第五章优化设计

设计变量x1，x2，…，xn为向量X的n个分量 设计空间：在优化设计中这个n维的欧氏实空间，用Rn表示
确定设计变量的数目
一般原则：应尽量减少设计变量的数目，即尽可能把那些 对设计指标影响不大的参数取作给定参数，只保留那些对 设计指标影响显著的、比较活跃的参数作为设计变量，这 样可以使优化设计的数学模型得到简化
1.设计变量 在构成一项设计方案的全部参数中，另一部分参 数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计 过程中是变化的，这类参数称为设计变量
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一个优化设计问题如果有n个设计变量，而每个设计变量用 xi（i=1，2，…，n）表示
把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行阵的转 置，X=[x1，x2，…，xn]T。我们把X定义为n维欧氏空间的一 个向量
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5.2 优化设计的基本术语和数学模型
工程设计问题的优化，可以表达为优选一组参数，使其设计指 标达到最佳值，且须满足一系列对参数选择的限制条件
数学模型为：
minf（x）=f（x*） x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn 受约束于gu（x）≤0 或 gu（x）≥0 u=1，2，…，m hv（x）=0 v=1，2，…，p＜n
沿这个方向寻求最优步长
获得一个目标函数值有所改进的设计点
然后以点
作为新的始点，再构造此点的新的搜索方向
求新的最优步长
求得改进的设计点
重复这种过程，获得目标函数值不断改进的点列：
X 1 , X 2 , , X k , X k1 , 最后可以得到满足所规定的收敛准则或终止准 则要求的理论最优点的近似最优点
5.5 多维有约束优化
1．多维有约束优化数学模型 minf（x）=f（x*） x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn
受约束于gu（x）≤0 或 gu（x）≥0 u=1，2，…，m
hv（x）=0 v=1，2，…，p＜n
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２.多维有约束优化的分类
(1).直接法
直接法是在选取下降方向和下降点时直接判断是否在可 行区域
网格法 可变容差法
随机方向法
直接法
分层降维枚举法
可行方向法
复合形法
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复合形法基本思路：
■在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始 复合形的顶点 ■比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的 顶点(称最坏点) ■以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射 点替换该点，构成新的复合形顶点
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非可行域 除去可行域以外的设计空间称为非可行域 5.3 一维搜索方法
对一维函数（也称一元或单变量）f(x)寻求其极值点x﹡ 就是一维优化方法中寻找最优解问题，称一维搜索方法 基本思想：
在设计空间中选定一个初始设计点X(0)
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然后从这一点出发，按照某一优化方法所规定的 原则，确定初始搜索方向
■反复迭代计算
■使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合 形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止
Hale Waihona Puke 注意点：初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内
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(2).间接法
间接法是先将约束优化设计问题转化为一系列的无约束 优化设计问题，再调用无约束优化方法来求解
罚函数法
内点罚函数法
广义乘子法
当目标函数只包含一项设计指标极小化时，称它为单 目标设计问题
当目标函数包含多项设计指标极小化时，这就是所谓的多 目标设计问题
多目标设计问题的处理方法：线性加权和的形式、转化 为单目标设计问题
目标函数的等值面或等值线：具有相同函数值的点集在设 计空间内形成一个曲面或曲线
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3.设计约束
优化设计不仅要使所选择方案的设计指标达到最佳值，同 时还必须满足一些附加的条件，这些附加的设计条件都是 对设计变量取值的限制，在优化设计中叫做设计约束
第五章 优化设计
5. 1 优化设计问题概述 5.2 优化设计的基本术语和数学模型
5.3 一维搜索方法 5.4无约束优化设计问题 5.5 多维有约束优化
5.6 最优化设计技术的现状与未来
5. 1 优化设计问题概述
一、优化设计的发展和应用概况
历史上最早记载下来的最优化问题：古希腊的欧几里得 （Euclid，公元前300年左右） 十七、十八世纪微积分的建立给出了求函数极值的一些准 则，对最优化的研究提供了某些理论基础
另一方面大力改善优化设计求解环境，开展了优化设计集 成环境的研究，集成环境为设计者提供辅助建模工具、优 化设计前后处理模块、可视化模块、接口模块等
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二、优化设计的概念和一般过程 优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业 理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许 多可行方案中，按照给定的指标自动地选出最优的设计方案。 优化设计的一般过程可以用如下的框图来表示:
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三、优化问题的分类
1.在工程优化原理和方法的应用领域： 主要是优化设计、优化试验和优化控制三个方面
这里，X的上标表示迭代点的轮号。每作完n次变量的 一维搜索，称一轮；下标表示迭代点的序号
接着，以 Xn(1)作为第二轮迭代的起始点X1(2)，再依 次沿e1，e2，…，en进行第二轮一维搜索，得 Xn(2)。 按此规则相继进行，可得到迭代点序列：
X
(k n
)
,
k
1,2
当进行k轮迭代得Xn(k)后，如再沿所有坐标方向一维搜索都
不能使函数值下降，则该点即可作为 X﹡
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2、牛顿法
牛顿法是求函数极值的最古老算法之一。其基本思想
是：在点X(k)的邻域内用一个二次函数
去近
似替代原目标函数F(X)，然后求二次函数的极小点作
为下一个迭代点 X(k+1)，通过不断构造二次函数和
迭代计算，使迭代点逼近函数的极小点X*
阻尼牛顿法是在原始牛顿法基础上进行修正，能保证每次 迭代点的函数值都有所下降
完成了国家科技攻关项目“多目标优化方法程序的研制”并 在“数控机床CAD系统”中得以成功的应用
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最优化设计方法在工程设计领域中的应用，虽取得了一定的 经济效益和社会效益，但其应用远比预期的小，其原因主要 有以下几方面：
1）最优化设计方法只是在参数优化设计和结构优化设计等方 面比较有效，而在方案设计与选择、决策等方面则无能为力
区域约束：直接限定设计变量取值范围的约束条件
性能约束：由某些必须满足的设计性能要求推导出来的约束条件
不等式约束及其有关概念 约束面
在不等式约束中，一部分是满足该不等式约束条件的，另一部 分则不满足，两部分的分界面叫做约束面
设计可行域或可行域 一个优化设计问题的所有不等式约束的边界将组成一个 复合约束边界，复合边界内的区域是满足所有不等式约 束条件的部分，在这个区域中所选择的设计变量是允许 采用的，这个区域称为设计可行域或简称可行域
间接法
外点罚函数法
约束变尺度法 精确罚函数法
混合罚函数法
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5.6 最优化设计技术的现状与未来
我国在优化决策理论与方法研究上能够跟踪这一领域的国际发 展前沿，在优化设计软件开发和工程应用中取得不少成果 “六五”期间： “常用优化方法程序库”和“常用机械零部 件及机构优化设计程序库”
“七五”期间：完成国家科技攻关项目“综合模块化优化 方法程序库的研究”
在以后的两个世纪中，最优化技术的进展缓慢
六十年代以来，最优化技术进入了蓬勃发展的时期
★主要是近代科学技术和生产的迅速发展，特别是数学、力学、和计
算机科学的发展，以及专业理论的不断发展，为最优化技术提供了有 效手段
★实际问题与军事运用上的需求提出了许多用经典最优化技术无法解决
的最优化问题，为了解决这些需求，从而也极大地推动了最优化的研究 与应用
它的表现形式有两种，一种是不等式约束，即: gu（x）≤0
或 gu（x）≥0 u=1，2，…，m
另一种是等式约束，即: hv（x）=0 v=1，2，…，p＜n 式中，gu（x）和hv（x）分别为设计变量的函数， 统称为约束函数
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约束的类型
根据约束的性质不同，可以将设计约束分为区域约束和性 能约束两类
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设计变量类型 连续的
离散的
离散型设计变量的优化设计问题，有两种处理方法： 一是先按连续型设计变量对待进行求解，然后再对最优解 进行离散化后处理
问题：离散化后处理有时会使结果远离最优解
另一是选用能处理离散型设计变量的优化设计方法进行求解 问题：但这些方法种类较少，且求解能力较弱
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2.目标函数 每一个设计问题，都有一个或多个设计中所追求的目 标，它们可以用设计变量的函数来加以描述，在优化 设计中称它们为目标函数
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机械优化设计应用的发展历史，经历了由怀疑、 提高认识到实践收效
应用概况
目前已深入到各个生产与科学领域，例如：化学工程、机 械工程、建筑工程、运输工程、生产控制、经济规划和经 济管理等，并取得了重大的经济效益与社会效益
近年来，已经将各种优化计算程序组成使用十分方便的程序 包，并已进展到建立最优化技术的专家系统，这种系统能帮 助使用者自动选择算法，自动运算以及评价计算结果，用户 只需很少的优化数学理论和程序知识，就可有效地解决实际 优化问题
2.根据优化问题的不同特征，可有不同的分类方法 （1）按有无约束分：无约束优化问题和有约束优化问题 （2）按设计变量的性质分：连续变量、离散变量 （3）按问题的物理结构分：优化控制问题和非优化控制问题 （4）按模型所包含方程式的特性分：线性规划、非线性规划、 二次规划和几何规划等
（5）按变量的确定性性质分：确定性规划和随机规划
4）在研究对象上，从单一部分的、单一性能或结构的、分离的 优化设计，进入到整体优化，分步优化和分级优化、并行优化等， 提出了覆盖设计全过程的优化设计思想。方法研究的重点，从着 重研究单目标优化问题进入到着重研究多目标问题