北航矩阵论课件1.2

定义 : 设A=(aij ) nn F nn , 为一参量, A的特征矩阵 I-A 的行列式
-a11
a21 | I-A|= -an1
a12 -an 2

a1n
-a22 -a2 n
-ann
的展开式是的一个n次多项式, 其根为A的特征值, 而相应 于(*)式的非零解向量 称为A的属于0的特征向量. 注:1)0是T的特征值 0是A的特征值. 2) 是T的特征向量 是A的特征向量, 这里，
定理6 : 相似矩阵有相同的特征多项式及特征值，反之不然. 设P -1AP=B, 则 | I-B|=| I-P -1AP|=|P -1 ( I-A)P| =|P -1 | ( I-A)|P|= | ( I-A)|. 1 1 1 0 2 反例:A= , I , A 与 I 的特征多项式均为 ( 1) , 2 2 0 1 0 1 但它们不相似. 注1: 定理表明，线性变换的矩阵的特征多项式与基的选取 无关，而直接由线性变换决定，故可称之为线性变换的特 征多项式.
三、线性变换的矩阵和线性空间 的同构
设 dim V=n, T L(V,V),取定V上的一组基e1 , , en , 令 Te j a1 j e1 anj en ,1 j n, 采用矩阵记法: T(e1 , , en )=(Te1 , , Ten )=(e1 , , en )A, a11 a21 这里，A= an1 a12 a1n a22 a2 n (aij ) nn F nn . an 2 ann
由空间结构和T的线性性质，T由Te1, …,Ten完全 确定，故由T唯一确定一个矩阵A， 定义：称A为T在基 e1, …,en在下的矩阵简称A为T 的矩阵. 如果取定V的一组基，对于任意的V上的线性变 换T，则唯一确定一个矩阵A，反之如何？
定理2：设 dim V n, e1 , , en为V的一组基，任取 A=(aij ) nn F nn , 则有且仅有一个线性变换T L(V , V ), 使其矩阵恰为A.
定理9 : A的特征多项式f( )与最小多项式m A ( )有 相同的根(不计重数). 证明：由 m A ( )|f ( )知最小多项式m A ( )的根是A 的特征根反之 . , 若f (0 )=0, 设 是属于0的特征根， 即A =0 , 从而 0=m A (A) =m A (A )=m A (0 )=m A (0 ) , 而 0，故m A (0 )=0.
第二节
一、定义
线性变换和矩阵
设V,W是域F上的线性空间，映射T：V W有 以下性质：， F，x, y V，有T( x y ) Tx Ty, 称T为V到W的一个线性映射.特别 当V=W时，T为V到自身的线性映射，称T为V上 的线性变换.
例1 恒等变换 T：V V，Tx=x,x V. 零变换 T：V V，Tx=0,x V.
定理8 : ( Hamilton Cayley )设A C nn , 其特征多项式为 f( )=|I-A|,则必有f(A)=0(零矩阵). 证明：设f( ) ( 1 )( 2 ) ( n ), 及 * 1 P -1AP= ,则 0 n P -1 f (A)P f (P -1AP) (P -1AP 1 I ) (P -1AP n I ) 0 故f (A)=0.
=(e1 , , en ) .
3) A的属于0的全部特征向量再添上零向量就构成 了Fn的一个线性子空间，称为A的一个特征子空间， 记为E(0 ), 它就是齐次线性方程组(0 I A)X=0的 解空间.
求矩阵A的全部特征值及特征向量的步骤：
1)计算行列式| I-A|; 2)求出多项式f( )=| I-A|在数域F中的全部根 (即A的特征值); 3)对A的每个特征值i，解齐次线性方程组(i I A)X=0, 求出它的一组基础解系1 , , t , 则A的属于i的全部特征 向量为k11 k 2 2 kt t , i F n , ki不全为零. 注:T的属于i的特征向量为i (e1 , , en ) i (1 i t ), 从属于i而全部特征向量为k11 k 2 2 kt t .ki不全 为零.
注1: 由于L(V,V) Fnn , 故对于线性变换T有平行的结果 : T L(V,V), 且f ( )为T的特征多项式，则f (T)为零变换. 注2: Cayley定理对于一般数域F的矩阵也成立.
由Cayley定理可知，任取矩阵A，必有可使其零化的 多项式，引入:
定义 : 设A Fnn , 使A零化的最小次数的首1多项式称为 A的最小多项式，记为 m A ( ). 注：m A ( )是唯一的, 且可整除任一A的零化多项式.特别 地，有 m A ( )|f ( ) | I A | .
例2 伸缩变换：取定k 0, 令 T： R 3 R 3， Tx=kx,x R 3 . T 将R 3中任一向量拉伸(k>1)或 压缩(k<1)k倍.
例3 平面旋转变换：取定 （0,2） , x ( x1 , x2 ) sin . cos cos 令 Tx=T( x1 , x2 ) ( x1 , x2 ) sin
定理3 L(V,V) Fnn .
注1: 若对L(V,V)引入乘法:两个变换的乘积为变换的合成 (连续作用):(T1T2 ) x T1(T2 x), 则有L(V,V)与Fnn作为F上的环 (或代数)同构, 从而矩阵作为线性变换的数学表现形式包含了 其全部信息. 注2: 定理3的结构可推广到一般形式: L(V,W) Fnm .
设A的所有相异的特征值为1 , , r , i的重数为ni , 即 f( ) ( 1 ) n1 ( 2 ) n2 ( r ) nr , 这里, ni =n. 则A的最小多项式为
i 1 r
注1: 特征值与特征向量是否存在依赖于V所在的数域F，
1 0 1 2 如矩阵 的特征多项式为 f ( ) 1. 1 1 0
注2 : 当 dim V=n很大时，上述求法太繁琐，可借助于计算机. 注3 : E (i ) { X F n | (i I-A) X 0} N (i I-A)(解空间).由 亏加秩定理有r (i I-A) dim N (i I-A) n, 所以E (i )的维数为 dim E (i ) n r (i I-A) 称为i的几何重数.
定理5 设T L(V,V),则T在不同基下的矩阵相似.
四、特征值与特征向量
定义 设T L(V,V),若存在0 F及V的非零向量 , 使得T =0 , 则称0为T的一个特征值,而 为T的属 于特征值0的一个特征向量.
注：特征向量在线性变换作用下保持方位不变 (在同一直线上) .
wenku.baidu.com 同构：设V,W是F的线性空间，若存在f：V W,满足： 1)f是一一到上(双射)的映射, 2)f保持运算,即 , F , x, y V , 有f( x y ) =f(x） f ( y ), 则称V与W同构，记为V W.
同构的线性空间具有完全一致的空间结构和各种运 算规律，故可视为一个空间.
易验证N(T)为V的子空间，R(T)为W的子空间，称N(T) 及R(T)为T的核空间和像空间.并称dimN(T)为T的零度 (或亏)，dimR(T)为T的秩，一般有以下定理：
定理1(亏加秩定理)设T L(V,W), V为有限维， 则N(T)及R(T)均为有限维，且 dimN(T)+dimR(T)= dim V 即T的亏加秩等于其定义域的维数.
取定V的一组基e1 , , en , 设T(e1 , , en )=(e1 , , en )A, 设T =0 ( ), =(e1 , , en ) , F n , 则 T =T(e1 , , en ) =(e1 , , en )A =0 =0 (e1 ,, en ) , 所以A =0 ,即 (0 I-A) =0, 0，(*) 从而|0 I-A|=0.故引入下列定义:
Schur引理：
定理7 : 任意的A C nn , 都相似于一个上三角阵，即存在 满秩阵P, 使P 1AP为上三角阵，其对角上元为A的全部特 征值. 推论 设A的n个特征值为1 , , n , ( x)为任一多项式，
则矩阵多项式 (A)的n个特征值为 (1 ), , (n ). 特别的,kA的特征值为k 1 , , k n , Am 特征值为1m , , nm .
0 x
D : C [a,b] C[a,b],
(1)
D( f ( x)) f '( x), f ( x) C [a,b].
(1)
二、核、像空间，亏加秩定理
设V,W为F上线性空间,令L(V,W)表示所有V到W的线性 映射的集合，设T L(V,W), 令
N (T ) {x V | Tx }, R(T ) Im(T ) { y W | y Tx, x V }.
推论：L(V,V)与Fn ×n之间存在一一对应关系. 命题：L(V) = L(V,V)是线性空间，引入L(V,V)中的 运算： (T1 T2 ) x T1 x T2 x, T1 , T2 L(V ,V );
(T ) x Tx, F , x V .
易验证L(V,V)是F上的一个线性空间，即线性变 换空间，
定理4 V W dimV dimW .
推论1：任一实(复)n维线性空间均与R n (C n )同构. 推论2：dimL(V,W)=dimF nm nm. 特别的, dimL(V，V)=n 2 . 推论3: 设dimV=n,T L(V，V),T的矩阵为A F nn , 令N(A)={ F n |A 0},R(A)={ F n | =A , F n }, 则1)dimN(T)=dimN(A); 2)dimR(T)=dimR(A)=r(A); 3)(亏加秩)dimN(A)+dimR(A)=n.
注2 : A的特征多项式f ( ) | I A | 是一个首1的多项式， 其n 1次系数是-( i ) -( aii ) tr ( A)( A的迹); 常数
i 1 i 1 n n
项为(-1)n | A |(-1)n in1i . 一般的，n k 项系数为A的所有k级主式子的和，乘以(-1)k .
例4 平面反射变换T：R 2 R 2，x ( x1, x2 ) R 2，有 Tx=T( x1 , x2 ) ( x1 ,- x2 ).
例5 投影变换T：R 3 R 3，( x, y, z) R 3，有 T( x, y, z) ( x, y,0).
例6 微分算子和积分算子. S : C[a,b] C[a,b], S ( f ( x)) f (t )dt , f ( x) C[a,b].