第7章习题解

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第7章习题及参考答案

第7章习题及参考答案7.1 命名下列化合物。

OH OHOHO CH 3CH 3PhCHCH 2CH 2CH 3OHC 2H 5OCH 2CH 2O C 2H 5(7)(8)(9)(10)CH 3OHNO 2OCH 2OHCH 3OCH 2CH 3CH 3CH 3H O HO CH 3(11)(12)(13)(14)解：(1) 4-丙基-4-庚醇 (2) 2-甲基-3-戊炔-2-醇(3) 3-氯-2-溴-1-丁醇 (4) (E )-2,3-二甲基-4-溴-2-戊烯-1-醇 (5) (2R ，3R )-3-甲基-4-戊烯-2-醇 (6) (E )-2-丁烯-1，4-二醇 (7) 4-环戊烯-1，3-二醇 (8) 3-甲基-5-甲氧基苯酚 (9) 1-苯基-1-丁醇 (10) 乙二醇二乙醚 (11) 2-硝基-1-萘酚 (12) 4-甲氧基环己基甲醇 (13) 1,2-环氧丁烷 (14) (2S ，3R )-2，3-二甲氧基丁烷7.2 写出下列化合物的结构式。

(1) 3,3-二甲基环戊醇 (2) 肉桂醇(3) 环戊基叔丁基醚 (4) 3-环己烯基异丙基醚 (5) 顺-1,2-环己二醇 (6) 2,3-二巯基-1-丙醇 (7) 4-丁基-1,3-苯二酚 (8) 二苯并-18-冠-6 解：CH CHCH 2OHOHC H 3CH 3(1)(2)OOC(CH 3)3CH(CH 3)2(3)(4)SHSHOH OHCH 2CH CHOH(5)(6)OHOHC(CH 3)3O OOOO O (7)(8)7.3 将下列化合物按沸点降低的顺序排列成序。

（1）丙三醇，乙二醇二甲醚，乙二醇，乙二醇单甲醚（2）3-己醇，正己醇，正辛醇，2-甲基-2-戊醇解：（1）丙三醇＞乙二醇＞乙二醇单甲醚＞乙二醇二甲醚（2）正辛醇＞正己醇＞3-己醇＞2-甲基-2-戊醇7.4 将下列各组化合物按与卢卡斯试剂作用的速率快慢排列成序。

第七章习题解答

计算图示各系统的动能：（1）偏心圆盘的质量为，偏心距OC m e =，对质心的回转半径为C ρ，绕轴O 以角速度0ω转动（图a ）。

（2）长为l ，质量为的匀质杆，其端部固结半径为，质量为的匀质圆盘。

杆绕轴O 以角速度m r m 0ω转动（图b ）。

（3）滑块A 沿水平面以速度移动，重块B 沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A 的质量为，重块B 的质量为（图c ）。

1v 2v 1m 2m （4）汽车以速度沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为0v M ，轮子的质量为m ，半径为R ，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d ）。

解：(1) 222200111()222C C C T mv J m e 2ωρω=+=+(2) 2222111(83)326O J ml mr ml m l r =++=+2220011(83)212O T J m l r 22ωω==+(3) 22121122A B T m v m v =+2221121212221212221211(2cos150)2211()m v m v v v v m m v m v m v v °=+++=++(4) ()2222000211111(4)422222v T M m v mv mR M m v R ⎛⎞=−+⋅+⋅⋅=+⎜⎟⎝⎠20一常力矩M 作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r ，质量为。

缠在鼓轮上绳索的末端A 系一质量为的重物，沿着与水平倾斜角为1m 2m α的斜面上升，如图所示。

重物与斜面间的滑动摩擦系数为μ。

绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。

求鼓轮转过ϕ角时的角速度。

解：为一自由度理想约束系统。

取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如下图所示。

鼓轮转过ϕ角时系统的动能为2222212111222T m r m r 2ωω=⋅⋅+ 重力、摩擦力和力矩M 在此有限路程上所做的功为122sin W M Fr m gr ϕϕϕ→α=−−根据动能定理，有()222212211sincos 42m r m r M m gr ωωαμ+=−+αϕ⎡⎤⎣⎦ ω=绞车提升一质量为m 的重物，如图所示。

第7章习题详细解答

第7章习题解答7—1判断题（对的打√，不对的打×)1。

数字电路分为门电路和时序逻辑电路两大类。

（× )2。

边沿触发器和基本RS触发器相比，解决了空翻的问题.（×）3. 边沿触发器的状态变化发生在CP上升沿或下降沿到来时刻，其他时间触发器状态均不变。

（√）4. 基本RS 触发器的输入端就是直接置0端和直接置1端。

（√)23 的计数器。

（×）5。

3位二进制计数器可以构成模为16。

十进制计数器最高位输出的周期是输入CP脉冲周期的10倍。

（√）7. 构成一个7进制计数器需要7个触发器。

（×）8．当时序电路存在无效循环时该电路不能自启动.( √)9。

寄存器要存放n位二进制数码时，需要n2个触发器。

(×）10．同步计数器的计数速度比异步计数器快。

（√）11。

在计数器电路中，同步置零与异步置零的区别在于置零信号有效时，同步置零还需要等到时钟信号到达时才能将触发器置零，而异步置零不受时钟的控制。

（√）12。

计数器的异步清零端或异步置数端在计数器正常计数时应置为无效状态。

（√）13。

自启动功能是任何一个时序电路都具有的。

（× )14。

无论是用置零法还是用置数法来构成任意N进制计数器时，只要置零或置数控制端是异步的,则在状态循环过程中一定包含一个过渡状态；只要是同步的，则不需要过渡状态。

（√）15。

用置零法或置位法可以设计任意进制的计数器.(×）7—2 由或非门组成的基本RS触发器如图7—38所示，已知R、S的电压波形，试画出与之对应的Q和Q的波形。

图7—38 题7-2图解:由或非门组成的基本RS触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示：或非门RS 触发器特性表题7—2 波形图7—3由与非门组成的基本RS 触发器如图7-39所示，已知R 、S 的电压波形,试画出与之对应的Q 和Q 的波形。

图7-39 题7-3图解：由与非门组成的基本RS 触发器的特性表，可得该题的输出端波形如下图所示:与非门RS 触发器特性表题7—3波形图7-4已知如图7-40所示的各触发器的初始状态均为0，试对应画出在时钟信号CP 的连续作用下各触发器输出端Q 的波形。

第7章基本放大电路习题与解答

第7章放大电路基础题解答习题A 选择题7-1在固定式偏置电路中，若偏置电阻R B的值增大了，则静态工作点Q将（）。

BA. 上移B. 下移C. 不动D.上下来回移动7-2在图7-5中，若将R B减小，则集电极电流I C、集电极电位U C分别是（）。

D A．减小、增大 B. 减小、减小 C.增大、增大 D. 增大、减小7-3在图7-5中的晶体管原处于放大状态，若将R B调到零，则晶体管（）。

CA.处于饱和状态B.仍处于放大状态C.被烧毁7-4图7-9中交流分量u o与u i、u o与i c、i b与i c的相位关系分别是是（）。

CA同相、反相、反相 B.反相、同相、反相 C.反相、反相、同相 D.反相、同相、同相7-5在共发射极放大电路中，（）是正确的。

BA．r be=U BE/i B B.r be=u be/i b C. r be=U BE/I B7-6在图7-17(a）所示的分压式偏置放大电路中，通常偏置电阻R B1( )R B2。

AA. >B. <C. =7-7图7-17(a)所示电路中，若只将交流旁路电容C E出去，则电压放大倍数| A u |（）。

AA.减少B.增大C.不变7-8射极输出器（）。

BA.有电流放大作用，也有电压放大作用B.有电流放大作用，没有电压放大作用C.没有电流放大作用，也没有电压放大作用7-9射极跟随器适合作多级放大电路的输出级，是因为它的（）BA. 电压放大倍数近似为1B. r i很大C. r O很小7-10在甲类工作状态的功率放大电路中，在不失真的条件下增大输入信号，则电源供给的功率、管耗分别是（）。

CA.增大、减小B.减小、不变C. 不变、减小D. 不变、增大7-11在共射放大电路中，若测得输入电压有效值U i=5mV时，当未带上负载时U＝1V，负载电阻R L值与R C相等，则带上负载输出电压有输出电压有效值'o效值U o＝（）V。

BA.1B.0.5C.-1D.-0.57-12在NPN型构成CE放大器，在非线性失真中，饱和失真也称为（）。

第7章输入输出习题参考解答

第7章思考题与习题参考答案1．计算机的I/O系统的功能是什么？它由哪几个部分组成？答：计算机的I/O系统，主要用于解决主机与外部设备间的信息通讯，提供信息通路，使外围设备与主机能够协调一致地工作。

计算机的I/O系统由I/O硬件和I/O软件两大部分组成。

其中I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。

I/O软件包括：用户的I/O程序、设备驱动程序、设备控制程序。

2．I/O硬件包括哪几个部分？各部分的作用是什么？答：I/O硬件包括：系统总线、I/O接口、I/O设备及设备控制器。

系统总线的作用是为CPU、主存、I/O设备（通过I/O接口）各大部件之间的信息传输提供通路。

I/O接口通常是指主机与I/O设备之间设置的一个硬件电路及其相应的控制软件。

它用于在系统总线和外设之间传输信号，并起缓冲作用，以满足接口两边的时序要求。

I/O设备的作用是为主机与外部世界打交道提供一个工具。

设备控制器用来控制I/O设备的具体动作，不同的I/O设备需要完成的控制功能不同。

3．什么是用户I/O程序？什么是设备驱动程序？什么是设备控制程序？答：用户I/O程序是指用户利用操作系统提供的调用界面编写的具体I/O设备的输入输出程序。

例如用户编写的用打印机输出文本的程序。

设备驱动程序是一种可以使计算机和设备通信的特殊程序。

可以说相当于操作系统与硬件的接口，操作系统只有通过这个接口，才能控制硬件设备的工作，假如某设备的驱动程序未能正确安装，便不能正常工作。

设备控制程序就是驱动程序中具体对设备进行控制的程序。

设备控制程序通过接口控制逻辑电路，发出控制命令字。

命令字代码各位表达了要求I/O设备执行操作的控制代码，由硬件逻辑解释执行，发出控制外设的有关控制信号。

4．说明设计I/O系统的三个要素的具体内容。

答：设计I/O系统应该考虑如下三个要素：①数据定位： I/O系统必须能够根据主机提出的要求进行设备的选择，并按照数据在设备中的地址找到相应的数据。

（完整版）高等代数（北大版）第7章习题参考答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αkk A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-==k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

上的线性变换。

5) 是因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案习题7.01．下列各种情形中，P 为E 的什么点？（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。

2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.(1) (){},0≠x y y ;(2) (){}22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}2,≤x y y x ;(4) ()(){}()(){}2222,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集为(){}22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为()()(){}2222,11,24+-=+-=x y x y x y习题7.11. 设求1. 解令,=-=yu x y v x，解得,11==--u uv x y v v，故()22,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(,).f x y2.已知函数()22,cot =+-x f x y x y xy y，试求(),f tx ty .2. 解因为()22,cot =+-y f x y x y xy x，所以，()2222,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x即()()222,cot =+-y f tx ty t x y t xy x.3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;(2) =z ;(3) =z(4) )0;=>>u R r(5) =u3. 解 (1)(){}2,510-+>x y yxy ；(2)(){},0->x y x y ；（3）(){}2,≥x y x y ；（4）(){}22222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}222,≤+x y z x y4. 求下列各极限:(1) ()()233,0,31lim →-+x y x yx y ;(2)()(,1,1ln lim→+x x y y e(3)()(,0,0lim→x y(4)()(,0,0lim→x y ;(5)()()(),0,2sin lim→x y xy x ;(6)()()()()222222,0,01cos lim→-++x y x y x y xy e.4. 解（1）()()2333,0,31101lim 0327→--==++x y x y x y ；（2）()(()1,1,1ln ln 11lim2→+++===x x y y e e e （3）()()()(,0,0,0,0limlim→→=x y x y ()(,0,01lim4→==x y （4）()(()()),0,0,0,01limlim→→=x y x y xy xy()()),0,0=lim1=2→+x y（5）()()()()()(),0,2,0,2sin sin limlim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy（6）()()()()()()()()()222222222222222,0,0,0,01cos 1cos limlim→→-+-++=⋅++x y x y x y x y x y x y xy xy eex y()()()()()()()2222222022,0,0,0,01cos 10limlim=02→→-++=⋅⋅=+x y x y x y x y xy e exy5.证明下列极限不存在: (1)()(),0,0lim→-+x y x yx y ;(2)()(),0,0lim→+-x y xyxy x y .5. (1) 解令=y kx ,有()(),0,001limlim 1→→---==+++x y x x y x kx kx y x kx k ，k 取不同值，极限不同，故()(),0,0lim→-+x y x yx y 不存在.(2) 解令=x y()()22,0,00lim lim 1→→==+-x y x xy x xy x yx ；令2=x y()()()()22,0,02,0,0022lim lim lim 0221→→→===+-++x y y y y xy y y xy x y y y y ；01≠，故()(),0,0lim→+-x y xyxy x y不存在.6.函数=y z a 为常数）在何处间断？6. 解因为=y z 是二元初等函数，且函数只在点集(){,x y y 上无定义，故函数在点集(){,x y y 上间断.7.用 εδ- 语言证明()(,0,0lim0→=x y .7. 证明对0∀>ε，要使220-=≤=<ε2<ε，取=2δε<δ0-<ε，所以()(,0,0lim 0→=x y习题7.21. 设()(),sin 1arctan ,π==+-xy xz f x y e y x y 试求()1,1x f 及()1,1y f1. 解()221,sin arctan 1=+++xy x x yf x y ye y xx yyπ22=sin arctan+++xy x xy ye y y x y π.()()222,sin cos 11-=++-+xy xyy x y f x y xe y e y x x yπππ 222sin cos -=+++xyxyx x xe y e y x y πππ()()1,1,1,1∴=-=-x y f e f e2.设(),ln 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y f x y x x ，求()1,0'x f ，()1,0'y f .2. 解()()222122,22--==++x yx y x f x y y x x y x x()2112,22==++y x f x y yx y x x()()11,011,02∴==，x y f f . 3.求下列函数的偏导数(1) 332=++z x y xy ，(2) ()1=+xz xy ， (3) ()222ln =+z y x y ，(4) ln tan=y z x， (5) ()222ln =+z x x y ；(6)=z (7) ()sec =z xy ；(8) ()1=+yz xy ；(9) ()arctan =-zy x y ；(10) .⎛⎫=⎪⎝⎭zx u y 3. 解（1）2232,32z z x y y x x y ∂∂=+=+∂∂（2）因为 ()ln 1,x xy z e+=所以()()()()ln 1ln 11ln 111x x xy z xy xy e xy xy xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()22ln 1111x x xy z x x e xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭（3）()2322222222,2ln z xy z y y x y x x y y x y ∂∂==++∂+∂+（4）222222sec sec 111sec ,sec tan tan tantan y yy z y y z y x x y y y y x x x y x x x x x x x x∂∂⎛⎫⎛⎫=-=-== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （5）()32222222222ln ,z x z x y x x y x x y y x y ∂∂=++=∂+∂+（6）z z x y ∂∂====∂∂（7）()()()()sec tan ,sec tan z z y xy xy x xy xy x y ∂∂==∂∂（8）()()22ln 1111y y xy z y y e xy x xy xy +⎛⎫⎛⎫∂==+ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭()()()()ln 1ln 11ln 111y y xy z xy xy e xy xy xy y xy xy +⎛⎫⎛⎫∂=++=+++ ⎪ ⎪∂++⎝⎭⎝⎭ （9）()()()()()()()11222ln ,,111z z zz z z z x y z x y x y x y u u u x y z x y x y x y ------∂∂∂==-=∂∂∂+-+-+-（10）因为 ln,x z yu e=所以ln ln ln 21,,ln zzx x x z z z y y y u z x z u z x x z u x e e e x x xy y x y y y y z y y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=⋅==⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭4.设ln=z ，求证: 12∂∂+=∂∂z z xy x y . 4.证明因为ln,z =所以z zx y∂∂====∂∂从而有12 z zx yx y∂∂+=+=+=∂∂5.求下列函数的二阶偏函数：(1)已知33sin sin=+z x y y x，求2∂∂∂zx y；(2)已知ln=xz y，求2∂∂∂zx y；(3)已知(ln=z x，求22∂∂z x和2∂∂∂z x y；(4)arctan=yzx求22222,,∂∂∂∂∂∂∂z z zx y x y和2∂∂∂zy x.5. 解（1）3323sin sin,3sin coszz x y y x x y y xx∂=+∴=+∂从而有223cos3coszx y y xx y∂=+∂∂（2）ln ln1,lnx xzz y y yx x∂⎛⎫=∴= ⎪∂⎝⎭从而有()()()ln1ln1ln11ln ln ln ln1xx xz yxy y y x yx y x y x--⎛⎫∂=+⋅=+⎪∂∂⎝⎭（3）(()1222 ln,zz x x yx-∂=∴===+∂从而有()()3322222222122zx y x x x yx--∂=-+=-+∂()()332222222122z x y y y x y x y --∂=-+=-+∂∂ （4）22221arctan,1y z y y z x xx x y y x ∂⎛⎫=∴=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222111z x yx x y y x ∂⎛⎫=⋅= ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭从而有()()()()2222222222222222222,x y y z xy z y x x x y x y x y x y -++∂∂-===∂∂∂+++ ()()2222222222222222,z xy z x y xy x y y y x x y x y x y ⎛⎫∂-∂+--=== ⎪∂∂∂+⎝⎭++ 6. 设()ln =z y xy ，求2∂∂∂z x y 及22∂∂zy .6. 解因为()ln ,z y xy =所以()(),ln ln 1z y y z x y xy y xy x xy x y xy∂∂===+=+∂∂从而有22211,.z z x y x y y∂∂==∂∂∂ 习题7.31. 求下列函数的全微分.(1) 2222+=-s t u s t ；(2) ()2222+=+x y xyz x y e；(3) ()arcsin0=>xz y y；(4) ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=y x x y z e ；1.解（1）()()222232322222222()()22222∂--+⋅---==∂--u s s t s t s s st s t s s s t s t()()222223232222222()()22222u t s t s t t ts t ts s t s t s t ∂--+---==∂-- ()()2322222244u u st t dz ds dt ds dt s t s t s t ∂∂-∴=+=-∂∂--（2）()()()222222222222++++∂=++⋅∂x y x y xyxyx y x y yzxe x y exxy()2222222244222222+++⎛⎫--=++⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyx y x y xe x y e x e x y x y()()()22222222222-2+++∂=++⋅∂x y x y xy xyy x x y xzye x y eyxy()()2222222222442222+++-+⎛⎫-=+⋅=+ ⎪⎝⎭x y x y x y xyxyxyy x x y y x yeey e xy xy2244442222x y xyz z x y y x dz dx dy x edx y dy x y x y xy +⎛⎫⎛⎫∂∂--∴=+=+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （3）2222211∂=⋅==∂--⎛⎫yzxyyy x y x x22⎛⎫⎛⎫∂=-=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭z x x yy y z zdz dx dy x y∂∂∴=+=∂∂（4）22221y x y x x y x y z y y x e e x x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-= ⎪∂⎝⎭ 22221y x y x x y x y z x x y e e y x y xy ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂-=-+= ⎪∂⎝⎭222222y x y x x y x y z z z y x x y dz dx dy e dx e dy x y y x y xy⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∂∂∂--∴=+==+∂∂∂ 2. 求函数2arctan1=+xz y 在1,1==x y 处的全微分.2.解()()()()()()()22222222222222222211111111111++∂++=⋅=⋅=∂++++++++y y z y y x xy y x y y xy()()()()()()22222222222222211222111111+∂-⋅--=⋅=⋅=∂++++++++y z x y xy xyx yy y x y y xy()()21,11125111z x ∂+∴==∂++ ， ()()21,12125111∂-⋅==-∂++z y ()1,12255dz dx dy ∴=- 3. 求函数22=-xyz x y 当2,1,0.02,0.01==∆=∆=x y x y 时的全微分和全增量，并求两者之差.3.解 ()()()(),, 2.02,1.011,1z z x x y y z x y z z ∆=+∆+∆-=-()()22222.02 1.0121 2.0420.6670.667021 4.08 1.0232.02 1.01⨯⨯=-=-=-=--- ()()()2223222222222--⋅∂--===-∂---y x y xy x z x y y y x x y x y x y ()()()()22322222222--⋅-∂+==∂--x x y xy y z x xy y x y x y ()2,111413z x ∂∴=-=-∂- ，()()22,182110941z y ∂+⨯==∂- ()2,11100.020.010.070.0110.00439dz ∴=-⨯+⨯=-+=00.0040.004z dz ∴∆-=-=-.*4讨论函数()()()()(),0,0,0,,0,0⎧≠⎪=⎨⎪=⎩xy x y f x y x y 在()0,0点的连续性、可导性、可微性以及其偏导函数在()0,0的连续性.4.解()()()()()(),0,0,0,0lim,lim 00,0x y x y f x y xy f →→===(),f x y ∴在()0,0点连续又()()()00,00,0000,0limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→∆--===∆∆ ()()()000,0,0000,0limlim 0y y y f y f f y y∆→∆→∆--===∆∆ ()()0,00,0,00x y f f ∴==.()(()(,0,0,0,0,0,00limlim limx y x y f x yf z dzρρ→∆∆→∆∆→∆∆--∆-==()()()0,0,0x y<∆∆→∆lim0z dzρρ→∆-∴=故函数(),f x y 在()0,0点可微. 由()(),0,0x y ≠时(),=-x f x yy xy()23222sinx yy xy=-+(),=-y f x y x xy ()23222xy x xy=-+()(),0,0lim 0x y y →= ，()()()()23,0,0222lim→=+x y x yy kx xy()()()33323222=lim11→==+⋅+x kx ky kx k xk ，k 不同值不同()()()23,0,0222lim→∴+x y xy xy 不存在，故()()(),0,0lim ,xx y f x y →不存在.(),x f x y ∴在()0,0点不连续，同理可证(),y f x y 在点()0,0不连续.*5.计算()2.050.99的近似值.5.解令00,1,2,0.01,0.05yz x x y x y ===∆=∆= 则1,ln y y z z yx x x x y-∂∂==∂∂ ()()1,21,22,0z zx y ∂∂∴==∂∂ ()()()2.0521,21,20.991120.0100.0510.02 1.02∂∂∴≈+∆+∆=+⨯+⨯=+=∂∂z zx y x y*6.设有厚度为，内高为，内半径为的无盖圆柱形容器，求容器外壳体积的近似值(设容器的壁和底的厚度相同).6.解设容器底面积半径为r ，高为h则容器体积2V r h π=22,V Vrh r r hππ∂∂==∂∂ 22∴=+dV rhdr r dh ππ002,10,0.1,0.1r cm h cm r cm h cm ==∆=∆=()()22,102,1020.10.1400.140.1 4.4∴∆≈=⋅+⋅=⨯+⨯=V dV rh r πππππ*7. 测得直角三角形两直角边的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm ，试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差和相对误差.0.1cm 10cm 2cm7.解设直角三角形的直角边长分别为,x y ，则斜边z =，zz xy∂∂==∂∂由题意007,24,0.1,0.1x y x y δδ====z ∴的绝对误差为()()7,247,247240.10.10.242525∂∂=+=⨯+⨯=∂∂z x y z z x y δδδz 的相对误差()7,240.240.009625=≈zz δ 习题7.41.设，，，求. 1.解 ()3222sin 22cos 23cos 6---∂∂=⋅+⋅=⋅-⋅=-∂∂x y x y t t du z dx z dy e t e t e t t dt x dt y dt2.设，而，，求. 2.解2123∂∂=⋅+⋅=+∂∂dz z dy z dV x dx u dx V dx2341-=x3.设，，，求，. 3.解 ()()222cos 2sin ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+-∂∂∂∂∂z z u z v uv v y u uv y x u x v x()()2222222cos sin sin cos cos 2cos sin sin x y y x y y x y x y y y =-+-()23sin cos cos sin x y y y y =-()()()222sin 2cos z z u z v uv v x y u uv x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=--+-∂∂∂∂∂ ()()()2222222cos sin sin sin cos 2cos sin cos x y y x y x y x y x y y x y =--+-()()3333cos sin 2cos sin sin cos x y y x y y y y =+-+2e x y u -=sin x t =3y t =d d u tarccos()z u v =-34u x =3v x =d d zx22z u v uv =-cos u x y =sin v x y =zx ∂∂z y∂∂4.设，而，，求，. 4.解 222ln 3∂∂∂∂∂⎛⎫=⋅+⋅=⋅+- ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭z z u z v u y u v x u x v x v x()()()2322632ln 326ln 3x y y y y x y x y x x x x +⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭5.设求5.解 ()()1wf x xy xyz y yz x ∂'=++++∂()()()()1wf x xy xyz x xz x z f x xy xyz y∂''=+++=+++∂ ()()wf x xy xyz xy xyf x xy xyz z ∂''=++=++∂6.求下列函数的一阶偏导数(其中具有一阶连续偏导数):(1)；(2)；(3)；(4).6.解（1）()()222222∂''=-⋅=-∂z f x y x xf x y x()()()222222∂''=-⋅-=--∂zf x y y yf x y y（2）121110∂'''=+⋅=∂u f f f x y y12122211u x x f f f f y y z y z ⎛⎫∂⎛⎫''''=-+=-+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭122220∂⎛⎫'''=⋅+-=- ⎪∂⎝⎭u y y f f f z z z （3）1231231∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂uf f y f yz f yf yzf x123230∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂uf f x f xz xf xzf y2ln z u v =32u x y =+y v x =zx ∂∂z y∂∂(),w f x xy xyz =++,,.w w wx y z∂∂∂∂∂∂f 22()z f x y =-,x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(,,)u f x xy xyz =22(,e ,ln )xy u f x y x =-123300∂''''=⋅+⋅+⋅=∂uf f f xy xyf z （4）1231231122∂''''''=⋅+⋅⋅+⋅=++∂xy xyu f x f e y f xf ye f f x x x()12312202∂'''''=⋅-+⋅+⋅=-+∂xy xy uf y f e x f yf xe f y7.求下列函数的二阶偏导数，，(其中具有二阶连续偏导数):(1)，(2). 7.解（1）22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf xy f y xyf y f x22121222∂''''=⋅+⋅=+∂zf x f xy x f xyf y()()222211112212222222∂'''''''''∴=+⋅+⋅+⋅+⋅∂zyf xy f xy f y y f xy f y x233341111221222422yf x y f xy f xy f y f '''''''''=++++ 23341111222244yf x y f xy f y f '''''''=+++()()2222111122212222222∂''''''''''=+⋅+⋅++⋅+⋅∂∂zxf xy f x f xy yf y f x f xy x y322223111122212222422xf x yf x y f yf x y f xy f ''''''''''=+++++ 32231111222222522xf x yf x y f yf xy f ''''''''=++++()2222211122212222222∂'''''''''=+++⋅+⋅∂zx f x x f xy xf xy f x f xy y43221112222424x f x yf xf x y f '''''''=+++（2）()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y x xf x y x()()222222∂''=+⋅=+∂zf x y y yf x y y22zx∂∂2z x y ∂∂∂22z y ∂∂f 22(,)z f x y xy =22()z f x y =+()()()()2222222222222224∂''''''∴=+++⋅=+++∂zf x y xf x y x f x y x f x y x()()22222224∂'''=+⋅=+∂∂z xf x y y xyf x y x y()()()()2222222222222224∂''''''=+++⋅=+++∂zf x y yf x y y f x y y f x y y8.设其中F 是可微函数，证明8.解()()()cos sin sin cos cos cos sin sin ux F y x x x xF y x x∂''=+--=--∂ ()sin sin cos uF y x y y∂'=-∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos u uy x x xF y x y yF y x x x y∂∂''∴+=--+-⎡⎤⎣⎦∂∂ ()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x y x yF y x x yF y x x y ''=--+-=.习题7.51.设,φ⎛⎫= ⎪⎝⎭x y z z 其中为可微函数，求∂∂+∂∂z z x y x y . 1.解 z是,x y函数由方程xx z y φ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定。

第7章+静电场+习题和思考题

Q
Q
Q
2 0a 2 j ( 2 0a 2 j ) 16 0a 2 i

Q
16 0a 2
i
从 O 点指向 x 轴正向
y
a 2Q Q O a 2a x a 2Q
(4)
Uo

3 i 1
1
4 0
qi ri
2Q 2Q
Q

4 0a 4 0a 4 0 (2a)
答：错误。
根据静电感应，当导体达到静电平衡时，导体内部电场强度处处为 0，根据高斯定理，导体内表面所带电荷与空腔导体包围的电荷代数和为 0，所以内表面带-Q 的电量。
A Q
B
习题图7-3
第第七七章章习题习解答题解答
三、综合题
1．如习题图 7-4，三个点电荷分别分布在 x , y轴上。（1）分析各点电荷在 O 点产生电场强度的方向；（2）写出各点电荷在 O 点产生的电场强度的大小；（3）计算 O 点的电场强度大小；（4）计算 O 点电势的大小。
(3)计算
利用高斯定理
e
1
EdS
S
0
qi
S内
1
E
dS
S
0
qi
S内
Q
+ +
+R + +
O
dq
·
+ +r +
++ +
+·
S
d E
· P
dE
E
d q
E4
r2 1
0
qi

大学物理学(课后答案)第7章

第七章课后习题解答一、选择题7-1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们[ ](A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强分析：理想气体分子的平均平动动能32k kT ε=，仅与温度有关，因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同。

又由理想气体的压强公式p nkT =，当两者分子数密度相同时，它们压强也相同。

故选（C ）。

7-2 理想气体处于平衡状态，设温度为T ，气体分子的自由度为i ，则每个气体分子所具有的[ ](A) 动能为2i kT (B) 动能为2iRT(C) 平均动能为2i kT (D) 平均平动动能为2iRT分析：由理想气体分子的的平均平动动能32k kT ε=和理想气体分子的的平均动能2ikT ε=，故选择（C ）。

7-3 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()1/21/21/222::2A B Cv v v =1:2:4，则其压强之比为A B C p :p :p[ ](A) 1:2:4 (B) 1:4:8 (C) 1:4:16 (D) 4:2:1=，又由物态方程p nkT =，所以当三容器中得分子数密度相同时，得123123::::1:4:16p p p T T T ==。

故选择（C ）。

7-4 图7-4中两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线。

如果()2p O v 和()2p H v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则[ ](A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =(B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /1/4v v =(D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且()()22p p O H /4v v =分析：在温度相同的情况下，由最概然速率公式p ν=质量22H O M M <，可知氢气的最概然速率大于氧气的最概然速率，故曲线a 对应于氧分子的速率分布曲线。

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.

第七章应力状态和强度理论习题解[习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。

[习题7-1（a ）]解：A 点处于单向压应力状态。

224412d F d F F A N A ππσ-=-==[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。

3316161d T d T W T P A ππτ-===MPa mm mm N 618.798014.310816336=⨯⋅⨯⨯=[习题7-1（b ）]解：A 点处于纯剪切应力状态。

0=∑AM04.028.02.1=⨯--⨯B R )(333.1kN R B =)(333.1kN R Q B A -=-=MPa mmN A Q A 417.01204013335.15.12-=⨯⨯-=⨯=τB 点处于平面应力状态MPamm mm mm N I y M zB B 083.21204012130103.0333.1436=⨯⨯⨯⋅⨯⨯==σMPa mm mm mmN b I QS z zB 312.0401204012145)3040(1333433*-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==τ[习题7-1（d ）]解：A 点处于平面应力状态MPa mm mm N W M zA A 064.502014.3321103.39333=⨯⨯⋅⨯==σMPa mm mm N W T PA 064.502014.3161106.78333=⨯⨯⋅⨯==τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540⨯的矩形。

在与轴线成045=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。

试求试样所受的轴向拉力F 。

解：AFx =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 20x yx τσστ+-=A F 2045=τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时，1502045≤=AFτ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==⨯⨯==[习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。

习题解答第7章

5．一阶电路的全响应 V，若初始状态不变而输入增加一倍，则全响应变为D。
A． ; B．；
C．；Ｄ．
解：由求解一阶电路的三要素法可知在原电路中 V, V。当初始状态不变而输入增加一倍时，有
V
二、填空题
1．换路前电路已处于稳态,已知， , , . 时，开关由掷向，则图7—3所示电路在换路后瞬间的电容电压 V, V。
作用时的响应为
作用时的响应为
总的零状态响应为
8．图7—14所示电路中，激励为单位冲激函数 A，求零状态响应。
解:设激励为，用三要素法求电路的单位阶跃响应。
,
，
电流的单位阶跃响应为
根据单位冲激响应和单位阶跃响应的关系，可得电路中的：
9．图7—15所示电路中， , ,求时的响应。
解：应用叠加原理求解此题.
第七章（一阶电路)习题解答
一、选择题
1．由于线性电路具有叠加性，所以C。
A．电路的全响应与激励成正比；
B．响应的暂态分量与激励成正比；
C．电路的零状态响应与激励成正比；
D．初始值与激励成正比
2．动态电路在换路后出现过渡过程的原因是A。
A．储能元件中的能量不能跃变；
B．电路的结构或参数发生变化;
C．电路有独立电源存在；
解：由时刻电路得：
，
换路后，电容，构成纯电容的回路（两电容并联），电容电压发生强迫跃变,此时应由电荷守恒原理求解换路后瞬刻的电容电压。由得：
……①
…… ②
由以上两式解得
2．图7—4所示电路的时间常数 .
解：将储能元件开路，独立电源置后,可得求戴维南等效电阻的电路如图7—4(a）所示。由于电路中含有受控源，因此需用外加电压法求戴维南等效电阻 .由图7—4（a）得

高等数学习题详解-第7章多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。

(完整版)高等代数(北大版)第7章习题参考答案

第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3）在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4）在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5）在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6）在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。

8）在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。

3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。

4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。

5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ，再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ，故A 为][x P 上的线性变换。

第7章气体动理论习题解答

第7章气体动理论7.1基本要求1.理解平衡态、物态参量、温度等概念，掌握理想气体物态方程的物理意义及应用。

2.了解气体分子热运动的统计规律性，理解理想气体的压强公式和温度公式的统计意义及微观本质，并能熟练应用。

3.理解自由度和内能的概念，掌握能量按自由度均分定理。

掌握理想气体的内能公式并能熟练应用。

4.理解麦克斯韦气体分子速率分布律、速率分布函数及分子速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率、方均根速率和最概然速率的求法和意义。

5.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的物理意义和计算公式。

7.2基本概念1 平衡态系统在不受外界的影响下，宏观性质不随时间变化的状态。

2 物态参量描述一定质量的理想气体在平衡态时的宏观性质的物理量，包括压强p 、体积V 和温度T 3 温度宏观上反映物体的冷热程度，微观上反映气体分子无规则热运动的剧烈程度。

4 自由度确定一个物体在空间的位置所需要的独立坐标数目，用字母i 表示。

5 内能理想气体的内能就是气体内所有分子的动能之和，即2i E R T ν=6 最概然速率速率分布函数取极大值时所对应的速率，用p υ表示，p υ==≈，其物理意义为在一定温度下，分布在速率p υ附近的单位速率区间内的分子在总分子数中所占的百分比最大。

7 平均速率各个分子速率的统计平均值，用υ表示，υ==≈8 方均根速率各个分子速率的平方平均值的算术平方根，用rm s υ表示，rm s υ==≈9 平均碰撞频率和平均自由程平均碰撞频率Z 是指单位时间内一个分子和其他分子平均碰撞的次数；平均自由程λ是每两次碰撞之间一个分子自由运动的平均路程，两者的关系式为:Zυλ==或λ=7.3基本规律1 理想气体的物态方程pV RTν=或'm pV R TM=pV NkT=或p nkT =2 理想气体的压强公式23k p n ε=3 理想气体的温度公式21322k m kT ευ==4 能量按自由度均分定理在温度为T 的平衡态下，气体分子任何一个自由度的平均动能都相等，均为12kT5 麦克斯韦气体分子速率分布律（1）速率分布函数()dN f N d υυ=表示在速率υ附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比或任一单个分子在速率υ附近单位速率区间内出现的概率，又称为概率密度。

第七章习题解答

习题七1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：(1) 在向量空间V 中，σ (ξ)＝ξ＋α，α是V 中一固定的向量；(2) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,(233221x x x x ＋；(3) 在向量空间R 3中，σ (x 1, x 2, x 3)＝),,2(13221x x x x x ＋－； (4) 把复数域看作复数域上的向量空间，σ (ξ)＝ξ. 解（1）当0=α时，σ是线性变换；当0≠α时，σ不是线性变换；（2）σ不是线性变换；（3）σ是线性变换；（4）σ不是线性变换；2. 设V 是数域F 上一维向量空间. 证明，σ是V 的一个线性变换的充要条件是：存在F 中的一个数a ，使得对任意ξ∈V ，都有σ (ξ)＝a ξ .证明：充分性显然.必要性:令σ是ν的一个线性变换,设1ξ是ν的一个基.则νξσ∈)(1.那么)(1ξσ可由1ξ线性表示,不妨设11)(ξξσa =.对任意的νξ∈,有1ξξk =,则ξξξξσξσξσa k a a k k k =====)()()()()(1111.3. 设σ是向量空间V 的线性变换，如果σ k －1ξ≠0, 但σ k ξ＝0，求证ξ, σξ, …, σk －1ξ (k >0)线性无关.证明: 令++σξξ10l l ┄ +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(1)(1)式两端用1-k σ作用得:++-ξσξσkk l l 110+0221=--ξσk k l由已知得: ==+ξσξσ1k k=,022=-ξσk 01≠-ξσk ,所以有00=l .则(1)式变为: +σξ1l +011=--ξσk k l ┈┈┈┈(2)(2)式两端用2-k σ 作用得:ξσξσkk l l 211+-+0321=--ξσk k l同理01=l .重复上述过程有: ==10l l 01=-k l . 4. 在向量空间R [x ]中，σ (f (x ))＝f '(x ), τ (f (x ))＝xf (x ), 证明，στ －τσ＝ι.证明:对任意][)(x R x f ∈,有))(())()((x f x f σττσστ=-=-+=-=-)()()()())((())(('''x xf x xf x f x f x f x x f τστσ)(x f .所以στ －τσ＝ι.5. 在向量空间R 3中，线性变换σ, τ如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1, x 2, x 1＋x 2)τ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2－x 3, 0, x 3－x 1－x 2)(1) 求στ, τσ, σ2；(2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ.解: (1) =---+=),0,(),,(213321321x x x x x x x x x σστ,(321x x x -+0,),,()321321x x x x x x τ=-+,∴τστ=.)0,0,0(),,(),,(2121321=+=x x x x x x x ττσ,∴0=τσ ),,(),,(21213212x x x x x x x +=σσ=),,(2121x x x x +.∴σσ=2.(2) ),,)((321x x x τσ+=),,(321x x x σ+),,(321x x x τ ),,(2121x x x x +=+),0,(213321x x x x x x ---+),,2(32321x x x x x -+=.),,)((321x x x τσ-=),,(321x x x σ),,(321x x x τ-),,(2121x x x x +=),0,(213321x x x x x x ---+-=)22,,(321232x x x x x x -++-.2),,(2321=x x x σ),,(2121x x x x +=)22,2,2(2121x x x x +.6. 已知向量空间R 3的线性变换σ为σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2＋x 3, x 2＋x 3,－x 3) 证明，σ是可逆变换，并求σ－1.证明:),0,0,1(),0,0,1(=σ, ),0,1,1(),0,1,0(=σ,),1,1,1(),1,0,0(-=σ.∴ σ关于3R 的一个基),0,0,1(, ),0,1,0(,),1,0,0(的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100110111A . 显然,A 可逆,所以σ是可逆变换,而且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001100111A所以-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--132113211(),,(x x x x A x x x σ,2x ,32x x +)3x -.7. 设σ, τ, ρ都是向量空间V 的线性变换，试证,（1）如果σ, τ都与ρ可交换，则στ, σ2也都与ρ可交换（若对任意α∈V ，都有στ (α)＝τσ (α)，就说σ与τ可交换）；（2）如果σ＋τ, σ－τ都与ρ可交换，则σ, τ也都与ρ可交换. 证:(1)由已知ρττρρσσρ==,.那么==)()(τρσρστ)(ρτσ =)()(στρτσρ=.22)()()(ρσσσρρσσσρσρσ====.(2)同理可证.8. 证明，数域F 上的有限维向量空间V 的线性变换σ是可逆变换的充分必要条件是σ把非零向量变为非零向量.证明:不妨设ν是n 维的. ,,21ξξ,n ξ是它的一个基.σ关于这个基的矩阵为A .显然,σ可逆当且仅当A 可逆. σ把非零向量变为非零向量当且仅当{}0=σKer ,而秩σ=秩A ,σ的零度=σker dim .且秩σ+σ的零度=n.所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即A 可逆当且仅当0=σKer .故σ可逆当且仅当σ把非零向量变为非零向量.9. 证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. 证明:令σ是向量空间ν的可逆线性变换, ,,21αα,m α是ν的一组线性无关的向量,令++)()(2211ασασk k +0)(=m m k ασ.两端用1-σ作用得: +11αk +0=m m k α.由已知 ,,21αα,m α 线性无关,所以: ==21k k =0=m k .故 ),(),(21ασασ,)(m ασ 线性无关.10. 设{ε1, ε2, ε3}是F 上向量空间V 的一个基. 已知V 的线性变换σ在{ε1,ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a (1) 求σ在{ε1, ε3, ε2}下的矩阵；(2) 求σ在{ε1, k ε2, ε3}下的矩阵(k ≠0，k ∈F )；(3) 求σ在{ε1, ε1＋ε2, ε3}下的矩阵. 解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222321323331121311231231),,(),,(a a a a a a a a a εεεεεεσ. (2)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33323123222113121132132111),,(),,(a ka a a k a a k a ka a k k εεεεεεσ. (3) =+),,(3211εεεεσ),,(3211εεεε+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++---+-⋅33323131232221212313222112112111a a a aa a a a a a a a a a a a11. 在R 3中定义线性变换σ如下σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 2＋x 3, x 1－4x 2, 3x 1)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. (1) 求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 利用(1)中结论，求σ在基α1＝(1, 1, 1)，α2＝(1, 1, 0)，α3＝(1, 0, 0)下的矩阵.解:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=003041120),,(),,(321321εεεεεεσ (2)从基{}321,,εεε到基{}321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=001011111P .σ在{}321,,ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-0010111110030411200111101000030411201P P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---156266333. 12. 已知M 2(F )的两个线性变换σ，τ如下σ (X )＝X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111, τ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0201X , ∀X ∈M 2(F ). 试求σ＋τ, στ在基E 11, E 12, E 21, E 22下的矩阵. 又问σ和τ是否可逆？若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵. 证明:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+021202011111)(111111E E E τσ =12112E E +222102E E +-.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+200102011111)(121212E E E τσ =12110E E +222120E E -+.⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+110002011111)(212121E E E τσ=121100E E +2221E E ++.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+10002011111)(222222E E E τσ =121100E E +2221E E -+.所以τσ+在基22211211,,,E E E E 下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1120110200010012A . 同理可证στ在基22211211,,,E E E E 下的矩阵.121111)(E E E +=σ,121112)(E E E -=σ,222112112100)(E E E E E +++=σ,=)(22E σ2221121100E E E E -++.所以σ在此基下的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110000110011B . 显然,B 可逆.所以σ可逆. σ在同一基下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-21210021*******1210021211B. 同理可讨论τ的可逆性及求τ的矩阵.13. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. W 1, W 2是V 的子空间，并且V ＝W 1⊕W 2证明，σ是可逆变换的充要条件是V ＝σ ( W 1)⊕σ ( W 2)证明:令 ,1α,r α是1W 的一个基. 令 ,1+r α,n α是2W 的一个基. 由已知得: ,1α, n α是ν的一个基.必要性:设σ可逆,则 ),(1ασ,)(r ασ, )(1+r ασ,)(n ασ 也是ν的一个基.但=)(1W σ£( ),(1ασ,)(r ασ). =)(2W σ£( )(1+r ασ,)(n ασ)所以=ν+)(1W σ)(2W σ,⋂)(1W σ}0{)(2=W σ,故V ＝σ ( W 1)⊕ σ ( W 2).充分性:将必要性的过程倒过去即可.14. 设R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(2x 1－x 2, x 2－x 3, x 2＋x 3)求σ在基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1) 及基η1＝(1, 1, 0), η2＝(0, 1, 1),η3＝(0, 0, 1)下的矩阵.解: σ在基{ε1, ε3, ε2}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110110012A . σ在基{321,,ηηη}下的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-110110011101100121100110011B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--211110011. 15. 在M 2(F )中定义线性变换σ为σ (X )＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3210X ， ∀X ∈M 2(F ). 求σ在基{ E 11, E 12, E 21, E 22}下的矩阵，其中E 11＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001, E 12＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0010, E 21＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100, E 22＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000. 解: σ在基{22211211,,,E E E E }下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=30200302100001A . 16. 证明，与n 维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.证明:由105P 习题二及第10题的结论易得. 17. 给定R 3的两个基α1＝(1, 0, 1), α2＝(2, 1, 0), α3＝(1, 1, 1)；和 β1＝(1, 2,－1), β2＝(2, 2, －1), β3＝(2, －1, －1). σ是R 3的线性变换，且σ(αi )＝βi ，i ＝1, 2,3. 求(1) 由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵； (2) σ关于基{α1, α2 , α3}的矩阵； (3) σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵.解: (1)令)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε.则由{α1, α2 , α3}到{ε1,ε3, ε2}的过渡矩阵为:1101110121-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 由基{ε1, ε3, ε2}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101110221. 所以由基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1111222211111101211P =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 (2) σ ==),,(),,(321321βββαααP ),,(321ααα.所以σ在),,(321ααα下的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232. σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为: ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---252112323123232 18. 设α1＝(－1, 0, －2), α2＝(0, 1, 2), α3＝(1, 2, 5)，β1＝(－1, 1, 0), β2＝(1, 0, 1), β3＝(0, 1, 2)，ξ＝(0, 3, 5)是R 3中的向量，σ是R 3的线性变换，并且σ(α1)＝(2, 0, －1), σ(α2)＝(0, 0, 1),σ(α3)＝(0, 1, 2).(1) 求σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵； (2) 求σ(ξ)关于基{α1, α2 , α3}的坐标； (3) 求σ(ξ)关于基{β1, β2 , β3}的坐标. 解:令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5222101011T ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2101011112T .则从基{α1, α2 , α3}到基{β1, β2 , β3}的过渡矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅=-0101210011222341212211T T T T . 又321135310311)1,0,2()(αααασ-+-=-=321203231)1,0,0()(αααασ+-==321300)2,1,0()(αααασ++==所以σ关于),,(321ααα的矩阵为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---03135132310031311.从而σ关于基{β1, β2 , β3}的矩阵为:⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-2111000011AT T B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---03135132310031311⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅010121001= ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----31353103132343132310. (2)==)5,3,0(ξ321353135ααα+-.所以关于)(ξσ),,(321ααα的坐标为:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅926967956353135A 由(2)可知=)(ξσ⋅),,(321ααα⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=(β1, β2 , β3)⋅⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956 所以关于)(ξσ{β1, β2 , β3}的坐标为:⋅-1T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--926967956=⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-211100001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--926967956=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--971926956. 19. 设R 3有一个线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋x 2，x 2＋x 3，x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3.下列R 3的子空间哪些在σ之下不变？(1) {(0, 0, c )| c ∈R }; (2) {(0, b , c )| b , c ∈R };(3) {(a , 0, 0)| a ∈R }; (4) {(a , b , 0)| a , b ∈R }; (5) {(a , 0, c )| a , c ∈R }; (6) {(a , －a , 0)| a ∈R }.解:(3)与(4)在σ之下不变.20. 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，证明下列条件等价: (1) σ (V )＝V ； (2) ker σ＝{0}.证明:因为秩σ+σ的零度=n. 所以秩σ=n 当且仅当σ的零度是0,即n =)(dim νσ当且仅当0ker dim =σ,因此V V =)(σ当且仅当}0{=σK e r .21. 已知R 3的线性变换σ定义如下：σ (x 1, x 2, x 3)＝(x 1＋2x 2－x 3, x 2＋x 3, x 1＋x 2－2x 3)，∀(x 1, x 2, x 3)∈R 3. 求σ的值域σ (V )与核Ker σ的维数和基.解: σ关于基)0,0,1(1=ε,)0,1,0(2=ε,)1,0,0(3=ε的矩阵为:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211110121A .)1,0,1()(1=εσ,)1,1,2()(2=εσ,)(νσ ))(),((21εσεσL =.),(ker ξσL =其中)1,1,3(-=ξ,1ker dim =σ.22. 设σ是向量空间V 的一个线性变换，W 是σ的一个不变子空间，证明，W 是σ 2的不变子空间.证明:由不变子空间的定义易证. 23. 设σ是数域F 上n (>0)维向量空间V 的一个线性变换，{α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn }是V 的基. 证明，如果{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基，那么{σ (αr ＋1),…,σ (αn )}是Im σ的基.证明:已知{α1, α2 ,…, αr }是Ker σ的基, 则σ (αi )=0, i =1,2, …, r . 令 l r +1σ (αr ＋1)+ l r +2σ (αr ＋2)+ …+ l n σ (αn )=0, 则σ ( l r +1αr ＋1+…+ l n αn )=0, l r +1αr ＋1+…+ l n αn ∈ Ker σ .所以 l r +1αr ＋1+…+ l n αn =l 1α 1+…+ l r αr但 α1, α2 ,…, αr , αr ＋1,…, αn 是V 的一个基, 故 l r +1=…= l n =0. 所以 σ (αr ＋1),…, σ (αn ) 线性无关.又 Im σ = £(σ (α1), σ (α2)…, σ (αn )) = (σ (αr ＋1),…, σ (αn )).从而结论成立.24. 对任意α∈R 4，令σ (α)＝A α，其中A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---2122552131211201 求线性变换σ的核与象. 解: α1 = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--02232, α2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1021, Ker σ =£(α1,α2). σ (ε1) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2111, σ (ε2) = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2220. Im σ =£(σ (ε1), σ (ε2)).25. 设 σ，τ 是向量空间V 的线性变换，且σ＋τ＝ι，στ＝τσ＝θ. 这里ι是V 的恒等变换，θ 是V 的零变换. 证明:(1) V ＝σ(V )⊕τ (V )； (2) σ(V )＝Ker τ.证明: (1) ∀ξ∈ V, ξ=ι (ξ)=(σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ).所以V ＝σ (V )+τ (V ).对任意ξ∈σ (V )∩τ (V ). 则ξ=σ (ξ1)+ τ (ξ2).由已知条件可得ξ= ι (σ (ξ1)) = (σ＋τ)(σ (ξ1)) = σ·(σ (ξ1) = σ·(τ (ξ2)= στ (ξ2) = 0 . 故结论成立.(2 ) 对任意σ (ξ)∈σ (V ), 则 τ(σ (ξ))= 0, 所以 σ (ξ)∈Ker τ .反之, 对任意ξ∈Ker τ , 则τ(ξ)= 0.由已知条件可得,ξ= (σ＋τ)(ξ)=σ (ξ)+τ (ξ)=σ (ξ),所以ξ∈σ (V ).26. 在向量空间F n [x ]中，定义线性变换τ为：对任意f (x )∈F n [x ]，τ(f (x )) ＝x f '(x )－f (x ). 这里f '(x )表示f (x )的导数. (1)求Ker τ及Im τ；(2)证明,V ＝Ker τ⊕Im τ. 解: (1) 令τ ( f (x )) = x f'(x )－f (x ) = 0其中 f (x ) = a 0 + a 1x + … + a n x n . 则(a 1x +2a 2x 2+ … +n a n x n )- f (x ) = 0(0- a 0) + ( a 1- a 1)x + (2a 2- a 2) x 2+ … + (n a n -a n )x n= 0 有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===00020na a a, 所以 f (x ) = a 1x ,Ker τ =£(x ), Im τ=£(1,x 2, … ,x n ).(2) 显然 .27. 已知向量空间V 的线性变换σ在基{ε1, ε2, ε3}下的矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--121101365 求σ的本征值及相应的本征向量. 问是否存在V 的一个基使得σ 关于这个基的矩阵是对角阵?解: 本征值λ=2 (三重), 属于λ=2的线性无关的本征向量为:ξ1=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0131 , ξ2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1031, 故σ 不能对角化.28. 设σ是向量空间V 的可逆线性变换，证明 (1) σ的本征值一定不为0； (2) 如果λ是σ 的本征值，那么λ1是σ－1的本征值.证明: (1) 反设σ 有一本征值为0,则存在ξ≠0,ξ∈ V , 使得σ (ξ)=0·ξ= 0 . 因为σ 可逆, 所以 σ -1(σ (ξ))=0, 即ξ= 0.矛盾.(2) 设λ是σ 的本征值,由(1)得λ≠0,且有σ (ξ)=λξ,ξ≠0.σ -1(σ (ξ))=λσ -1 (ξ). 即 σ -1 (ξ)=λ1ξ, 所以结论成立.补充题1. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换. 证明 (1) Ker σ ⊆Ker σ2⊆ Ker σ3⊆…(2) Im σ ⊇Im σ2 ⊇Im σ3 ⊇…证明: (1)对任意正整数n ,下证Ker σ n ⊆ Ker σ n +1 对任意ξ∈ Ker σ n., σ n(ξ)=0, σ (σ n(ξ))=0 即σn +1(ξ)=0, 所以ξ∈ Ker σn +1.(2) 对任意正整数n ,下证Im σ n ⊇Im σ n +1.对任意ξ∈Im σ n +1, 则存在 η∈ V , 使得ξ=σn +1(η)=σ n (σ (η))∈Im σ n.2. 设A 是数域F 上的n 阶矩阵. 证明，存在F 上的一个非零多项式f (x ), 使得f (A )＝0.[不用Cayley-Hamilton 定理证. ]证明: 由于dimM n (F) = n 2, 所以I, A, A 2, …, A 2n线性相关,故存在F 上的不全为零的一组数k 0,, k 1, … ,k 2n ,使得+++2210A k A k I k ┄+022=nn Ak .取=)(x f +++2210x k x k k ┄+ 022=nn xk ,结论得证.3. 设V 是n 维向量空间, σ是V 的一个可逆线性变换, W 是σ的一个不变子空间. 证明, W 也是σ－1的不变子空间.证明:令{α1, α2 ,…, αr }是W 的一个基,因为W 是σ的不变子空间,所以 ,1,)(=∈i i ωασ,r .又σ是可逆的,所以 ),(1ασ,)(r ασ线性无关,故),(1ασ,)(r ασ也是W 的一个基.因为r i i i ,,1,))((1=∈=-ωαασσ.所以W 关于1-σ不变.4. 设σ是数域F 上向量空间V 的一个线性变换, σ2＝σ. 证明: (1) Ker σ ＝{ξ－σ (ξ)|ξ∈V }; (2) V ＝Ker σ ⊕Im σ ;(3) 若τ是V 的一个线性变换, 那么Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变的充要条件是στ＝τσ.[提示：证(3)的必要性，利用(2). ]证明:(1)对于任意的,ker σξ∈则.0)(=ξσ那么{}V ∈-∈-=-=ξξσξξσξξξ)()(0.反之,任意的{}V ∈-∈-ξξσξξσξ)()(,有-=-)())((ξσξσξσ0)()()(2=-=ξσξσξσ,故σξσξker )(∈-.(2)由(1)的解果可知:σσIm ker +=V ,对任意的σσξIm ker ⋂∈,则有:)()(211ησησηξ=-=,因此0)()()(121=-=ησησξσ. 同时还有:ξησησξσ===)()()(222所以0=ξ,结论成立.(3)充分性易证.必要性:设Ker σ 和Im σ 都在τ之下不变,由(2)的结论得:1,ξξξ=∈∀V ),(2ξσ+其中σξker 1∈.又因为+-=+-=-))(())(())()(())((1121ξστξτσξσξτσστξτσστ )()))(((222ξτσξστσ-.由已知,,Im ))((,ker )(21σξστσξτ∈∈不妨设)())((32ξσξστ=,所以)()())(())(())((2323=-=-=-ξτσξσξστξσσξτσστ.5. 设σ是数域F 上n 维向量空间V 的一个线性变换, σ2＝ι. 证明, V ＝W 1⊕W 2, 这里W 1＝{ξ∈V |σ(ξ)＝ξ}，W 2＝{η∈V |σ(η)＝－η}.[提示：∀α∈V ，α＝21(α＋σ(α))＋21(α－σ(α)). ]证明:首先对2)(2)(,ασαασααα-++=∈∀V ,由于=+)2)((ασασ2)(2)()(2ασαασασ+=+,=-)2)((ασασ=-2)()(2ασασ 2)(ασα--所以12)(W ∈+ασα,22)(W ∈-ασα,故21W W V +=.其次对任意的21W W ⋂∈α,则αασ=)(,αασ-=)(.所以0,02==αα.那么V ＝W 1⊕W 2,结论成立.6. 设V 是复数域C 上一个n 维向量空间, σ, τ是V 的线性变换, 且στ＝τσ . 证明(1) 对σ的每一本征值λ来说，V λ＝{ξ∈V |σ(ξ)＝λξ}是τ的不变子空间; (2) σ与τ有一公共本征向量.[提示：证(2)时，考虑τ在V λ上的限制. ] 证明: (1)易证.(2).由(1)可知λV 是τ的不变子空间.则λτV 是λV 的一个线性变换.因此λτV 在复数域C 上一定有一个本征值,不妨设为μ.即存在λαV ∈≠0,使得μαατλ=))((V .而)())((ατατλ=V ,所以α是τ的属于μ的一个本征向量.由α的取法,结论得证.7. 设A 是秩为r 的n 阶半正定矩阵. 证明,W ＝{ξ∈R n |ξ T A ξ＝0}是R n 的n －r 维子空间.[提示：利用习题三第33题的结论，可得W 是齐次线性方程组BX ＝0的解空间. ]证明:由习题三第33题的结论得:B B A T =,其中B 是秩为r 的n r ⨯矩阵.则)()(ξξξξξξB B B B A T T T T ==,那么0=ξξA T当且仅当0=ξB .=W{}0=∈ξξB Rn.因为秩r B =,所以齐次线性方程组0=Bx 的解空间是r n -维的.即r n W -=dim .8. 设σ，τ是F 上向量空间V 的线性变换,且σ2＝σ,τ2＝τ. 证明，(1) Im σ＝Im τ 当且仅当 στ＝τ, τσ＝σ； (2) Ker σ＝Ker τ 当且仅当 στ＝σ, τσ＝τ.证明:(1)必要性:设τσm m I I =,,V ∈∀ξ则σξτIm )(∈.令)()(1ξσξτ=,则)()())(()(11ξτξσξσσξστ===.所以τστ=.同理可证στσ=.充分性:设τστ=,στσ=.对任意的σξσIm )(∈,则τξστξτσξσIm ))(())(()(∈==所以τσIm Im ⊆,同理可证στIm Im ⊆. （2）必要性:设Ker σ＝Ker τ.对任意的V ∈ξ,因为0)()())((2=-=-ξτξτξξττ所以τξξτker )(∈-,则0))((=-ξξτσ,即)())((ξσξτσ=,故σστ=.同理可证ττσ=.充分性:设ττσ=,σστ=.对任意的σξker ∈,则0)(=ξσ.且0)0())(())(()(====τξστξτσξτ所以τξker ∈,故τσker ker ⊆.同理可证στker ker ⊆.。

高等数学下册第七章习题答案详解

高等数学下册第七章习题答案详解1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：()123A ，，；()2,3,4B -； 2,3,4C --（）； D 3,4,0（）；()0,4,3E ；3,0,0F （）. 解：点A 在第Ⅰ卦限；点B 在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限；点D 在xOy 面上；点E 在yOz 面上；点F 在x 轴上.2. xOy 坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz 面上的呢？zOx 面上的呢？答: 在xOy 面上的点，z =0;在yOz 面上的点，x =0; 在zOx 面上的点，y =0.3. 对于x 轴上的点，其坐标有什么特点?y 轴上的点呢?z 轴上的点呢? 答：x 轴上的点，y =z =0;y 轴上的点，x =z =0; z 轴上的点，x =y =0.4. 求下列各对点之间的距离： (1) (000)，，，(234)，，； (2) (000)，，，(23,4)--，； (3) (2,3,4)--，() 1,0,3； (4) (4,2,3)-，(2,1,3)-.解：（1）22223429s =++=(2) 2222(3)(4)29s =+-+-=(3) 222(12)(03)(34)67s =++-++=(4) 222(24)(12)(33)35s =--+++-=5. 求点(4,3,5)-到坐标原点和各坐标轴间的距离.解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+=222(44)(30)(50)34x s =-+--+-=2224(33)541y s =+-++=2224(3)(55)5z s =+-+-=.6. 在z 轴上求一点，使该点与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离. 解：设此点为M （0，0，z ），则222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++--解得 149z =即所求点为M （0，0，149）. 7. 试证:以三点(4,1,9)A ，(10,1,6)B -，(2,4,3)C 为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形.习题7-21. 验证:()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1图12. 设2,3=-+=-+-u a b c v a b c .试用a,b,c 表示23-u v . 解：232(2)3(3)2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c3.把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为1234,,,D D D D ，再把各分点与A 连接，试以,AB BC ==c a 表示向量123,,A D A D A D 和4D A .解：1115D A BA BD =-=--c a 2225D A BA BD =-=--c a3335D A BA BD =-=--c a444.5D A BA BD =-=--c a4. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则1Pr j cos604 2.2u OM OM =︒=⨯=5. 一向量的终点为点(2,1,7)B -，它在三坐标轴上的投影依次是4，－4和7，求这向量的起点A 的坐标.解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则{4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----解得x =-2, y =3, z =0故A 的坐标为A (-2, 3, 0). 6. 一向量的起点是1(4,0,5)P ，终点是2(7,1,3)P ，试求: (1) 12P P 在各坐标轴上的投影； (2) 12P P 的模；(3) 12P P 的方向余弦； (4) 12P P 方向的单位向量.解：（1）12Pr j 3,x x a PP == 12Pr j 1,y y a PP == 12Pr j 2.z z a PP ==- (2) 22212(74)(10)(35)14PP =-+-+-=(3) 123cos 14x a PP α==121cos 14y a PP β==122cos 14z a PP γ-==(4) 120123{}141414141414PP PP ===-e j . 7. 三个力123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)=---F F F 同时作用于一点，求合力R 的大小和方向余弦. 解：R =（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）222||21421=++=R cos cos cos 212121αβγ=== 8. 求出向量,235=++=-+a i j k b i j k 和22=--+c i j k 的模，并分别用单位向量,,a b c e e e 来表达向量,,a b c .解：222||1113=++=a222||2(3)538=+-+=b222||(2)(1)23=-+-+=c3, 38, 3. a b c ===a e b e c e9. 设358,247,54,=++=--=+-m i j k n i j k p i j k 求向量43=+-a m n p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解：a =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k 在x 轴上的投影a x =13,在y 轴上分向量为7j . 10. 已知单位向量a 与x 轴正向夹角为π3，与其在xOy 平面上的投影向量的夹角为π4.试求向量a .22223===34411cos cos cos 1cos ,cos ,42112112,,.222222a πππαγγαβγββ++===±⎧⎧⎪⎪±-±⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭由已知得单位向量的分向量：，或由知从而所求向量为，，或11. 已知两点12(2,5,3),(3,2,5)M M --，点M 在线段12M M 上，且123M M MM =，求向径OM 的坐标.解：设向径OM ={x , y , z }12{2,5,3}{3,2,5}M M x y z MM x y z =--+=----因为，123M M MM =所以，11423(3)153(2) 433(5)3x x x y y y z z z ⎧=⎪-=-⎧⎪⎪⎪-=--⇒=-⎨⎨⎪⎪+=-⎩=⎪⎪⎩故OM ={111,,344-}. 12. 已知点P 到点(0012)A ，，的距离是7，OP 的方向余弦是236,,777，求点P 的坐标.解：设P 的坐标为（x , y , z ）, 2222||(12)49PA x y z =++-=得2229524x y z z ++=-+122226570cos 6, 749z z z x y z γ==⇒==++ 又122222190cos 2, 749xx x x y z α==⇒==++ 122223285cos 3, 749y y y x y z β==⇒==++ 故点P 的坐标为P （2，3，6）或P （190285570,,494949）. 13. 已知,a b 的夹角2π3ϕ=，且3=a ， 4=b ，计算: (1) ⋅a b ；(2) (32)(2)-⋅+a b a b .解：（1）a ·b =2π1cos ||||cos3434632ϕ⋅⋅=⨯⨯=-⨯⨯=-a b (2) (32)(2)3624-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b b a b b2223||44||334(6)41661.=+⋅-=⨯+⨯--⨯=-a a b b14. 已知(4,2,4),(6,3,2)=-=-a b ，计算:(1) ⋅a b ； (2) (23)()-⋅+a b a b ；(3) 2-a b .解：（1）46(2)(3)4238⋅=⨯+-⨯-+⨯=a b (2) (23)()2233-⋅+=⋅+⋅-⋅-⋅a b a b a a a b a b b b222222222||3||2[4(2)4]383[6(3)2]23638349113=-⋅-=⨯+-+--+-+=⨯--⨯=-a a b b(3) 222||()()2||2||-=-⋅-=⋅-⋅+⋅=-⋅+a b a b a b a a a b b b a a b b36238499=-⨯+=15. 已知32,2=+-=-+a i j k b i j k ，求: (1) ⨯a b ； (2) 27⨯a b ；(3) 72⨯b a ； (4) ⨯a a .解：（1） 211332375122111--⨯=++=----a b i j k i j k(2) 2714()429870⨯=⨯=--a b a b i j k(3) 7214()14()429870⨯=⨯=-⨯=-++b a b a a b i j k (4) 0⨯=a a .16 已知向量a 和b 互相垂直，且3,4==a b ，计算： (1) ()()+⨯-a b a b ；(2) (3)(2)+⨯-a b a b .解：（1）|()()|||2()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯a b a b a a a b b a b b a bπ2||||sin242=⋅⋅=a b (2) |(3)(2)||362||7()|+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=⨯a b a b a a a b b a b b b aπ734sin842=⨯⨯⨯= 习题7-31. 求过点(41,2)，-，且与平面32611x y z -+=平行的平面方程.解：所求平面与平面3x -2y +6z =11平行故n ={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)故所求平面方程为：3(x -4)-2(y -1)+6(z +2)=0 即3x -2y +6z +2=0.2. 求过点0(1,7,3)M -，且与连接坐标原点到点0M 的线段0OM 垂直的平面方程. 解：所求平面的法向量可取为0{1,7,3}OM ==-n故平面方程为：x -1+7(y -7)-3(z +3)=0 即x +7y -3z -59=03. 设平面过点(1,2,-1)，而在x 轴和z 轴上的截距都等于在y 轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y 轴上的截距为b 则平面方程可定为122x y z b b b++= 又(1,2,-1)在平面上，则有121122b b b-++= 得b =2.故所求平面方程为1424x y z ++= 4. 求过(1,1,-1),(2,-2,2)-和(1,-1,2)三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 代入三已知点，有1112121210111121x y z --+----+=---+化简得x -3y -2z =0即为所求平面方程.5. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) 0y =； (2) 310x -=； (3) 2360x y --=； (4) 0x y -=； (5) 2340x y z -+=.解：(1) y =0表示xOz 坐标面（如图2） (2) 3x -1=0表示垂直于x 轴的平面.(如图3)图2 图3(3) 2x -3y -6=0表示平行于z 轴且在x 轴及y 轴上的截距分别为x =3和y =-2的平面.(如图4) (4) x –y =0表示过z 轴的平面（如图5）(5) 2x -3y +4z =0表示过原点的平面（如图6）.图4 图5 图66. 通过两点(1,1,1)和(2,2,2)作垂直于平面0x y z +-=的平面. 解：设平面方程为Ax +By +Cz +D =0 则其法向量为n ={A ,B ,C }已知平面法向量为n 1={1,1,-1} 过已知两点的向量l ={1,1,1} 由题知n ·n 1=0, n ·l =0 即00, .0A B C C A B A B C +-=⎧⇒==-⎨++=⎩所求平面方程变为Ax -Ay +D =0又点（1，1，1）在平面上，所以有D =0 故平面方程为x -y =0.7. 求通过下列两已知点的直线方程： (1)()1,2,1,(3,1,1)--；(2) (3,1,0),(1,0,3)--.解：（1）两点所确立的一个向量为s ={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直线的标准方程为：121232x y z -+-==- 或 311232x y z --+==- （2）直线方向向量可取为s ={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直线的标准方程为：31213x y z -+==-- 或 13213x y z -+==-- 8. 求直线234035210x x z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的标准式方程和参数式方程.解：所给直线的方向向量为 12311223719522335--=⨯=++=----s n n i j k i j k另取x 0=0代入直线一般方程可解得y 0=7,z 0=17于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:7171719x y z --==-- 且直线的参数方程为：771719x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩9. 决定参数k 的值，使平面29x ky z +-=适合下列条件： (1) 经过点(5,4,6)－；(2) 与平面230x y z -+=成π4的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k -2×6=9 得k =-4.（2）两平面的法向量分别为 n 1={1,k ,-2} n 2={2,-3,1} 且122123π2cos cos ||||42514k k θ⋅-====+⋅n n n n 解得70k =±10. 确定下列方程中的l 和m ：(1) 平面2350x ly z ＋＋－＝和平面620mx y z --+=平行； (2) 平面3530x y lz -+-=和平面3250x y z +++=垂直. 解：（1）n 1={2,l ,3}, n 2={m ,-6,-1}12232,18613l m l m ⇒==⇒=-=--n n (2) n 1={3, -5, l }, n 2={1,3,2}12315320 6.l l ⊥⇒⨯-⨯+⨯=⇒=n n11. 通过点(11,1)，－作垂直于两平面10x y z -+-=和210x y z +++=的平面. 解：设所求平面方程为Ax +By +Cz +D =0其法向量n ={A ,B ,C }n 1={1,-1,1}, n 2={2,1,1}12203203A C A B C A B C CB ⎧=-⎪⊥⇒-+=⎪⇒⎨⊥⇒++=⎪=⎪⎩n n n n又（1，－1，1）在所求平面上，故A －B +C +D =0，得D =0故所求平面方程为2033CCx y Cz -++= 即2x -y -3z =012. 求平行于平面375x y z -+=，且垂直于向量2i j k －＋的单位向量. 解：n 1={3,-1,7}, n 2={1,-1,2}.12,⊥⊥n n n n故1217733152122111--=⨯=++=+---n n n i j k i j k则1(52).30n =±+-e i j k 13. 求下列直线的夹角： (1) 533903210x y z x y z -+-=⎧⎨-+-=⎩和2223038180x y z x y z +-+=⎧⎨++-=⎩；(2) 2314123x y z ---==-和38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩.解：（1）两直线的方向向量分别为：s 1={5, -3,3}×{3, -2,1}=533321ij k--={3,4, -1}s 2={2,2, -1}×{3,8,1}=221381i j k-={10, -5,10}由s 1·s 2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s 1⊥s 2 从而两直线垂直，夹角为π2. (2) 直线2314123x y z ---==-的方向向量为s 1={4, -12,3},直线38121y z x --⎧=⎪--⎨⎪=⎩的方程可变为22010y z x -+=⎧⎨-=⎩,可求得其方向向量s 2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是 12126cos 0.2064135785θθ⋅==≈⋅'≈︒s s s s 14. 求下列直线与平面的交点： (1) 11,2310126x y zx y z -+==++-=-；(2)213,2260232x y z x y z +--==+-+= 解：（1）直线参数方程为1126x ty t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=⎩代入平面方程得t =1 故交点为（2，-3，6）.（2）直线参数方程为221332x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入平面方程解得t =0. 故交点为（-2，1，3）. 15. 求点(121)，，到平面22100x y z ++-=的距离.解：过点（1，2，1）作垂直于已知平面的直线，直线的方向向量为s =n ={1，2，2}所以垂线的参数方程为12212x ty t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩将其代入平面方程得13t =.故垂足为485(,,)333，且与点（1，2，1）的距离为222122()()()1333d =++= 即为点到平面的距离.习题7-41. 建立以点(13-2)，，为中心，且通过坐标原点的球面方程. 解：球的半径为22213(2)14.R =++-=设(x ,y ,z )为球面上任一点，则(x -1)2+(y -3)2+(z +2)2=14即x 2+y 2+z 2-2x -6y +4z =0为所求球面方程. 2. 一动点离点(20-3)，，的距离与离点(4-6,6)，的距离之比为3，求此动点的轨迹方程. 解：设该动点为M (x ,y ,z )，由题意知222222(2)(0)(3) 3.(4)(6)(6)x y z x y z -+-++=-+++-化简得：8x 2+8y 2+8z 2-68x +108y -114z +779=0 即为动点的轨迹方程.3. 指出下列方程所表示的是什么曲面，并画出其图形：(1)2222a a x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（a 为正常数）(2)22149x y -+=；(3)22194x z +=；(4)20y z －＝； (5)220x y －＝；(6)220x y ＋＝.解：（1）母线平行于z 轴的抛物柱面，如图7. （2）母线平行于z 轴的双曲柱面,如图8.图7 图8 （3）母线平行于y 轴的椭圆柱面，如图9. （4）母线平行于x 轴的抛物柱面，如图10.图9 图10 （5）母线平行于z轴的两平面，如图11.（6）z轴，如图12.图11 图124. 指出下列方程表示怎样的曲面，并作出图形：(1)222149y zx++=；(2)22369436x y z+-=；(3)222149y zx--=；(4)2221149y zx+-=；(5)22209zx y+-=.解：（1）半轴分别为1，2，3的椭球面，如图13.(2) 顶点在（0，0，-9）的椭圆抛物面，如图14.图13 图14(3) 以x轴为中心轴的双叶双曲面，如图15.(4) 单叶双曲面，如图16.图15 图16(5) 顶点在坐标原点的圆锥面，其中心轴是z 轴，如图17.图175. 作出下列曲面所围成的立体的图形： (1)2222x y z a ＋＋＝与()0,02az z a ==>为常数； (2)4x y z =＋＋，0,1,0,2x x y y ====及0z =； (3)24,0,0,0z x x y z =-===及24x y +=； (4)226,0,0,0z x y x y z =-+===（）及1x y +=. 解：（1）（2）（3）（4）分别如图18，19，20， 1所示.图18 图19图20 图216. 求下列曲面和直线的交点：(1)222181369x y z ++=与342364x y z --+==-； (2)22211694x y z +-=与2434x y z +==-. 解：（1）直线的参数方程为334624x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程解得t =0,t =1. 得交点坐标为（3，4，-2），（6，-2，2）. (2) 直线的参数方程为4324x t y tz t =⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩代入曲面方程可解得t =1, 得交点坐标为（4，-3，2）.7. 设有一圆，它的中心在z 轴上、半径为3，且位于距离xOy 平面5个单位的平面上，试建立这个圆的方程.解：设（x ，y ，z ）为圆上任一点，依题意有2295x y z ⎧+=⎨=±⎩ 即为所求圆的方程.8. 试考察曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.(1) 平面2x =； (2) 平面0y =； (3) 平面5y =； (4) 平面2z =.解：（1）截线方程为2212x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩ 其形状为x =2平面上的双曲线.（2）截线方程为221940x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩为xOz 面上的一个椭圆.(3)截线方程为2215y ⎧==⎩为平面y =5上的一个椭圆.(4) 截线方程为2209252x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩为平面z =2上的两条直线.9. 求曲线2222222,x y z a x y z ＋＋＝＋＝在xOy 面上的投影曲线. 解：以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为2222a x y +=故曲线在xOy 面上的投影曲线方程为22220a x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩10. 建立曲线22,1x y z z x ＋＝＝＋在xOy 平面上的投影方程. 以曲线为准线，母线平行于z 轴的柱面方程为x 2+y 2=x +1即2215()24x y -+=. 故曲线在xOy 平面上的投影方程为2215()240x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩习题七1.填空题：（1）过(0,1,0)且与平面1x y z -+=平行的平面方程为1x y z -+=-（2）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离（3）原点关于平面6291210x y z +-+=的对称点是（-12，-4，18）。

第7章习题解答

第7章思考题及习题7参考答案一、填空1. AT89S52单片机任何一个端口要想获得较大的驱动能力，要采用电平输出。

答：低2.检测开关处于闭合状态还是打开状态，只需把开关一端接到I/O端口的引脚上，另一端接地，然后通过检测来实现。

答：I/O端口引脚的电平3. “8”字型的LED数码管如果不包括小数点段共计段，每一段对应一个发光二极管，有和两种。

答：7，共阳极，共阴极4. 对于共阴极带有小数点段的数码管，显示字符“6”（a段对应段码的最低位）的段码为，对于共阳极带有小数点段的数码管，显示字符“3”的段码为。

！答：7DH，B0H5. 已知8段共阳极LED数码显示器要显示某字符的段码为A1H(a段为最低位)，此时显示器显示的字符为。

答：d6. LED数码管静态显示方式的优点是：显示闪烁，亮度，比较容易，但是占用的线较多。

答：无，较高，软件控制，I/O口7. 当显示的LED数码管位数较多时，一般采用显示方式，这样可以降低，减少的数目。

答：动态，成本，I/O端口8. LCD 1602是型液晶显示模块，在其显示字符时，只需将待显示字符的由单片机写入LCD 1602的显示数据RAM（DDRAM），内部控制电路就可将字符在LCD上显示出来。

答：字符，ASCII码-9. LCD 1602显示模块内除有字节的RAM外，还有字节的自定义，用户可自行定义个5×7点阵字符。

答：80，显示数据，64，字符RAM，810．当按键数目少于8个时，应采用式键盘。

当按键数目为64个时，应采用式键盘。

答：独立，矩阵11．使用并行接口方式连接键盘，对独立式键盘而言，8根I/O口线可以接个按键，而对矩阵式键盘而言，8根I/O口线最多可以接个按键。

答：8，6412．LCD 1602显示一个字符的操作过程为：首先，然后，随后，最后。

答：读忙标志位BF，写命令，写显示字符，自动显示字符13．由于微型打印机TPµP-40A/16A是一种外设，因此单片机与微型打印机的的命令与数据传送，必须采用方式。

第7章习题解答

第7章习题解答7.1 由74290所构成的计数电路如图7.50所示，试分析它们各为几进制计数器。

图7.50 习题7.1图Q3Q3Q3Q3解：74290是异步二-五-十进制计数器，下降沿触发；CKA 是二进制计数器脉冲输入，Q 0是输出；CKB 是五进制计数器脉冲输入，Q 3Q 2Q 1是输出；异步清零端R0(1)、R0(2)和异步置9控制端R9(1)、R9(2)都是高有效。

（1）R9(1)=R9(2)=0；R0(1)=R0(2)=Q 3；CKA 无脉冲输入；CKB 接外部时钟，所以74290中只有五进制计数器工作。

设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000，在CLK 下降沿的作用下进行加1计数，当Q 3=1时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。

也就是说，该电路有效状态的转换过程是：000→001→010→011→000（由于该芯片是异步清零，所以Q 3Q 2Q 1=100是过渡状态，在011之后短暂存在）。

由此可知，该电路是四进制计数器。

（2）CKA 没有脉冲输入，CKB 接外部时钟，所以只有五进制计数器工作。

R9(1)=R9(2)=0；R0(1) =Q 1，R0(2)=Q 2；设五进制计数器的初态为Q 3Q 2Q 1=000，在CLK 下降沿的作用下进行加1计数，当Q 2=Q 1=1（即计数值变为Q 3Q 2Q 1=011）时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。

也就是说，该电路有效状态的转换过程是：000→001→010→000（由于该芯片是异步清零，所以Q 3Q 2Q 1=011是过渡状态，在010之后短暂存在）。

由此可知，该电路是三进制计数器。

（3）CKB=Q 0，CKA 接外部时钟，两个计数器同时工作，构成一个8421BCD 码计数器。

R9(1)=R9(2)=0；R0(1)=R0(2)=Q 3。

设计数器的初态为Q 3Q 2Q 1Q 0=0000，在CLK 下降沿的作用下按8421BCD 码进行加1计数，当Q 3=1时，R0(1)=R0(2)=1，计数器异步清零，重新计数。

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第七章7-1 应用并联管段阻抗计算式时，应满足什么条件？答：需要满足的条件是：并联管段的因流动造成的压力损失相等。

按照管网的能量平衡，并联管段所组成的闭合回路（如图a），或添加虚拟管段后形成闭合回路（如图b），满足如下关系：，为管段流动损失，为沿闭合回路方向的重力作用力，为沿闭合回路方向的全压动力。

因，若闭合回路的重力作用力及输入的全压作用力，则有可导出并联管段的阻抗计算式：。

7-2 什么是液体管网的水压图？简述绘制水压图的基本步骤。

答:在液体管网中，将各节点的测压管水头高度顺次连接起来形成的线，称为水压曲线；水压曲线与管路中心线、水平距离坐标轴以及表示水压高度的纵轴组成的图形称为水压图。

绘制水压图的步骤是：（1）选取适当的水压基准面；（2）确定液体管网系统的定压点（压力基准点）及其测压管水头高度；（3）根据水力计算结果，沿液体循环流动方向，顺次确定各管段起止点的测压管水头高度；（4）顺次连接各点的测压管水头的顶端，即可获得系统的水压图。

7-3 什么是管网的静水压线？确定室外集中供热热水管网静水压线要考虑哪些主要因素？答：静水压线是管网的循环水泵停止工作时，管路上各点的测压管水头连接线，根据连通器原理，它应是一条水平的直线。

静水压线的高度必须满足下列的技术要求：（1）与热水网路直接连接的供暖用户系统内，底层散热器所承受的静水压力应不超过散热器的承压能力；（2）热水网路及与它直接连接的供暖用户系统内，不会出现汽化或倒空。

7-4 在气体管网的压力分布图中，吸入段和压出段各有什么显著特征？答：吸入段的特征主要是：（1）吸入段的全压和静压均为负值，在风机入口负压最大，风管的连接处如果不严密，会有管外气体渗入；（2）在吸入管段中静压绝对值为全压绝对值与动压值之和；（3）当管网系统中只有吸入管段时，风机的风压应等于吸入管网的阻力及出口动压损失之和。

压出段的特征主要是：（1）压出段的全压和为正值，在风机出口全压最大；（2）压出段的静压一般为正值，此种情况下，全压的绝对值为静压绝对值和动压绝对值之和，但在管段截面积很小的断面，由于动压上升，也可能出现静压为负的情况，此时动压的绝对值等于静压和全压绝对值之和。

另外，在吸入段和压出段，全压均是沿程下降的，而在风机的进出口处全压的绝对值达到最大。

静压的绝对值一般亦达到最大，如接口不严密，渗漏将很严重，既降低了风机的性能，也增加了管网内外掺混形成气体污染的可能性。

7-5 什么是调节阀的工作流量特性？在串联管道中，怎样才能使调节阀的工作流量特性接近理性流量特性？答：调节阀的工作流量特性是指调节阀在前后压差随负荷变化的工作条件下，调节阀的相对开度与相对流量之间的关系。

在串联管路中，调节阀全开时阀前后压差与系统总压差的比值称为阀权度，阀权度值的范围是0~1，其值越接近1，调节阀的工作流量特性与理想流量特性越接近。

7-6 对于有串联管路的调节阀，阀权度对其性能有何影响？阀权度越大越好，这种说法是否正确？答：有串联管路的调节阀，其工作流量特性将偏离理想流量特性。

当管道阻抗为零时，阀权度S V=1，系统的总压差全部降落在调节阀上，调节阀的工作特性与理想特性是一致的；随着管道阻抗增大，S V值减小，使系统降落在调节阀上的压力损失相对减小，调节阀全开时的流量将减小；理想流量特性为直线特性的调节阀，当S v<0.3时，其工作流量特性曲线严重偏离理想流量特性，而近似快开特性；而对于等百分比流量特性，当S v<0.3后，其工作流量特性虽然也严重偏离理想特性而变成近似直线特性，仍然有较好的调节作用，但此时可调范围已显著减小。

从上述分析可知，必须使调节阀压降在系统压降中占有一定的比例，才能保证调节阀具有较好的调节性能，因此一般不希望S v<0.3。

另一方面，从经济观点出发，希望调节阀全开时的压降尽可能小一些，这样可以减小管网压力损失，节省运行能耗。

一般在设计中S v＝0.3～0.5是较合适的。

7-7 选择直通调节阀的流量特性应考虑哪些因素？答：主要考虑如下两方面的因素。

一是调节系统的特性。

在建筑环境与设备工程领域，调节阀经常用来调节热交换器的流量进而调节换热量，因此往往需要考虑阀门的流量特性与热交换器静特性综合后的整体特性；一是调节阀的阀权度，因为阀权度将影响调节阀的工作流量特性偏移理想特性的程度。

7-8 试分析阀门流通能力的物理意义。

阀门的流通能力与其两端的压差有关吗？答：调节阀门流通能力的定义式是：,式中为调节阀前后的压差，为流体的密度，为调节阀的接管面积，为调节阀在某一开度下的阻力系数。

因此，调节阀门流通能力的物理意义是：阀门两端作用某一规定压差时，单位时间流过某一流体密度的流量，它与其两端的压差无关，取决于阀门的构造形式与尺寸，并与开度有关，因此，通常流通能力是指阀门全开时的流通能力。

7-9 简述管网水力稳定性的概念。

提高管网水力稳定性的主要途径是什么？答：管网中各个管段或用户，在其它管段或用户的流量改变时，保持本身流量不变的能力，称其为管网的水力稳定性。

通常用管段或用户规定流量和工况变动后可能达到的最大流量的比值来衡量管网的水力稳定性，即。

因，可见提高管网水力稳定性的主要方法是相对地减小网路干管的压降，或相对地增大用户系统的压降。

7-10 什么是水力失调？怎样克服水力失调？答：管网中的管段实际流量与设计流量不一致，称为水力失调。

水力失调的原因主要是：1）管网中的动力源提供的能量与设计不符，包括两个方面，一是动力源的实际工作参数与设计参数不符，一是管网的设计动力与在设计流量下的动力需求不符，即管网的动力源匹配不合理；2）管网的流动阻力特性发生变化，即管网阻抗与设计值不符。

要克服管网的水力失调，必须首先使管网在各管段流量为设计值时，管网能够满足能量平衡，即所有环路中的动力与流动阻力相平衡，这里的动力和阻力既包括管网内部的因素，也包括环境对管网的作用（如重力作用力因素等），另外，由于实际运行条件的变化（如管网安装状况、管道及设备的变化、用户流量调整等）使管路阻抗发生变化，需要能够采取恰当的调节措施，使管网所有环路在提供的动力与各管段流量为要求值时的阻力相平衡。

7-11 有哪些技术措施，可以增加和减小热水采暖管网的流量？说出这些办法的优缺点。

答：增加热水采暖管网流量的措施主要有：1）更换更大的管径，或开大管网中的阀门开度，这样可以减小管网的阻抗，从而增大流量。

更换更大的管径需要增加材料和工程改造费用，在可能的条件下开大管网中的阀门开度则简单易行。

上述方法可以降低管网能耗。

2）更换流量和压头更大的循环水泵，或提高水泵的转速。

更换更大的循环水泵需要增加投资和运行能耗费用，并要占用更大的水泵房空间，而提高水泵转速的前提是水泵原来的转速低于其额定转速，且转速提高后也不能超过其额定转速，以免发生电机超载的危险。

管段1-2 3-4 4-6 4-5流量（m3/h）5000 5000 2000 3000阻力（Pa）100 150 200 200管径（mm）700 700 400 500（1）求该管网的特性曲线；（2）为该管网选择风机；（3）求风机的工况点，并绘制管网在风机工作时的压力分布图；（4）求当送风口5关闭时风机的工况点并绘制此时管网的压力分布图；（5）送风口5关闭后，送风口6的实际风量是多少？要使其得到设计风量，该如何调节？习题图7-1解：（1）根据计算出各管段的阻抗，见习题7-12表1。

4-6和4-5管段并联阻抗为：kg/m7，则管网总阻抗为233.28kg/m7。

据此可绘制管网特性曲线，见习题7-12图1。

习题7-12表1管段阻抗（kg/m7）51.84 77.76 648 288风机工作时各管段风量（m3/h）6000 6000 2400 3600风机工作时各管段阻力（Pa）144 216 288 288习题7-12图1（2）根据该管网的风量和风压需求，选择T4-72NO.5A型普通离心风机，额定转速1450r/min。

其性能曲线见习题7-12图1。

它与（1）中求出的管网特性曲线（图中虚线）的交点为风机的工况点，可以求出风机的工作风量为6000 m3/h，输出全压为648Pa。

此时各管段的实际流量见习题7-12表1。

其中，管段4-5和4-6的流量分配按计算。

按照计算出各管段的实际压力损失，见习题7-12表1，绘制压力分布图，见习题7-12图2。

习题7-12图2（3）送风口5关闭后，管网的总阻抗为777.6 kg/m7，作此时管网特性曲线，见习题7-12图1中细实线。

此时风口6的实际风量为3750 m3/h。

欲使其风量为设计风量2000 m3/h，可调整风机转速至r/min。

管段1-2 3-4 4-6 4-5流量（kg/h）5000 5000 2000 3000阻力（kPa）15 15 25 25求该管网水泵要求的扬程并绘制水压图。

水龙头出水要求有2m的剩余水头。

习题图7-2解：该管网水泵要求的扬程按管路1-2-3-4-6 计算。

实际工程中选择水泵时还应根据工程情况考虑10%~20%的安全余量，以保证在实际条件与计算条件发生偏差时仍能满足要求。

以水泵轴线标高为基准面，绘制水压图如下。

7-14 习题图3是一个室内热水采暖管网。

水力计算结果见下表：管段1-2 2-3 3-4 4-5 2-5 5-6流量（kg/h）6000 3000 3000 3000 3000 6000阻力（Pa）25000 15000 35000 15000 65000 30000 管径（mm）50 32 32 32 25 50习题图7-3（1）求该管网的特性曲线；（2）为该管网选择水泵、求水泵的工况点，并绘制管网在水泵工作时的压力分布图；（3）求当3-4之间的阀门关闭时水泵的工况点并绘制此时管网的压力分布图；（4）3-4之间的阀门关闭后，2-5之间的用户的实际流量是多少？要使其得到设计流量，该如何调节？解：（1）根据计算各管段阻抗，其中流量的单位为t/h，的单位为mH2O，管段阻抗单位为mH2O/(t/h)2。

结果填入计算表1；按照管段的串并联关系，计算管网系统得总阻抗，见计算表1。

阻抗计算(mH2O/(t/h)2) 计算表1管段1-2 2-3 3-4 4-5 2-5 5-6管段阻抗0.0709 0.1701 0.3968 0.1701 0.7370 0.08502-3，3-4，4-5串联阻抗0.73702-3-4-5与2-5并联阻抗0.1842系统总阻抗0.3401因此，此管网的管网特性曲线方程为，其中流量的单位为t/h。

绘出曲线如图习题7-14解答图1中曲线I。

（2）该管网设计总流量6t/h，总阻力12mH2O。

选择IRG40-100型离心式管道热水泵，其性能参数如下表：流量(t/h) 扬程(mH2O) 转速(r/min) 功率(kW) 电机功率(kW)4.4 13.22900 0.330.556.3 12.5 0.48.3 11.3 0.48将水泵的特性曲线绘制在7-14解答图1中，即曲线II，它与管网特性曲线I的交点a为水泵的工况点。

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