基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的八种变形技巧

基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：

加上一个数或减去一个数使和或积为定值 函数f (x )＝4

x －3＋x (x <3)的最大值是( )

A ．－4

B ．1

C ．5

D ．－1

【解析】 因为x <3，所以3－x >0，所以f (x )＝－⎣

⎢⎡⎦

⎥⎤

43－x ＋（3－x ）＋3≤－2

4

3－x

·（3－x ）＋3＝－1.当且仅当4

3－x ＝3－x ，即x ＝1时等号成立，所以f (x )的最大值是－1.

【答案】 D

平方后再使用基本不等式

一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．

若x >0，y >0，且

2x 2＋

y 2

3

＝8，求x 6＋2y 2的最大值． [思路点拨] 由于已知条件式中有关x ，y 的式子均为平方式，而所求式中x 是一次的，且根号下y 是二次的，因此考虑平方后求其最值．

【解】 (x 6＋2y 2)2＝x 2(6＋2y 2)＝3·2x 2⎝⎛⎭⎫1＋y 2

3≤3·⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x 2＋1＋y 2

322＝3×⎝⎛⎭⎫922

.当且仅当2x 2＝1

＋y 23，即x ＝32，y ＝42

2

时，等号成立．故x 6＋2y 2的最大值为9

2

3.

展开后求最值

对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．

已知a >0，b >0且a ＋b ＝2，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．

[思路点拨] 由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．

【解】 由题得⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝1ab ＋1a ＋1b ＋1＝1ab ＋a ＋b ab ＋1＝3

ab

＋1，

因为a >0，b >0，a ＋b ＝2，所以2≥2ab ，所以ab ≤1，所以1

ab ≥1.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥4(当且仅当a ＝b ＝1时取等号)，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值是4.

变形后使用基本不等式

设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2(2＋1) B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2(2＋1)

【解析】 因为ab －(a ＋b )＝1，ab ≤(a ＋b 2

)2，

所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22

－(a ＋b )≥1，它是关于a ＋b 的一元二次不等式，

解得a ＋b ≥2(2＋1)或a ＋b ≤2(1－2)(舍去)， 所以a ＋b 有最小值2(2＋1)． 又因为ab －(a ＋b )＝1，a ＋b ≥2ab ，

所以ab －2ab ≥1，它是关于ab 的一元二次不等式， 解得ab ≥2＋1或ab ≤1－2(舍去)， 所以ab ≥3＋22，即ab 有最小值3＋2 2. 【答案】 A

形如f （x ）

g （x ）

型函数变形后使用基本不等式

若y ＝f （x ）g （x ）

中f (x )的次数小于g (x )的次数，可取倒数后求其最值．

求函数y ＝（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1

(x ≠－1)的值域．

[思路点拨] 将(x ＋5)(x ＋2)用(x ＋1)来表示再变形为f (x )＝Ax ＋B

x ＋C 的形式，然后运用基本

不等式求解．

【解】 因为y ＝（x ＋5）（x ＋2）x ＋1＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

＝（x ＋1）2＋5（x ＋1）＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋5，

当x ＋1>0时，即x >－1时，y ≥2

（x ＋1）·4

x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时取等号)；

当x ＋1<0，即x <－1时，y ≤5－2

（x ＋1）·4

x ＋1

＝1(当且仅当x ＝－3时取等号)．

所以函数的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．

用“1”的代换法求最值

已知1x ＋2

y

＝1，且x >0，y >0，求x ＋y 的最小值．

【解】 法一：因为x >0，y >0，所以x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2x y

≥3＋2y x ·2x

y

＝3＋2 2.

当且仅当y x ＝2x y ，且1x ＋2

y ＝1，即x ＝2＋1，y ＝2＋2时，上式等号成立．故x ＋y 的最小值

是3＋2 2.

法二：因为1x ＋2y ＝1，所以x ＝y

y －2.

因为x >0，y >0，所以y －2>0.

所以x ＋y ＝y

y －2＋y ＝y 2－y y －2＝（y －2）2＋3（y －2）＋2y －2＝

y －2＋2y －2

＋3≥3＋22⎝ ⎛当y －2＝2y －2，即y ＝2＋2

)

时取等号，此时x ＝

2＋1.

求以形如或可化为a x ＋b

y ＝1型为条件的cx ＋dy (a ，b ，c ，d 都不为0)的最值可利用“1”的代换

求乘法．本题中的条件1x ＋2

y

＝1也可化为2x ＋y －xy ＝0.

若a ，b 为常数，且0

1－x

的最小值．

[思路点拨] 根据待求式的特征及00，1－x >0.又1＝x ＋(1－x )，因此可考虑利用“1”