第3单元 函数概念与性质(基础篇)(解析版)

第3单元函数概念与性质（基础篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；①作差；①变形；①确定符号；①下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；①若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；①已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）①﹣f（x）＝x2﹣x①f（x）＝﹣x2+x 【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；①奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；①偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；①对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y ＝x a ，其中a 是常数． 8.幂函数的性质 【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a ＞0时，幂函数y ＝x a 有下列性质： a 、图象都通过点（1，1）（0，0）；b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而增大；c 、在第一象限内，a ＞1时，图象开口向上；0＜a ＜1时，图象开口向右；d 、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a ＜0时，幂函数y ＝x a 有下列性质： a 、图象都通过点（1，1）；b 、在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，图象开口向上；c 、在第一象限内，当x 从右趋于原点时，图象在y 轴上方趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴． （3）当a ＝0时，幂函数y ＝x a 有下列性质：a 、y ＝x 0是直线y ＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y ＝x ； （2）y ＝x 2； （3）y ＝x 3； （4）y ＝21x ； （5）y ＝x ﹣1y ＝xy ＝x 2 y ＝x 3y ＝21x y ＝x ﹣1定义域 R R R [0，+∞）{x |x ≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容． 【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y ＝kx +b （k ≠0），图象增长特点是直线式上升（x 的系数k ＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y ＝kx （k ＞0）． ①反比例函数模型：y ＝xk（k ＞0）型，增长特点是y 随x 的增大而减小． ①指数函数模型：y ＝a •b x +c （b ＞0，且b ≠1，a ≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b ＞1，a ＞0），常形象地称为指数爆炸．①对数函数模型，即y ＝m log a x +n （a ＞0，a ≠1，m ≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a ＞1，m ＞0）．①幂函数模型，即y ＝a •x n +b （a ≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a ＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x 的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【答案】C 【解析】二次函数2()4f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线.最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[1,2]-．故选:C ． 2．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.3．若函数()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨-+<⎩为奇函数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B 【解析】()f x 为奇函数 ()()f x f x ∴-=-当0x <时，0x -> ()()()2222f x f x x x x x ∴=--=-+=--又0x <时，()2f x x ax =-+ 2a ∴=-本题正确选项：B4．已知(1)232x f x -=+，则(6)f 的值为（ ） A ．15 B ．7 C ．31 D ．17【答案】C 【解析】令12-=xt ，则22x t =+ 将22x t =+代入(1)232x f x -=+，得()2(22)347=++=+f t t t所以()47=+f x x ，所以(6)46731=⨯+=f .故选：C5．设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A 【解析】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数．又因为函数3y x =在0,上单调递增，在,0上单调递增，而331y x x-==在0,上单调递减，在,0上单调递减，所以函数()331f x x x =-在0,上单调递增，在,0上单调递增．故选：A ．6．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.7．幂函数()()22121m f x m m x-=-+在()0,∞+上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】因为函数()f x 是幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =， 因为函数()f x 在()0,∞+上为增函数，所以210m ->，即12m >，2m =， 故选：D.8．已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【解析】函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xxx xxx f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数．故选A.9．下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，()20,1x ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x <”的是（ ）A ．()1f x x =-B ．()1f x x=C ．()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 2f x x = 【答案】C 【解析】根据题意可得，函数()f x 在区间()0,1单调递增，对A ，B ，函数()f x 在区间()0,1单调递减，故A ，B 错误； 对D ，函数()f x 在区间()0,1先增后减，故D 错误；故选：C.10．已知关于x 的方程21xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(),1-∞-C ．[1,)+∞D ．()1,+∞【答案】D 【解析】由题意,画出()2xf x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21xm -=有两个不等实根 则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可 所以1m 即(1,)m ∈+∞故选:D11．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(,5)-∞-C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】关于x 的一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2，则Δ25440(2)41010522m f m ⎧⎪=-+≥⎪=-+->⎨⎪⎪>⎩, 解得2154m -<-. 故选C.12．设奇函数()f x 在[]3,3-上是减函数，且()33f =-，若不等式()21f x t <+对所有的[]3,3x ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．()1,+∞ C ．(),1-∞ D ．()(),11,-∞+∞【答案】B 【解析】因为奇函数()f x 在[]3,3-上是减函数，且()33f =-， 所以()()max 33f x f =-=，若不等式()21f x t <+对所有的[]3,3x ∈-都成立，则321t <+，解可得1t >， 故选：B二．填空题（共6小题）13．设函数21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩，则(3)f -=________.【答案】0 【解析】21,2()1(2),2x x f x f x x ≥=⎨⎪+<⎪⎩∴当12x <时，()(2)f x f x =+132-<∴(3)(1)(1)f f f -=-=又112≥∴2(1)10f ==故答案为：0.14．已知正实数a ，b 满足22a b +=，则41a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________【答案】252【解析】解：正实数a ，b 满足22a b +=，∴22a b =+≥12≤ab . 则()()()2222222414424414ab a b ab a b ab a a b a b a b a b b b a ++⎛⎫⎛⎫++=⋅=+++++- ⎪= ⎪⎝+⎝⎭⎭ 84ab ab=+-. 令ab t ，10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.即有8844ab t ab t +-=+-， 又函数()84f t t t =+-在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，∴()12522f t f ⎛⎫≥=⎪⎝⎭. 故答案为：252. 15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=__________．【答案】3 【解析】()(2)f x f x =-，(2)()f x f x ∴+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=-=-+=-+=()f x ∴是周期为4的周期函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.故答案为：3．16．设偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，则满足()20f a ->的实数a 的取值范围为________． 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】①偶函数()f x 满足()()240xf x x =-≥，∴函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，且()20f =，①不等式()20f a ->等价为()()22fa f ->，∴22a ->，即22a ->或22a -<-，解得4a >或0a <．故答案为：()(),04,-∞+∞.17．已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____ 【答案】1 【解析】 ①函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，①211m m +-=，解得2m =-或1m =， 又①该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数， 即m 的值是1， 故答案为1.18．函数()()222323y x x x x =---+零点的个数为_____________. 【答案】2 【解析】函数()()222323y x x x x =---+零点的个数，即方程()()2223230x x x x ---+=实数根的个数.由()()2223230x x x x ---+=，即2230x x --=或2230x x -+= 由()()223310x x x x --=-+=得3x =或1x =-.由()22231+20x x x -+=-=无实数根.所以函数()()222323y x x x x =---+的零点有2个. 故答案为：2三．解析题（共6小题）19．已知函数2 (x 0)()2-x? (x 0)x f x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，试解答下列问题：（1）求[(2)]f f -的值； （2）求方程()f x =12x 的解． 【答案】（1）2-；（2）43x =或0x = 【解析】解：（1）函数2(0)()2(0)x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪->⎩，所以()()2224f -=-=所以()[(2)]4242f f f -==-=-（2）当0x ≤时，即212x x =，解得0x =或12x =（舍去）； 当0x >时，即122x x -=，解得43x =； 综上所述，43x =或0x =． 20．（1）已知()f x 是一次函数，且2(21)(2)65f x f x x +--=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数2(3)46f x x x -=-+，求()f x 的解析式．【答案】（1）()23f x x =-；（2）2()23f x x x =++.【解析】解：（1）因为()f x 是一次函数，所以可设()f x kx b =+则2(21)(2)2[(21)][(2)]3465f x f x k x b k x b kx k b x +--=++--+=++=+，所以3645k k b =⎧⎨+=⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩ ，所以()23f x x =-．（2）令3t x =-，则3x t =+．因为2(3)46f x x x -=-+，所以2()(3)4(3)6f t t t =+-++223t t =++．故2()23f x x x =++． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，换元法求函数解析式，属于常考题型. 21．函数()f x 对任意的,R m n ∈都有()()()1f m n f m f n +=+-,并且0x >时，恒有()1f x >.(1).求证：()f x 在R 上是增函数； (2).若(3)4f =解不等式2(5)2f a a +-<【答案】(1)证明见解析；(2)(3,2)a ∈-【解析】(1).设12,R x x ∈,且12x x <,则210x x ->,所以21()1f x x ->212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-2111()()1()0f x x f x f x =-+-->即21()()f x f x >,所以()f x 是R 上的增函数.(2).因为,R m n ∈,不妨设1m n ==,所以(11)(1)(1)1f f f +=+-,即(2)2(1)1f f =-，(3)(21)(2)(1)1f f f f =+=+-=2(1)1(1)13(1)24f f f -+-=-=，所以(1)2f =.2(5)(1)f a a f +-<，因为()f x 在R 上为增函数，所以251a a +-<得到32a -<<, 即(3,2)a ∈-.22．已知定义在()1,1-上的奇函数()f x ，当()0,1∈x 时，()241xx f x =+. （1）当()0,1∈x 时，解方程()25f x =； （2）求()f x 在区间1,0上的解析式.【答案】（1）∅；（2）0,0()2,1041xx x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩. 【解析】（1）222122522024152x x x x x =⇒⋅-⋅+=⇒=+或221x x =⇒=-（舍）或1x =（舍）； 故当()0,1∈x 时，方程()25f x =无解，即解集为∅. （2）由题意知： ()00=f ；当()1,0x ∈-时，()()224141x xx x f x f x ---=--=-=++ 综上所述，0,0()2,1041xx x f x x =⎧⎪=⎨--<<⎪+⎩. 23．已知幂函数()f x x α=的图像过点()2,4. （1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()21h x f x kx =--在[]1,1-是单调函数，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()2f x x =；（2）(][),44,-∞-⋃+∞. 【解析】（1）因为()f x x α=的图像过点()2,4， 所以24α=，则2α=，所以函数()f x 的解析式为：()2f x x =； （2）由（1）得()221h x x kx =--， 所以函数()h x 的对称轴为4k x =， 若函数()h x 在[]1,1-是单调函数， 则14k ≤-或14k ≥， 即4k ≤-或4k ≥，所以实数k 的取值范围为(][),44,-∞-⋃+∞.24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.（1）写出夏令营每位同学需交费用y （单位：元）与夏令营人数x 之间的函数关系式； （2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？【答案】（1）**600,130,10900,3070,x x N y x x x N ⎧≤≤∈=⎨-+<≤∈⎩（2）当人数为45人时，最大收入为20250元【解析】（1）由题意可知每人需交费y 关于人数x 的函数：**600,130,10900,3070,x x N y x x x N ⎧≤≤∈=⎨-+<≤∈⎩（2）旅行社收入为()f x ，则()f x xy =，即*2*600,130,()10900,3070,x x x N f x x x x x N⎧≤≤∈=⎨-+<≤∈⎩， 当*130,x x N ≤≤∈时，()f x 为增函数，所以()()max 306003018000f x f ==⨯=，当*3070,x x N <≤∈时，()f x 为开口向下的二次函数，对称轴45x =，所以在对称轴处取得最大值，()()max 4520250f x f ==. 综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.。