7.2多因素方差分析模型入门
多因素方差分析
目的：比较多个因素对因变量 的影响程度，确定显著因素
应用场景：如心理学、经济学、 社会学等领域的实验数据分析 和调查数据分析
数据清洗：去除 异常值、缺失值 和重复值
数据转换：对数 据进行标准化、 归一化或中心化 处理
描述性统计：计 算各因素的平均 值、标准差、偏 度、峰度等统计 指标
数据可视化：制 作箱线图、直方 图等图表，直观 展示数据分布情 况
构建模型：根据研究目的和数据特征，选择合适的方差分析模型，包括单因素方 差分析、多因素方差分析和协方差分析等。
检验各因素间的交互作用
检验模型假设是否满足
进行方差分析并解释结果
描述统计：对各组数据的均值、方差等统计指标进行描述。 检验假设：检验各组数据之间是否存在显著性差异。 因素分析：分析各因素对数据的影响程度。 结论：根据分析结果得出结论，并给出相应的建议或策略。
PART FOUR
正态性检验：确保数据符合正态分布，可以使用图形或统计检验方法进行验证。
考虑交互效应：在多因素方差分析中，需要考虑交互效应对结果的影响，这可以通过在模型中添加交互项来实现。
控制其他因素：在多因素方差分析中，需要注意控制其他潜在因素的影响，以确保结果的准确性和可靠性。
结果解释：正 确理解各因素 对结果的影响 程度和显著性
结果解释：注 意结果的稳健
性和可靠性
报告撰写：清 晰明了地呈现 分析过程和结
检验假设：在模型构建后，需要检验各组之间是否存在显著差异，即检验假设是 否成立。常用的检验方法有F检验和Welch's F检验等。
多因素方差分析 ppt课件
a
Intercept A B A* B Error Total Corrected Total
5695952.667 1040000.667 87604.167 85681.500 136387.000 7045626.000 1349673.333
ppt课件 2
复 习
2.某军区总医院欲研究A、B、C三种减肥药物对家
兔体重的影响，将36只家兔随机分为三组，均喂 以高脂饮食，其中三个试验组，分别给予不同的 减肥药物，一定时间后测定家兔体重,问四组家兔 体重是否相同？（减肥.sav）(因素，输入）
ppt课件 3
为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将30只纯种
ppt课件
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析因设计的方差分析
流行病学与卫生统计学教研室 ppt课件
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析 因 设 计 析因实验设计是将每个因素的所有水平都互相组合， 的 交叉分组进行实验，可寻找最佳组合。 方 差 分 析
ppt课件
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析 因 设 计 的 方 差 分 析
2×2析因例题
利血平可以使小鼠脑中去甲肾上腺素（NE） 等递质下降，现考察某种新药 MWC 是否具 有对抗利血平使递质下降的作用，将24只小 鼠随机等分为四组，并给予不同处理后，测 定脑中NE的含量。
ppt课件
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重复测量资料的方差分析
分析实例（重复测量资料） 为评价某试验药物与对照药物对慢性乙肝患者谷丙
转氨酶（ ALT ）影响，根据统一标准收治 20 名患者
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式
多因素方差分析公式了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析公式——了解多因素方差分析的计算公式多因素方差分析是一种统计方法，用于分析多个因素对观察结果的影响。
它通过比较不同因素水平下的观察值差异来判断这些因素对实验结果的影响程度。
在多因素方差分析中，我们需要了解与计算一些重要的公式。
1. 多因素方差分析的总平方和（SS_total）公式：SS_total = SS_between + SS_within其中，SS_total是总平方和，表示所有观测值与总均值之间的偏离程度；SS_between是组间平方和，表示不同因素水平下的观测值与总均值之间的偏离程度；SS_within是组内平方和，表示同一因素水平下的观测值与该水平下的均值之间的偏离程度。
2. 多因素方差分析的组间平方和（SS_between）公式：SS_between = ∑(ni * (μi - μ)²)其中，ni是第i组的观测值个数，μi是第i组观测值的均值，μ为所有观测值的总均值。
3. 多因素方差分析的组内平方和（SS_within）公式：SS_within = ∑∑((Xij - μi)²)其中，Xij表示第i组的第j个观测值，μi为第i组观测值的均值。
4. 多因素方差分析的组间平均平方（MS_between）公式：MS_between = SS_between / (k - 1)其中，k为不同因素水平的个数。
5. 多因素方差分析的组内平均平方（MS_within）公式：MS_within = SS_within / (N - k)其中，N为总观测值的个数。
6. 多因素方差分析的F统计量公式：F = MS_between / MS_withinF统计量用于判断不同因素水平的均值之间的差异是否显著。
若F 值大于某个临界值，则认为不同因素水平的均值存在显著差异。
通过以上公式，我们可以计算出组间平方和、组内平方和、组间平均平方、组内平均平方和F统计量，从而进行多因素方差分析。
多因素方差分析的重要公式解析
多因素方差分析的重要公式解析在统计学中，方差分析是一种重要的统计分析方法，用于检验多个变量对于一个因变量的影响是否显著。
而多因素方差分析则是对多个自变量对因变量产生的影响进行分析和比较。
在进行多因素方差分析时，我们需要了解和掌握一些重要的公式，以便正确、准确地进行分析和研究。
一、总平方和（SS_T）总平方和是指因变量的总变异程度，它包括各个观测值与所有观测值的平均值之差的平方和。
总平方和可以用以下公式来计算：SS_T = Σ((X_ij - X_bar)^2)其中，X_ij表示第i个处理条件下的第j个观测值，X_bar表示全部观测值的平均值，Σ表示求和。
二、因素平方和（SS_A、SS_B、SS_AB、SS_E）在多因素方差分析中，我们通常需要考虑多个因素对因变量的影响。
因素平方和是指各个因素对总平方和的贡献，可以用以下公式来计算：SS_A = n * Σ((X_bar_i - X_bar)^2)SS_B = m * Σ((X_bar_j - X_bar)^2)SS_AB = Σ((X_ij - X_bar_i - X_bar_j + X_bar)^2)SS_E = SS_T - SS_A - SS_B - SS_AB其中，n表示第一个自变量的水平数，m表示第二个自变量的水平数。
三、均方（MS_A、MS_B、MS_AB、MS_E）均方是指因素平方和除以相应的自由度。
均方可以用以下公式来计算：MS_A = SS_A / df_AMS_B = SS_B / df_BMS_AB = SS_AB / df_ABMS_E = SS_E / df_E其中，df_A、df_B、df_AB、df_E分别代表因素A、因素B、交互作用AB和误差的自由度。
四、F值（F_A、F_B、F_AB）F值是用来判断各个因素是否对因变量的影响具有统计显著性。
F 值可以用以下公式来计算：F_A = MS_A / MS_EF_B = MS_B / MS_EF_AB = MS_AB / MS_E根据所得的F值，我们可以参照F分布表，找出对应的临界值，从而判断因素的显著性。
7.2 完全随机与随机区组设计的方差分析
第七章 方差分析基础方差分析基础二、完全随机与随机区组设计资料的方差分析完全随机设计资料方差分析概述n完全随机设计（completely randomized design） 是将同质的受试对象随机地分配到各处理组，再观察其 实验效应。
完全随机设计是最常见的研究单因素两水平或多水平的 实验设计方法，属单向方差分析(oneway ANOVA)。
以上一节的例1为例完全随机设计资料方差分析的一般步骤 (1) 建立检验假设，确定检验水准: 0 H 三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水 平相同。
: 1 H 三组不同喂养方式下大白鼠体重改变的总体平均水平不全相同。
05. 0 = a(2) 计算检验统计量表1 例1资料的方差分析表变异来源 SS df MS F P 总变异 47758.32 35组间（处理组间） 31291.67 2 15645.83 31.36 <0.001 组内（误差） 16466.65 33 498.99(3) 确定P值并作出推断结论查F 界值表，得 。
由F = 31.36，查表得到P < 0.01。
按 水准，差别 有统计学意义，可以认为三组不同喂养方式下大白鼠体重 改变的总体平均水平不全相同，即三个总体均数中至少有 两个不等。
05 . 0 = a 34 . 5 29 . 3 32 , 2 01 . 0 32 , 2 05 . 0 = = ）（ ） （ ，F F随机区组设计资料方差分析概述n随机区组设计（randomized block design）又称配伍组设计，通常是将受试对象按性质(如动物的 窝别、体重等非实验因素)相同或相近者组成b个区组(配 伍组)，每个区组中的受试对象分别随机分配到k个处理 组中去。
随机区组设计资料方差分析的例子例2 为探索丹参对肢体缺血再灌注损伤的影响，将30只纯种 新西兰实验用大白兔，按窝别相同分为10个区组。
每个区 组的3只大白兔随机接受三种不同的处理，即在松止血带前 分别给予丹参2ml/kg、丹参1ml/kg、生理盐水2ml/kg，并分 别测定松止血带前及松后1小时后血中白蛋白含量(g/L)，算 出白蛋白的减少量如表2所示。
概率论 高等院校概率论课件JXHD7-2
§7.2 多因素方差分析Variance analysis of multiple factor 建立模型参数估计统计检验7-1一.建立模型设A 、B 为两个因子,A 有k 个水平1A ，2A ，k A ， ,B 有r 个水平r B B B ，，， 21，两个因子共有kr 个水平组合j i B A （k i ,,3,2,1 =；r j ,,3,2,1 =）。
设对每一个水平组合j i B A 做了n 次试验（这里只讨论每个水平所作试验次数相同的情形），试验结果为ijn ij ij y y y ,,,21 （k i ,,3,2,1 =；r j ,,3,2,1 =）。
假定对水平组合j i B A 试验结果的理论值为ij μ，即ijl Ey =ij μ，则ijl y 可分解为modelingijl ij ijl y εμ+= k i ,,3,2,1 =；r j ,,3,2,1 =； n l ,,2,1 = （7-9）其中ijl ε为试验误差，它是一个随机变量。
ijl ε（k i ,,3,2,1 =；r j ,,3,2,1 =；n l ,,2,1 =）独立同分布)0(2σ，N 。
通常假定为了反映因子A 、B 的水平变化对试验结果影响的大小，将ij μ再进行分解，记∑∑===ki rj ijkr 111μμ∑==rj ij i r 11μμ(k i ，，，21=) （7-10） ∑==ki ij j k v 11μ(r j ，，，21=) （7-11） 于是有=ij μ+μ+-)(μμi +-)(μj v )(μμμ+--j i ij v μ=ˆ++i α+j βijγ其中，i α=μμ-i ，j β=μ-j v ，ij γ=μμμ+--j i ij v ，不难验证：∑=ki i 1α=0， ∑==rj j 10β， ∑∑====ki rj ij ij 110γγ，两个因素方差分析的一般数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⋅⋅==++++=∑∑∑∑====,,1,,1,,1),0( 0= 0= 0,2111r 1j n l r j k i dN i i y ijl k i k i r j ij ij j i ijl ij j i ijl ；；，，，，σεγγβαεγβαμ（7-12）需要解决如下问题：（1）估计未知参数μ，i α，j β，ij γ（n l r j k i ,,1,,1,,1 ===；；）；（2）考察因子A 和因子B 的水平变化对试验结果的影响有无显著差异，以及因子A 和因子B 有无交互作用，归结为下述三个假设检验：需要解决如下问题：（1）估计未知参数μ，i α，j β，ij γ（n l r j k i ,,1,,1,,1 ===；；）；（2）考察因子A 和因子B 的水平变化对试验结果的影响有无显著差异，以及因子A 和因子B 有无交互作用，归结为下述三个假设检验：02101====k H ααα ：； 02110====r H βββ ：；：11H ij γ=0，r j k i ,,1,,1 ==；。
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
多因素方差优秀课件
多因素方差分析不仅需要分析 多个控制变量独立作用对观察变 量的影响，还要分析多个控制变 量交互作用对观察变量的影响， 及其他随机变量对结果的影响。 因此，它需要将观察变量总的离 差平方和分解为3个部分：
多个控制变量单独作用引起的平 方和； 多个控制变量交互作用引起的离 差平方和； 其他随机因素引起的离差平方和。
以上F统计量服从F分布。SPSS将自 动计算F值，并根据F分布表给出相应 的相伴概率值。
6.2 SPSS中实现过程
研究问题
表6-1
三组不同性别学生的数学成绩
人名 hxh yaju yu shizg hah s watet jess wish
2_new1 2_new2 2_new3 2_new4 2_new5 2_new6 2_new7 2_new8 2_new9
组别
多个比较 因变量: 数学
(I) 组别 (J) 组别 均值差值 (I-J)
标准 误差
Sig. 95% 置信区间
LSD .00 1.00 34.6667* 2.00 12.8333*
1.00 .00 -34.6667* 2.00 -21.8333*
2.00 .00 -12.8333* 1.00 21.8333*
同类子集
数学
组别 N 子集
123
Student-Newman-Keulsa,b 1.00 6
58.5000
2.00 6
80.3333
.00 6
93.1667
Sig.
1.000 1.000 1.000
已显示同类子集中的组均值。
基于观测到的均值。
误差项为均值方 (错误) = 54.192。
a. 使用调和均值样本大小 = 6.000。
【管理】方差分析-教案
方差分析教案章节一：方差分析简介1.1 方差分析的概念方差分析的定义方差分析的应用场景1.2 方差分析的数学原理方差的定义离差平方和与总平方和的计算1.3 方差分析的假设条件随机样本的独立性正态分布同方差性章节二：单因素方差分析2.1 单因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值2.2 单因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件2.3 单因素方差分析的应用案例比较不同品牌的广告效果分析不同地区的销售数据章节三：多因素方差分析3.1 多因素方差分析的类型完全随机设计方差分析随机区组设计方差分析析因设计方差分析3.2 多因素方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算总平方和、组内平方和和组间平方和计算F统计量和P值3.3 多因素方差分析的判断标准F统计量的分布P值的含义拒绝原假设的条件章节四：协方差分析4.1 协方差分析的概念协方差的定义协方差分析的目的4.2 协方差分析的步骤数据收集与整理计算各组的均值和方差计算协方差计算F统计量和P值4.3 协方差分析的应用案例分析不同年龄段、性别的销售数据研究不同治疗方法的疗效差异章节五：方差分析的软件操作5.1 SPSS软件进行方差分析SPSS软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析操作步骤5.2 R软件进行方差分析R软件的安装与操作界面数据导入与变量设置方差分析函数与步骤章节六：重复测量的方差分析6.1 重复测量方差分析的概念重复测量设计的定义重复测量方差分析的目的6.2 重复测量方差分析的步骤数据收集与整理计算各时间点的均值和方差计算重复测量误差方差计算组间平方和和组内平方和计算F统计量和P值6.3 重复测量方差分析的应用案例研究药物在不间点的疗效差异分析学生在不同学期间的学业成绩变化章节七：非参数方差分析7.1 非参数方差分析的概念非参数方差分析的定义非参数方差分析的适用场景7.2 非参数方差分析的方法秩和检验中位数比较非参数方差分析软件操作7.3 非参数方差分析的应用案例比较两个独立样本的成绩分布章节八：方差分析的扩展8.1 方差分析的衍生方法协方差结构分析多维方差分析混合效应模型分析8.2 方差分析的改进方法加权最小二乘法广义估计方程贝叶斯方差分析8.3 方差分析在实际应用中的挑战数据不符合正态分布样本量较小缺失数据处理章节九：方差分析的实践应用9.1 方差分析在市场营销中的应用产品定价策略分析广告投放效果评估客户满意度调查分析9.2 方差分析在医学研究中的应用临床试验疗效分析疾病危险因素分析医疗质量评估9.3 方差分析在其他领域的应用教育领域：比较不同教学方法的成效农业领域：分析不同种植方法的产量差异章节十：方差分析的评估与报告10.1 方差分析的结果评估统计显著性判断效应大小评估结果稳定性分析报告结构与内容结果呈现与解释局限性与建议重点和难点解析重点环节一：方差分析的假设条件方差分析的假设条件是正态分布、同方差性和随机样本独立性。
多因素方差分析
∑ ai = ∑ b j = 0
i =1 j =1
I
J
∑ cij = 0 ∀j
i =1
I
∑c
j =1
J
ij
= 0 ∀i
目的是估计或检验
的分布参数 、 和 的值。
明确假设检验问题
表述三个平方和假设，确保所有的 ， ， 都是 0：
在数据平方和的基础上得到检验统计量。
平方和计算
定义处理均值和总样本平均值：
练习：双因素 相关的 函数：norm
2003 年
最后修改日期 2003 年 10 月 8 日
双因素 来源 因素 A
表 SS SSA df νΑ = I 1 因素 B AB相互 作用 误差 SSB νΒ = J 1 SSAB νΑΒ = (I-1)(J-1) SSE νΕ = IJ(K-1) 总和 SST νΤ = IJK-1 MS MSA= SSA/νΑ MSB= SSB/νΒ MSAB= SSAB/νΑΒ MSE= SSE/νΕ F FA = MSA/MSE FB = MSB/MSE FAB = MSAB/MSE p p= 1-FF ,νΑ,νE(F ) p= 1-FF ,νB,νE(F ) p= 1-FF ,νAB,νE(F )
是由处理组合 描述 为：
得到的样本容量为 K 的随机样本。 用双因素模型
＝未知的
的平均值（对于所有的 k）
未知的总平均值（所有 的平均数） 未知，因素 A 的主要影响 未知，因素 B 的主要影响 未知，因素 A 和因素 B 的相互作用 处理 i 和副本 j 的参差 对于所有的 注意：只有当复本数量 K>1 时，才能将 约束条件： 和 区分开。
第 21 课 多因素方差分析
多因素模型
多因素方差分析的重要公式整理
多因素方差分析的重要公式整理在多因素方差分析中，有几个重要的公式需要整理和掌握。
这些公式帮助我们计算和分析数据，以揭示多个因素对于变量的影响程度和统计显著性。
以下是一些关键的多因素方差分析公式：1. 总变异公式（Total Variation Formula）：总变异 = 组间变异 + 组内变异这个公式表示了数据总体的变异程度，通过将组间变异与组内变异相加得出。
组间变异是不同处理（或因素）之间的变异，组内变异则是同一处理（或因素）下不同观测值之间的变异。
2. 组间变异公式（Between-group Variation Formula）：组间变异= Σ(每组均值 - 总体均值)² * 每组样本数组间变异衡量了不同处理（或因素）之间的差异程度。
这个公式将每组均值与总体均值之间的差的平方值与每组样本数相乘，然后将这些乘积相加，以获得总的组间变异。
3. 组内变异公式（Within-group Variation Formula）：组内变异= Σ(每个观测值 - 对应组均值)²组内变异表示了同一处理（或因素）下不同观测值之间的差异。
这个公式将每个观测值与对应组均值之间的差的平方值相加，以获得总的组内变异。
4. 均方（Mean Square）：组间均方 = 组间变异 / 自由度（组间）组内均方 = 组内变异 / 自由度（组内）均方是组间变异和组内变异除以自由度得到的。
自由度在多因素方差分析中用于调整变异量的误差，以准确评估结果的统计显著性。
5. F统计量（F-statistic）：F统计量 = 组间均方 / 组内均方F统计量用于衡量组间差异与组内差异之间的比例关系。
通过将组间均方除以组内均方，我们可以得到这个统计量的值。
以上是多因素方差分析中的一些重要公式，它们提供了对数据进行统计分析和推断的基础。
熟练掌握这些公式可以帮助我们理解数据的变化规律，从而做出准确的结论和决策。
第七章方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）
第七章方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)7.1 方差分析概述7.2 单因素方差分析7.3 无重复双因素方差分析7.4 可重复双因素方差分析7.5 案例研究7.6 试验设计初步7-17.1 方差分析概述⒈方差分析的概念⒉方差分析中的基本术语⒊ANOVA：对比多个总体的均值⒋方差分析中的基本假定7-27-3方差分析的概念方差分析：通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
解决：①A 、B 、C 是否Y 的重要影响因素；②如果为重要影响因素，最优水平？研究系统A B C分类型自变量Y数值型因变量A （a 1，a 2，a 3，…）B （b 1，b 2，b 3，…）C （c 1，c 2，c 3，…）7-4方差分析中的基本术语第1周第9周第14周第2周第7周第16周第4周第12周第17周第5周第10周第13周第3周第8周第18周第6周第11周第15周AB品牌底部中部顶部货架位置因素因素水平实验单元：“一周”响应变量：“每周销售量”处理：品牌—货架位置组合随机安排试验例：一项市场营销研究。
考察品牌和货架位置对咖啡周销售量的影响。
试验单元（experiment unit ）、响应变量（responsevariable ）、因素（factor ）、因素水平（factor level ）、处理（treatment ）。
ANOVA：对比多个总体的均值佣金固定薪金佣金加固定薪金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080总平均样本均值175.00113.29166.17151.48三类报酬构成的推销人员的月销售额（千美元）问题：（1）三种报酬类型销售人员的销售业绩是否存在显著差异？（2）如果存在差异，哪类销售人员的业绩最佳？三个总体的均值是否相等？7-57-6散点图佣金固定薪金佣金+固定薪金50100150200250300分类型自变量销售业绩均值差异分析：（1）同一总体内部的差异（随机差异）？（2）不同总体之间的差异（随机差异+系统差异）？（3）两类差异大小分析？7-71x 2x 3x ()f x x31x 2x 3x ()f x x2 1 H 0为真时，样本均值的抽样分布H 0为假时，样本均值的抽样分布方差分析中的基本假定•基本假定：•（1）每个总体均服从正态分布；•（2）每个总体的方差相等；•（3）来自每一总体的样本都是独立随机样本三个总体均值是否相等？012311::H H 23,,不全相等7.2 单因素方差分析（One-way Analysis of Variance）⒈基本概念与数据结构表⒉ANOVA：k个总体均值的检验⒊ANOVA表：单因素方差分析⒋最佳方案的选择7-87-9基本概念与数据结构研究一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响。
7.2多因素方差分析模型入门
26
案例：超市规模、货架位置与销量的关系
货物摆放位置 B C 56、63 65、71 69、78 73、80 75、82 82、89
超市 规模
小型 中型 大型
A 45、50 57、65 70、78
D 48、53 60、57 71、75
方差齐性检验问题 边际均数和轮廓图 残差分布图
27
案例：广告宣传效果的比较
单因素方差分析每个人具体的月薪xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx软件工程师控制因素观测变量三个水平为了进一步分析的方便一般都会寻找一个均数的参照水平将其余组的平均水平与之相比显然这样的组合会有许多种因此模型在实际分析的时候往往会加上一些限制条件比如假设参照水平是最后一个组的均数这被称为拟合的约束条件ij由于在常见的研究中我们更关心各组均数的差别对于标准差的差别则比较忽视因此在最初的方差分析模型中往往将不同组的ij假设为服从相同的正态分布就是说相同注意
15
方差分析模型常用术语
元素（Element）
指用于测量因变量值的观察单位，比如研究职业与收 入间的关系，月收入是从每一位受访者处得到，则每 位受访者就是试验的元素 一个单元格内可以有多个元素，也可以只有一个，甚 至于没有元素。
这主要在一些特殊的设计方案中出现，如正交设计
16
方差分析模型常用术语
均衡（Balance）
如果在一个实验设计中任一因素各水平在所有单元格 中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数均相同， 则该试验是均衡的，否则，就被称为不均衡。不均衡 的实验设计在分析时较为复杂，需要对方差分析模型 作特别设置才能得到正确的分析结果。
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X ij i ij
ij ~ (0, )
2
注意：在后来发展的混合效应模型和多水平模型中， 各组间离散程度的差异也进入了研究视野，此时模型 不一定会加入此限制
6
模型表达式入门
X ij i ij
如果职业1和职业2的平均收入不相等，则应当 有α1≠α2
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案例：超市规模、货架位置与销量的关系
货物摆放位置 B C 56、63 65、71 69、78 73、80 75、82 82、89
超市 规模
小型 中型 大型
A 45、50 57、65 70、78
D 48、53 60、57 71、75
方差齐性检验问题 边际均数和轮廓图 残差分布图
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案例：广告宣传效果的比较
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方差分析模型的适用条件
实际运用
在多因素方差分析中，由于个因素水平组合下来每个 单元格内的样本量可能非常少，这样直接进行正态性、 方差齐检验的话检验效能很低，实际上没什么用 因此真正常见的做法是进行建模后的残差分析
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案例：超市规模、货架位置与销量的关系
现希望现希望考察对超市中销售的某种商品而 言，是否其销售额会受到货架上摆放位置的影 响，除此以外，超市的规模是否也会有所作用？ 甚或两者间还会存在交互作用？ Berenson和Levine（1992）着手研究了此问题， 他们按照超市的大小（三水平）、摆放位置 （四水平）各随机选取了两个点，记录其同一 周内该货物的销量。
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H0: α1=α2
如果三种职业的平均收入无差异，则应当有 α1=α2=α3=0，此时如果采用适当的参照水平， 就有
H0：αi＝0，H1：至少有一个αi≠0
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案例：胶合板磨损深度的比较
现希望比较四种胶合板的耐磨性，分别从这四 个品牌的胶合板中抽取了5个样品，在相同的转 速下磨损相同时间，测量其被磨损的深度 （mm），现希望对此进行分析，数据见 veneer.sav
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方差分析模型的检验层次
对总模型进行检验 对模型中各交互效应、主效应进行检验
交互项有统计学意义：分解为各种水平的组合情况进 行检验 交互项无统计学意义：进行主效应各水平的两两比较
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方差分析模型的适用条件
从模型表达式出发得到的提示
各样本的独立性：只有各样本为相互独立的随机样本， 才能保证变异的可加性（可分解性） 正态性：即个单元格内的所有观察值系从正态总体中 抽样得出 方差齐：各个单元格中的数据离散程度均相同，即各 单元格方差齐
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方差分析模型常用术语
单元（Cental Unit），指各因素 的水平之间的每种组合。指各因素各个水平的组合， 例如在研究性别（二水平）、血型（四水平）对成年 人身高的影响时，该设计最多可以有2*4＝8个单元。 注意在一些特殊的试验设计中，可能有的单元在样本 中并不会出现，如拉丁方设计。
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两两比较方法的选择
多组两两比较 否 事先计划？ 是(证实性研究) Bonferroni法 (LSD)法 否(探索性研究) 否 是 各组例数相等？ 是 Tukey法
Scheffe法
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多因素方差分析模型
目的：在同时考虑若干个控制因素的情况下，分别分 析它们的改变是否造成观察变量的显著变动
医生 男性 女性 XX,XX, XX,XX XX,XX, XX,XX
X ijk i j ijk
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方差分析模型常用术语
因素（Factor）
因素是可能对因变量有影响的变量，一般来说，因素 会有不止一个水平，而分析的目的就是考察或比较各 个水平对因变量的影响是否相同。 因素的不同取值等级称作水平，例如性别有男、女两 个水平。
水平（Level）
2
模型表达式入门
现在希望比较三种职业的月收入有无差异，这 三类职业分别是医生、律师和软件工程师。
如果我们仍然希望能够对每一个个体的数据加以表达， 应当如何做？
X 1 j 1 1 j X 2 j 2 2 j X 3 j 3 3 j
3
模型表达式入门：单因素方差分析
交互作用（Interaction）
如果一个因素的效应大小在另一个因素不同水平下明 显不同，则称为两因素间存在交互作用。当存在交互 作用时，单纯研究某个因素的作用是没有意义的，必 须分另一个因素的不同水平研究该因素的作用大小。
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效应的检验方法
无论模型结构多复杂，假设检验都是基于变异 分解的原理进行的，都是F检验。 根据变异分解式，可以将总的样本离均差平方 和分解成各个部分，随后各个离均差平方和除 以自由度可得到均方，进而将各效应的均方和 误差均方相比较，就得到了F统计量
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方差分析模型常用术语
协变量（Covariates）
指对因变量可能有影响，需要在分析时对其作用加以 控制的连续性变量 实际上，可以简单的把因素和协变量分别理解为分类 自变量和连续性自变量 当模型中存在协变量时，一般是通过找出它与因变量 的回归关系来控制其影响
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方差分析模型常用术语
均衡（Balance）
如果在一个实验设计中任一因素各水平在所有单元格 中出现的次数相同，且每个单元格内的元素数均相同， 则该试验是均衡的，否则，就被称为不均衡。不均衡 的实验设计在分析时较为复杂，需要对方差分析模型 作特别设置才能得到正确的分析结果。
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方差分析模型常用术语
固定因素（Fixed Factor）
指的是该因素在样本中所有可能的水平都出现了。从 样本的分析结果中就可以得知所有水平的状况，无需 进行外推。 绝大多数情况下，研究者所真正关心的因素都是固定 因素。
性别：只有两种 疗法：只有三种
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方差分析模型常用术语
随机因素（Random Factor）
该因素所有可能的取值在样本中没有都出现，目前在 样本中的这些水平是从总体中随机抽样而来，如果我 们重复本研究，则可能得到的因素水平会和现在完全 不同！ 这时，研究者显然希望得到的是一个能够“泛化”， 即对所有可能出现的水平均适用的结果。这不可避免 的存在误差，需要估计误差的大小，因此被称为随机 因素。
多因素方差分析模型入门
模型表达式入门
假设现在希望描述某个人群的月收入状况，那 么根据统计学知识，均数能够表示集中趋势， 标准差能够表示离散趋势，则任何一位受访者i 的月收入Xi该如何表达？
X i i
显然，这里的的εi应当服从正态分布，其均数为0，标 准差为相应总体标准差 在只有样本信息时，样本均数和标准差就是上述参数 的最佳估计值。
观测变量 控制因素
每个人具体的月薪 Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx,xxx,xxx Xxx,xxx
职 医 律
业 生 师
三个水平
软件工程师
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模型表达式入门
将上面三个式子可以合并如下：
X ij i ij
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方差分析模型常用术语
元素（Element）
指用于测量因变量值的观察单位，比如研究职业与收 入间的关系，月收入是从每一位受访者处得到，则每 位受访者就是试验的元素 一个单元格内可以有多个元素，也可以只有一个，甚 至于没有元素。
这主要在一些特殊的设计方案中出现，如正交设计
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方差分析模型常用术语
为了进一步分析的方便，一般都会寻找一个均 数的参照水平，将其余组的平均水平与之相比
X ij i ij
显然，这样的组合会有许多种，因此模型在实 际分析的时候往往会加上一些限制条件，比如 假设参照水平是最后一个组的均数，这被称为 拟合的约束条件
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模型表达式入门
由于在常见的研究中，我们更关心各组均数的 差别，对于标准差的差别则比较忽视，因此在 最初的方差分析模型中，往往将不同组的εij假设 为服从相同的正态分布（就是说相同）
方差齐性检验 模型参数估计值与设计矩阵
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两两比较方法
LSD法：实际上就是t检验的变形，只是在变异 和自由度的计算上利用了整个样本信息，因此 仍然存在放大一类错误的问题 Scheffe法：当各组人数不相等，或者想进行复 杂的比较时，用此法较为稳妥。但它相对比较 保守
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两两比较方法
S-N-K法：是运用最广泛的一种两两比较方法。 它采用Student Range 分布进行所有各组均值间 的配对比较。该方法保证在H0真正成立时总的α 水准等于实际设定值，即控制了一类错误。 方差不齐时的两两比较方法：一般认为是 Games-Howell法稍好一些，但最好直接使用非 参数检验方法
律师 XX,XX, XX,XX XX,XX, XX,XX
软件工程师 XX,XX XX,XX, XX,XX
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模型表达式入门
如果只研究职业的影响 X ij i ij 如果只研究性别的影响
X ij i ij
同时考虑职业和性别对收入的影响
X ijk i j i j ijk
现希望研究四种广告的宣传效果有无差异，具 体的广告类型为：店内展示、发放传单、推销 员展示、广播广告。在本地区共有几百个销售 网点可供选择，出于经费方面的考虑，在其中 随机选择了18个网点进入研究，各网点均在规 定长度的时间段内使用某种广告宣传方式，并 记录该时间段内的具体销售额。为减小误差， 每种广告方式在每个网点均重复测量两次。数 据见ranavona.sav。