第三节平面问题和轴对称问题2007

2 2
2
xy

2 1
τ1—纯切应力
M
xy
xy
M 薄壁管受扭矩作用
10
比较主应力状态下莫尔圆应力莫尔圆方程
(
1 2
2
) (
2 2
1 2
2
)
2

O


O2 O

2
1
2
1 2
1
纯切应力状态下的应力莫尔圆方程
2
11
12
纯切应力张量为
1 0 1 ij 0 1 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
采用圆柱坐标系时，轴对称应力状态的应力张量
为
ij 0 z 0
z
0 z

0
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
轴对称应力状态的平衡微分方程为：

0 z
z z z 0 z
z zx zy 0
Z轴必为主方向
2）各应力分量与Z轴无关，对Z轴的偏导 数为零。
应力张量为
x xy ij y yx
或
1 0 ij 0 2
6
金 属 塑 性 成 形 原 理
平衡微分方程为
x yx 0 x y
26
平面问题的主要区别: 平面应力和平面应变问题主要区别： 对于平面应力问题，沿某一方向上没有正应力， 但有正应变（只有在纯剪切时，没有应力的方向 才没有应变）；
对于平面应变形问题，在一个方向上存在正应力 ，但无正应变。
27
什么是平面问题?
什么是平面应力状态?
什么是平面应变状态?
28
选择题
金 属 塑 性 成 形 原 理
平面问题
平面应力问题和平面变形问题统称为平面问题。
平面问题
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
平面应力问题
平面变形问题
平面问题的例子在塑性加工中是经常遇到的。
2
一、平面应力问题 概念：若变形体内与某方向轴垂直的平面上 无应力存在，并所有应力分量与该方向轴无 关，则这种应力状态即为平面应力状态 。
轴对称应力状态的特点是：
①由于子午面（指通过旋转体轴线的平面，即θ 面）在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上 没有切应力:
z 0
子午面
只有σρ、σθ、σz 、τρθ 等应力分量，而且σθ 是主 应力。
36
②各应力分量与θ坐标无关，对θ的偏导数都为零。
金 属 塑 性 成 形 原 理
3
平面应力问题
平面应力问题中，所研究的是薄板一类的变形体 ，在其侧面上（边界上），受有平行于薄板两底 面的一些力的作用如图。并且在薄板的两底面没 有载荷作用。 即两底面上σz=0、τxz =0 、τyz =0 。
因而只有σx、σy 、τxy应力分量。 这些应力分量由于薄板厚度很小而变 化不大，因此可近似地认为它们与坐 标z无关。
塑性流平面:Z面
3
σ3
σ2 0 σ1
2 1
24
3、平衡微分方程
x yx 0 x y
xy x y y

0
25
平面问题的共同特点 1）所有应力分量与某一坐标轴无关. 2 ）在与某一轴垂直的截面上，切应力为 零；正应力分量为零（平面应力状态）或为 另两个方向的正应力之和的一半（平面变形 状态）。
任意坐标系
0 1
主应力坐标系
若两个主应力数值上相等，但符号相反，即为纯切应力状态。
1 2 1
任意坐标系
主应力坐标系
13
二、平面应变问题 在xyz坐标系中，变形物体在某一方向不产生 变形，这种变形称为平面变形或平面应变。发生 变形的平面称塑性流平面。
很长
形状特点：可能发生在一个方 向很长的棱柱形或柱形的物体 上，其轴线与z轴平行，而在侧 面上承受着垂直于z轴的载荷， 载荷沿z轴不变。如右图。
第三节
讨论目的：
平面问题和轴对称问题
求解一般的三向问题往往是很困难的，目前我们能处理 的实际上都是一些比较特殊的问题。而且这些问题又是在 工程上经常遇到的。例如平面应力问题和平面变形问题、 轴对称问题。
另外，某些三向问题也往往可以近似地简化成上述类型
的问题。 平面应力问题和平面变形问题、轴对称问题中的应力张 量和平衡微分方程可以得到某些简化。 因此，研究平面问题（包括平面应力问题和平面变形问题）、 1 轴对称问题有重要的实际意义。
来处理。哪个可作为平面应变状态来处理( )
t
2r
P
z
拔长
薄壁容器承受内压
31
三、轴对称应力状态
金 属 塑 性 成 形 原 理
轴对称应力状态：当旋转体承受的外力对称于旋转轴 分布时,则物体内各点就处于轴对称应力状态。
如圆柱体镦粗，挤压、冲孔、拉拔等工艺可称为轴对 称应力状态。
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
39
某些特殊轴对称问题（如均匀变形时单向拉伸，锥孔模挤 压，拉拔等），这时径向位移u与径向坐标ρ存在线形关 系，以保证变形连续性 。
即
u K
u

K
u K
根据几何方程
u
可得

u


40
在这种情况下，径向和周向的正应力分量必相等，（证 明见本章第五节中增量理论）.
4
侧面
平面应力问题
在工程实际中，其他的例子，如薄壁管扭转、 薄 壁容器承受内压、板料成形中的一些工序等，由 于厚度方向的应力相对很小而可以忽略，一般均 作为平面应力状态来处理。
M
xy
t P
xy
M 薄壁管受扭矩作用
2r
z
薄壁容器承受内压
5
平面应力状态特点：
1）在与某一方向轴垂直的平面上无应力，（如Z轴）
x
u , x
y
v y
xy yx
1 u v 2 y x
塑性变形时， x y z 0
∵
z 0
∴
x y
19
1、平面变形状态下的应力特点： 1）由于平面变形时，物体内与Z轴垂直的平面始 终不会倾斜扭曲，所以Z平面上没有切应力分量， 即
32
由于变形体为旋转体，采用圆柱坐标表示的应力张量为：
ij z
z
z z z
z
M（ρ ，θ，Z ）
y
θ P（ρ ，θ ）
33
x
金 属 塑 性 成 形 原 理
圆柱坐标系平衡微分方的一般形式为：
1 z 0 z
1 2 2 0 0 0 0 1 2 2 0
1 2
2 0
1 2
2 0
偏张量：纯剪切
球张量
结论：平面变形状态相当于纯 剪切叠加一个应力球张量。即 应力状态为：纯剪+应力球量
22
平面变形状态下的主切应力和最大切应力为
12 1 2
2 max
23
或
2 3
2
1 2
4
τ
23 31
1
3 1 2 2
0
σ
2
平面变形时的应力莫尔圆
23
平面应变状态的最大切应力所在的平面与塑 性流平面垂直的两个主平面交成45∘角，这是 建立应变滑移线理论的重要依据。
w z z
z
1 u w 2 z
38
金 属 塑 性 成 形 原 理
2 轴对称状态的几何方程
u
w z z
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题

u

z
1 u w 2 z

平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
1 z 0 z
z
1 z z z 0 z
34
轴对称应力状态的形状特点
§旋转体 §无周向外力 §子午面为平面，夹角不变
35
z
37
1、圆柱坐标系表示的一般空间问题的几何方程
u

1 v v 1 u 2
v 1 u
1 v 1 w z 2 z
6.右图黄河大堤可认 为是平面应力状态( )?
7.纯切应力状态是平
面变形状态的特例( ). 8.对于变形状态,在Z 方向有阻止变形的正应 力，且为σx、σy的平
均值(
) 。
30
9.对于平面应变形问题，在一个方向上无 正应变，因此该方向没有正应力。( ) 10.下图工程实际中，哪个可作为平面应力状态
xz yz 0
Z方向必为应力主方向，σz 即为主应力。
20
2）在Z方向有阻止变形的正应力，且为σx、σy的 平均值（证明见本章第五节中增量理论），即为 中间应力，又是平均应力，是一个不变量。
1 z 2 ( x y ) m 2
此时，只有三个独立的应力 分量σx、σy、τxy
12
1 2
2
(
x y
2
) 2 xy
2
23
2
2
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
31
1
2
9
纯切应力状态属平面应力状态的特殊情况，此时，由平面 应力状态下的应力莫尔圆方程式可得纯切应力状态下的应 力莫尔圆方程。

16
三峡大坝
17
18
若z方向没有变形，即w=0
w z 0 z
xz
1 u w 0 2 z x
yz
1 w v 0 2 y z
即 z xz yz 0
因此，应变分量为 ：
1.平面变形状态相当于平面应力叠加一个应力 球张量( ) 。 2.平面应变状态的最大切应力所在的平面与塑 性流平面垂直的两个主平面交成45∘角( ) 。 3.纯切应力状态下，主应力特点是σ1=-σ2 ( )。
4.如果有两主应力满足σ1=-σ2 ,则该应力状态 即为纯切应力状态( )。 5.对于平面应力问题，沿某一方向上没有正应 29 力，但有正应变( ).
即

41
平面应力、平面应变和轴对称的应力状态有何特点？它 们对物体的几何形状与受力条件有何要求？ 平面应力状态的应变状态是两向的吗？平面应变的应力 状态也是两向的吗？
xy x
应力莫尔圆方程

y y
0
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
(
x y
2
) (
2 2
x y
2
) 2 xy
2
7
金 属 塑 性 成 形 原 理
平 面 问 题 和 轴 对 称 问 题
8
平面应力状态下的主切应力为：
金 属 塑 性 成 形 原 理
3）所有应力分量沿Z轴均匀分布，即与Z轴无关，对Z 轴 21 的偏导数为零。
2、若以应力主轴为坐标轴，则有
1 0 ij 0 2 0 0 0 0 1 2 2
1 2 2 0 0 0 0 0 0
14
平面应变问题
例如:水上长城——黄河大堤
为管束住滚滚东流的河水， 北岸自孟县以下，南岸自郑 州铁桥以下，除了个别河段 傍依山麓外，两岸皆筑有大 堤，全长达1370千米，犹如 “水上长城”。
15
黄河大堤同万里长城、京杭大运河一样，都是我们中华民族的伟 大工程。它历史悠久，远在春秋时期就已开始修筑。至秦统一六国 后，以“决通川防，夷去险阻”，才使黄河大堤成为一个防洪整体 。后来，历代王朝虽也多次修缮和改建，但直到中华人民共和国建 立前，黄河大堤也只有4~5米高的两道土木堤坝，防洪能力极差 。 建国后40多年来，黄河大堤经过不断改造，加高加固，现在巨石 砌成的堤坝普遍加高到8~9米。除加固了两岸的临黄堤外，还新修 缮加固了南北全堤、展宽区围堤、东平湖围堤、沁河堤和河口地区 防洪堤等。加上干支流防洪水库的配合，大大提高了黄河防洪的能 力。1982年夏季洪峰流量达15300立方米/秒，洪水持续九昼夜，在 黄河堤防的控制下，没有一处发生决口。