三角函数练习题(带答案)

1．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3

cos cos 5

a B

b A

c -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值．

2.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =．（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332

ABC S =△，求BC

的长．

3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，a =tan

tan 4,22

A B C

++=2sin cos sin B C A =，求,A B 及,b c

4.已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),(,).12

f t

g x x f x x f x x π

π=

=⋅+⋅∈（Ⅰ）将函数()g x 化简成sin()A x B ωϕ++（0A >，0ω>，[0,2)ϕπ∈）的形式；（Ⅱ）求函数()g x 的值域.(本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.

（满分12分）)

5.已知函数2()2sin

cos 444

x x x

f x =-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；（Ⅱ）令π()3

g x f x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．

6.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.(本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.)

7.在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=

．（Ⅰ）若ABC △的面

，求a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．(本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分)．

8、△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝6

3，B ＝A ＋π2

.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积．

9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝5

2，求cos C 的值；

(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝9

2sin C ，求a 和b 的值．

10、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1

3

，求B .

解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C .

11、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →

＝2，cos B ＝13

，b ＝3.求：

(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C )的值．

12、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝6

6

b ，sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的

值；(2)求cos ⎝

⎛⎭⎫2A －π

6的值．

1．解：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3

cos cos 5

a B

b A

c -= 可得3333

sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555

A B B A C A B A B A B -=

=+=+ 即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =； （Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>

2

tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤3

4

当且仅当1

4tan cot ,tan ,tan 22

B B B A ===时，等号成立，

故当1tan 2,tan 2

A B ==时，tan()A B -的最大值为3

4.

2.解：（Ⅰ）由5cos 13

B =-，得12sin 13B =，由4cos 5

C =，得3

sin 5C =．

所以33

sin sin()sin cos cos sin 65

A B C B C B C =+=+=． ············ 5分

（Ⅱ）由332ABC S =△得133

sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=，

由（Ⅰ）知33

sin 65

A =，故65A

B A

C ⨯=， ·················· 8分

又sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==，故2206513AB =，132AB =．所以sin 11

sin 2

AB A BC C ⨯==． 10分

3.解：由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422

C C

+=

∴cos sin

224sin cos

22

C C C C += ∴14sin cos 22C C =,∴1sin 2C =，又(0,)C π∈,∴566C C ππ==

，或 由2sin cos sin B C A =得 2sin cos sin()B B B C =+即sin()0B C -= ∴B C =,6

B C π

==

,2()3

A B C π

π=-+=

由正弦定理sin sin sin a b c

A B C ==

得1

sin 2sin 2

B b c a A ==== 4.解：（Ⅰ）1sin 1cos ()cos sin 1sin 1cos x

x

g x x

x

x x --=+++2

2

2

2

(1sin )(1cos )cos sin cos sin x x x

x x x

--=+ 1sin 1cos cos sin .cos sin x x

x

x x x

--=+

17,,cos cos ,sin sin ,12x x x x x π⎛⎤

∈π∴=-=- ⎥⎝⎦

1sin 1cos ()cos sin cos sin x x g x x x x x --∴=+--