2+212+b =23.∴a 21b +=2·a ·212+b ≤2·22122++b a =2·223=423. 答案：4234.若记号“※”表示求两个实数a 和b 的算术平均数的运算，即a ※b =2ba +，则两边均含有运算符号“※”和“+”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是____________.解析：∵a ※b =2b a +，b ※a =2ab +， ∴a ※b +c =b ※a +c . 答案：a ※b +c =b ※a +c .思考：对于运算“※”分配律成立吗? 即a ※（b +c ）=a ※b +a ※c . 答案：不成立5.当m ＞n 时，求证：m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．证明：∵（m 3－m 2n －3mn 2）－（2m 2n －6mn 2＋n 3）＝m 3－3m 2n ＋3mn 2－n 3＝（m －n ）3， 又m ＞n ，∴m －n ＞0.∴（m －n ）3＞0，即（m 3－m 2n －3mn 2）－（2m 2n －6mn 2＋n 3）＞0. 故m 3－m 2n －3mn 2＞2m 2n －6mn 2＋n 3．6.已知a ＞1，λ＞0，求证：log a （a +λ）＞log a +λ（a +2λ）. 证明：log a （a +λ）－log （a +λ）（a +2λ） =a a lg lg ）（λ+－）（）（λλ++a a lg 2lg=）（）（）（λλλ+⋅+⋅-+a a a a a lg lg 2lg lg lg 2∵a ＞1，λ＞0，∴lg a ＞0，lg （a +2λ）＞0，且lg a ≠lg （a +2λ）. ∴lg a ·lg （a +2λ）＜［（22lg lg ）（λ++a a ）］2=［22lg 2）（λa a +］2＜［2lg 2）（λ+a ］2=lg 2（a +λ）.∴）（）（）（λλλ++⋅-+a a a a a lg lg 2lg lg lg 2＞0.∴log a （a +λ）＞log （a +λ）（a +2λ）.7.（2005年春季北京，8）若不等式（－1）na ＜2+nn 11+-）（对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是A.［－2，23） B.（－2，23） C.［－3，23）D.（－3，23） 解析：当n 为正偶数时， a ＜2－n 1，2－n 1为增函数， ∴a ＜2－21=23. 当n 为正奇数时，－a ＜2+n 1，a ＞－2－n1. 而－2－n 1为增函数，－2－n1＜－2， ∴a ≥－2.故a ∈［－2，23）. 答案：A8.（2003年南京市质检题）若a 1＜b 1＜0，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2＜b 2B.ab ＜b 2C.a b +ba＞2D.|a |+|b |＞|a +b |解析：由a 1＜b1＜0，知b ＜a ＜0. ∴A 不正确. 答案：A9.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的 A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案：A10.（理）在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a n =b n ＞0，则a m 与b m 的大小关系是____________.解析：若d =0或q =1，则a m =b m .若d ≠0，画出a n =a 1+（n －1）d 与b n =b 1·q n －1的图象，易知a m ＞b m ，故a m ≥b m . 答案：a m ≥b m11. 在等差数列{a n }与等比数列{b n }中，a 1=b 1＞0，a 2n +1=b 2n +1＞0（n =1，2，3，…），则a n +1与b n +1的大小关系是____________.解析：a n +1=2121++n a a ≥121+n a a =121+n b b =b n +1. 答案：a n +1≥b n +112.若a ＞b ＞c ，则b a -1+c b -1_______ca -3.（填“＞”“=”“＜”） 解析：a ＞b ＞c ，（b a -1+c b -1）（a －c ）=（b a -1+cb -1）［（a －b ）+（b －c ）］ ≥2））（（c b b a --1·2））（（c b b a --=4.∴b a -1+c b -1≥c a -4＞ca -3.13.已知x ＞0，y ＞0，若不等式x +y ≤m y x +恒成立，求实数m 的最小值. 分析：∵x +y ≤m y x +恒成立，∴m ≥yx yx ++恒成立.∴m 的最小值就是yx yx ++的最大值.解：∵x +y ≤m y x +恒成立，∴m ≥yx yx ++恒成立.∵x ＞0，y ＞0， ∴y x +≥22）（y x +=2yx +.∴yx y x ++≤2yx y x ++=2.∴m 的最小值为2.14.有点难度哟！求证：在非Rt △ABC 中，若a ＞b ，h a 、h b 分别表示a 、b 边上的高，则必有a +h a ＞b +h b . 证明：设S 表示△ABC 的面积，则S =21ah a =21bh b =21ab sin C . ∴h a =b sin C ，h b =a sin C.∴（a +h a ）－（b +h b ）=a +b sin C －b －a sin C =（a －b ）（1－sin C ）. ∵C ≠2π，∴1－sin C ＞0. ∴（a －b ）（1－sin C ）＞0. ∴a +h a ＞b +h b .15.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），方程f （x ）－x =0的两根x 1、x 2满足1＜x 1＜x 2＜a1.（1）当x ∈（0，x 1）时，证明x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证x 0＜21x . 证明：（1）令F （x ）=f （x ）－x ， ∵x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的根， ∴F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）. 当x ∈（0，x 1）时，由于x 1＜x 2， ∴（x －x 1）（x －x 2）＞0.又a ＞0，得F （x ）=a （x －x 1）（x －x 2）＞0， 即x ＜f （x ）.又x 1－f （x ）=x 1－［x +F （x ）］=x 1－x +a （x 1－x ）（x －x 2）=（x 1－x ）［1+a （x －x 2）］，∵0＜x ＜x 1＜x 2＜a1，x 1－x ＞0， 1+a （x －x 2）=1+ax －ax 2＞1－ax 2＞0， ∴x 1－f （x ）＞0，即f （x ）＜x 1. 综上，可知x ＜f （x ）＜x 1. （2）由题意知x 0=－ab 2. ∵x 1、x 2是方程f （x ）－x =0的根，即x 1、x 2是方程ax 2+（b －1）x +c =0的根， ∴x 1+x 2=－ab 1-. ∴x 0=－ab 2=a x x a 2121-+）（=a ax ax 2121-+.又∵ax 2＜1，∴x 0＜ax 1=1x.四 高考回放1.（2009江苏卷）(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm a+；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式；当35A B m m =时，求证：h 甲=h 乙； (2)设35AB m m =，当A m 、B m 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ，试问能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
高中数学：不等式证明的常用方法
高中数学：不等式证明的常用方法
若，，求证：，。
证法一：综合法
又
证法二：换元法、判别式法
换元法主要有三角代换、均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。
如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证。
设为方程的两根，则
（2）
将（2）代入（1），得，即，，即
由，得
又
，即。
证法三：放缩法
放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。
于是有
从而
所以
（下略）。
证法四：比较法
比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。
，
对任意非负实数，有
，即
（以下略）。
证法五：反证法
有些不等式，如果不易从正面证明，可以考虑反证法。
凡是含有“至少”、“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法。
假设，则
又
因此，前后矛盾，故。
（以下略）。
▍ ▍
▍。
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。
注意ab b a 222≥+的变式应用。
常用2222b a b a +≥+ (其中+∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。
一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。
1、已知a,b,c 均为正数，求证：ac c b b a c b a +++++≥++111212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴0)(4)(44)()(14141)(2≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理0)(414141)(2≥+=+-+-c b bc c b c b c b ，0)(414141)(2≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得0111212121≥+-+-+-++ac c b b a c b a ∴ac c b b a c b a +++++≥++111212121 二、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。
2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥++c b a证：2222)(1)(3c b a c b a ++=≥++⇔∴2222)()(3c b a c b a ++-++0)()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a cabc ab c b a3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(444c b a abc c b a ++>++证：∵22442b a b a >+22442c b c b >+22442a c a c >+∴222222444a c c b b a c b a ++>++∵ c ab c b b a c b b a 22222222222=⋅>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+∴)(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证:)(2222222c b a a cc bb a++≥+++++证明：∵)(22222222)(22b a b a b a ba ab ab +≥++≥+∴≥+即2)(222b a ba+≥+，两边开平方得)(222222b a b a b a+≥+≥+ 同理可得)(2222c b c b+≥+)(2222a c a c+≥+三式相加，得 )(2222222c b a a cc bb a++≥+++++5、),0(∞+∈y x 、且1=+y x ，证：9)11)(11(≥++y x 。
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关键词：基本不等式 高中数学教学随笔 必修5 >> 不等式
授之以鱼，不如授之以渔。
1
均值不等式链
基本不等式链：若b a 、都是正数，则
2
2112
2
2b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+，当且仅当
b a =时等号成立。
注：算术平均数---2b a +；几何平均数---ab ；调和平均数---b a ab b
a +=
+2112；平方平均数---22
2b a +。
证明1：（代数法）
（1）ab b
a a
b b a b a b a ≥+⇒
≥+⇒≥-⇒>>220)(002
，； （2）
ab ab
b a ab ab b a ab b a ≤+⇒≤+⇒>≥+21202ab b
a ≤+⇒112； （3）2
24)(22)(22222222
2
2
2
2
2
b
a b a b a b a b a ab b a ab b a +≥
+⇒+≥+⇒++≥+⇒≥+； 综上，
2
2112
2
2b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+，当且仅当
b a =时”“=成立。
证明2：（几何法）
如图，b a AB b BC a AC +===，，，以AB 为直径作圆O ，则 图1：ab DC b a OD =
+=，2
，⇒
≤OD DC 2
b
a a
b +≤
； 图2：b a ab OD DC DE ab DC +===22，，⇒≤DC DE ab b
a ab
≤+2； 图3：2
22
2b a GC b a OC +=
-=，，⇒≤GC OG 2222b a b a +≤+； 综上，
2
2112
2
2b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+，当且仅当
b a =时”“=成立。
A
G
B
界首一中 2011-01
问题是思考的结果，是创造的开始。
2
证明3：（几何法）
作梯形ABCD ，使CD BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，，F E 、分别是CD AB 、的中点，过E 作CD EG ⊥于G ，过G 作AB GH ⊥于H ，在EB 上截取2
a
b EN -=，则F E 、分别是CD AB 、的中点，2
a
b EF +=⇒， ED 平分ADC ∠ab AB EA EG ==
=⇒21
， b a DG BC CG AD GH b a GC DG BC GC DA DG +⋅+⋅=
⇒=⇒==，，即b a ab
GH +=2， 2a b EN -=2
2
2b a NF +=
⇒， 显然，FN EF EG GH <<<，∴2222
2b a b a ab b a ab +≤
+≤≤+ 当“b a =”时，2
222
2b a b a ab b a ab +=
+==+。
证明4：（几何法）
作梯形ABCD ，使AB BC AD B BC AD =+︒=∠，，90//，令)(a b b BC a AD >==，，， 在AB 上截取b BC AF a AD AE ====，，则a BF b BE ==，
过E 作AB EG ⊥交CD 于G ，过F 作CD FO ⊥于O ，过O 作AB OH ⊥于H ， 在GO EH 、上分别取点N M 、，使梯形EGNM 与梯形MNOH 相似，
则BC AF BF AD ==，，2
212
22
2
b a CD OF DO CO b a CF DF +====⇒+==⇒，
22b
a BC AD OH OD OC +=+=
⇒=，
b a ab
b a AE BC BE AD EG b BE a AE +=
+⋅+⋅=⇒==2，， 梯形EGNM 与梯形MNOH 相似ab OH EG MN OH
MN
MN EG =⋅=⇒=⇒
显然，OF OH MN EG <<<，∴2222
2b a b a ab b a ab +≤
+≤≤+ 当“b a =”时，2
222
2b a b a ab b a ab +=
+==+。