高中数学线性回归方程

审题指导 本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对
n
xiyi－n x ·y
i＝1
总体进行估计．利用公式：b＝
，a＝ y －b x 来求出
n
xi2－n x 2
i＝1
系数．
【解题流程】
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[规范解答] (1)由题设所给数据，可得散点图，如右图所示． (3 分)
(2)由对照数据，计算得：
a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散
点图进行判断，可直接用公式求解．
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解 制表．
i 1 2 3 4 5 合计
xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 xi2 4 9 16 25 36 90
线；也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……
这些办法，能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们
虽然都有一定的道理，但总让人感到可靠性不强．
②最小二乘法：实际上，求回归直线方程的关键是如何用
数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，
即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．
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规律方法 (1)两变量间主要有两种关系：一是确定的函数 关系，另一是不确定的相关关系．同时要注意，两变量间也可 能无相关关系，数学中只有统计部分研究不确定的相关关系．
(2) 函 数 关 系 与 相 关 关 系 的 区 别 的 关 键 是 “ 确 定 性 ” 还 是 “随机性”．
答案 ④
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题型二 线性回归方程的求法 【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修 费用y(万元)有如下统计资料：
使用年限x(年) 2 3 4 5 6 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，求线性回归方程＝bx＋
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解 ∵ x ＝3＋5＋2＋68＋9＋12＝6.5， y ＝4＋6＋3＋69＋12＋14＝8，
6
6
xi2＝327，xiyi＝396，
i＝1
i＝1
6
xiyi－6 x y
i＝1
∴b＝
≈1.143，a＝ y －b x ≈0.571，
6
xi2－6 x 2
i＝1
∴回归直线方程为y^＝1.143x＋0.571.
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题型三 利用回归直线对总体进行估计
【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲
产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几
组对照数据.
x
3
45
6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小平方法求出y关于x的线
n
n
(2)列表计算 x ， y ，xi2，xiyi.(建议用列表方法计算)
i＝1
i＝1
(3)利用(2)的结果计算 a、b，得出线性回归方程．
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【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单 位：元)，对应数据如下：
x 3 5 2 8 9 12 y 4 6 3 9 12 14 求y对x的回归直线方程．
xi2－4 x 2
Leabharlann Baidu
i＝1
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.
(10 分)
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，可得 降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
(14 分)
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【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房 屋的面积x的数据：
新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图； (2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格．
5
5
∴ x ＝4， y ＝5，xi2＝90，xiyi＝112.3.
i＝1
i＝1
∴b＝1129.03－－55××442×5＝1.23， a＝5－1.23×4＝0.08. ∴所求线性回归方程为y^＝1.23x＋0.08.
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规律方法 求线性回归方程的一般步骤： (1)画散点图，看两个变量是不是存在线性相关关系．
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[错解] x、y 作为点的坐标，作出所给数据的散点图． 用 y＝13x＋1 作为拟合直线时，散点图上的点到拟合直线的距 离之和为
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追本溯源 最小二乘法思想是：计算散点图上的各散点与拟 合直线y＝bx＋a在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和S，用 来衡量拟合直线y＝bx＋a与散点图中所有点的接近程度，使S达 到最小值的a，b的值就是最好的拟合直线y＝bx＋a方程中的a， b，这种方法叫做最小二乘法.
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【题后反思】 解决此类问题首先根据所给数据画出散点 图，根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系，如果两 个变量之间不具有相关关系，或者说，它们之间的关系不显 著，即使求得了线性回归方程也是毫无意义的，而且用其估计 和预测的结果也是不可信的．
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解 (1)数据对应的散点图如图所示．
(2) x ＝155 xi＝109，lxx＝i＝51 (xi－ x )2＝1 570， y ＝23.2，lxy＝i＝51 (xi i＝1
－ x )(yi－ y )＝308，
设所求回归直线方程为y^＝b^x＋a^，
则
b^
＝
lxy lxx
4
xi2＝86，
x
＝3＋4＋4 5＋6＝4.5，
i＝1
y
＝2.5＋3＋4 4＋4.5＝3.5，已知
4
xiyi＝66.5.
i＝1
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(6 分)
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所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为
4
xiyi－4 x y
i＝1
b＝
4
＝66.58－6－4×4×4.45.×52 3.5＝0.7，
＝
308 1 570
≈0.196
2
，a
＝
y
－b
x
＝ 23.2
－ 109×
308 1 570
≈1.816 6.
故所求回归直线方程为y^＝0.196 2x＋1.816.6.
(3)据(2)，当 x＝150 m2 时，销售价格的估计值为：
^y＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．
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(2)利用回归直线对总体进行估计 利用回归直线，我们可以进行预测，若回归直线方程为：y^＝ bx＋a，则 x＝x0 处的估计值为：y^＝bx0＋a.
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题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中，①角度和它的余弦 值；②正方形的边长和面积；③正n边形的边数和其内角度数之 和；④人的年龄和身高．不是函数关系的是________．(填序号) [思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系．而相 关关系是非确定性关系． 解析 选项①②③都是函数关系，可以写出它们的函数表 达式：f(θ)＝cos θ，g(a)＝a2，h(n)＝nπ－2π，④不是函数关系， 对于相同年龄的人群中，仍可以有不同身高的人． 答案 ④
n
n
n xiyi－ xi yi

i＝1
i＝1 i＝1
b＝

n
n
，

nxi2－xi2

i＝1
i＝1

a＝ y －b x
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上式还可以表示为

n
n
xiyi－n x y xi－ x yi－ y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，

n
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xi2－n x 2
n
xi－ x 2

i＝1
i＝1

a＝ y －b x .
想一想：1.相关关系是不是都为线性关系？ 提示 不是．有些变量间的相关关系是非线性相关的． 2．散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗？ 提示 不是．两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图．
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2.4 线性回归方程
【课标要求】 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系； 2．在两个变量具有线性相关关系时，会用线性回归方程进 行预测； 3．知道最小平方法的含义，知道最小平方法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 【核心扫描】 1．散点图的画法，回归直线方程的求解方法．(重点) 2．回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与 生产中的应用．(难点)
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2.回归直线方程 (1)回归直线方程的思想方法 ①回归直线：观察散点图的特征，发现各点大致分布在一
条直线的附近，就称这两个变量之间具有线性相关的关系，这
条直线叫做回归直线．
可见，根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种
线性关系．比如，可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直
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自学导引
1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是
确定性 的关系．
2．能用直线方程＝be＋a近似表示的相关关系叫做线性相
关关系，该方程叫 线性回归方程
，给出一组数据(x1，
y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线性回归方程中的系数a，b满足

n
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误区警示 最小二乘法的原理不清而出错 【示例】 已知x、y之间的一组数据如下表：
x13678 y12345 对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y＝13x ＋1 与 y＝21x＋12，试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度 更好．
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性回归方程；
(3) 已 知 该 厂 技 改 前 100 吨 甲 产 品 的 生 产 能 耗 为 90 吨 标 准
煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产
能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5
×4＋6×4.5＝66.5)
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名师点睛
1．相关关系与函数关系的异同点
关系 异同点
函数关系
相关关系
相同点
两者均是指两个变量之间的关系
是一种确定性关系 是一种非确定的关系
不同点
是两个变量之间的关 系
①一个为变量，另一个为随机 变量； ②两个都是随机变量
是一种因果关系
不一定是因果关系，也可能是 伴随关系
是一种理想关系模型 是更为一般的情况
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【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填 写相应的序号)．
①正方体的棱长和体积；②角的弧度数和它的正弦值；③ 单产为常数时，土地面积和总产量；④日照时间与水稻的亩产 量．
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y＝a x.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④.