浅谈《九章算术》与《几何原本》的异同

浅谈《九章算术》与《几何原本》的异同
就数学而言，古代东西方文明都对其发展作出了不可磨灭的贡献；其中以中国的《九章算术》和西方的欧几里得的《几何原本》的贡献最大。

以下，我就这两部经典的数学著作谈谈我的读后感。

一、结构：
《几何原本》分十三篇。

含有467个命题；有5个公理和5条公设；大部分的命题都是由极少数的公理逻辑推理而来
《九章算术》共收有246个数学问题,包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章。

其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。

其数学成就也是多方面的。

贡献：
《几何原本》对世界数学的贡献主要是：
1. 建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。

由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。

2. 把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。

3. 示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。

《几何原本》精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。

为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。

二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。

《九章算术》对世界数学的贡献主要有：
1. 开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系。

2. 方程理论，多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界。

3. 负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献。

二、两部著作中的一些内容比较：
《九章算术》在方程理论中的多元联立一次方程组的出现比高斯后来提出的消去法早了很多年；在解线性方程组时，首次提出了负数的加减
法法则，这对数学的贡献是非常巨大的；在代数方面，开方术也是《九
章算术》的一大贡献；其开方程序是独创先河；例如，秦九韶算法也的
源于此；
在几何方面，《九章算术》主要是面积（方田）和体积（商功）的计算；以计算为中心；任何问题，都要计算出具体的数字作为答案；几乎没有关于任何数的性质、图形的定性的关系命题。

例如三角形全等、三角形相似的条件在《九章算术》中都没有相关的表述。

有的只有算出线段的长、图形的面积和体积。

《几何原本》中的命题是通过公理和定义以及公设经逻辑推理而来；
它建立了公理化的思想；也赋予了数学逻辑性强、严密的特点。

《几何原本》更多的是在给出相关图形的概念、性质等的表述；这就是它与《九章算术》最大的不同之处。

在几何方面，《几何原本》进一步地概括了一些概念；例如，对于“曲线”的概念，古希腊人只限于用尺规作图来得到；而由《几何原本》而来的解析几何把“曲线”概括成任意的几何图形。

其次，再一次突破直观的限制，打开了数学发展的新思路。

笛卡儿和费马首先建立起来的是二维平面上的点和有序实数对之间的对应，按同样的思想，不难得出通过三个坐标轴得出三维空间的点和实数的有序三数组之间的对应关系。

现实的空间仅限于三维，由于解析几何中采用了代数方法，平面上的点对应于有序实数对，空间的点对应着三元有序实数组，那么代数中的四元有序实数组当然可以与此类比，构成一个四维空间，由此类推，提出了高维空间的理论。

这是现代数学极重要的思想，开拓了数学的新领域《九章算术》涵盖的开放化的归纳体系中对不同的问题都有一定的归纳总结，算法化的内容对不同的实际问题予以程序化的求解；模型化的思想针对具体问题予以模型化的求解。

所以，它像一台计算机。

然而一些一般性的问题，可能就不能求解。

《几何原本》创立的公理化体系，以及解析几何的思想，揭示了数学的内在统一性；同时《几何原本》也提供了解决一般性问题的方法。

但它其中的一些定理存在错误或者并不严密；例如，第五公设在球面几何上就不成立。

三、传播：
《九章算术》采用的是中国古代的天干地支语言进行编写；其语言生涩难懂；因此，不便于传播；而《几何原本》用的是相对通俗易懂的数学符号语言书写，方便书写也方便记忆。

以上，是我对这两部数学著作的一些浅见；还望老师予以批评和指导。