北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

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北师大版八年级下册数学[《三角形的证明》全章复习与巩固--知识点整理及重点题型梳理](提高)

北师大版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《三角形的证明》全章复习与巩固(提高)【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，不如边长为a 的等边三角形他的高是2a ，面积是24；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；正确的逆命题就是逆定理.3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、能证明它们么1. 如图，△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE 交CD 于点F ，BD 分别交CE 、AE 于点G 、H ．试猜测线段AE 和BD 的数量和位置关系，并说明理由．【思路点拨】由条件可知CD=AC ，BC=CE ，且可求得∠ACE=∠DCB ，所以△ACE ≌△DCB ，即AE=BD ，∠CAE=∠CDB ；又因为对顶角∠AFC=∠DFH ，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE ⊥BD ．【答案与解析】猜测AE=BD ，AE ⊥BD ；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE ，即∠ACE=∠DCB ，又∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形，∴AC=CD ，CE=CB ，∵在△ACE 与△DCB 中，,AC DC ACE DCB EC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴AE=BD ， ∠CAE=∠CDB ；∵∠AFC=∠DFH ，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE ⊥BD ．故线段AE 和BD 的数量相等，位置是垂直关系.【总结升华】主要考查全等三角形的判定，涉及到等腰直角三角形的性质及对顶角的性质等知识点．举一反三：【变式】将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图1方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：AF+EF=DE；（2）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其它条件不变，如图3．你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由．【答案】（1）证明：连接BF（如下图1），∵△ABC≌△DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．∵BF=BF，∴Rt△BFC≌Rt△BFE．∴CF=EF．又∵AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（2）解：画出正确图形如图2.（1）中的结论AF+EF=DE仍然成立；（3）证明：连接BF ，∵△ABC ≌△DBE ，∴BC=BE ，∵∠ACB=∠DEB =90°，∴△BCF 和△BEF 是直角三角形，在Rt △BCF 和Rt △BEF 中，,BC BE BF BF=⎧⎨=⎩ ∴△BCF ≌△BEF ，∴CF=EF ；∵△ABC ≌△DBE ，∴AC=DE ，∴AF=AC+FC=DE+EF ．类型二、直角三角形2. 下列说法正确的说法个数是（）①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，②斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等，③两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，④一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．A.1B.2C.3D.4【思路点拨】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可；【答案】C.【解析】A 、三个角相等，只能判定相似；故本选项错误；B 、斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“AAS”；故本选项正确；C 、两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项正确；D、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直角三角形全等；故本选项正确；所以，正确的说法个数是3个．故选C．【总结升华】直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2016•南开区一模）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上；（2）若△ABC三边的长分别为、、2（m＞0，n＞0，且m ≠n），运用构图法可求出这三角形的面积为．【思路点拨】（1）是直角边长为1，2的直角三角形的斜边；是直角边长为1，3的直角三角形的斜边；是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（2）结合（1）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积可得．【答案与解析】解：（1）S△ABC=3×3﹣×1×2﹣×2×3﹣×1×3=；（2）构造△ABC如图所示，S△ABC=3m×4n﹣×m×4n﹣×3m×2n﹣×2m×2n=5mn．故答案为：（1）3；（2）5mn．【总结升华】此题主要考查了勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键，关键是结合网格用矩形及容易求得面积的直角三角形表示出所求三角形的面积进行解答．类型三、线段垂直平分线4. 如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．【思路点拨】（1）只需证明点P、Q都在线段DE的垂直平分线上即可．即证P、Q分别到D、E的距离相等．故连接PD、PE、QD、QE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证；（2）根据题意，画出图形；结合图形，改写原题．【答案与解析】（1）证明：连接PD、PE、QD、QE．∵CE⊥AB，P是BF的中点，∴△BEF是直角三角形，且PE是Rt△BEF斜边的中线，∴PE=12 BF．又∵AD⊥BC，∴△BDF是直角三角形，且PD是Rt△BDF斜边的中线，∴PD=12BF=PE，∴点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证，QD、QE分别是Rt△ADC和Rt△AEC斜边上的中线，∴QD=12AC=QE，∴点Q也在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．（2）当△ABC为钝角三角形时，（1）中的结论仍成立．如图，△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°．原题改写为：如图，在钝角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，DA与CE的延长线交于点F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．求证：直线PQ垂直且平分线段DE．证明：连接PD，PE，QD，QE，则PD、PE分别是Rt△BDF和Rt△BEF的中线，∴PD=12BF，PE=12BF，∴PD=PE，点P在线段DE的垂直平分线上．同理可证QD=QE，∴点Q在线段DE的垂直平分线上．∴直线PQ垂直平分线段DE．【总结升华】考查了线段垂直平分线的判定和性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，图形较复杂，有一定综合性，但难度不是很大．举一反三：【变式】在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A=40度．（1）求∠M的度数；（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；（3）你发现了怎样的规律？试证明；（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．【答案】（1）∵∠B=12（180°-∠A）=70°∴∠M=20°（2）同理得∠M=40°（3）规律是：∠M的大小为∠A大小的一半，证明：设∠A=α，则有∠B=12（180°-α）∠M=90°-12（180°-α）=12α.（4）不成立.此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．类型四、角平分线5. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．【思路点拨】连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分线的性质及逆定理可得GN=GM=GF，AG是∠CAB的平分线；在四边形AMGN中，易得∠NGM=180°-60°=120°；在△BCG中，根据三角形内角和定理，可得∠CGB=120°，即∠EGD=120°，∴∠EGN=∠DGM，证明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得证GE=GM．【答案与解析】解：连接AG，过点G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A=60°，∴∠ACB+∠ABC=120°，∵CD，BE是角平分线，∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°，∴∠CGB=∠EGD=120°，∵G是∠ACB平分线上一点，∴GN=GF，同理，GF=GM，∴GN=GM，∴AG是∠CAB的平分线，∴∠GAM=∠GAN=30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM=60°+60°=120°，∴∠EGD=∠NGM=120°，∴∠EGN=∠DGM，又∵GN=GM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE=GD．【总结升华】此题综合考查角平分线的定义、三角形的内角和及全等三角形的判定和性质等知识点，难度较大，作辅助线很关键．举一反三：【变式】（2015春•澧县期末）如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF；证明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．【答案】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC，∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∴Rt△CDF≌Rt△EBD（HL）．∴CF=EB；（2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD=DE．在△ADC与△ADE中，∵精品文档用心整理∴△ADC≌△ADE（HL），∴AC=AE，∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB．资料来源于网络仅供免费交流使用。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练( 含答案)

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升训练（含答案）一、单选题1．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，若△CDM 周长的最小值为8，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．16C ．24D ．32 2．如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别为R 、S ，若AQ =PQ ，PR =PS ，则下列四个结论：①PA 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△CSP ，其中结论正确的的序号为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 3．如图所示，把多块大小不同的30角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB 的一条直角边与x 轴重合且点A 的坐标为()2,0，30ABO ∠=︒，第二块三角板的斜边1BB 与第一块三角板的斜边AB 垂直且交x 轴于点1B ，第三块三角板的斜边12B B 与第二块三角板的斜边1BB 垂直且交y 轴于点2B ，第四块三角板斜边23B B 与第三块三角板的斜边12B B 垂直且交x 轴于点3B ，按此规律继续下去，则点2018B 的坐标为（）A ．()20182(3),0-⨯B ．()20180,2(3)-⨯B ．C ．()20192(3),0⨯D ．()20190,2(3)-⨯4．如图，直线l ：y =，过点A （0，1）作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…按此作法继续下去，则点A 2015的坐标为( )A ．（0，42015）B ．（0，42014）C ．（0，32015）D ．（0，32014） 5．已知，如图，ABC ，点,P Q 分别是BAC ∠的角平分线AD ，边AB 上的两个动点，45C ︒∠=，6BC =，则PB PQ +的最小值是（）A ．3B ．23C ．4D ．32 6．如图，在Rt ABC ∆中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ︒∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当∆ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（）A ．5B ．8C ．254D ．2587．如图, 在△DAE 中, ∠DAE ＝40°, B 、C 两点在直线DE 上，且∠BAE ＝∠BEA ，∠CAD ＝∠CDA ，则∠BAC 的大小是（）A．100°B．90°C．80°D．120°8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2 B．2.5 C．3 D．49．如图，△ABC的两条高线BD，CE相交于点F，已知∠ABC=60°，AB=10，CF=EF，则△ABC 的面积为（）A．203B．253C．303D．40310．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），点B（5，0），有一动点P在直线AB上，△APO是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题11．已知：如图，∠ABC＝40°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当直线AD垂直于BC时，∠ABD＝_____°．12．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．14．已知：四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =90°，三角形ABC 的面积为1，则线段AC 的长度是___________.15．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________ 16．如图，△ABC 是等边三角形，点P 是AB 的中点，点M 在CB 的延长线上，点N 在AC 上，且满足∠MPN=120º．已知△ABC 的周长为12，设m=2AC-CM-CN ，若关于x 的方程53mx m x n -=-的解是正数，则n 的取值范围是__________17．已知在△ABC 中,两边AB 、AC 的中垂线，分别交BC 于E 、G ．若BC ＝12，EG ＝2，则△AEG 的周长是________．18．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．19．已知等边三角形ABC 的边长为6，有从点A 出发每秒1个单位且垂直于AC 的直线m 交三角形的边于P 和Q 两点且由A 向C 平移，点G 从点C 出发每秒4个单位沿C →B →P →Q →C 路线运动，如果直线m 和点G 同时出发，则点G 回到点C 的时间为_________．20．如图，过边长为1的等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为______.三、解答题21．如图，在已知ABC △中，AB AC =，点D 在BC 上，过D 点的直线分别交AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ，且BE CF =．求证：DE DF =．22．如图所示，点O 是线段AC 的中点，OB AC ⊥，9OA =.（1）如图1，若30ABO ∠=︒，求证ABC ∆是等边三角形；（2）如图1，在（1）的条件下，若点D 在射线AC 上，点D 在点C 右侧，且BDQ ∆是等边三角形，QC 的延长线交直线OB 于点P ，求PC 的长度；（3）如图2，在（1）的条件下，若点M 在线段BC 上，OMN ∆是等边三角形，且点M 沿着线段BC 从点B 运动到点C ，点N 随之运动，求点N 的运动路径的长度. 23．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).24．已知：点A 在射线CE 上，C D ∠=∠．（1）如图1，若//,AC BD 求证：//AD BC ．（2）如图2，若,BD BC BD ⊥与CE 交于点,G 请探究DAE ∠与C ∠的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，过点D 作//DF BC 交射线CE 于点,F 当8,DFE DAE ∠=∠BAC BAD ∠=∠时，直接写出BAD ∠的度数为25．如图，ABC ∆中，90,5,4ACB AB BC ︒∠===，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A C B A －－－运动（回到点A 停止运动），设运动时间为t 秒．（1）当点P 在BC 上时，且满足PA PB =时，求出此时t 的值；（2）当点P 在AB 上时，求出t 为何值时，ACP ∆为以AC 为腰的等腰三角形．26．如图1，在平面直角坐标系中，已知A （a ，b ），且a 、b 满足22+1b a a =-+-，（1）求A 点的坐标及线段OA 的长度；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点的坐标；（3）如图2，若B （1，0），C （0，－3），试确定∠ACO+∠BCO 的值是否发生变化，若不变，求其值；若变化，请求出变化范围.27．如图，∠AOB=115°，∠EOF =155°，OA 平分∠EOC ，OB 平分∠DOF ，（1）求∠AOE+∠FOB 度数；（2）求∠COD 度数。

新北师大版八下数学三角形证明培优训练

1、已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且CDE BAE ∠=∠．求证：CD AB =. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．2、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA PB PC ，，，以BP 为边作60PBQ ∠= ，且BQ BP =，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若::3:4:5PA PB PC =，连结PQ ，试判断PQC △的形状，并说明理由．3、如图，已知：等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC 的距离分别为h 1、h 2 、h 3，且△ABC 高为h 。

（1）若点P 在一边BC 上如图（1），请问h 1、h 2、h 3、h 之间有何关系？（2）若点P 在△ABC 内如图（2），上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若不成立，h 1、h 2 、h 3 与h 之间又有怎样的关系？4、已知：三角形ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，（1）如图，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：△DEF 为等腰直角三角形．（2）若E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，仍有BE ＝AF ，其他条件不变，那么，△DEF5、已知如图，△ABC 中，AB=AC ，BD=CG ，点G 在AC 的延长线上。

求证：6、如图，都是等边三角形和BDE ABC ∆∆，点E 、B 、C 共线，求证：（1）CD AE =（2）∠APC=60°（3）△MBN 为等边三角形（4）MN ∥CE（5）把上题中△DEB 绕点B 逆时针旋转一定的角度，则AE=CD 吗？为什么？QC PA B A B C D E F A B C D E EF =DE （3） G AB C D E （1） A B C D E CF ∥AB （2）F25、已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA，交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC.。

三角形的证明2020-2021年八年级数学下学期培优巩固提升卷(北师大版)(原卷版)

2021八年级数学下册同步课堂培优--三角形的基础证明【能力知识点】1 等腰三角形(1)等腰三角形的有关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。

(2)等腰三角形的性质等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。

（简写成“等边对等角”）等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）(3)等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（简写成“等角对等边”）等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形2 等边三角形(1)等边三角形的有关概念在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形——三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形。

(2)等边三角形的性质60。

①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于②等边三角形三边都相等.③还满足等腰三角形的所有性质(3)等边三角形的判定等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形；等边三角形的判定2：三边都相等的三角形是等边三角形60的等腰三角形是等边三角形；等边三角形的判定3：有一个角是(4)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

3 等腰直角三角形(1)在等腰三角形中，还有一种特殊的等腰三角形————等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的三角形，它的两直角边相等直角边与斜边的夹角是锐角45度，(2)斜边上中线，角平分线，垂线三线合一(3)三边的比值为1：1:24.直角三角形直角三角形的性质与判定：(1)直角三角形两锐角互余；(2)有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；(3)含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么30°角所对的直角边等于斜边的一半(4)勾股定理①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2②勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足若c2=a2+b2，那么这个三角形是直角三角形。

(完整版)北师大版八年级下册《三角形证明》培优提高

(完满版)北师大版八年级下册?三角形证明?培优提高三角形的证明单元检测卷9．以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕A． 6 B． 8 C． 9 D． 10 1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕以 A 为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正确的个A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm数是〔〕4．〔4 分〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加下① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的列一个条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕中垂线上；④ S△DAC：S△ABC=1：3．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．〔4 分〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于 E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3，那么 BD 的长为〔〕A．1 B．2 C．3 D．412．〔4 分〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B 〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C 的个数是〔〕A． B． C．2 D．17．〔4 分〕如图， AB=AC ，BE ⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于 A．2 B．3 C．4 D．5点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；13．〔4 分〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB 边上的中点，②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上点 D，E 分别在 AC，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运结论正确的选项是〔〕动变化的过程中，以下结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不能能为正方形，A．① B．② C．①② D．①②③③ DE 长度的最小值为 4；8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，④四边形 CDFE 的面积保持不变；∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤A．10 B．12 C．24 D．48二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕214．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应假设这个三角形中 ___．15．〔4 分〕假设〔 a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= _________ ．24．〔10 分〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E的地址． F，G 分别是 BD，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．〔1〕求证： CF=DG ；〔2〕求出∠FHG 的度数．25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH垂直均分 BC 交 AB 于点 D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC于 E，与 CD 订交于点 F．〔1〕求证： BF=AC ；17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 _________ ．〔2〕求证：．18．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m．26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D的直线 GF 交 AC 于点 F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，19．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC 边上的点，CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 EDE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．处，假设点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证： EG=EF ；三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．20．〔7 分〕如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ， 27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．〔7 分〕如图，两条公路 OA 和∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是 _________ 三角形；OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C、①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．四、解答题〔每②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并小题 10 分，共 40 分〕画出相应的图形．22．〔10 分〕在四边形 ABCD 中， AB ∥CD，∠D=90 °，∠DCA=30 °，CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？23．〔10 分〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB 于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．3命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假要点是要熟悉课本中的北师大版八年级下册?第 1 章三角3．〔4 分〕△ABC 中，∠A ：∠B：∠C=1：2：3，最小边 BC=4 cm，最长边 AB形的证明?2021年单元检测卷 A〔一〕的长是〔〕A．5cm B．6cm C．7cm D．参照答案与试题解析考点：含 30 度角的直角三角形．解析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角一、选择题〔每题 4 分，共 48 分〕的一半．1．〔4 分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是 80°，那么它顶角的度数是〔〕解答：解：依照三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是A．80° B．80°或 20° C．80°或 50° D．20°边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即 8，应选 D．谈论：此题主若是运用了直角三角形中角 30°所对的直角边是斜边的一半．考点：等腰三角形的性质．专题：分类谈论． 4．〔4 分〕〔2021?安顺〕如图， AE=CF ，∠AFD= ∠CEB，那么增加以下一个解析：分 80°角是顶角与底角两种情况谈论求解．条件后，仍无法判断△ADF ≌△CBE 的是〔〕解答：解：① 80°角是顶角时，三角形的顶角为 80°，② 80°角是底角时，顶角为 180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为 80°或 20°．应选 B．谈论：此题观察了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况谈论求解．A．∠A=∠C B．A D=CB C．BE=DF D．2．〔4 分〕以下命题的抗命题是真命题的是〔〕A．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．假设 a=6，那么 |a|=|b|考点：全等三角形的判断．解析：求出 AF=CE ，再依照全等三角形的判判定理判断即可．考点：命题与定理．解答：解：∵AE=CF ，解析：先写出每个命题的抗命题，再进行判断即可．∴AE+EF=CF+EF ，解答：解；A ．若是 a＞0，b＞0，那么 a+b＞0：若是 a+b＞0，那么 a＞0，b＞0，是假命题；∴AF=CE ，B．直角都相等的抗命题是相等的角是直角，是假命题； A、∵在△ADF 和△CBE 中C．两直线平行，同位角相等的抗命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．假设 a=6，那么|a|=|b|的抗命题是假设 |a|=|b|，那么 a=6，是假命题．应选： C．谈论：此题观察了命题与定理，两个命题中，若是第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互抗命题．其中一个命题称为另一个命题的抗命题．正确的B、依照 AD=CB ，AF=CE ，∠AFD= ∠CEB 不能够推出△ADF ≌△CBE，错误，故4C、∵在△ADF 和△CBE 中6．〔4 分〕〔2021?邯郸一模〕如图，D 为△ABC 内一点，CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A= ∠ABE ．假设 AC=5 ，BC=3 ，那么 BD 的长为〔〕∴△ADF ≌△CBE 〔SAS〕，正确，故本选项错误；D、∵AD ∥BC，∴∠A= ∠C，∵在△ADF 和△CBE 中A． B． C．2 D．考点：等腰三角形的判断与性质．∴△ADF ≌△CBE 〔ASA 〕，正确，故本选项错误；应选 B．解析：由条件判断△BEC 的等腰三角形，且 BC=CE ；由等角同等边判断 AE=BE ，那么易谈论：此题观察了平行线性质，全等三角形的判断的应用，注意：全等三角形的判判定理有 SAS，﹣AB SC A〕．，AAS ，解答：解：如图，∵CD 均分∠ACB ，BE⊥CD，SSS．∴BC=CE ．又∵∠A= ∠ABE ，5．〔4 分〕〔2021?河池〕如图，在△ABC 中，∠B=30 °，BC 的垂直均分线交 AB 于E，垂足为 D．假设 ED=5，那么 CE 的长为〔〕∴AE=BE ．∴BD= BE= AE= 〔AC﹣BC〕．∵AC=5，BC=3，∴BD= 〔5﹣3〕=1．A．10 B．8 C．5 D．应选 D．考点：线段垂直均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．谈论：此题观察了等腰三角形的判断与性质．注意等腰三角形“三合一〞性质的运用．解析：依照线段垂直均分线性质得出 BE=CE，依照含 30 度角的直角三角形性质求出 BE 的长，即可求出 CE 长．解答：解：∵DE 是线段 BC 的垂直均分线，7．〔4 分〕如图，AB=AC ，BE⊥AC 于点 E，CF⊥AB 于点 F，BE、CF 订交于点 D，那么①△ABE ≌△ACF ；②△BDF≌△CDE；③点 D 在∠BAC 的均分线上．以上∴BE=CE，∠BDE=90 °〔线段垂直均分线的性质〕，∵∠B=30 °，结论正确的选项是〔〕∴BE=2DE=2 ×5=10〔直角三角形的性质〕，∴CE=BE=10 ．应选 A ．谈论：此题观察了含 30 度角的直角三角形性质和线段垂直均分线性质的应用，要点是获取 BE=CE 和求出 BE 长，题目比较典型，难度适中．5A．① B．② C．①② D．①②③考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质．专题：老例题型．解析：从条件进行解析，第一可得△ABE ≌△ACF 获取角相等和边相等，运用这些结论，进而获取更多的结论，最好运用消除法对各个选项进行考据进而确定最后答案．解答：解：∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F∴∠AEB= ∠AFC=90 °，∵AB=AC ，∠A=∠A，A．10 B．12 C．24 D．∴△ABE ≌△ACF 〔①正确〕∴AE=AF ，∴BF=CE，考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．∵BE⊥AC 于 E，CF⊥AB 于 F，∠BDF= ∠CDE，解析：此题主要观察勾股定理运用，解答时要灵便运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB ⊥BC，DC⊥BC，∠BAE= ∠DEC=60 °∴△BDF ≌△CDE〔②正确〕∴DF=DE ，∴∠AEB= ∠CDE=30 °连接 AD ，∵30°所对的直角边是斜边的一半∴AE=6 ，DE=8又∵∠AED=90 °依照勾股定理∴AD=10 ．应选 A ．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ，谈论：解决此类题目的要点是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余， 30°所对的直角边∴△AED ≌△AFD ，的性质．∴∠FAD= ∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的均分线上〔③正确〕9．〔4 分〕以以下图，在△ABC 中，AB=AC ，D、E 是△ABC 内两点， AD 均分应选 D．∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，假设 BE=6，DE=2，那么 BC 的长度是〔〕谈论：此题观察了角均分线的性质及全等三角形的判断方法等知识点，要修业生要灵便运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．〔4 分〕以以下图， AB ⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，∠BAE= ∠DEC=60 °，AB=3 ，CE=4，那么 AD 等于〔〕A．6 B．8 C．9 D．6的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，那么以下说法中正考点：等边三角形的判断与性质；等腰三角形的性质．确的个数是〔〕解析：作出辅助线后依照等腰三角形的性质得出 BE=6，DE=2 ，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三① AD 是∠BAC 的均分线；②∠ADC=60 °；③点 D 在 AB 的中垂线上；④ S△DAC：角形，进而得出 BN 的长，进而求出答案．S=1：3．△ABC解答：解：延长 ED 交 BC 于 M ，延长 AD 交 BC 于 N，作 DF∥BC，∵AB=AC ，AD 均分∠BAC ，∴AN⊥BC，BN=CN ，∵∠EBC= ∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，A．1 B．2 C．3 D．∵BE=6，DE=2，∴DM=4 ，∵△BEM 为等边三角形，考点：角均分线的性质；线段垂直均分线的性质；作图—根本作图．∴∠EMB=60 °，专题：压轴题．解析：①依照作图的过程能够判断 AD 是∠BAC 的角均分线；∵AN⊥BC，∴∠DNM=90 °，②利用角均分线的定义能够推知∠CAD=30 °，那么由直角三角形的性质来求∠ADC∴∠NDM=30 °，③利用等角同等边能够证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一〞的性∴NM=2 ，中垂线上；∴BN=4，④利用 30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角解答：解：①依照作图的过程可知， AD 是∠BAC 的均分线．∴BC=2BN=8 ，应选 B．故①正确；②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30 °，∴∠CAB=60 °．又∵AD 是∠BAC 的均分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30 °，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60 °．谈论：此题主要观察了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出 MN 的长是解决问题的要点．故②正确；10．〔4 分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC 中，∠C=90 °，∠B=30°，以 A 为圆心，③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD ，任意长为半径画弧分别交 AB 、AC 于点 M 和 N，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN∴点 D 在 AB 的中垂线上．故③正确；7④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，考点：等腰三角形的判断；坐标与图形性质．专题：压轴题．∴CD= AD ，解析：依照线段垂直均分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB 的垂直均分线与直求出 AB 的长，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为点∴BC=CD+BD= AD+AD= AD ，S△DAC = AC ?CD= AC ?AD．的距离可知以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图， AB 的垂直均分线与直线 y=x 订交于点 C1，∴S△ABC= AC ?BC= AC? AD= AC ?AD ，∵A〔0，2〕，B〔0，6〕，∴AB=6 ﹣2=4，∴S△DAC：S△ABC= AC ?AD ： AC ?AD=1 ：3．以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 的交点为 C2，C3，故④正确．∵OB=6，综上所述，正确的结论是：①②③④，共有 4 个．∴点 B 到直线 y=x 的距离为 6× =3 ，应选 D．∵3 ＞4，∴以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与直线 y=x 没有交点，因此，点 C 的个数是 1+2=3 ．应选 B．谈论：此题观察了角均分线的性质、线段垂直均分线的性质以及作图﹣根本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判断与性质．12．〔4 分〕〔2021?龙岩〕如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点 C 在直线 y=x 上．假设以 A、B、C 三点为极点的三角形是等腰三角形，那么点 C的个数是〔〕谈论：此题观察了等腰三角形的判断，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思13．〔4 分〕〔2021?重庆〕如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 ，F 是 AB边上的中点，点 D，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：A．2 B．3 C．4 D．5①△DFE 是等腰直角三角形；8②四边形 CDFE 不能能为正方形，因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时， DF 也最小；③ DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变；即当 DF⊥AC 时， DE 最小，此时 DF= BC=4．⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是〔〕∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时 S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．应选 B．A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤考点：正方形的判断；全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．解析：解此题的要点在于判断△DEF 可否为等腰直角三角形，作老例辅助线连接 CF，由 SAS 定理可证△CFE 和△ADF 全等，进而可证∠DFE=90 °，DF=EF．因此△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；谈论：此题观察知识点很多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采判断③，⑤比较麻烦，由于△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF，当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， DE此题难度稍稍降低一些．取最小值 4 ，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形 CDEF 的面积减去△DEF 的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．二、填空题〔每题 4 分，共 24 分〕解答：解：连接 CF；14．〔4 分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°时〞，第一应∵△ABC 是等腰直角三角形，假设这个三角形中每一个内角都大于 60°．∴∠FCB=∠A=45 °，CF=AF=FB ；∵AD=CE ，考点：反证法．∴△ADF ≌△CEF；解析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．∴EF=DF，∠CFE=∠AFD ；解答：解：依照反证法的步骤，第一步应假设结论的反面建立，即三角形的每一个内角∵∠AFD+ ∠CFD=90 °，故答案为：每一个内角都大于 60°．谈论：此题主要观察了反证法，反证法的步骤是：〔1〕假设结论不能立；〔2〕从假设出∴∠CFE+∠CFD= ∠EFD=90 °，∴△EDF 是等腰直角三角形．建立，那么结论建立．在假设结论不能马上要注意考虑结论的反面所有可能的情况因此①正确．定一种就可以了，若是有多种情况，那么必定一一否认．当 D、E 分别为 AC、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此②错误． 215．〔4 分〕〔2021?雅安〕假设〔 a﹣1〕 +|b﹣2|=0，那么以 a、b 为边长的等腰三角形的周长为5 ．∵△ADF ≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF ∴S 四边形CEFD=S△AFC，9考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类谈论． 17．〔4 分〕如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF，DE 过点 I，且解析：先依照非负数的性质列式求出 a、b 再分情况谈论求解即可．DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm，那么 DE 等于 3cm ．解答：解：依照题意得， a﹣1=0，b﹣2=0，解得 a=1，b=2，①假设 a=1 是腰长，那么底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2，∵1+1=2，∴不能够组成三角形，②假设 a=2 是腰长，那么底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，考点：等腰三角形的判断与性质；平行线的性质．周长=2+2+1=5 ．解析：由 BI、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I，且 DE∥BC，易得△BDI 与△E故答案为： 5．得答案．谈论：此题观察了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要谈论求．解答：解：∵BI 、CI 分别均分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI= ∠CBI ，∠ECI=∠ICF，16．〔4 分〕如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90 °，DE 是 AC 的垂直均分线，交 AC ∵DE∥BC，于点 D，交 BC 于点 E，∠BAE=20 °，那么∠C= 35°．∴∠DIB= ∠CBI ，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI= ∠DIB ，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ，∴DE=DI ﹣EI=3 〔cm〕．故答案为： 3cm．谈论：此题观察了等腰三角形的性质与判断以及平行线的性质．注意由角均分线与平行考点：线段垂直均分线的性质． 18．〔4 分〕〔2021?东营〕如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为 1m，在容解析：由 DE 是 AC 的垂直均分线，依照线段垂直均分线的性质，可得 AE=CE ，又由在 Rt器△内AB壁C离中容，器∠底部A B C =09. 30m°，的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m〔容器∠BAE=20 °，即可求得∠C 的度数．解答：解：∵DE 是 AC 的垂直均分线，厚度忽略不计〕．∴AE=CE ，∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt△ABE 中，∠ABC=90 °，∠BAE=20 °，∴∠AEC=70 °，∴∠C+∠CAE=70 °，∴∠C=35°．故答案为： 35°．谈论：此题观察了线段垂直均分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10考点：平面张开 -最短路径问题．专题：压轴题．解析：将容器侧面张开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，依照两点之间线段最短可知 A′B 的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为，底面周长为 1m，在容器内壁离容器底部的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正幸好容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点 A 处，∴A′，，考点：轴对称 -最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换〔折叠问题〕．∴将容器侧面张开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′B，那么 A′B 即为最短距离，专题：压轴题．解析：连接 CE，交 AD 于 M ，依照折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BP A′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，解答：=〔m〕．故答案为：．解：连接 CE，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，∴∠ACD= ∠AED=90 °，AC=AE ，∠CAD= ∠EAD ，∴AD 垂直均分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称， CD=DE=1 ，∴当P和D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+∵∠DEA=90 °，谈论：此题观察了平面张开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形张开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题∴的∠DEB=90 °，要点．同时也观察了同学们的创立性思想能力．∵∠B=60 °，DE=1 ，∴BE= ，BD= ， 19．〔4分〕〔2021?资阳〕如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60 °，点 D 是 BC边上的点， CD=1 ，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，假设即 BC=1+ ，点 P 是直线 AD 上的动点，那么△PEB 的周长的最小值是 1+ ．∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为： 1+ ．11谈论：此题观察了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的应用，要点是求出 P 点的地址，题目比较好，难度适中．三、解答题〔每题 7 分，共 14 分〕20．〔7 分〕〔2021?常州〕如图， C 是 AB 的中点， AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A= ∠B．考点：作图—应用与设计作图．解析：依照点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB 的直均分线上，即∠AOB 的角均分线和 CD 垂直均分线的交点处即为点 P．解答：解：以以下图：作 CD 的垂直均分线，∠AOB 的角均分线的交点 P 即为所求．考点：全等三角形的判断与性质．专题：证明题；压轴题．解析：依照中点定义求出 AC=BC ，尔后利用“SSS〞证明△ACD 和△BCE 全等，再依照全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C 是 AB 的中点，∴AC=BC ，谈论：此题主要观察了线段的垂直均分线和角均分线的作法．这些根本作图要熟练掌握在△ACD 和△BCE 中，，四、解答题〔每题 10 分，共 40 分〕22．〔10 分〕〔2021 ?攀枝花模拟〕在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90 °，∠DCA=30 °，∴△ACD ≌△BCE〔SSS〕， CA 均分∠DCB ，AD=4cm ，∴∠A= ∠B．求 AB 的长度？谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．〔7 分〕〔2021?兰州〕如图，两条公路 OA 和 OB 订交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D，现要修建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA、OB 的距离相等，且到两工厂 C、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的地址．〔要求：不写作法，保存作图印迹，写出结论〕考点：勾股定理；等腰三角形的判断与性质；含 30 度角的直角三角形．专题：压轴题．解析：过 B 作 BE⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90 °，∠DCA=30 °，能够求出 AC 的长，依照12以及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长．解析：〔1〕依照角均分线性质求出 CD=DE ，依照 HL 定理求出另三角形全等即可；解答：解：∵∠D=90 °，∠DCA=30 °，AD=4cm ，〔2〕求出∠DEB=90 °，DE=1 ，依照含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：〔1〕证明：∵AD 均分∠CAB ，DE⊥AB ，∠C=90°，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 均分∠DCB ，AB ∥CD，∴CD=ED ，∠DEA= ∠C=90°，∴∠CAB= ∠ACB=30 °，∵在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中∴AB=BC ，过 B 作 BE⊥AC ，∴Rt△ACD ≌Rt△AED 〔HL 〕；∴AE= AC=4cm ，〔2〕解：∵DC=DE=1 ，DE⊥AB ，∴cos∠EAB= = ，∴∠DEB=90 °，∵∠B=30 °，∴ cm．∴BD=2DE=2 ．谈论：此题观察了全等三角形的判断，角均分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应点到角两边的距离相等．24．〔10 分〕〔2021?大庆〕如图，把一个直角三角形 ACB 〔∠ACB=90 °〕绕着极点B 顺时针旋转 60°，使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D，点 A 旋转到点 E 的地址．F，G 分别是 BD ，BE 上的点， BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H．谈论：此题观察了平行线的性质、角均分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的要点是作高线构造〔直1〕角求三证角：形，CF=DG ；利用锐角三角函数求出 AB 的长．〔2〕求出∠FHG 的度数．23．〔10 分〕〔2021?温州〕如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 均分∠CAB ，交 CB于点 D，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E．〔1〕求证：△ACD ≌△AED ；〔2〕假设∠B=30°，CD=1 ，求 BD 的长．考点：全等三角形的判断与性质．解析：〔1〕在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角〔2〕依照全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF= ∠CBF=60 °，进而求解．考点：全等三角形的判断与性质；角均分线的性质；含 30 度角的直角三角形．解答：〔1〕证明：∵在△CBF 和△DBG 中，13∴△BDF ≌△CDA ，，∴BF=AC ．〔2〕由〔 1〕得 BF=AC ，∴△CBF≌△DBG 〔SAS〕，∴CF=DG ；∵BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC ，〔2〕解：∵△CBF≌△DBG ，∴在△ABE 和△CBE 中，，∴∠BCF= ∠BDG ，又∵∠CFB= ∠DFH，∴△ABE ≌△CBE 〔ASA 〕，∴∠DHF= ∠CBF=60 °，∴CE=AE= AC= BF．∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180 °﹣60°=120°．谈论：此题观察了全等三角形的判断与性质，正确证明三角形全等是要点．谈论：此题主要观察了全等三角形的判断及性质以及线段垂直均分线的性质等问题，应五、解答题〔每题 12 分.共 24 分〕25．〔10 分〕：如图，△ABC 中，∠ABC=45 °，DH 垂直均分 BC 交 AB 于点D，BE 均分∠ABC ，且 BE⊥AC 于 E，与 CD 订交于点 F． 26．〔12 分〕如图，在△ABC 中，D 是 BC 是中点，过点 D 的直线 GF 交 AC 于点〔1〕求证： BF=AC ；F，交 AC 的平行线 BG 于点 G，DE⊥DF 交 AB 于点 E，连接 EG、EF．〔1〕求证： BG=CF ；〔2〕求证：．〔2〕求证： EG=EF；〔3〕请你判断 BE+CF 与 EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判断与性质；线段垂直均分线的性质．专题：证明题．解析：〔1〕由 ASA 证△BDF ≌△CDA ，进而可得出第〔 1〕问的结论；考点：全等三角形的判断与性质；等腰三角形的判断与性质．〔2〕在△ABC 中由垂直均分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一问的分结析论：即可〔求1解〕．求出∠C=∠GBD ，BD=DC ，依照 ASA 证出△CFD ≌△BGD 即可．解答：证明：〔1〕∵DH 垂直均分 BC，且∠ABC=45 °，〔2〕依照全等得出 GD=DF ，依照线段垂直均分线性质得出即可．∴BD=DC ，且∠BDC=90 °，〔3〕依照全等得出 BG=CF ，依照三角形三边关系定理求出即可．解答：〔1〕证明：∵BG∥AC，∵∠A+ ∠ABF=90 °，∠A+ ∠ACD=90 °，∴∠ABF= ∠ACD ，∴∠C=∠GBD ，14∵D 是 BC 是中点，∴BD=DC ，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD≌△BGD ，∴BG=CF ．〔2〕证明：∵△CFD≌△BGD ，考点：等腰三角形的判断与性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的判断．解析：〔1〕依照题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，尔后经过求证△EAB ≌△DA∴DG=DF ，∵DE⊥GF，即可推出△EFB 为等边三角形，〔2〕①依照〔 1〕的推理依照，即可推出△EFB意画出图形，尔后依照平行线的性质，经过求证△EAB ≌△DAC ，推出等量关系∴EG=EF．三角形．〔3〕BE+CF ＞EF，解答：解：〔1〕∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE=60 °，证明：∵△CFD≌△BGD ，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，∴CF=BG ，∴∠C=∠ABC=60 °，∠EAB= ∠DAC ，在△BGE 中，BG+BE ＞EG，∴△EAB ≌△DAC ，∵EF=EG，∴∠EBA= ∠C=60°，∴BG+CF ＞EF．∵EF∥BC，谈论：此题观察了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，线段垂直均分线性质，三角形三边关系定理的应∴用∠，EFB=∠ABC=60 °，主要观察学生的推理能力．∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60 °，∴△EFB 为等边三角形，27．〔12 分〕△ABC 中，AB=AC ，点 D 为射线 BC 上一个动点〔不与 B、C 重合〕，以 AD 为一边向 AD 的左侧作△ADE ，使 AD=AE ，∠DAE= ∠BAC ，过点 E 作 BC 〔2〕①△BEF 为等腰三角形，的平行线，交直线 AB 于点 F，连接 BE．∵AB=AC ，AD=AE ，∠BAC= ∠DAE ，〔1〕如图 1，假设∠BAC= ∠DAE=60 °，那么△BEF 是等边三角形；∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，〔2〕假设∠BAC= ∠DAE ≠60°∴∠C=∠ABC ，∠EAB= ∠DAC ，①如图 2，当点 D 在线段 BC 上搬动，判断△BEF 的形状并证明；∴△EAB ≌△DAC ，②当点 D 在线段 BC 的延长线上搬动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并∴∠EBA= ∠C，画出相应的图形．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC ，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA ，∴△EFB 为等腰三角形，。

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高(可编辑修改word版)

三角形的证明单元检测卷1．（4 分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b| 3．△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB 的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．（4 分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF➴△CBE 的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 5．（4 分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）A．10 B．8 C．5 D．2.56.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC 于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2 D．17（．4 分）如图，AB=AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF 相交于点D，则①△ABE➴△ACF；②△BDF➴△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8（．4 分）如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，E 是BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD 等于（）A．10 B．12 C．24 D．48 9．如图所示，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC 的长度是（）A． 6 B．8 C．9 D．1010．（4 分）（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．412．（4 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．513．（4 分）如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D，E 分别在AC，BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题（每小题4 分，共24 分）214．（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中．15．（4 分）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．（4 分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE 是AC 的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE=20°，则∠C= ．17．（4 分）如图，在△ABC 中，BI、CI 分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE 等于．18.如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．三、解答题（每小题7 分，共14 分）20．（7 分）如图，C 是AB 的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．（7 分）如图，两条公路OA 和OB相交于O 点，在∠AOB 的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB 的距离相等，且到两工厂C、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题（每小题10 分，共40 分）22．（10 分）在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA 平分∠DCB，AD=4cm，求AB 的长度？23．（10 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D，过点D 作DE⊥AB 于点E．（1）求证：△ACD➴△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．24．（10 分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D，点A 旋转到点E 的位置．F，G 分别是BD，BE 上的点，BF=BG，延长CF 与DG 交于点H．（1）求证：CF=DG；（2）求出∠FHG 的度数．25．（10 分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC 交AB 于点D，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F．（1）求证：BF=AC；（2）求证：．五、解答题（每小题12 分.共24 分）26．（12 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D的直线GF 交AC 于点F交，AC 的平行线BG 于点G，DE⊥DF交AB 于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．27．（12 分）△ABC 中，AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．故选：C．北师大版八年级下册《第1 章三角点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结形的证明》2014 年单元检测卷A 命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的（一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4 分，共48 分）1．（4 分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）3．（4 分）△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB 的长是（）A．5cm B．6cm C．7cm D考点：含30 度角的直角三角形．分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中的一半．A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．解20答°：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．（4 分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a=6，则|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．边是斜边的一半，得最长边是最小边的 2 倍，即8，故选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．（4 分）（2013•安顺）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF➴△CBE 的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答：解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，解答：解；A．如果a＞0，b＞0，则a+b＞0：如果a+b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．若a=6，则|a|=|b|的逆命题是若|a|=|b|，则a=6，是假命题．∴AF=CE，A、∵在△ADF 和△CBE 中又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一5∴△ADF➴△CBE（ASA），正确，故本选项错误；∴CE=BE=10．故选A．点评：本题考查了含30 度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是题目比较典型，难度适中．B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB 不能推出△ADF➴△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF➴△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF 和△CBE 中∴△ADF➴△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选B．6．（4 分）（2013•邯郸一模）如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC 于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，则BD 的长为（）A．2.5 B．1.5 C．2 D考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由已知条件判定△BEC 的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，点评：本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，（AC﹣BC）．．5．（4 分）（2012•河池）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的长为（）ASA，AAS，SSS解答：解：如图，∵CD 平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．∵AC=5，BC=3，A．10 B．8 C．5 D．2.5考点：线段垂直平分线的性质；含30 度角的直角三角形．∴BD= （5﹣3）=1．故选D．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30 度角的直角三角形性质求出BE 点的评长：，即本可题求考出查C了E等长腰．三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一”性质的运用．解答：解：∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°（线段垂直平分线的性质），∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10（直角三角形的性质），7．（4 分）如图，AB=AC，BE⊥AC 于点E，CF⊥AB 于点F，BE、CF 相交于点D，则①△ABE➴△ACF；②△BDF➴△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上结论正确的是（）6①②③论，进而得到更多的结论，A ．①B ．②C ．①②D ． 8（．4 分）如图所示，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是 BC 上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则 AD 等于（）考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：常规题型．分析：从已知条件进行分析，首先可得△ABE ➴△ACF 得到角相等和边相等，运用这些结最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答：解：∵BE ⊥AC 于 E ，CF ⊥AB 于 F∴∠AEB=∠AFC=90°， ∵AB=AC ，∠A=∠A ， ∴△ABE ➴△ACF （①正确）∴AE=AF ， ∴BF=CE ，∵BE ⊥AC 于 E ，CF ⊥AB 于 F ，∠BDF=∠CDE ， ∴△BDF ➴△CDE （②正确） ∴DF=DE ，连接 AD ，A ．10B ．12C ．24 D考点：勾股定理；含 30 度角的直角三角形．分析：本题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，∠BAE=∠DEC=60°∴∠AEB=∠CDE=30°∵30°所对的直角边是斜边的一半 ∴AE=6，DE=8 又∵∠AED=90° 根据勾股定理∴AD=10．故选 A ．点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边的性质．∵AE=AF ，DE=DF ，AD=AD ， ∴△AED ➴△AFD ， ∴∠FAD=∠EAD ，即点 D 在∠BAC 的平分线上（③正确）故选 D ．9．（4 分）如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分 ∠BAC ．∠EBC=∠E=60°，若 BE=6，DE=2，则 BC 的长度是（）点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．7A．6 B．8 C．9 D．点10评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN 的长是解决考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．10．（4 分）（2013•遂宁）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，以A 为圆心，任分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM 为等边三角形，△EFD 为等边三意长为半径画弧分别交AB、AC 于点M 和N，再分别以M、N 为圆心，大于MN 角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．解答：解：延长ED 交BC 于M，延长AD 交BC 于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD 平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6，DE=2，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP 并延长交BC 于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A.1B．2 C．3 D考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．专题：压轴题．分析：①根据作图的过程可以判定AD 是∠BAC 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC故选B．③利用等角对等边可以证得△ADB 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性中垂线上；④利用30 度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三解答：解：①根据作图的过程可知，AD 是∠BAC 的平分线．故①正确；8 ②如图，∵在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D 在AB 的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD 中，∠2=30°，∴CD= AD，∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD．判定与性质．12．（4 分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A（0，2），B（0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A、B、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A.2B．3 C．4 D考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB 的垂直平分线与直求出AB 的长，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为点∴S△ABC= AC•BC= AC•AD= AC•AD，∴S△DAC：S△ABC= AC•AD：AC•AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4 个．故选D．的距离可知以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB 的垂直平分线与直线y=x 相交于点C1，∵A（0，2），B（0，6），∴AB=6﹣2=4，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B 到直线y=x 的距离为6×=3 ，∵3 ＞4，∴以点B 为圆心，以AB 的长为半径画弧，与直线y=x 没有交点，所以，点C 的个数是1+2=3．故选B．点评：本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的9判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF 是等腰直角三角形 DE= DF ，当 DF 与 BC 取最小值 4，故③错误，△CDE 最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去△DEF 是正确的．故只有①④⑤正确．解答：解：连接 CF ；∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB ； ∵AD=CE ， ∴△ADF ➴△CEF ；∴EF=DF ，∠CFE=∠AFD ； ∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形∴△象E 直D F 观是．等腰直角三角形．因此①正确．13．（4 分）（2009•重庆）如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是 AB 边上的中点，点 D ，E 分别在 AC ，BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ，DF ， EF ．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形；②四边形 CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为 4；④四边形 CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为 8．其中正确的结论是（）当 D 、E 分别为 AC 、BC 中点时，四边形 CDFE 是正方形．因此②错误． ∵△ADF ➴△CEF ，∴S △CEF =S △ADF ∴S 四边形 CEFD =S △AFC ，因此④正确．由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当 DE 最小时，DF 也最小；即当 DF ⊥AC 时，DE 最小，此时 DF=BC=4．∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE 面积最大时，由④知，此时△DEF 的面积最小．此时 S △CDE =S 四边形 CEFD ﹣S △DEF =S △AFC ﹣S △DEF =16﹣8=8；因此⑤正确．A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤故选 B ．考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：解此题的关键在于判断△DEF 是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF ，由SAS 定理可证△CFE 和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF ．所以△DEF 是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；10点评：本题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用1排6．除（法4 分等）特如有图方，法在，使Rt △ABC 中，∠ABC=90°，DE 是 AC 的垂直平分线，交 AC此题难度稍稍降低一些．二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 14．（4 分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于 60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于 60° ．考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．于点 D ，交 BC 于点 E ，∠BAE=20°，则∠C= 35° ．考点：线段垂直平分线的性质．解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都分大析于：60由°．DE 是 AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得 AE=CE ，又由在故答案为：每一个内角都大于 60°． ∠BAE=20°，即可求得∠C 的度数．点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出解发答推：出矛解盾：；∵D （E 3是）假AC 设的垂直平分线，不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只∴A 有E 一=C 种E ，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．15．（4 分）（2013•雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以 a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 5 ． ∴∠C=∠CAE ，∵在 Rt △ABE 中，∠ABC=90°，∠BAE=20°， ∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边点关评系：．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出 a 、b 再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a ﹣1=0，b ﹣2=0，解得 a=1，b=2，①若 a=1 是腰长，则底边为 2，三角形的三边分别为 1、1、2， ∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若 a=2 是腰长，则底边为 1，三角形的三边分别为 2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．17．（4 分）如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I ，且 DE ∥BC ．BD=8cm ，CE=5cm ，则 DE 等于 3cm ．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由 BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，DE 过点 I ，且 DE ∥BC ，易得△BDI 与△ECI 案．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于解要答讨：论求解解：．∵BI 、CI 分别平分∠ABC 、∠ACF ，∴∠ABI=∠CBI ，∠ECI=∠ICF ，11得等腰三角形．长度即为所 ∵DE ∥BC ，∴∠DIB=∠CBI ，∠EIC=∠ICF ， ∴∠ABI=∠DIB ，∠ECI=∠EIC ， ∴DI=BD=8cm ，EI=CE=5cm ， ∴DE=DI ﹣EI=3（cm ）．故答案为：3cm ．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易 ==1.3（m ）．故答案为：1.3．18．（4 分）（2013•东营）如图，圆柱形容器中，高为 1.2m ，底面周长为 1m ，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m （容器厚度忽略不计）．点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．（4 分）（2013•资阳）如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是 1+．考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A ′，根据两点之间线段最短可知 A ′B 的求．解答：解：如图：∵高为 1.2m ，底面周长为 1m ，在容器内壁离容器底部 0.3m 的点 B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m 与蚊子相对的点 A 处，∴A ′D=0.5m ，BD=1.2m ，∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A ′，连接 A ′B ，则 A ′B 即为最短距离，考点：轴对称-最短路线问题；含 30 度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：连接 CE ，交 AD 于 M ，根据折叠和等腰三角形性质得出当 P 和 D 重合时，PE+BPA ′B=的周长最小，最小值是 BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出 BC 和 BE 长，12解答：解：连接 CE ，交 AD 于 M ，∵沿 AD 折叠 C 和 E 重合，考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题． ∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE ，∠CAD=∠EAD ，分析：根据中点定义求出 AC=BC ，然后利用“SSS ”证明△ACD 和△BCE 全等，再根据全∴AD 垂直平分 CE ，即 C 和 E 关于 AD 对称，CD=DE=1，即可． ∴当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时△BPE 的周长最小，最小值是 BE+PE+P 解B=答B ：E +C 证D 明+D ：E ∵=C B C 是+B A E B ，的中点， ∵∠DEA=90°， ∴∠DEB=90°， ∵∠B=60°，DE=1， ∴BE=，BD=，即 BC=1+，∴AC=BC ，在△ACD 和△BCE 中，，∴△ACD ➴△BCE （SSS ）， ∴∠A=∠B ．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两∴△PEB 的周长的最小值是 BC+BE=1++=1+，角形对应角相等的性质．点评：故答案为：1+．21．（7 分）（2013•兰州）如图，两条公路 OA 和 OB 相交于 O 点，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D ，现要修建一个货站 P ，使货站 P 到两条公路 OA 、OB 的距离相等，本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含 30 度角的直角三角形性质的且到两工厂 C 、D 的距离相等，用尺规作出货站 P 的位置．（要求：不写作法，保应用，关键是求出 P 点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题（每小题 7 分，共 14 分） 20．（7 分）（2013•常州）如图，C 是 AB 的中点，AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B ．留作图痕迹，写出结论）考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点 P 到∠AOB 两边距离相等，到点 C 、D 的距离也相等，点 P 既在∠AOB13保留作图痕迹．直平分线上，即∠AOB 的角平分线和 CD 垂直平分线的交点处即为点 P ．解答：解：如图所示：作 CD 的垂直平分线，∠AOB 的角平分线的交点 P 即为所求．∴cos ∠EAB= =，∴cm ．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意点评：本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键四、解答题（每小题 10 分，共 40 分）22．（10 分）（2013•攀枝花模拟）在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°， ∠DCA=30°，CA 平分∠DCB ，AD=4cm ，求 AB 的长度？利用锐角三角函数求出 AB 的长．23．（10 分）（2013•温州）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交 CB 于点 D ，过点 D 作 DE ⊥AB 于点 E ．（1）求证：△ACD ➴△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求 BD 的长．考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：过 B 作 BE ⊥AC ，由 AD=4m 和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出 AC 的长，根据平行考线点的：性全质等和三角角平形分的线判以定与性质；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形．及等腰三角形的性质即可求出 AD 的长．解答：解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm ，∴AC=2AD=8cm ，∵CA 平分∠DCB ，AB ∥CD ， ∴∠CAB=∠ACB=30°， ∴AB=BC ，过 B 作 BE ⊥AC ， ∴AE= AC=4cm ，分析：（1）根据角平分线性质求出 CD=DE ，根据 HL 定理求出另三角形全等即可；（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含 30 度角的直角三角形性质求出即可．解答：（1）证明：∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=ED ，∠DEA=∠C=90°， ∵在 Rt △ACD 和 Rt △AED 中∴Rt △ACD ➴Rt △AED （HL ）；14（2）解：∵DC=DE=1，DE ⊥AB ， ∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．∴∠DHF=∠CBF=60°， ∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．（10 分）（2013•大庆）如图，把一个直角三角形 ACB （∠ACB=90°）绕着顶点 B 顺时针旋转 60°，使得点 C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点 A 旋转到点 E 的位置．F ，G 分别是 BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长 CF 与 DG 交于点 H ．（1）求证：CF=DG ；（2）求出∠FHG 的度数．25．（10 分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH 垂直平分 BC 交 AB 于点 D ，BE平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ．（1）求证：BF=AC ；（2）求证：．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：（1）由 ASA 证△BDF ➴△CDA ，进而可得出第（1）问的结论；考点：全等三角形的判定与性质．（2）在△ABC 中由垂直平分线可得 AB=BC ，即点 E 是 AC 的中点，再结合第一分析：（1）在△CBF 和△DBG 中，利用 SAS 即可证得两个三角形全等，利用全等三角形解的答对：应边证相明等：即（可1）证∵得D ；H 垂直平分 BC ，且∠ABC=45°，（2）根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：（1）证明：∵在△CBF 和△DBG 中，，∴△CBF ➴△DBG （SAS ）， ∴CF=DG ；（2）解：∵△CBF ➴△DBG ， ∴∠BCF=∠BDG ，又∵∠CFB=∠DFH ，∴BD=DC ，且∠BDC=90°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD ， ∴△BDF ➴△CDA ，∴BF=AC ．（2）由（1）得 BF=AC ，∵BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC ，∴在△ABE和△CBE中，，15∴△ABE➴△CBE（ASA），∴CE=AE= AC= BF．（2）证明：∵△CFD➴△BGD，∴DG=DF，点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．∵DE⊥GF，∴EG=EF．五、解答题（每小题12 分.共24 分）26．（12 分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D 的直线GF 交AC 于点F，交AC 的平行线BG 于点G，DE⊥DF 交AB 于点E，连接EG、EF．（1）求证：BG=CF；（2）求证：EG=EF；（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA 证出△CFD➴△BGD 即可．（2）根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．（3）根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：（1）证明：∵BG∥AC，∴∠C=∠GBD，∵D 是BC 是中点，∴BD=DC，在△CFD 和△BGD 中∴△CFD➴△BGD，∴BG=CF．（3）BE+CF＞EF，证明：∵△CFD➴△BGD，∴CF=BG，在△BGE 中，BG+BE＞EG，∵EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，主要考查学生的推理能力．27．（12 分）△ABC 中，AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明；②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：（1）根据题意推出△AED 和△ABC 为等边三角形，然后通过求证△EAB➴△DAC16AF根E=据∠题A C意B画，可推出△EFB 为等边三角形，（2）①根据（1）的推理依据，即可推出△EFB 为等腰三角形，∴∠②出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB➴△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB∵在为△等E腰FB三中角，形∠．EBF=∠AFE，∴△EFB 为等腰三角形．解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED 和△ABC 为等边三角形，Array∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB 为等边三角形，（2）①△BEF 为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，点评：本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形∴∠EBA=∠C，根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．∵EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，∵在△EFB 中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB 为等腰三角形，②AB=AC，点D 为射线BC 上一个动点（不与B、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC 的平行线，交直线AB 于点F，连接BE．∵△BEF 为等腰三角形，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED 和△ABC 为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB➴△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∵∠ABC=∠ACB，。

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题(附答案)

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元培优测试题（附答案）1．如图，DE ∥GF ，A 在DE 上，C 在GF 上△ABC 为等边三角形，其中∠EAC ＝80°，则∠BCG 度数为（）A ．20°B ．10°C ．25°D ．30°2．如图，已知∠COB =2∠AOC ，OD 平分∠AOB ，且∠COD =200，则∠AOB =（）A ．400B ．600C ．1200D ．13503．如图，等腰三角形ABC 的周长为21，底边BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在ABC ∆中，AB ，AC 的垂直平分线DF ，EG 交于点M ，点F ，G 在BC 上.若46GAF ∠=︒，则M ∠的度数为( )A ．67°B ．65°C ．55°D ．45°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝30°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，且交AD 于P ，如果AP ＝2，则P 点到AB 的距离为( )A．1 B．2 C．3 D．46．在△ABC中，AB=AC，∠C=75°，则∠A的度数是（）A．30°B．50°C．75°D．150°7．等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（）A．120°B．150°C．60°D．90°8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，AC=4，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG，交BC于点D，则D到AB的距离为（）A．2B．4C．43D．239．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P若点P的坐标为（﹣2a，4a﹣6），则a的值为（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣210．如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A ．10-15 B ．10-5C ．5-5D ．20-10 11．如图，直线12l l ∕∕，点A 在直线2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12,l l 于点,C B ，连接,AC BC . 若54ABC ∠=︒，则1∠的度数为____________.12．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的底角是 13．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，若BC=5cm,则BD+DE=______.14．在Rt △ABC 纸片中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P 是AB 边上一点，连接CP ．沿CP 把Rt △ABC 纸片裁开，要使△ACP 是等腰三角形，那么AP 的长度是________15．如图所示，点O 是直线AB 上的点，OC 平分∠AOD ，∠BOD=40°，则∠AOC=________ °．16．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝2∠A ，BC ＝4cm ，AB ＝_____cm ．17．在Rt △ABC 中，∠C=900 ,∠B=600 ,BC=2㎝，则AB=______㎝.18．如图，在ABC ∆中，060A ∠=，D 为ABC ∆内一点，且030DBC DCB ∠=∠=，长CD 交AB 于点E ，延长BD 交AC 于点F ，过点D 作DH BC ⊥于点H ，当82DF DE +=时，DH =_________．19．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ABC 的周长为36，BC ＝13则△BCD 周长为_______.20．如图，已知：△ABC 中，∠C=90°，AC=40，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，AD ：DC=5：3，则D 点到AB 的距离是_____．21．如图，四边形ABCD 中，2,60,13,3AB AD A BC CD ==∠=︒==.(1)求ADC ∠的度数;(2)求四边形ABCD 的面积= . (第二问直接写答案)22．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =∠C =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠DEC =______°；点D 从B 向C 运动时，∠BDA 逐渐变______（填“大”或“小”）；（2）当DC 等于多少时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以，请说明理由．23．已知a ，b 满足|a ﹣7|+5b -+（c ﹣42）2＝0．（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断以a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．24．如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，过点E 作EF ∥CD 交BC 的延长线于点F ，连接CD ．（1）求证：DE ＝CF ；（2）求EF 的长．25．在ABC ∆中，已知A α∠=.（1）如图1，ABC ACB ∠∠、的平分线相交于点D ．①当80α=o 时，BDC ∠度数= 度（直接写出结果）；②BDC ∠的度数为（用含α的代数式表示）；（2）如图2，若ABC ∠的平分线与ACE ∠角平分线交于点F ,求BFC ∠的度数（用含α的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，将FBC ∆以直线BC 为对称轴翻折得到GBC ∆，GBC ∠的角平分线与GCB ∠的角平分线交于点M （如图3），求BMC ∠的度数（用含α的代数式表示）．26．已知：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点M、N分别在边AB、CD上，直线MN交矩形对角线AC于点E，将△AME沿直线MN翻折，点A落在点P处，且点P在射线CB上（I）如图①，当EP⊥BC时，①求证CE=CN；②求CN的长；（II）请写出线段CP的长的取值范围，及当CP的长最大时MN的长。

()北师大版初二年级下册《三角形证明》(培优)带答案

三角形的证明单元检测卷A1．〔4分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．〔4分〕以下命题的逆命题是真命题的是〔〕A．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．假设a=6，那么|a|=|b|3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．〔4分〕如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是〔〕A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC5．〔4分〕如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．假设ED=5，那么CE的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．6.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．假设AC=5，BC=3，那么BD的长为〔〕A． B． C．2 D．17．〔4分〕如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，那么①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的选项是〔〕A．①B．②C．①② D．①②③8．〔4分〕如下列图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，那么AD等于〔〕A．10B．12C．24D．489．如下列图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，假设BE=6，DE=2，那么BC的长度是〔〕A． 6 B．8 C．9 D．101210．〔4分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，那么以下说法中正确的个数是〔〕①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1 B．2 C．3 D．412．〔4分〕如图，在平面直角坐标系xOy中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点C在直线y=x 上．假设以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，那么点C的个数是〔〕A．2 B．3 C．4 D．513．〔4分〕如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是〔〕A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题〔每题4分，共24分〕14．〔4分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°〞时，首先应假设这个三角形中___．15．〔4分〕假设〔a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以a、b为边长的等腰三角形的周长为_．16．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，那么∠C=_________．17．〔4分〕如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，那么DE等于_________．18．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为m．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，假设点P是直线AD上的动点，那么△PEB的周长的最小值是．23三、解答题〔每题7分，共14分〕20．〔7分〕如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．21．〔7分〕如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂 C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题〔每题10分，共40分〕22．〔10分〕在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？23．〔10分〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．1〕求证：△ACD≌△AED；2〕假设∠B=30°，CD=1，求BD的长．24．〔10分〕如图，把一个直角三角形ACB〔∠ACB=90°〕绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF 与DG交于点H．〔1〕求证：CF=DG；〔2〕求出∠FHG的度数．3425．〔10分〕：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．1〕求证：BF=AC；〔2〕求证：．五、解答题〔每题12分.共24分〕26．〔12分〕如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．1〕求证：BG=CF；〔2〕求证：EG=EF；3〕请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．27．〔12分〕△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点〔不与B、C重合〕，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．〔1〕如图1，假设∠BAC=∠DAE=60°，那么△BEF是_________ 三角形；〔2〕假设∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．45北师大版八下?第1章三角形的证明?2021年单元检测卷A〔一〕参考答案与试题解析一、选择题〔每题4分，共48分〕1．〔4分〕〔2021?钦州〕等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°考点：等腰三角形的性质．专题：分类讨论．分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答：解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．应选B．点评：此题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．2．〔4分〕以下命题的逆命题是真命题的是〔〕A．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．假设a=6，那么|a|=|b|考点：命题与定理．分析：先写出每个命题的逆命题，再进行判断即可．解答：解；A．如果a＞0，b＞0，那么a+b＞0：如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0，是假命题；．直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．假设a=6，那么|a|=|b|的逆命题是假设|a|=|b|，那么a=6，是假命题．应选：C．点评：此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．〔4分〕△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4cm，最长边AB的长是〔〕A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：含30度角的直角三角形．分析：三个内角的比以及三角形的内角和定理，得出各个角的度数．以及直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．解答：解：根据三个内角的比以及三角形的内角和定理，得直角三角形中的最小内角是30°，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得最长边是最小边的2倍，即8，应选D．点评：此题主要是运用了直角三角形中角30°所对的直角边是斜边的一半．4．〔4分〕〔2021?安顺〕如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加以下一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是〔〕56A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC考点：全等三角形的判定．分析：求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．解答解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE〔ASA〕，正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE〔SAS〕，正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE〔ASA〕，正确，故本选项错误；应选B．点评：此题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．5．〔4分〕〔2021?河池〕如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．假设ED=5，那么CE的长为〔〕A．10 B．8 C．5 D．考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据线段垂直平分线性质得出BE=CE，根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长，即可求出CE长．解答：解：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE=CE，∠BDE=90°〔线段垂直平分线的性质〕，∵∠B=30°，∴BE=2DE=2×5=10〔直角三角形的性质〕，∴CE=BE=10．应选A．点评：此题考查了含30度角的直角三角形性质和线段垂直平分线性质的应用，关键是得到BE=CE和求出BE长，题目比较典型，难度适中．6．〔4分〕〔2021?邯郸一模〕如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE．假设AC=5，BC=3，那么BD的长为〔〕A．B．C．2 D．167考点：等腰三角形的判定与性质．分析：由条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，那么易求BD= BE= AE= 〔AC﹣BC〕．解答：解：如图，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=BE= AE= 〔AC﹣BC〕．AC=5，BC=3，∴BD=〔5﹣3〕=1．应选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三合一〞性质的运用．7．〔4分〕如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，那么①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的选项是〔〕A．①B．②C．①② D．①②③考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．专题：常规题型．分析：从条件进行分析，首先可得△ABE≌△ACF得到角相等和边相等，运用这些结论，进而得到更多的结论，最好运用排除法对各个选项进行验证从而确定最终答案．解答：解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠AEB=∠AFC=90°，AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF〔①正确〕∴AE=AF，∴BF=CE，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE〔②正确〕，∴DF=DE，连接AD，AE=AF，DE=DF，AD=AD，∴△AED≌△AFD，∴∠FAD=∠EAD，即点D在∠BAC的平分线上〔③正确〕，应选D．点评：此题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定方法等知识点，要求学生要灵活运用，做题时要由易到难，不重不漏．8．〔4分〕如下列图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，那么AD等A．10 B．12 C．24 D．48于〔〕考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．78分析：此题主要考查勾股定理运用，解答时要灵活运用直角三角形的性质．解答：解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∠BAE=∠DEC=60°，∴∠AEB=∠CDE=30°∵30°所对的直角边是斜边的一半，∴AE=6，DE=8又∵∠AED=90°，根据勾股定理，∴AD=10．应选A．点评：解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的性质．9．〔4分〕如下列图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，假设BE=6，DE=2，那么BC的长度是〔〕A．6 B．8 C．9 D．10考点：等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出BE=6，DE=2，进而得出△BEM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．解答：解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，BE=6，DE=2，∴DM=4，△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，NM=2，∴BN=4，∴BC=2BN=8，应选B．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．10．〔4分〕〔2021?遂宁〕如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，那么以下说法中正确的个数是〔〕①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线④S△DAC：S△ABC=1：3．上；A．1B．2C．3D．4考点：角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—根本作图．专题：压轴题．分析：①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，那么由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一〞的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．解答：解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；89②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC?CD= AC?AD．∴S△ABC= AC?BC= AC? AD= AC?AD，∴S△DAC：S△ABC= AC?AD： AC?AD=1：3．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．应选D．点评：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣根本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．12．〔4分〕〔2021?龙岩〕如图，在平面直角坐标系xOy中，A〔0，2〕，B〔0，6〕，动点C在直线y=x上．假设以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，那么点C的个数是〔〕A．2 B．3 C．4 D．5考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：压轴题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AB的垂直平分线与直线y=x的交点为点C，再求出AB的长，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为点C，求出点B到直线y=x 的距离可知以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线没有交点．解答：解：如图，AB的垂直平分线与直线y=x相交于点C1，A〔0，2〕，B〔0，6〕，∴AB=6﹣2=4，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x的交点为C2，C3，∵OB=6，∴点B到直线y=x的距离为6×=3 ，3＞4，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y=x没有交点，所以，点C的个数是1+2=3．应选B．点评：此题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．13．〔4分〕〔2021?重庆〕如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，以下结论：910①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是〔〕A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：压轴题；动点型．分析：解此题的关键在于判断△DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证△CFE和△ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形．可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的；判断③，⑤比较麻烦，因为△DEF是等腰直角三角形DE= DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值 4 ，故③错误，△CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去△DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的．故只有①④⑤正确．解答：解：连接CF；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；AD=CE，∴△ADF≌△CEF；∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形．因此①正确．当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．因此②错误．△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF∴S四边形CEFD=S△AFC，因此④正确．由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF= BC=4．∴DE= DF=4 ；因此③错误．当△CDE面积最大时，由④知，此时△DEF的面积最小．此时S△CDE=S四边形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8；因此⑤正确．应选B．点评：此题考查知识点较多，综合性强，能力要求全面，难度较大．但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些．二、填空题〔每题4分，共24分〕14．〔4分〕用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°〞时，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．考点：反证法．分析：熟记反证法的步骤，直接填空即可．解答：解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的每一个内角都大于60°．故答案为：每一个内角都大于60°．点评：此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：〔1〕假设结论不成立；〔2〕从假设出发推出矛盾；〔3〕假设不成立，那么结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，那么必须一一否认．15．〔4分〕〔2021?雅安〕假设〔a﹣1〕2+|b﹣2|=0，那么以a、b为边长的等腰三角形的周长为5．1011考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①假设a=1是腰长，那么底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②假设a=2是腰长，那么底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：此题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．16．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，那么∠C=35°．考点：线段垂直平分线的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，即可求得∠C的度数．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC=90°，∠BAE=20°，∴∠AEC=70°，∴∠C+∠CAE=70°，∴∠C=35°．故答案为：35°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．17．〔4分〕如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，那么DE等于3cm．考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．分析：由BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，DE过点I，且DE∥BC，易得△BDI与△ECI是等腰三角形，继而求得答案．解答：解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，DE=DI﹣EI=3〔cm〕．故答案为：3cm．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及平行线的性质．注意由角平分线与平行线，易得等腰三角形．18．〔4分〕〔2021?东营〕如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，那么壁虎捕捉蚊子的最短距离为 1.3 m〔容器厚度忽略不计〕．1112考点：平面展开-最短路径问题．专题：压轴题．分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．解答：解：如图：∵高为，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处，A′，，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，那么A′B即为最短距离，A′B==〔m〕．故答案为：．点评：此题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．19．〔4分〕〔2021?资阳〕如图，在沿直线AD翻折，使点C落在AB是1+ ．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC边上的点E处，假设点P是直线AD上的动点，那么△PEB的周长的最小值考点：轴对称-最短路线问题；含 30度角的直角三角形；翻折变换〔折叠问题〕．专题：压轴题．分析：连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE ，先求出BC和BE长，代入求出即可．解答：解：连接CE，交AD于M，∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1，∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE，∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°，∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD= ，即BC=1+ ，12∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1+ + =1+ ，故答案为：1+ ．点评：此题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．三、解答题〔每题7分，共14分〕20．〔7分〕〔2021?常州〕如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题．分析：根据中点定义求出AC=BC，然后利用“SSS〞证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．解答：证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE〔SSS〕，∴∠A=∠B．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，比较简单，主要利用了三边对应相等，两三角形全等，以及全等三角形对应角相等的性质．21．〔7分〕〔2021?兰州〕如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站的位置．〔要求：不写作法，保存作图痕迹，写出结论〕考点：作图—应用与设计作图．分析：根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P．解答：解：如下列图：作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求．点评：此题主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些根本作图要熟练掌握，注意保存作图痕迹．四、解答题〔每题10分，共40分〕22．〔10分〕〔2021?攀枝花模拟〕在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA平分∠DCB，AD=4cm，求AB的长度？1314考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：过B作BE⊥AC，由AD=4m和∠D=90°，∠DCA=30°，可以求出 AC的长，根据平行线的性质和角平分线以及等腰三角形的性质即可求出AD的长．解答：解：∵∠D=90°，∠DCA=30°，AD=4cm，∴AC=2AD=8cm，∵CA平分∠DCB，AB∥CD，∴∠CAB=∠ACB=30°，∴AB=BC，过B作BE⊥AC，∴AE=AC=4cm，∴cos∠EAB= = ，∴cm．点评：此题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，解题的关键是作高线构造直角三角形，利用锐角三角函数求出AB的长．23．〔10分〕〔2021?温州〕如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．〔1〕求证：△ACD≌△AED；〔2〕假设∠B=30°，CD=1，求BD的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．分析：〔1〕根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；2〕求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．解答：〔1〕证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED〔HL〕；2〕解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．点评：此题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．24．〔10分〕〔2021?大庆〕如图，把一个直角三角形ACB〔∠ACB=90°〕绕着顶点B顺时针旋转60°，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点 E的位置．F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H．〔1〕求证：CF=DG；〔2〕求出∠FHG的度数．考点：全等三角形的判定与性质．分析：〔1〕在△CBF和△DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得；〔2〕根据全等三角形的对应角相等，即可证得∠DHF=∠CBF=60°，从而求解．解答：〔1〕证明：∵在△CBF和△DBG中，，∴△CBF≌△DBG〔SAS〕，∴CF=DG；2〕解：∵△CBF≌△DBG，∴∠BCF=∠BDG，又∵∠CFB=∠DFH，∴∠DHF=∠CBF=60°，∴∠FHG=180°﹣∠DHF=180°﹣60°=120°．1415点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．25．〔10分〕：如图，△ABC中，∠ABC=45°，DH垂直平分BC交AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F．〔1〕求证：BF=AC；〔2〕求证：．考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：〔1〕由ASA证△BDF≌△CDA，进而可得出第〔1〕问的结论；2〕在△ABC中由垂直平分线可得AB=BC，即点E是AC的中点，再结合第一问的结论即可求解．解答：证明：〔1〕∵DH垂直平分BC，且∠ABC=45°，BD=DC，且∠BDC=90°，∵∠A+∠ABF=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠ABF=∠ACD，∴△BDF≌△CDA，∴BF=AC．2〕由〔1〕得BF=AC，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，∴在△A BE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE〔ASA〕，∴CE=AE= AC= BF．点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质以及线段垂直平分线的性质等问题，应熟练掌握．五、解答题〔每题12分.共24分〕26．〔12分〕如图，在△ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥DF交AB于点E，连接EG、EF．1〕求证：BG=CF；2〕求证：EG=EF；3〕请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：〔1〕求出∠C=∠GBD，BD=DC，根据ASA证出△CFD≌△BGD即可．2〕根据全等得出GD=DF，根据线段垂直平分线性质得出即可．3〕根据全等得出BG=CF，根据三角形三边关系定理求出即可．解答：〔1〕证明：∵BG∥AC，∴∠C=∠GBD，∵D是BC是中点，∴BD=DC，在△CFD和△BGD中∴△CFD≌△BGD，∴BG=CF．2〕证明：∵△CFD≌△BGD，∴DG=DF，∵DE⊥GF，∴EG=EF．（3〕BE+CF＞EF，1516证明：∵△CFD≌△BGD，∴CF=BG，在△BGE中，BG+BE＞EG，EF=EG，∴BG+CF＞EF．点评：此题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，线段垂直平分线性质，三角形三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．27．〔12分〕△ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点〔不与B、C重合〕，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．〔1〕如图1，假设∠BAC=∠DAE=60°，那么△BEF是等边三角形；〔2〕假设∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．考点：等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．分析：〔1〕根据题意推出△AED和△ABC为等边三角形，然后通过求证△EAB≌△DAC，结合平行线的性质，即可推出△EFB为等边三角形，〔2〕①根据〔1〕的推理依据，即可推出△EFB为等腰三角形，②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAB≌△DAC，推出等量关系，即可推出△EFB为等腰三角形．解答：解：〔1〕∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C=60°，E F∥BC，∴∠EFB=∠ABC=60°，在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△EFB为等边三角形，〔2〕①△BEF为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠C=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠C，EF∥BC，∴∠EFB=∠ABC，在△EFB中，∠EFB=∠EBA，∴△EFB为等腰三角形，②AB=AC，点D为射线BC上一个动点〔不与B、C重合〕，以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．∵△BEF为等腰三角形，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴△AED和△ABC为等腰三角形，∴∠ACB=∠ABC，∠EAB=∠DAC，∴△EAB≌△DAC，∴∠EBA=∠ACD，∴∠EBF=∠ACB，EF∥BC，∴∠AFE=∠ABC，∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ACB，在△EFB中，∠EBF=∠AFE，∴△EFB为等腰三角形．点评：此题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论．16。

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合培优提升测试( 含答案)

15．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为_____．
16．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
22．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=α，∠BCD=180°-α，BD平分∠ABC．
（1）如图，若α=90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA=CD，这个性质是；
（2）问题解决：如图，求证：AD=CD；
（3）问题拓展：如图，在等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD=BC．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(2，1)，点A是x轴上的一个动点，当△PAO是等腰三角时，点A的坐标为________________.
18．如图，直线直线于点，点、点是直线上的点，作直线且，作直线于点，在射线上取一点，使，的延长线交直线于点．若，则 ___________ .
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：EH2+CH2＝2AE2．
23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．若⊙O的半径为2．求阴影部分的面积．

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优(2021年整理)

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三角形的证明单元检测卷(提高)1等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（)A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°2．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．如果a＞0，b＞0,则a+b＞0B．直角都相等C．两直线平行,同位角相等D．若a=6，则|a|=｜b| 3．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=4 cm，最长边AB的长是A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．A D=CB C．B E=DF D．A D∥BC5．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5,则CE的长为（）A．10B．8C．5D．2.56.如图,D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D,交AC于点E，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3,则BD的长为（）A．2。

5B．1。

5C．2D．17．如图，AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF相交于点D，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③8．如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC,E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=3，CE=4，则AD等于（）A．10B．12C．24D．489．如图所示，在△ABC中,AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，则BC的长度是（）A．6B．8C．9D．1010．（如图，在△ABC中,∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A．1B．2C．3D．412．如图，在平面直角坐标系xOy中,A（0，2），B（0，6）,动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（)A．2B．3C．4D．513．如图，在等腰Rt△ABC中,∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE．连接DE，DF,EF．在此运动变化的过程中,下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形,③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤二、填空题14．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中___．15．若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ ．16．如图,在R t△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E,∠BAE=20°，则∠C=_________ ．17．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm,CE=5cm，则DE等于_________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1。

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】

北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。

北师大版八年级数学下册-第一章-三角形的证明(提高)

第一章三角形的证明一、八条基本事实1.两点确定一条直线；2.两点之间直线最短；3.同一平面内, 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；4、同位角相等, 两直线平行；5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）；8、三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；二、平行线的判定和性质判定: 内错角相等, 两直线平行；同旁内角互补, 两直线平行；性质：两直线平行, 同位角相等；两直线平行, 内错角相等；两直线平行, 同旁内角互补.三、全等三角形判定定理:1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)性质:全等三角形对应边相等, 对应角相等。

三角形全等常用来证明线段或角相等。

例: 如图, △ABC中, AC=BC, ∠ACB=90º, 点D在AC上, 点E在BC延长线上, CD=CE, BD的延长线交AE于点F, 连CF.（1）证明: ；（2）证明: .练习:1.在四边形ABCD中, AC=AB, DC=DB, ∠CAB=60°, ∠CDB=120°, E是AC上一点, F是AB延长线上一点, 且CE=BF．（1）求证: DE=DF；（2）若G在AB上且∠EDG=60°, 求证CE+BG=EG；2.如图, 在△ABC中, AB=AC.D是AB上一点, E是AC延长线上一点, 且CE=BD, 连结DE交BC 于F。

猜想DF与EF的大小关系并请证明你的猜想。

3.如图, RT△ABC中, ∠ACB=90º, △ABC的角平分线AD.BE相交于点P, 过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F, 交AC于点H.的度数；（1）求APB（2）证明: .四、等腰三角形1.性质定理: 等腰三角形有两边相等；(定义)定理: 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

北师大版初二年级下册《三角形的证明》(培优)带答案

10三角形的证明单元检测卷 A1.（ 4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是 80°则它顶角的度数是（）A . 80°B . 80 °或 20°C . 80或 50°D . 20°2. （4分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A .如果 a >0, b >0,贝U a+b >0B .直角都相等C .两直线平行，同位角相等D .若 a=6，则 |a|=|b|3. △ ABC 中，/ A :/ B :/ C=1 : 2: 3，最小边 BC=4 cm ，最长边 AB 的长是B . AD=CBC . BE=DF AD // BC△ ABC 中，/ B=30 ° BC 的垂直平分线交AB 于E ,垂足为 D . 若 ED=5，贝U CE 的长B. 8 C . 5D . 2.5 6•如图，D ABC 内一点，CD 平分/ ACB , BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点E , / A= / ABE .若AC=5 , BC=3，贝U BD 的长为（B . 1.5,BE 丄AC 于点E , CF 丄AB 于点F , BE 、CF 相交于点D ，则①△ ABE ◎△ ACF ; ）7. （4 分）如图，AB=AC ③点D 在/ BAC 的平分线上.以上结论正确的是（C .①②D .①②③AB 丄 BC , DC 丄BC , E 是 BC 上一点，/ BAE= / DEC=60 ° AB=3 , CE=4，贝U AD 等10B . 12C . 24D . 489.如图所示，在厶ABC 中, DE=2，则BC 的长度是（AB=AC , D 、E 是厶 ABC 内两点，AD 平分/ BAC . / EBC= / E=60 ° 若 BE=6 , )A . / A= / C 5. （4分）如图，在A . 10CA . 2.5A .①& （4分）如图所示,A . 5cmB . 6cm C. 7cm D. 8cm4. （4分）如图，已知AE=CF，/ AFD= / CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF ◎△ CBE的是（）17. （4 分）如图，在厶 ABC 中，BI 、CI 分别平分/ ABC 、/ ACF , DE 过点 I ，且 DE // BC . BD=8cm , CE=5cm , 则DE 等于 _____________________ . 18. 如图，圆柱形容器中，高为 1.2m ，底面周长为1m ,在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，10. （4 分）（2013?遂宁）如图，在 △ ABC 中，/ C=90° / AB 、AC 于点M 和N ，再分别以 M 、N 为圆心，大于 MN 2）B=30 °以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交的长为半径画弧，两弧交于点 P ,连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ①AD 是/ BAC 的平分线；② / ADC=60 ° ③点D 在AB的中垂线上；④S A DAC : SA ABC =1 : 3. C . 3D12. （4分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A （0, 2）, C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（（0, 6）,动点C 在直线y=x 上.若以A 、B 、）13. （4分）如图，在等腰 Rt △ ABC 中，/ C=90° AC=8 , F 是AB 边上的中点，点 D , E 分别在AC , BC 边上运动，且保持 AD=CE .连接DE , DF , EF .在此运动变化的过程中，下列结论: ①△ DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为 4;④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△ CDE 面积的最大值为 & 其中正确的结论是（）、填空题（每小题 4分，共24 分）14. （ 4分）用反证法证明命题三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中 _________215. （4分）若（a - 1） +|b - 2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 _______________16. （4分）如图，在 Rt △ ABC 中，/ ABC=90 ° DE 是AC 的垂直平分线，交 / BAE=20 ° 则/ C= ________________________ .AC 于点D ，交BC 于点E ,B此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为—m.19. _______________________________________________________________________________ 如图，在Rt△ ABC中，/ C=90 °, / B=60 °点D是BC边上的点，CD=1，将△ ABC沿直线AD翻折, 使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，贝U △ PEB的周长的最小值是_________________________________________________ .三、解答题（每小题 7分，共14 分）20. ( 7 分)如图，C 是 AB 的中点，AD=BE , CD=CE .求证：/ A= / B .21. （7分）如图，两条公路 OA 和OB 相交于O 点，在/ AOB 的内部有工厂 C 和D ，现要修建一个货站 P , 使货站P到两条公路 OA 、OB 的距离相等，且到两工厂 C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置.四、解答题（每小题 10分，共40分）22. (10 分)在四边形 ABCD 中，AB // CD ，/ D=90 ° / DCA=30 ° CA 平分/ DCB , AD=4cm ，求 AB 的长度？24. （10分）如图，把一个直角三角形 ACB （/ACB=90 °绕着顶点B 顺时针旋转60°使得点C 旋转到 AB 边上的一点 D ，点A 旋转到点E 的位置.F , G 分别是BD , BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交于点H . （1）求证：CF=DG ; （2）求出/ FHG 的度数.AF23. （10 分）如图，在 △ ABC 中，/ C=90° AD 平分/ CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE 丄AB 于点E .(1) 求证：△ ACD AED ;(2) 若/ B=30 ° CD=1，求 BD 的长.25. (10分)已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45 ° DH垂直平分BC交AB于点D, BE平分/ ABC，且BE丄AC于E,与CD相交于点F.(1)求证：BF=AC ;(2)求证：「二厂五、解答题(每小题12分.共24分)26. (12分)如图，在△ ABC中，D是BC是中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG 于点G , DE丄DF交AB于点E,连接EG、EF .(1)求证：BG=CF ; (2)求证：EG=EF ;(3)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.27. (12分)△ ABC中，AB=AC，点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合)，以AD为一边向AD的左侧作△ ADE，使AD=AE，/ DAE= / BAC ,过点E作BC的平行线，交直线AB于点F,连接BE.(1) ____________________________________________________ 如图1,若/ BAC= / DAE=60 °则厶BEF是三角形；(2)若/ BAC= / DAE 书0°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△ BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△ BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形.北师大版八下《第1章三角形的证明》20XX年单元检测卷A参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1. （4分）（2013?钦州）等腰三角形的一个角是80°则它顶角的度数是（）A .80°B . 80 或20 °C. 80。

2020-2021学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练

2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合培优提升训练（附答案）1．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交直线AC于点E，∠AEB＝80°，那么∠EBC等于（）A．15°B．25°C．15°或75°D．25°或85°2．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．三角形的高线B．边的中垂线C．三角形的中线D．三角形的角平分线3．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD4．如图，在△ABC中，E为边AC的中点，CD⊥AB于点D，AB＝2，BC＝1，DE＝，则∠CDE+∠BCD＝（）A．60°B．75°C．90°D．105°5．若一条长为31cm的细线能围成一边长等于7cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（）A．7cm B．9cm C．7cm或12cm D．12cm6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝α，且AE＝AD，则∠EDC＝（）A．αB．αC．αD．α7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，则下列结论不正确的是（）A．∠CAD＝∠BAD B．BD＝CD C．AE＝ED D．DE＝DB8．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A．B．C．D．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为．10．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动秒时，△DEB与△BCA全等．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1．将三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E，F，且使DE始终与AB垂直．（1）求证：△BDF是等边三角形；（2）若移动点D使EF∥AB时，求AD的长．12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求证：BC＝BE．13．如图，△ABC中AB＝AC，BD和CD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠ECA，BD 交AC于F，连接AD．（1）求证：AD平分∠GAC；（2）求证：AD∥BC．14．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．15．在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是AD上任意一点．（1）如图1，连接BE、CE，则BE＝CE吗？说明理由；（2）若∠BAC＝45°，BE的延长线与AC垂直相交于点F时，如图2，BD＝AE吗？说明理由．16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC＝∠B．17．如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE 交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．18．如图，已知在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若BC＝10，DE＝6，求△MDE的面积．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与P A相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，P A＝2，求线段DE的长．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．（1）求证：∠AEC＝∠ACE；（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．21．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系．参考答案1．解：如图1，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAC＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAC＝∠ABE＝50°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝65°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝15°如图2，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE，∵∠AEB＝80°，∴∠BAE＝∠EBA＝50°，∴∠BAC＝130°∵AB＝AC，∴∠ABC＝＝25°∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝75°故选：C．2．解：三角形的中线平分三角形的面积，故选：C．3．解：A、∵∠B和∠ACD都是∠CAB的余角，∴∠ACD＝∠B，故正确；B、∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴EF∥CD∴∠AEF＝∠CHE，∴∠CEH＝∠CHE∴CH＝CE＝EF，故正确；C、∵角平分线AE交CD于H，∴∠CAE＝∠BAE，又∵∠ACB＝∠AFE＝90°，AE＝AE，∴△ACE≌△AEF，∴CE＝EF，∠CEA＝∠AEF，AC＝AF，故正确；D、点H不是CD的中点，故错误．故选：D．4．解：∵CD⊥AB，E为AC边的中点，∴AC＝2DE＝，∵AB＝2，AC＝1，∴BC2+AC2＝12+（）2＝4＝22＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∴∠DCE＝60°，∵DE＝CE，∴∠CDE＝60°，∴∠CDE+∠BCD＝90°，故选：C．5．解：若腰长为7cm，设底边长为xcm，则7+7+x＝31，解得x＝17，此时三边长7cm、7cm、17cm，∵7+7＜17∴此三角形不成立；若底边长为7cm，设腰长为xcm，由题意得7+x+x＝31，解得x＝12，此时三边长7cm、12cm、12cm．答：该等腰三角形的腰长为12cm．故选：D．6．解：根据题意：在△ABC中，AB＝AC∴∠B＝∠C∵AE＝AD∴∠ADE＝∠AED，即∠B+∠α﹣∠EDC＝∠C+∠EDC化简可得：∠α＝2∠EDC∴∠EDC＝α．故选：A．7．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD，A正确，不符合题意；BD＝CD，B正确，不符合题意；∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠BAD，∵∠EAD＝∠BAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝ED，C正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意；故选：D．8．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）n﹣1×75°．故选：C．9．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，∵DA平分∠BAC，∴DE＝DH，同理可得DF＝DH，∴DE＝DF，∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，∴四边形BEDF为正方形，∴BE＝BF＝DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADH中，∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），∴AE＝AH，同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），∴CF＝CH，设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，∵AH+CH＝AC，∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，即BE＝2，在FC上截取FP＝EM，如图，∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，∴△DEM≌△DFP（SAS），∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，∴∠MDP＝∠EDF＝90°，∵∠MDN＝45°，∴∠PDN＝45°，在△DMN和△DPN中，，∴△DMN≌△DPN（SAS），∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．故答案为4．10．解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：0，2，6，8．11．（1）证明：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝90°，∵∠EDF＝30°，∴∠FDB＝60°＝∠B，∴DF＝BF，∴△BDF是等边三角形；（2）解：∵EF∥AB，DE⊥AB，∴EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∵∠EDF＝30°，∴DF＝2EF，DE＝EF，设EF＝x，则DE＝x，DF＝2x，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵△BDF是等边三角形，∴DF＝BF＝BD＝2x，∴AD＝AB﹣BD＝2﹣2x，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，∴AD＝DE，即2﹣2x＝•x，解得：x＝，∴AD＝2﹣2×＝．12．证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．13．（1）证明：过点D作DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，垂足分别为点N、K、M．∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，DN⊥BA，DK⊥AC，DM⊥BC，∴DM＝DN＝DK，∴AD平分∠GAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠GAD＝∠DAC，∴AD平分∠GAC．（2）证明：∵∠GAC＝∠ABC+∠ACB，∠GAD＝∠DAC，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠GAD＝∠ABC，∴AD∥BC．14．证明：如图，连接BE、DE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝DE＝AC，∵F是BD的中点，∴EF⊥BD．15．解：（1）成立．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴BE＝CE；（2）成立．理由：∵∠BAC＝45°，BF⊥AF．∴△ABF为等腰直角三角形∴AF＝BF，由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF在△AEF和△BCF中，，∴△AEF≌△BCF（ASA），∴AE＝BC，∵BD＝BC，∴BD＝AE．16．证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠F AD＝∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC（3）∵∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD，∠B＝∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD＝∠CAD，∠EAD ＝∠EDA，∴∠EAC＝∠B．17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠CAE．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．（2）∵F是AC的中点，∴AF＝CF．∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE．由对顶角相等可知：∠AFE＝∠GFC．在△AFE和△CFG中，∴△AFE≌△CFG．∴AE＝GC＝8．∵GC＝2BG，∴BG＝4．∴BC＝12．∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝10+10+12＝32．18．（1）证明：连接ME、MD，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵M是BC的中点，∴DM＝BC，同理可得EM＝BC，∴DM＝EM，∵N是DE的中点，∴MN⊥DE；（2）解：∵BC＝10，ED＝6，∴DM＝BC＝5，DN＝DE＝3，由（1）可知∠MND＝90°，∴MN＝＝＝4，∴S△MDE＝DE•MN＝×6×4＝12．19．解：（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝P A，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．20．解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，即∠AEC＝∠ACE；（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE，又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．21．解：（1）如图（1），∵AB∥CD，∴∠1＝∠EGD，又∵∠2＝2∠1，∴∠2＝2∠EGD，又∵∠FGE＝60°，∴∠EGD＝（180°﹣60°）＝40°，∴∠1＝40°；（2）如图（2），∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE＝180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC＝180°，又∵∠FEG+∠EGF＝90°，∴∠AEF+∠FGC＝90°．。

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答专题提升训练题(附答案)

2022-2023学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》解答专题提升训练题（附答案）1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．点D，E在BC边上，且AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．2．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝4，BC＝2，CD＝1，AD＝．（1）求AC的长；（2）求证：AD⊥CD．3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：DE＝DC；（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．4．如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上．（1）请判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．（2）求△ABC的面积．5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝12厘米，点P从点A出发，沿AB边以1厘米/秒的速度向点B匀速移动；点Q从点B出发，沿BC边以2厘米/秒的速度向点C 匀速移动．如果P、Q同时出发，当Q点到达C点时，P点随之停止运动．用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当PQ∥AC时，求t的值；（2）当t为何值时，P、B、Q三点构成直角三角形．6．如图所示，在平面直角坐标系中，B（3，0），D（0，4），BC＝12，CD＝13．（1）求证：BD⊥CB．（2）求四边形ABCD的面积．（3）点P是y轴上一个动点，若，求点P的坐标．7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形；（2）若∠BAD＝140°，求∠ACD的度数．8．如图，在△ABC中，D点是AB的中点，OD⊥AB于D，O点在AC的垂直平分线，（1）求证：△BOC是等腰三角形；（2）若∠BAC＝80°，求∠BCO的度数．9．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．10．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC上一点，BC＝DC，过点D作AC的垂线交AB于点，求证：CE垂直平分BD．11．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．（1）若BC＝10，求△ADE的周长；（2）若∠BAC＝128°，求∠DAE的度数．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求证：AC⊥AB；（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，（1）求∠ADC的度数；（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．①求证：△ADE是等腰三角形；②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．14．如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，且BD ＝DE，连接AE．（1）若∠BAE＝44°，求∠C的度数．（2）若AC＝7cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．15．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．（1）如图1，求∠BAC的度数；（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．16．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且BD＝CE＝2，BE＝CF．（1）求证：△DEF是等边三角形；（2）若∠DEC＝150°，求等边△ABC的周长．17．如图所示，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：（1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．（2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t值；若不能，请说明理由．18．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P，Q分别是△ABC的边上的两动点，点P从点B开始沿B→A方向运动，速度为每秒1cm，到达A点后停止；点Q从A开始沿A→C→B的方向运动，速度为每秒2cm，到达B点后停止，它们同时出发，设出发时间为ts．（1）求BC的长度；（2）当t为何值时，点P恰好在边BC的垂直平分线上？并求出此时CQ的长；（3）当点Q在边BC上运动时，直接写出△ACQ为等腰三角形时t的值．19．如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F．（1）请写出图①中线段EO和BE的大小关系：．（2）请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系：．（3）如图②，若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG平分线交于O，过点O作BC 的平行线交AB于E，交AC于F．请写出EF与BE、CF的关系，并说明理由．20．动点问题是数学学习中常见的问题，解决此类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，点P在线段BA上从点B出发向点A运动（点P不与点A重合），点P运动的速度为2cm/s；点Q在线段CB上从点C出发向点B运动（点Q不与点B重合），点Q运动的速度为3cm/s，设点P，Q同时运动，运动时间为ts．（1）在点P，Q运动过程中，经过几秒时△PBQ为等边三角形？（2）在点P，Q运动过程中，若某时刻△PBQ为直角三角形，请计算运动时间t．参考答案1．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴，∴∠C＝30°；（2）证明：∵AD⊥AC，AE⊥AB，∠B＝∠C＝30°，∴∠BEA＝∠CDA＝60°，即∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△AED为等边三角形．2．（1）解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵AB＝4，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∴AC的长为2；（2）证明：∵AC＝2，CD＝1，AD＝，12+（）2＝22，∴△ACD是直角三角形，∴AD⊥CD．3．（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°∴BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴，∵DE是AB边的垂直平分线，∴，∴BC＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴△EBC的周长为9．4．解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：根据勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，∵AC2≠BC2+AB2，∴△ABC不是直角三角形；（2）．故△ABC的面积是9．5．解：（1）∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC，∴，即，解得t＝（秒）；（2）过点A作AD⊥BC于D，如图1．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝6．∵∠B≠90°，∴P、B、Q三点构成直角三角形情况有两种：①∠PQB＝90°，即PQ∥AD．∴，即，解得t＝（秒），②∠QPB＝90°．而∠ADB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPQ∽△BDA，∴，即，解得t＝（秒）．∴由①、②知，当t为秒或秒时，P、B、Q三点构成直角三角形．6．（1）证明：∵BD＝＝5，又∵BD2+BC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169，∴BD2+BC2＝CD2，∴∠DBC＝90°，∴BD⊥CD．（2）解：∵B（3，0），D（0，4），∠DBC＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ADB+S△BDC＝×5×12＝36；（3）解：∵S△PBD＝＝×36，S△PBD＝|，∴9＝×3×PD，∴PD＝6，∴D坐标为（0，4），∴P坐标为（0，﹣2）或（0，10）．7．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2．∵AD∥BC，∴∠2＝∠3．∴∠1＝∠3．∴AB＝AD．∵AB＝AC，∴AC＝AD，∴△ACD为等腰三角形；（2）解：由（1）知，∠1＝∠2＝∠3，∵∠BAD＝140°，∠BAD+∠1+∠3＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠BAD）＝20°，∴∠ABC＝40°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝40°，由（1）知，AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝∠BDC+∠3＝∠BDC+20°，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴40°+（∠BDC+20°）+（∠BDC+20°）＝180°，∴∠BDC＝50°，∴∠ADC＝70°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°．8．（1）证明：∵D点是AB的中点，OD⊥AB于D，∴OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∵O点在AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OB＝OC，∴△BOC是等腰三角形；（2）解：∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠ABO＝∠BAO，∠OAC＝∠OCA，∴∠ABO+∠ACO＝∠BAO+∠CAO＝∠BAC＝80°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠BCO＝10°．9．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．10．证明：∵ED⊥AC，∴∠EDC＝∠EBC＝90°，在Rt△ECB和Rt△ECD中，，∴Rt△ECB≌Rt△ECD（HL），∴∠ECB＝∠ECD，又∵BC＝DC，∴CF⊥BD，∴BF＝DF，∴CE垂直平分BD．11．解：（1）在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，又∵BC＝10，∴△ADE周长为：AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝10；（2）∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，又∵∠BAC＝128°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝52°，∴∠BAD+∠CAE＝∠B+∠C＝52°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝128°﹣52°＝76°．12．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，由题意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面积为16．13．（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，∵CD是∠ACB的平分线∴∠DCB＝∠ACB＝36°，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；（2）①证明：∵AE∥BC∴∠EAB＝∠B＝72°，∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE，即△ADE是等腰三角形；②解：结论：△ACE是等腰三角形．理由：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝∠ACE，∵AE∥BC，∴∠BCE＝∠E，∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．14．解：（1）∵AD⊥BC，EF垂直平分AC，BD＝DE，∴AE＝AB＝EC，∴∠CAE＝∠C，∵∠BAE＝44°，∴，∴．（2）由（1）知：EC＝AE＝AB，∵DE＝BD．∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长为AB+BC+AC＝AB+BD+DC+AC＝2DC+AC＝2×5+7＝17（cm）．答：△ABC的周长为17cm．15．（1）解：设∠ABD＝x°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°，又∵BD＝AD，∴∠A＝x°，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，∴∠BDC＝∠C＝2x°，∴BD＝BC，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°，∴∠BAC的度数为36°；（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝∠F AB＝72°，∴∠AFB＝∠F AC＝36°，∴CA＝CF，∴AB＝AC＝CF，∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．16．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵BD＝CE，BE＝CF，∴BD＝CE，BE＝CF，∴BD＝CE＝AF，AD＝BE＝CF，在△BDE与△CEF中，，∴△BDE≌△CEF（SAS），∴DE＝EF，同理可得△BDE≌△AFD，∴DE＝FD，∴DE＝FD＝EF，∴△DEF为等边三角形；（2）解：∵∠DEC＝150°，∠DEF＝60°，∴∠FEC＝90°，∴△ADF、△BED、△CFE均为直角三角形，且∠CFE＝∠ADF＝∠BDE＝30°，∵BD＝CE＝2，∴CF＝AD＝BE＝2BD＝4，∴AB＝BC＝AC＝6，∴等边△ABC的周长为：6×3＝18．17．解：（1）PQ垂直平分AB．当点Q到达点C时，t＝＝3，此时，AP＝1×3＝3，∴P是AB的中点，又∵△ABC是等边三角形，∴PQ垂直平分AB；（2）△BPQ能成为等边三角形．由题可得，PB＝6﹣t，BQ＝2t，∵∠B＝60°，∴当PB＝QB时，△BPQ是等边三角形，此时，6﹣t＝2t，解得t＝2，∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．18．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm ∴BC＝＝10（cm）．（2）∵点P在边BC的垂直平分线上，∴PC＝PB＝t，PC＝14﹣t，在Rt△BPC中，BC2+BP2＝CP2，即122+（16﹣t）2＝t2解得：t＝．此时，点Q在边AC上，CQ＝（cm）；（3）①当AC＝CQ＝6时，∴t＝＝6秒．②当AQ'＝CQ'时，∴∠Q'CA＝∠Q'AC，∵∠BAC＝90°，∴∠B＝∠BAQ'，∴BQ'＝AQ'，∴AQ'＝BQ'＝CQ'＝BC＝5cm，∴t＝＝秒．③当AQ''＝AC＝6时，过A点作AH⊥BC于点H，∴AH＝＝，∴CH＝＝．∴CQ''＝2CH＝，∴t＝＝秒．综上所述：当t为6秒或秒或秒时，△BCQ为等腰三角形．19．解：（1）EO＝BE，理由：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∵OB是∠ABC的平分线，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠OBC，∴∠EOB＝∠ABO，∴BE＝OE，故答案为：BE＝OE；（2）线段EF与BE，CF间的关系为：EF＝BE+CF，理由如下：∵EF∥BC，∴∠FOC＝∠OCB，∵OC是∠ACB的平分线，∴∠FCO＝∠OCB，∴∠FCO＝∠FOC，∴CF＝OF，由（1）得：BE＝OE，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故答案为：EF＝BE+CF；（3）EF与BE，CF的关系为：EF＝BE﹣CF，理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴OE＝BE，∵EF∥BC，∴∠FOC＝∠OCG，∵OC平分∠ACG，∴∠FCO＝∠OCG，∴∠FOC＝∠FCO，∴OF＝CF，∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．20．解：（1）∵点P运动的速度为2cm/s，点Q运动的速度为3cm/s，∴BP＝2t（cm），BQ＝（6﹣3t）（cm），当PB＝BQ时，△PBQ是等边三角形，∴2t＝6﹣3t，∴t＝1.2，∴在点P，Q运动过程中，经过1.2秒时△PBQ为等边三角形．（2）①当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，∴2t＝（6﹣3t），∴t＝，②当∠BQP＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BQ＝PB，∴6﹣3t＝×2t，∴t＝1.5，∴在点P，Q运动过程中，若△PBQ为直角三角形，t＝s或t＝1.5s．。

第1章三角形的证明提升训练2021-2022学年北师大版八年级数学下册(word版含答案)

三角形的证明提升训练（1）1.如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，则BF=____，重叠部分△AFC的面积为_____2.如图所示是一钢架，且∠AOB＝10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH..添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根3.如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA3的长度为______，OAn的长度为______4.如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为_______5.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为______6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，则BD的长度为________7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=43cm，动点P从点B出发沿射线BC方向以2cm/s的速度运动.设运动的时间为t秒，则当t=_____秒时，△ABP为直角三角形.8.△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE＝4，则AD+AE的值为_____9.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F两点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为________10.如图，在△ABC中，∠ACB＝100°，AC＝AE，BC＝BD，则∠DCE的度数为______11.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BE＝CF， BD＝CE(1)求证:△DEF是等腰三角形； (2)当∠A＝40°时，求∠DEF的度数12.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M(1)若∠A＝40°，则∠M______°，若∠A＝70°，则∠M＝______°(2)当∠A为锐角时，请写出∠A与∠M的数量关系，并加以证明13.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为300km 和400km，且AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域B，则海港C受台风影响吗?为什么?14.如图，公路MW和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，在A处有一所中学，AP=120米，此时有一辆消防车在公路MW上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响.(1)学校是否会受到影响？请说明理由.(2)如果受到影响，则影响时间是多长？15.如图，有一块三角形的空地ABC，其三边长分别为20m，30m，40m，现要成面积比为2:3:4的三部分，分别种植不同种类的花.请你设计一种方案，并简明理由16.如图所示，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF＝BE，连接CF、EF，过点F作直线FD⊥CE 于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由17.如图1，P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，都以1cm/s的速度分别向B，C运动(1)连接AQ，CP交于点M，则在P，Q两点运动的过程中，∠CMQ的度数变化吗？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数(2)连接PQ，何时△PBQ是直角三角形？(3)如图2，若P，Q两点在运动到终点后继续在射线AB，BC上运动，直线AQ，CP的交点为M，求∠CMQ的度数5。

北师大版八年级下册《三角形的证明》培优提高

三角形的证明单元检测卷 1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的D ．AD∥BC 平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为D ． 2.5 6.如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A=∠ABE．若AC=5，BC=3，D ． 1 点F ，BE 、CF 相交于点D ，则①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D 在∠BAC 的平分线上．以上D ． ①②③ D ． 48 两点，AD 平分∠BAC．∠EBC=∠E=60°，若BE=6，DE=2，∠B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC=60°；③点D 在2），B （0，6），动点C 在直线y=x 上．若以A 、B 、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数是（） AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC，DF ，EF ．在此运③④⑤ 14．（4分）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中 ___．15．（4分）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 _ ．16．（4分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，DE是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ，∠BAE=20°，则∠C= _________ ．17．（4分）如图，在△ABC 中，BI 、CI 分别平分∠ABC、∠ACF，DE 过点I ，且DE∥BC．BD=8cm ，CE=5cm ，则DE 等于 _________ ．18．如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m ．19．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点D 是BC 边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB边上的点E处，若点P是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是．三、解答题（每小题7分，共14分）20．（7分）如图，C 是AB 的中点，AD=BE ，CD=CE ．求证：∠A=∠B．21．（7分）如图，两条公路OA 和OB 相交于O 点，在∠AOB的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路OA 、OB 的距离相等，且到两工厂C 、D的距离相等，用尺规作出货站P 的位置．四、解答题（每小题10分，共40分）22．（10分）在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠D=90°，∠DCA=30°，CA 平分∠DCB，AD=4cm ，求AB 的长度？23．（10分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D ，过点D 作DE⊥AB 于点E ．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．24．（10分）如图，把一个直角三角形ACB（∠ACB=90°）绕着顶点B 顺时针旋转60°，使得点C 旋转到AB 边上的一点D ，点A 旋转到点E 的位置．F ，G 分别是BD ，BE 上的点，BF=BG ，延长CF 与DG 交于点H ．（1）求证：CF=DG ；（2）求出∠FHG 的度数．25．（10分）已知：如图，△ABC 中，∠ABC=45°，DH 垂直平分BC 交AB 于点D ，BE 平分∠ABC，且BE⊥AC于E ，与CD 相交于点F ．（1）求证：BF=AC ；）求证：．五、解答题（每小题12分.共24分） 26．（12分）如图，在△ABC 中，D 是BC 是中点，过点D 的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE⊥DF 交AB 于点E ，连接EG 、EF ．（1）求证：BG=CF ；（2）求证：EG=EF ；（3）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 27．（12分）△ABC 中，AB=AC ，点D 为射线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），以AD 为一边向AD 的左侧作△ADE，使AD=AE ，∠DAE=∠BAC，过点E 作BC 的平行线，交直线AB 于点F ，连接BE ．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF 是 _________ 三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D 在线段BC 上移动，判断△BEF 的形状并证明； ②当点D 在线段BC 的延长线上移动，△BEF 是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A （一）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分） 1．（4分）（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）∴BD=BE=AE=（30°所对的直角边是斜边的一半．∴BD=（解决此类题目的关键是熟练掌握运用直角三角形两个锐角互余，30°所对的直角边是斜边的一半，勾股定大于∴∠1=∠2=∴CD=AD ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD AC•CD=AC•AD．AC•BC=AC•AD=AC•AD：=3＞∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D ，E 分别在AC ，BC 边上运动，且保持AD=CE ．连接DE ，DF ，EF ．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE 是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形， ③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤△CDE 面积的最大值为8． DE=，故③错误，△CDE DF=BC=4∴DE=DF=415．（4分）（2013•雅安）若（a ﹣1）+|b ﹣2|=0，则为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，1+∴BE=BC=1+BC+BE=1++=1+1+20．（7分）（2013•常州）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．中，相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写，度角的直角三角形．AC=4cm=，）求证：中，，∴CE=AE=AC=BF平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，则△BEF是等边三角形；（2）若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BE F是什么参与本试卷答题和审题的老师有：yangwy；zcx；gbl210；dbz1018；星期八；zjx111；sd2011；py168；kuaile；HLing；yeyue；lhz6918；caicl；lantin；MMCH；Linaliu；zhjh；ZHAOJJ（排名不分先后）菁优网2014年2月19日。

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三角形的证明单元检测卷1.(4分)(2013•钦州)等腰三角形的一个角就是80°,则它顶角的度数就是( )A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°2.(4分)下列命题的逆命题就是真命题的就是( )A. 如果a＞0,b＞0,则a+b＞0B. 直角都相等C. 两直线平行,同位角相等D. 若a=6,则|a|=|b|3.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长就是A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm4.(4分)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的就是( )A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BE=DFD. AD∥BC5.(4分)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )A. 10B. 8C. 5D. 2、56、如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )A. 2、5B. 1、5C. 2D. 17.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的就是( )A. ①B. ②C. ①②D. ①②③8.(4分)如图所示,AB⊥BC,DC⊥BC,E就是BC上一点,∠BAE=∠DEC=60°,AB=3,CE=4,则AD等于( )A. 10B. 12C. 24D. 489.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D、E就是△ABC内两点,AD平分∠BAC.∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC的长度就是( )A. 6B. 8C. 9D. 1010.(4分)(2013•遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M与N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数就是( )①AD就是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.A. 1B. 2C. 3D. 412.(4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形就是等腰三角形,则点C的个数就是( )A. 2B. 3C. 4D. 513.(4分)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F就是AB边上的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且保持AD=CE.连接DE,DF,EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①△DFE就是等腰直角三角形;②四边形CDFE不可能为正方形,③DE长度的最小值为4;④四边形CDFE的面积保持不变;⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论就是( )A. ①②③B. ①④⑤C. ①③④D. ③④⑤二、填空题(每小题4分,共24分)14.(4分)用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时,首先应假设这个三角形中___.15.(4分)若(a﹣1)2+|b﹣2|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_ .16.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,DE就是AC的垂直平分线,交AC于点D,交BC于点E,∠BAE=20°,则∠C=_________ .17.(4分)如图,在△ABC中,BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF,DE过点I,且DE∥BC.BD=8cm,CE=5cm,则DE等于_________ .18.如图,圆柱形容器中,高为1、2m,底面周长为1m,在容器内壁离容器底部0、3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0、3m与蚊子相对的点A处,则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m.19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D就是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P就是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值就是.三、解答题(每小题7分,共14分)20.(7分)如图,C就是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:∠A=∠B.21.(7分)如图,两条公路OA与OB相交于O点,在∠AOB的内部有工厂C与D,现要修建一个货站P,使货站P到两条公路OA、OB的距离相等,且到两工厂C、D的距离相等,用尺规作出货站P的位置.四、解答题(每小题10分,共40分)22.(10分)在四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,∠DCA=30°,CA平分∠DCB,AD=4cm,求AB的长度？23.(10分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.24.(10分)如图,把一个直角三角形ACB(∠ACB=90°)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F,G分别就是BD,BE上的点,BF=BG,延长CF与DG交于点H.(1)求证:CF=DG;(2)求出∠FHG的度数.25.(10分)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F.(1)求证:BF=AC;(2)求证:.五、解答题(每小题12分、共24分)26.(12分)如图,在△ABC中,D就是BC就是中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF交AB于点E,连接EG、EF.(1)求证:BG=CF;(2)求证:EG=EF;(3)请您判断BE+CF与EF的大小关系,并证明您的结论.27.(12分)△ABC中,AB=AC,点D为射线BC上一个动点(不与B、C重合),以AD为一边向AD的左侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,过点E作BC的平行线,交直线AB于点F,连接BE.(1)如图1,若∠BAC=∠DAE=60°,则△BEF就是_________ 三角形;(2)若∠BAC=∠DAE≠60°①如图2,当点D在线段BC上移动,判断△BEF的形状并证明;②当点D在线段BC的延长线上移动,△BEF就是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形.北师大版八年级下册《第1章三角形的证明》2014年单元检测卷A(一)参考答案与试题解析一、选择题(每小题4分,共48分)1.(4分)(2013•钦州)等腰三角形的一个角就是80°,则它顶角的度数就是( )A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°考点: 等腰三角形的性质.专题: 分类讨论.分析:分80°角就是顶角与底角两种情况讨论求解.解答:解:①80°角就是顶角时,三角形的顶角为80°,②80°角就是底角时,顶角为180°﹣80°×2=20°,综上所述,该等腰三角形顶角的度数为80°或20°.故选B.点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,难点在于要分情况讨论求解.2.(4分)下列命题的逆命题就是真命题的就是( )A. 如果a＞0,b＞0,则a+b＞0B. 直角都相等C. 两直线平行,同位角相等D. 若a=6,则|a|=|b|考点: 命题与定理.分析:先写出每个命题的逆命题,再进行判断即可.解答:解;A.如果a＞0,b＞0,则a+b＞0:如果a+b＞0,则a＞0,b＞0,就是假命题;B.直角都相等的逆命题就是相等的角就是直角,就是假命题;C.两直线平行,同位角相等的逆命题就是同位角相等,两直线平行,就是真命题;D.若a=6,则|a|=|b|的逆命题就是若|a|=|b|,则a=6,就是假命题.故选:C.点评:此题考查了命题与定理,两个命题中,如果第一个命题的条件就是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又就是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题称为另一个命题的逆命题.正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键就是要熟悉课本中的性质定理.3.(4分)△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,最小边BC=4 cm,最长边AB的长就是( )A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm考点: 含30度角的直角三角形.分析:三个内角的比以及三角形的内角与定理,得出各个角的度数.以及直角三角形中角30°所对的直角边就是斜边的一半.解答:解:根据三个内角的比以及三角形的内角与定理,得直角三角形中的最小内角就是30°,根据30°所对的直角边就是斜边的一半,得最长边就是最小边的2倍,即8,故选D.点评:此题主要就是运用了直角三角形中角30°所对的直角边就是斜边的一半.4.(4分)(2013•安顺)如图,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的就是( )A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BE=DFD. AD∥BC考点: 全等三角形的判定.分析:求出AF=CE,再根据全等三角形的判定定理判断即可.解答:解:∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,A、∵在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;B、根据AD=CB,AF=CE,∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE,错误,故本选项正确;C、∵在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE(SAS),正确,故本选项错误;D、∵AD∥BC,∴∠A=∠C,∵在△ADF与△CBE中∴△ADF≌△CBE(ASA),正确,故本选项错误;故选B.点评:本题考查了平行线性质,全等三角形的判定的应用,注意:全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS.5.(4分)(2012•河池)如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为( )A. 10B. 8C. 5D. 2、5考点: 线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.分析:根据线段垂直平分线性质得出BE=CE,根据含30度角的直角三角形性质求出BE的长,即可求出CE长.解答:解:∵DE就是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∠BDE=90°(线段垂直平分线的性质),∵∠B=30°,∴BE=2DE=2×5=10(直角三角形的性质),∴CE=BE=10.故选A.点评:本题考查了含30度角的直角三角形性质与线段垂直平分线性质的应用,关键就是得到BE=CE与求出BE长,题目比较典型,难度适中.6.(4分)(2013•邯郸一模)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=5,BC=3,则BD的长为( )A. 2、5B. 1、5C. 2D. 1考点: 等腰三角形的判定与性质.分析:由已知条件判定△BEC的等腰三角形,且BC=CE;由等角对等边判定AE=BE,则易求BD=BE=AE=(AC﹣BC).解答:解:如图,∵CD平分∠ACB,BE⊥CD,∴BC=CE.又∵∠A=∠ABE,∴AE=BE.∴BD=BE=AE=(AC﹣BC).∵AC=5,BC=3,∴BD=(5﹣3)=1.故选D.点评:本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三合一”性质的运用.7.(4分)如图,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE、CF相交于点D,则①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CD E;③点D在∠BAC的平分线上.以上结论正确的就是( )A. ①B. ②C. ①②D. ①②③。

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