排列与组合

第一章 排列与组合

第一讲、计数的基本原则

A. 主要知识要点：

1. 有限集、无限集、集合中元素的个数

2. 一一映射、相等原则：设,A B 是两个有限集，如果存在由A 到B 上的一个一一对应映射，则A B =.

3. 加法原则 如果完成一件事的全部方法可分成互不相容的K 类，其中属于第

(1)i i k ≤≤类的方法有i n 种，则做这件事情的方法共有1k

i i n =∑种.

4. 乘法原则 已知做一件事要经过两个步骤，完成第一个步骤的方法有m 种，完成第一个步骤之后，完成第二个步骤的方法有n 种，则做这件事的方法共有mn 种.

B. 典型例题

例1 n 名选手参加乒乓球单打淘汰赛，需要打多少场比赛才能产生冠军？

变形：有101名选手参加羽毛球比赛，如果采用单循环淘汰制，问要产生冠军需要进行多少场比赛？

例2：设n 为大于1的正整数，求满足条件x y n +≤的有序整数对(,)x y 的个数.

例3：把4个人分成两组，每组至少1人，求不同的分组方法数. 思考：能否使用包含排斥的问题来解决？

例4.求n 元集12{,,

}n A a a a =的子集的个数.

思考：用乘法原则或者加法原则两种方法进行解答，能否得到多项式的结论.

例5 以N 表示万位数字不是5且各位数字互异的5位数的个数，求N .

例6. 设自然数(2)n n ≥的质因数分解式为12

12

k

a a a k

n p p p =，求n 的不同的正约数的个数.

C. 相关习题：36 1-5P .

第二讲：排列与组合 A.主要知识点：

1.不允许重复的排列问题 例1: （1）从数字{1,2,9}选取数字构成四位数，如果要求每位数字都不相同，

问有多少种方法？ （2）从数字{1,2,

9}选取数字构成四位数，问有多少种选法？

定义：从n 个元素的集合S 中有序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列，不同的排列的总数记作(,)P n r .如果r n =，则称这个排列S 的全排列，简称为S 的排列.

定理1：对满足r n ≤的正整数n 和r 有

()

!

(,)(1)(1)!n P n r n n n r n r =--+=

-. 推论1：n 元集的全排列的个数为!n .

2.不允许重复的组合问题

定义：从n 个元素的集合S 中无序的选取的r 个元素叫做S 的一个r 组合，不同的组合的总数记作(,)C n r .规定：0n ≥时，我们规定(,0) 1.C n = 定理2：对满足r n ≤的正整数n 和r 有

(,)!(,)P n r r C n r =.

重要概念：含有k 种不同元素的多重集S 记作1122{,,}k k n a n a n a

3.多重集的排列问题 定义：从一个多重集S 中有序选取的r 个元素叫做S 的一个r 排列.当r n =时也叫做S 的排列.

例如：{2,1,3}S a b c =，,acab abcc 是S 的4-排列，而abccca 是S 的排列.

定理3：设多重集12{,,,}k S a a a =∞∞∞则S 的r 排列数是r k . 推论2：设多重集1122{,,

}k k S n a n a n a =，

且对一切1,2,i k =有i n r ≥，则S 的

r 排列数是r k .

定理4 设多重集1122{,,}k k S n a n a n a =，且12k n n n n =++，则S 的排列数等

于

12!

!!!

k n n n n ∙∙∙.

4.多重集的组合问题 定义：从一个多重集S 中选取的r 个元素叫做S 的一个r 组合.当r n =时则S 的-n 组合只有一个，就是S 本身.

例如：{2,1,3}S a b c =，S 的2-组合有五个，它们是{a,a},{a,b},{a,c},{b,c},{c,c}. 定理5 设多重集12{,,,}k S a a a =∞∞∞则S 的r 组合数是(1,)C k r r +-. 推论4：设多重集1122{,,

}k k S n a n a n a =，

且对一切1,2,i k =有i n r ≥，

则S 的r 组合数是(1,)C k r r +-.

B.典型例题

例1：求由n 个相异元1a 与2a 不相邻的全排列的个数.

例2：（1）在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，问有多少种排法？

（2）同（1）中，若不限制每天考试的次数，问有多少种排法？

例3：排列26个字母，使得在a 和b 之间正好有7个字母，问有多少种排法？

例4：（1）10个男孩和5个女孩站成一排.如果没有两个女孩相邻，问有多少种排法？

（2）10个男孩和5个女孩站成一个圆圈，如果没有两个女孩相邻，问有多少种排法？

例5：设由1,2,3,4,5,6组成的各位数字互异的4位偶数共有N 个，它们的和记为M ，求N 和M .

例6：由1,2,3,4,5,6可组成多少个大于35000的5位数？

例7.用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？

例8.求多重集={5a,3b}M 的6-排列的个数.

例9：在平面上给定25个点，其中任意三点都不在同一直线上，过两个点可以做一条直线，以三个点为顶点可以做一个三角形，问这样的直线和三角形各有多少？

例10.设n A 是一个凸n 边形，在n A 的内部任何3条对角线不相交于同一点，求： （1）n A 的对角线的条数

（2）由n A 的边和对角线围成的三角形的个数. 例11 求不定方程12n x x x r +++=的非负整数解的个数. 例12 不定方程12()n x x x r r n ++

+=≥的正整数解的个数.

例13 把r 件相同的物件分给n 个人的不同的方法数.

例14 把r 件相同的物件分给()n n r ≤个人，每个人至少分得一件的不同的方法数.

例15 试确定多重集12{1,,

}k S a a a =∞∞的r 组合数.

C. 相关的习题

1.现有100件产品，从其中任意的抽出3件. （1）共有多少种不同的抽法？

（2）如果100件产品中有2件次品，抽出的产品中至少有1件是次品的抽法有多少种？

（3）如果100件产品中有两件是次品，抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

2.有纪念章4枚，纪念册6本，赠给10位同学，每人分得一件，共有多少种不同的送法？

3.书架上有9种不同的书，其中4本是红皮的，5本是黑皮的. （1）9本书的排列有多少种？

（2）若黑皮的书都排在一起，这样的排列有多少种？

（3）若黑皮的书排在一起，红皮的书也排在一起，这样的排列有多少种？ （4）若黑皮的书与红皮的书必须相间，这样的排列又有多少种？

4.（1）15名篮球运动员被分成A 、B 、C 三个组，使得每组有5名运动员，那么有多少种分法？

（2）15名篮球运动员被分成三个组，使得每组有5名运动员，那么有多少种分法？

5.从整数1,2……1000中选取三个数使得它们的和正好被4整除，问有多少种选法？

6.有红球1个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，问有多少种排法？

7.从{0,1,2}S =∞∞∞中取n 个数作成排列，若不允许相邻位置的数相同，问有多少种排法？

8.把字母,,,,,,,a b c d e f g h 进行排列，使得a 在b 的左边，b 在c 的左边，问这样