北航矩阵论课件1.2
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北航矩阵论课件1.2
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1 , , en , 令 Te j a1 j e1 anj en ,1 j n, 采用矩阵记法: T(e1 , , en )=(Te1 , , Ten )=(e1 , , en )A, a11 a21 这里，A= an1 a12 a1n a22 a2 n (aij ) nn F nn . an 2 ann
注1: 特征值与特征向量是否存在依赖于V所在的数域F，
1 0 1 2 如矩阵 的特征多项式为 f ( ) 1. 1 1 0
注2 : 当 dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机. 注3 : E (i ) { X F n | (i I-A) X 0} N (i I-A)(解空间).由 亏加秩定理有r (i I-A) dim N (i I-A) n, 所以E (i )的维数为 dim E (i ) n r (i I-A) 称为i的几何重数.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且 dimN(T)+dimR(T)= dim V 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
0 x
D : C [a,b] C[a,b],
(1)
D( f ( x)) f '( x), f ( x) C [a,b].
(1)
二、核、像空间，亏加秩定理
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵论课件
6、基与维数的几何解释——直观解释
R
2
中，常用基
i
(1,0),
j
(0,1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
基与维数： 基——极大无关组
维数——秩 3、特殊向量空间 平凡子空间
V自身 零子空间
非平凡子空间——真子空间（部分向量组成）
4、向量在基下的坐标
标准正交基/规范正交基：特殊极大无关组（正交单位向量组）
设 1，2，r 为向量空间的一组基，设 V， 则 k11 k22 krr，称 （k1，k2，kr）为β在 基 1，2，r下的坐标。
①（，）（，）②（ ，）（，）（，）
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
2、 a b ab
k a ak
构成线性空间
a,b R
注：①线性空间必含有零向量（零元素），且唯一
②线性空间中任意元素的负元素唯一
③ 0 0 零向量 ；k·0=0;(-1)α =-α
数0
二、线性空间的维数和基
例：全体n阶方阵构成线性空间，且维数为n 2
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
2019北京航空航天大学线性代数课件第一章行列式的定义-文档资料
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
朱立永
线性代数
这一讲的主要内容
• 这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及考核方式 • 行列式的定义
线性代数
线性代数课程简介
• 英文名字：Linear Algebra • 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； • 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； • 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。
2.
线性代数
本门课程的特点
• 具有较强的抽象性和逻辑性
• 各部分内容有紧密的联系
线性代数
课程安排及考核方式
• 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 • 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90％ 2．平时作业占10％
线性代数
其它要注意的几点
线性代数
本章的主要内容
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆（Cramer）法则
§1.5 数域
线性代数
§1.1
n阶行列式
1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义
线性代数
1.1.1 排列与逆序
•
定义1.1.1
• 课前一定要做好预习 • 课后要认真完成作业 • 有问题要及时问（/google），（答疑时间 和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：
线性代数
第一章 行列式
• 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。
朱立永
线性代数
这一讲的主要内容
• 这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及考核方式 • 行列式的定义
线性代数
线性代数课程简介
• 英文名字：Linear Algebra • 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； • 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； • 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。
2.
线性代数
本门课程的特点
• 具有较强的抽象性和逻辑性
• 各部分内容有紧密的联系
线性代数
课程安排及考核方式
• 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 • 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90％ 2．平时作业占10％
线性代数
其它要注意的几点
线性代数
本章的主要内容
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆（Cramer）法则
§1.5 数域
线性代数
§1.1
n阶行列式
1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义
线性代数
1.1.1 排列与逆序
•
定义1.1.1
• 课前一定要做好预习 • 课后要认真完成作业 • 有问题要及时问（/google），（答疑时间 和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：
线性代数
第一章 行列式
• 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。
《矩阵论》课件 共39页PPT资料
n
x 1
xi ;
i1
1
x
2
n i1
xi
2 2
;
x
max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2
p
引6理 .1.1 如 果p实 1,q数 1且111,则 对 pq
向 量 范,数1,,n为V的 一 组,V基中 任 一 向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则 是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空 上间 定义的 ab
种 向 量,范 如数 果 存 在 两 无个关与的 正 常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是 数 域 P上 的n维 线 性 空,间 1,,n 为V的 一 组,基 则V中 任 一 向可 量唯 一 地 表 示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又 设 是Pn上 的
i1
向 量 范,数 令 v
x,
则 是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设 是数域 P上n维线性空V上 间的任一
矩阵论 Matrix1-2
( , 1 ) ( , 2 )
k ( , ) k1 ( , 1 ) k2 ( , 2 )
0
3 内积空间的定义
赋予内积的线性空间称为内积空间，记为 [ Vn(F)；(, ) ] ； F = R ，欧氏空间，F = C，酉空间
4 常见的内积空间： [ Rn；(, ) = T ], (T = T ) [ Cn；(, ) = H ], H 为 的共轭转置， [ Cm×n; (A, B) = tr (BHA) ]
证明：循环证法 (1)→(2) →(3) →(4) →(1)
例1 P12 例18 例2 设在Rn×n中，子空间 W1={ A AT =A } ，W2={ B BT= –B }， 试证：Rn×n = W1W2。
证明：(1) 证 Rn×n = W1+W2 A = (A + AT) / 2 + (A – AT) / 2 (2) 证 W1W2 = {0} 若 AT = A, AT = – A, 则 A = 0
“正交补”子空间 (i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F)： U，(, ) = 0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则 U 也是Vn(F) 子空间，称为U的正交补子空间。
(iii) Vn(F)=U U 。
例3 子空间W的“直和补子空间”U: Vn = W U
1.2 内积空间
主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间
的度量关系。 1. ( , ) = (, ) 一、欧氏空间和酉空间 2. (k, ) = k(, ) 1 几何空间中度量的定义基础 (+, ) = (, ) + (, ) 3. (, ) 0; 2 内积的定义 ( , ) = 0 = 0 定义1.7 (P13) ：要点 内积(，)是二元运算：Vn(F) ×Vn(F) F (，)的公理性质（对称性，线性性，正定性） (，)是任何满足定义的运算（映射）。 讨论 (，1＋2), (，k), (，k11＋k22), (0, )
k ( , ) k1 ( , 1 ) k2 ( , 2 )
0
3 内积空间的定义
赋予内积的线性空间称为内积空间，记为 [ Vn(F)；(, ) ] ； F = R ，欧氏空间，F = C，酉空间
4 常见的内积空间： [ Rn；(, ) = T ], (T = T ) [ Cn；(, ) = H ], H 为 的共轭转置， [ Cm×n; (A, B) = tr (BHA) ]
证明：循环证法 (1)→(2) →(3) →(4) →(1)
例1 P12 例18 例2 设在Rn×n中，子空间 W1={ A AT =A } ，W2={ B BT= –B }， 试证：Rn×n = W1W2。
证明：(1) 证 Rn×n = W1+W2 A = (A + AT) / 2 + (A – AT) / 2 (2) 证 W1W2 = {0} 若 AT = A, AT = – A, 则 A = 0
“正交补”子空间 (i) 集合的U的正交集：
U=｛Vn(F)： U，(, ) = 0 ｝
(ii) 若U是Vn(F)的子空间，则 U 也是Vn(F) 子空间，称为U的正交补子空间。
(iii) Vn(F)=U U 。
例3 子空间W的“直和补子空间”U: Vn = W U
1.2 内积空间
主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性空间
的度量关系。 1. ( , ) = (, ) 一、欧氏空间和酉空间 2. (k, ) = k(, ) 1 几何空间中度量的定义基础 (+, ) = (, ) + (, ) 3. (, ) 0; 2 内积的定义 ( , ) = 0 = 0 定义1.7 (P13) ：要点 内积(，)是二元运算：Vn(F) ×Vn(F) F (，)的公理性质（对称性，线性性，正定性） (，)是任何满足定义的运算（映射）。 讨论 (，1＋2), (，k), (，k11＋k22), (0, )
矩阵论复习概要课件.ppt
单位矩阵(m<n)，则
Hn
Hm O
O 是n阶
Inm
Householder矩阵.
2.设Tm是m阶Givens矩阵, In-m是n-m阶单位矩
阵(m<n)，则
Tn
Tm O
I
O
nm
是n阶Givens矩阵.
3.用Householder变换求
1 4 1 1
A
1 1
0 1
1 1
1 1
1 3 1 1
是可逆矩阵，则
1
0
etAdt
(
).
10. 已知
8 A 2
2 5
2 4
,
b(t
)
0 e9t
2 4 5
e9t
(1) 求etA; (2)用矩阵函数的方法求微 分方程 d x(t) Ax(t) b(t) 满足初始条件
dt
x(0)=(0,1,1)T的解.
11. 设X=(xij)nnRnn, 则
1. 判断 1，sinx, cosx 的线性相关性. 2. 若1, 2, …, r线性无关，则向量组1= 1+k1r , 2= 2+k2r , , r= r (kiK)也线性无关.
3. 求向量组
12
((1,21,,11,,10,1))12
(2,1,0,1) (1,1,3,7)
分别生成的子空间的交的基和维数.
4. 设 V1, V2 分别是
V1 (x1, x2 , xn ) x1 x2 xn 0, xi K V2 (x1, x2 , xn ) xi xi1 0, xi K
证明 Kn=V1V2 5. 设 S,A,T分别为Knn中对称，反对称，上三角方
北航 矩阵论 课件 1.3
1,1
1
t2 , f2
f2, f2
f2
t2
t
1 6
单位化得
g1 1,g2 2 3t
3,g3 6
5t 2
t
1 6
性质1 若向量组 x1, x2,, xm 的每一个向量均 与向量 y 正交，则 x1, x2,, xm 的线性组合也与 y 正交.
性质2 设 W为欧式空间 Vn 的子空间，向量y 与W正交 y 与W 的每一基向量正交.
j 1
性质4 (x, y)2 (x, x)(y, y) （Schwars）
性质5 设 x1, x2,, xn是欧式空间V 的一个基，
则对 x,yVn ,都有(x, y) ~x T A~y ，其中~x, ~y
分别是 x,y 在该基下的坐标，A ((xi , xj ))nn . 称 矩阵A 为Vn对于基x1, x2,, xn 的度量矩阵或
且W L( y1, y2 , ynm ) 所以
V n W W
z W W (z, z) 0
z0
W W 0
V n W W
推论 设 W 是欧式空间V n 的子空间，且 W
的维数为m ，则 dimW n m
例 已知R3的子空间W=L(x1,x2),其中
x1=(1,0,1), x2=(1,2,3),求W的一个基.
（14）酉空间 V 的线性变换 T ，如果满足 (Tx, y) (x,Ty), x, y V
则称 T 为 V 的Hermite 变换或酉对称变换.
（15）Hermite 变换在酉空间的标准正交基下
的矩阵 A 是Hermite矩阵，即有 AH A
（16）Hermite 矩阵的特征值都是实数.
（17）属于Hermite矩阵的不同特征值的特征
1
t2 , f2
f2, f2
f2
t2
t
1 6
单位化得
g1 1,g2 2 3t
3,g3 6
5t 2
t
1 6
性质1 若向量组 x1, x2,, xm 的每一个向量均 与向量 y 正交，则 x1, x2,, xm 的线性组合也与 y 正交.
性质2 设 W为欧式空间 Vn 的子空间，向量y 与W正交 y 与W 的每一基向量正交.
j 1
性质4 (x, y)2 (x, x)(y, y) （Schwars）
性质5 设 x1, x2,, xn是欧式空间V 的一个基，
则对 x,yVn ,都有(x, y) ~x T A~y ，其中~x, ~y
分别是 x,y 在该基下的坐标，A ((xi , xj ))nn . 称 矩阵A 为Vn对于基x1, x2,, xn 的度量矩阵或
且W L( y1, y2 , ynm ) 所以
V n W W
z W W (z, z) 0
z0
W W 0
V n W W
推论 设 W 是欧式空间V n 的子空间，且 W
的维数为m ，则 dimW n m
例 已知R3的子空间W=L(x1,x2),其中
x1=(1,0,1), x2=(1,2,3),求W的一个基.
（14）酉空间 V 的线性变换 T ，如果满足 (Tx, y) (x,Ty), x, y V
则称 T 为 V 的Hermite 变换或酉对称变换.
（15）Hermite 变换在酉空间的标准正交基下
的矩阵 A 是Hermite矩阵，即有 AH A
（16）Hermite 矩阵的特征值都是实数.
（17）属于Hermite矩阵的不同特征值的特征
《矩阵论》课件ch1-2-3
(1) V 中零元素是唯一的； (2) V 中任一元素α的负元素是唯一的；
(3) 0 0, k 0 0, (1) ;
(4) 如果k 0, 那么k 0, 或者 0。
利用负元素，定义线1.2.2 设V 是数域P上的线性空间，W 是 V 的一个非空子集，如果对W 中任意两个向 量α，β以及任意 0 ，都有 1 (1 ) W 则称W 是凸集。
1 2 r
1 2 r 1 2 r
rank{1 , 2 ,, s } r
1.2.3 线性空间的维数
定义1.2.7 如果线性空间V 中有 n 个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关向量， 则称V 是 n 维的，记为 dim(V )=n；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维的。 定理1.2.5 如果在线性空间V 中有 n 个线性无 关的向量 1 , 2 ,, n，并且V 中任一 向量都 可由 1 , 2 ,, n 线性表示，则dim(V )=n。
1 t111 t21 2 tn1 n t t t 2 12 1 22 2 n2 n n t1n1 t2 n 2 tnn n
(1.3.3)
( '1 , ' 2 ,, ' n ) t11 t ( 1 , 2 ,, n ) 21 t n1 t12 t 22 tn2 t1n t 2n t nn
(1) ； (2) ( ) ( );
(3) 在V中有一个元素 (称为零元素 对于V中任 0 ), 一元素都有 0 ; (4) 对于V中每一个元素 , 都有V中的元素使得
(3) 0 0, k 0 0, (1) ;
(4) 如果k 0, 那么k 0, 或者 0。
利用负元素，定义线1.2.2 设V 是数域P上的线性空间，W 是 V 的一个非空子集，如果对W 中任意两个向 量α，β以及任意 0 ，都有 1 (1 ) W 则称W 是凸集。
1 2 r
1 2 r 1 2 r
rank{1 , 2 ,, s } r
1.2.3 线性空间的维数
定义1.2.7 如果线性空间V 中有 n 个线性无关 的向量，但是没有更多数目的线性无关向量， 则称V 是 n 维的，记为 dim(V )=n；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量，则称 V 是无限维的。 定理1.2.5 如果在线性空间V 中有 n 个线性无 关的向量 1 , 2 ,, n，并且V 中任一 向量都 可由 1 , 2 ,, n 线性表示，则dim(V )=n。
1 t111 t21 2 tn1 n t t t 2 12 1 22 2 n2 n n t1n1 t2 n 2 tnn n
(1.3.3)
( '1 , ' 2 ,, ' n ) t11 t ( 1 , 2 ,, n ) 21 t n1 t12 t 22 tn2 t1n t 2n t nn
(1) ； (2) ( ) ( );
(3) 在V中有一个元素 (称为零元素 对于V中任 0 ), 一元素都有 0 ; (4) 对于V中每一个元素 , 都有V中的元素使得
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
矩阵论简明教程整理全PPT课件
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
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推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
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§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
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§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
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2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
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三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1 , , en , 令 Te j a1 j e1 anj en ,1 j n, 采用矩阵记法: T(e1 , , en )=(Te1 , , Ten )=(e1 , , en )A, a11 a21 这里，A= an1 a12 a1n a22 a2 n (aij ) nn F nn . an 2 ann
Hale Waihona Puke 取定V的一组基e1 , , en , 设T(e1 , , en )=(e1 , , en )A, 设T =0 ( ), =(e1 , , en ) , F n , 则 T =T(e1 , , en ) =(e1 , , en )A =0 =0 (e1 ,, en ) , 所以A =0 ,即 (0 I-A) =0, 0，(*) 从而|0 I-A|=0.故引入下列定义:
0 x
D : C [a,b] C[a,b],
(1)
D( f ( x)) f '( x), f ( x) C [a,b].
(1)
二、核、像空间，亏加秩定理
设V,W为F上线性空间,令L(V,W)表示所有V到W的线性 映射的集合，设T L(V,W), 令
N (T ) {x V | Tx }, R(T ) Im(T ) { y W | y Tx, x V }.
定理6 : 相似矩阵有相同的特征多项式及特征值，反之不然. 设P -1AP=B, 则 | I-B|=| I-P -1AP|=|P -1 ( I-A)P| =|P -1 | ( I-A)|P|= | ( I-A)|. 1 1 1 0 2 反例:A= , I , A 与 I 的特征多项式均为 ( 1) , 2 2 0 1 0 1 但它们不相似. 注1: 定理表明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取 无关，而直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特 征多项式.
设A的所有相异的特征值为1 , , r , i的重数为ni , 即 f( ) ( 1 ) n1 ( 2 ) n2 ( r ) nr , 这里, ni =n. 则A的最小多项式为
i 1 r
Schur引理：
定理7 : 任意的A C nn , 都相似于一个上三角阵，即存在 满秩阵P, 使P 1AP为上三角阵，其对角上元为A的全部特 征值. 推论 设A的n个特征值为1 , , n , ( x)为任一多项式，
则矩阵多项式 (A)的n个特征值为 (1 ), , (n ). 特别的,kA的特征值为k 1 , , k n , Am 特征值为1m , , nm .
例4 平面反射变换T：R 2 R 2，x ( x1, x2 ) R 2，有 Tx=T( x1 , x2 ) ( x1 ,- x2 ).
例5 投影变换T：R 3 R 3，( x, y, z) R 3，有 T( x, y, z) ( x, y,0).
例6 微分算子和积分算子. S : C[a,b] C[a,b], S ( f ( x)) f (t )dt , f ( x) C[a,b].
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且 dimN(T)+dimR(T)= dim V 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
例2 伸缩变换：取定k 0, 令 T： R 3 R 3， Tx=kx,x R 3 . T 将R 3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2） , x ( x1 , x2 ) sin . cos cos 令 Tx=T( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) sin
定理3 L(V,V) Fnn .
注1: 若对L(V,V)引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成 (连续作用):(T1T2 ) x T1(T2 x), 则有L(V,V)与Fnn作为F上的环 (或代数)同构, 从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了 其全部信息. 注2: 定理3的结构可推广到一般形式: L(V,W) Fnm .
定理4 V W dimV dimW .
推论1：任一实(复)n维线性空间均与R n (C n )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimF nm nm. 特别的, dimL(V，V)=n 2 . 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A F nn , 令N(A)={ F n |A 0},R(A)={ F n | =A , F n }, 则1)dimN(T)=dimN(A); 2)dimR(T)=dimR(A)=r(A); 3)(亏加秩)dimN(A)+dimR(A)=n.
第二节
一、定义
线性变换和矩阵
设V,W是域F上的线性空间，映射T：V W有 以下性质：， F，x, y V，有T( x y ) Tx Ty, 称T为V到W的一个线性映射.特别 当V=W时，T为V到自身的线性映射，称T为V上 的线性变换.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
定义 : 设A=(aij ) nn F nn , 为一参量, A的特征矩阵 I-A 的行列式
-a11
a21 | I-A|= -an1
a12 -an 2
a1n
-a22 -a2 n
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应 于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2) 是T的特征向量 是A的特征向量, 这里，
定理8 : ( Hamilton Cayley )设A C nn , 其特征多项式为 f( )=|I-A|,则必有f(A)=0(零矩阵). 证明：设f( ) ( 1 )( 2 ) ( n ), 及 * 1 P -1AP= ,则 0 n P -1 f (A)P f (P -1AP) (P -1AP 1 I ) (P -1AP n I ) 0 故f (A)=0.
定理9 : A的特征多项式f( )与最小多项式m A ( )有 相同的根(不计重数). 证明：由 m A ( )|f ( )知最小多项式m A ( )的根是A 的特征根反之 . , 若f (0 )=0, 设 是属于0的特征根， 即A =0 , 从而 0=m A (A) =m A (A )=m A (0 )=m A (0 ) , 而 0，故m A (0 )=0.
注2 : A的特征多项式f ( ) | I A | 是一个首1的多项式， 其n 1次系数是-( i ) -( aii ) tr ( A)( A的迹); 常数
i 1 i 1 n n
项为(-1)n | A |(-1)n in1i . 一般的，n k 项系数为A的所有k级主式子的和，乘以(-1)k .
=(e1 , , en ) .
3) A的属于0的全部特征向量再添上零向量就构成 了Fn的一个线性子空间，称为A的一个特征子空间， 记为E(0 ), 它就是齐次线性方程组(0 I A)X=0的 解空间.
求矩阵A的全部特征值及特征向量的步骤：
1)计算行列式| I-A|; 2)求出多项式f( )=| I-A|在数域F中的全部根 (即A的特征值); 3)对A的每个特征值i，解齐次线性方程组(i I A)X=0, 求出它的一组基础解系1 , , t , 则A的属于i的全部特征 向量为k11 k 2 2 kt t , i F n , ki不全为零. 注:T的属于i的特征向量为i (e1 , , en ) i (1 i t ), 从属于i而全部特征向量为k11 k 2 2 kt t .ki不全 为零.
由空间结构和T的线性性质，T由Te1, …,Ten完全 确定，故由T唯一确定一个矩阵A， 定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵. 如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dim V n, e1 , , en为V的一组基，任取 A=(aij ) nn F nn , 则有且仅有一个线性变换T L(V , V ), 使其矩阵恰为A.
同构：设V,W是F的线性空间，若存在f：V W,满足： 1)f是一一到上(双射)的映射, 2)f保持运算,即 , F , x, y V , 有f( x y ) =f(x） f ( y ), 则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
注1: 由于L(V,V) Fnn , 故对于线性变换T有平行的结果 : T L(V,V), 且f ( )为T的特征多项式，则f (T)为零变换. 注2: Cayley定理对于一般数域F的矩阵也成立.
由Cayley定理可知，任取矩阵A，必有可使其零化的 多项式，引入:
定义 : 设A Fnn , 使A零化的最小次数的首1多项式称为 A的最小多项式，记为 m A ( ). 注：m A ( )是唯一的, 且可整除任一A的零化多项式.特别 地，有 m A ( )|f ( ) | I A | .
注1: 特征值与特征向量是否存在依赖于V所在的数域F，
1 0 1 2 如矩阵 的特征多项式为 f ( ) 1. 1 1 0
注2 : 当 dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机. 注3 : E (i ) { X F n | (i I-A) X 0} N (i I-A)(解空间).由 亏加秩定理有r (i I-A) dim N (i I-A) n, 所以E (i )的维数为 dim E (i ) n r (i I-A) 称为i的几何重数.