9-4几种常见的二次曲面

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0
y
x
15
《高等数学》第九章
五、椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z y x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面
x y z a
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② 当 a=b 时，此时为旋转曲面 x2 y2 z2 2 2 1 2 a a c
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y
o
y
x
(8)
28
)z
x y
2


) z x y
11) y x
z
z
x y )
z
(9)
x
o
z
y
o
x
(11)
o
y
y
o
x
y
(12)
29
x
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(10)
《高等数学》第九章
九、小结
二次曲面的识别
旋转曲面的概念及求法 常见的二次曲面
用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得
截痕来勾画曲面的大体形状及如下一些特性。
1）对称性：关于坐标面，坐标轴
2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
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二、柱面
1、柱面的定义：
一般地，平行于定直线并沿定曲线C移
动的直线L形成的轨迹叫做柱面。 动直线L叫做柱 面的母线，定曲线C 叫做柱面的准线。 C
o
y
z
(2)
z
x
o
y
x
o
(1)
y
x
o
(4)
y
(3)
27
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5) x y 2 x
2 2
) z x y




) z x y
z


)z x y
z
x
o
z
o
y
(6)
y
z
x
(5)
o
x
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(7)
第四节
几种常见的二次曲面
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
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一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。 如球面 ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 4 二次曲面的研究方法：(不能用描点法，而用截痕法)
2 2 x y , z 不变，便得曲 中，只要将 y 改成
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的
方程为：
f ( y , x z )
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f ( x, y ) 0 2）xoy 面上的曲线C ： z0
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2、 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 2 2 z a b
z o y
x
z xy 也是双曲抛物面。
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八、一般的二次曲面
在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换 将其方程变为标准方程。 1、坐标系的平移
坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐 标轴的方向和单位长度。
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2、 旋转曲面方程的求法 ： 1）设在
yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
f ( y, z ) 0 方程为 x0
把该曲线绕 z 轴旋
转一周，得一个以 z 轴
为轴的旋转曲面。
设M (, y , z) 为曲线C上的任意一点，则有
f ( y , z )
得 f ( x y , z )
此即为所求旋转曲面的方程。
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z
d


M
o
M (0, y , z )
1 1 1
f ( y, z ) 0
y
xபைடு நூலகம்
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注：求旋转曲面的方程的技巧：
f ( y, z ) 0 在曲线C 的方程 的第一个方程 x0
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思考判断题
指出下列方程在平面解析几何中和空
间解析几何中分别表示什么图形？
() y ;
() y x ;
作业： P40.
() x y ; () x y .
1（1）、8（2、3）
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x ( y a) a 也是圆柱面。
2 2 2
z



y x 是平面，也是柱面。
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o
x
y
y x
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2）一般地，只含 x, z 而缺 y 的方程 G(x, z)=0 在空间直角坐标系中表示母线平行于 y 轴的柱
面，其准线为 xoz 面上的曲线 G( x, z ) 例2、 x z 表示怎样的曲面？
z
o x
y
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
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四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面
曲线绕该平面上的一条
直线旋转一周所成的曲
面叫做旋转曲面。这条 直线叫做旋转曲面的轴。 旋转的曲线称为母线。
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z
解：母线平行于 y 轴，准线为
xoz 面上的曲线（抛物线）
x z
o
y
5
x z 的抛物柱面。
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x
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3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0
在空间直角坐标系中表示母线平行于 x 轴的柱 面，其准线为 yoz 面上的曲线 H ( y, z ) 2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表 示什么图形，并画出其草图。
) x
z
) y x
z
) x z
z
x2 y2 4
o
o
y
x
y
o
y
x
x2
y x 1
x
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三、锥面
椭圆锥面：
x2 y2 z2 2 2 0 2 a b c
2 2 2 x y t 不同大小的椭圆： 2 2 2 a b c
x2 y2 z2 1 2 2 a b
旋转椭球面
x2 z2 y2 2 1 旋转椭球面 2 a b
x2 z2 2 1 2 a b
绕z
x y z 轴转得曲面： a b 旋转单叶双曲面
x2 y2 z2 1 2 2 a b
绕 x 轴转得曲面：
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当曲线C绕 z 轴旋转时，点 M 也绕 z 轴转动到
另一点 M ( x, y, z ), 此时， z z1保持不变，
d x y y , 将z z1 , 点M到 z 轴的距离
y x y 代入 f ( y , z )
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设 Oxyz 为原始坐标系，O( x0 , y0 , z0 ) 是空 间一点，将原坐标系原点 O 平移到 O 得新坐标 系 OXYZ 。 Z z 若点P在原坐标系 下的坐标为（x, y, z）， 在新坐标系下的坐标为 o x0 （X, Y, Z），则
x
P
X
X

Y
O
y
X x x0 Y y y0 Z z z 0
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x
或
x X x0 y Y y0 zZz 0
坐标系平移时 坐标变换公式
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x2 y2 z2 例6 用坐标系的平移化去方程 x 2z 1 4 9 4
2、坐标系的旋转 （略）
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例7、指出下列方程所表示的曲面。
1) x 2 y 2 ( z 1)2 1
x2 y2 3) z2 1 4 9
z
x
x2 y2 2) z2 1 4 9
z
x2 y2 4) z 2 1 4 9
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L
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1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0
在空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上的曲线 F ( x , y ) 例1、 x y R 表示怎样的曲面？ 解：母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的 曲线（圆） x y R 的圆柱面。
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例 3 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一 周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫 圆锥面的顶点，两直线的夹角 ( ) 叫圆 锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转 轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解： yoz面上的直线 L的方程为 :
z y cot (0
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旋转双叶双曲面
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例5
x2 y2 z2 1 是怎样形成的？ 4 9 4
x y 解：是由 xoy :
z2 y2 或 yoz : 1 4 9
绕 y 轴转成
绕 y 轴转成
z
思考：方程 x 2 y 2 R2 z 表示怎样的曲面？ 1、怎样形成？ 2、什么曲面？
z
o x y
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
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x y z 2 2 k 2 a b c
k0 k0 k0
2
2
2
z
x
o
y
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2、双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
或者
的一次项。 解：将方程变形为：
( x 2) 2 y 2 ( z 4 ) 2 1 16 36 16
取平移变换：
X x 2 Y y Z z 4
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则方程变为：
X2 Y 2 Z2 1 16 36 16
为旋转椭球面
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z


2

)
0 x y
直线L
z 旋转面为 x y cot
即
z ( x y ) cot


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x2 y2 例4 xoy 面上的椭圆 a 2 b 2 1
绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面： zox 面上的双曲线
绕x轴 绕y轴
f (x ,
y z )
f ( x z , y )
f ( x, z ) 0 3）zox 面上的曲线C ： y0
绕x轴
绕z轴
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f (x ,
y z )
f ( x y , z )
x
z y 0
z
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
x
o
y
当 a=c 时为旋转双叶双曲面。
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七、抛物面
x y 1、 椭圆抛物面 2 2 z a b
2 2
z
(0,0,0) x
y
a=b 时，成为旋转抛物面。
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③ 当 a=c 时，此时为旋转曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b a
④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a c c
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六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c