14奈氏稳定判据

20 lg ( jb ) 20 lg
1 20 lg 1
1
T
2 2 b
2
可求得带宽为 性。
b
1 T
，系统具有低通特
又例如，典型二阶系统：
(s)
S2
n2 2n s
n2
由带宽定义得：
(1 n2 )2 4 2 b2 2
n2
n2
于是有：
1
b n (1 2 2 ) (1 2 2 )2 1 2
可见，二阶系统的带宽和自然频率成正比，与
Y(s)
(-1,0)
K1 2 1 2
=0+
=+
7-3 相对稳定性
相对稳定性的概念还未曾专门讨论，但在时
域分析中已经介绍过相关现象。通俗地讲，就是 在稳定系统中，研究那个系统更稳定。
在稳定的二阶欠阻尼系统中，那个指标参
数表示了相对稳定性？
衰减系数δ
在根轨迹图中，又该如何刻画相对稳定性？
配置的闭环极点与虚轴
稳定，因此，有2个
若b点沿着负实轴向左移动到(-1,j0)点，则 稳定裕度指标。
| G( j) | 1, G( j) 180o同时成立。
1、相角交界（穿越）频率cp和增益裕度Kg
相角交界频率cp满足：
GH jcp 180
增益裕度
1
Kg GH jcp
(-1,0)
应该有：
Kg 1
否则，最小相角系统不稳定。
c c 1800 120 (K 5); 120 (K 20)
900 tg1 tg10.1 1800
K g Lg 6dbK 5, 6dbK 20
7-4 频率域性能指标
一、闭环系统频率域性能指标 稳定裕度是闭环系统的性能指标，但却是利
用开环频率特性来定义的。除此之外，频率域内， 还有下述常用的，直接利用闭环频率特性来定义 的系统频率域性能指标。
幅值交界频率cm 相角裕度
例7.1 单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
S(s 1)(0.1s 1)
试确定系统开环增益K=5和K=20时的相角裕度和幅 值裕度。
注意：先求剪切频率（0dB）和穿越频率（-180）
L 20lg K 20lg 20lg 12 20lg 1 0.12 0
2、谐振峰值 M r和谐振频率 r
谐振峰值是指闭环系统幅频响应的最大幅值， 出现该最大值的对应频率就称为谐振峰值。
对欠阻尼二阶系统而言，其幅频特性曲线，在
0.707 时，会在需要修正的中频段出现一个尖峰，可
以求得，该峰值为：
1
M r 2 1 2
谐振频率为：
r n 1 2 2
关系曲线见教材
Nyquist稳定性判据可以表示为：
（1）若开环传递函数在S右半平面没有极点， 奈氏曲线不包围(1, jo)，则系统稳定； （2）若开环传递函数在S右半平面有P个极点， 奈氏曲线按逆时针包围 (1, jo) P周，则系统稳定。
例7.4 （0型2阶系统）请讨论闭环系统的稳 定性。
R(s) + -
K
GH jcp
GH jcp 1
Bode图上的增益裕度
增益裕度Kg
相角交界频率cp
2、幅值交界（剪切）频率cm和相角裕度m
单位圆
幅值交界频率cm满足：
GH jcm 1
(-1,0)
相角裕度
m GH jcm 80
m
80 GH jcm
应该有：
m 0
否则，最小相角系统不稳定。
Bode图上的相角裕度
对欠阻尼二阶系统而言， 其剪切（幅值交界）频 率、相角裕度等，也都能准确求出，建立起与时域参数
n 和 的关系，如：
G jc 1
r tg 1
c n 1 4 4 2 2
2 1 4 4 2 2
r 为相角裕度
0.01m
3、高阶系统指标间的经验公式
Mr
1 sin r
% e
Mr
M
2 r
阻尼比 成递减关系。于是系统的单位阶跃响应的
速度与带宽成递增关系。幸运的是，对于任意阶次
的系统，这一关系仍然成立。 这提示我们，可以在
闭环系统的频率域指标与时间域指标之间建立起一
定的关系。
希望：在频率域方法和时间域方法之间 建立直接、准确的联系。
在欠阻尼二阶系统中，我们能做到这一 点，但在一般情况下，只能求助于经验公式。
第七章 频域稳定性
7-1 Nyquist稳定性判据 7-2 频率域性能指标
7-1 Nyquist稳定性判据
判定控制系统稳定性的出发点是系统的特征
方程 F(s) 0 ，即:
n
k (s si )
F(s)
i 1 M
0
(s sk )
k 1
或：Fs 1 Ls 1 GsHs 0
系统稳定的充要条件是，F(s) 的所有零点都处 在S左半平面。
Mr
M
2 r
1
% 0.16 0.4M r 1,1 M r 1.8
ts
K0 c
; K0
2 1.5M r
1 2.5M r
12 ,1
Mr
1.8
1、系系统统带带宽宽度量b 了闭环系统具有或保持一定的信
号复现能力的频率范围。以低频段有有限直流增 益的系统为例，其带宽定义为幅值增益下降3dB时 的对应频率。
记 ( j) 为系统闭环频率特性曲线， 则有：当 b 时，
20lg ( jb ) 20lg ( jo) 3
例如，对一阶系统，按定义应该满足 ：
二、 稳定裕度的定义
j
1/h
若系统的开环幅相曲线如图：
考虑a点：| G( j) | 1
-1 b 0
1
但
G( j) 180o
r
a
若a点沿着单位圆顺时针转过r角，则
| G( j) | 1, G( j) 180o同时成立。
再考虑b点： G( j) 180o
频率域内，稳定系统 有2条途径滑向临界
但
| G( j) | 1
1s 1 2s 1
Y(s)
Im[G(jω)]
= -
-1
0
=+
1
=0
Re[G(jω)]
例7.5 （I型2阶系统）请讨论闭环系统的稳定性。
R(s) + -
K
ss 1
Y(s)
=0 -
(-1,0)
=0+
= - =+
例7.6 （I型3阶系统）请讨论闭环系统的稳定性。
R(s) + -
K
s1s 1( 2 1)
的水平距离， 同样是δ来自因此，相对稳定性的参照系是临界稳定。
一、临界稳定的频率域表现
j
定义：最小相位系统 是在右半平面没有开 环零点的系统，此时 有p=0。
-1
0
1
于是，最小相位系统临界稳定 时，G(jw)曲线过(-1,j0)点，
在该点处：
| G( j) | 1 G( j) 180o
同时成立
注意：最小相位系统稳定的 充要条件是开环频率特性不 包围(-1,j0)点。如果正好穿过 这个点，则系统处在临界稳 定状态。