简明线性代数邓小成第一章习题答案
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习 题 1-1
1．已知两个线性变换
112212331232,232,45,
x y y x y y y x y y y =+⎧⎪
=-++⎨⎪=++⎩ 1122133233,
2,3,
y z z y z z y z z =-+⎧⎪
=+⎨⎪=-+⎩ 求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.
解: 112233210232415x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123210310232201415013z z z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭123421124910116z z z -⎛⎫⎛⎫
⎪⎪=- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭
,
所求为
11232123312342,
1249,1016.
x z z z x z z z x z z z =-++⎧⎪
=-+⎨⎪=--+⎩
2．设1357⎛⎫= ⎪
⎝⎭
A ,3479⎛⎫
= ⎪⎝⎭B ,32=-C A B ,求21n +C . 解: 133432325779⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C A B 396815211418⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3113-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
, 23131100101313010--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C I , 21231()(10)101013n n n n n +-⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
C C C I C C .
3．设(1,2,3)=a ,T =A a a ,求n A .
解一: ()T 1212
33⎛⎫
⎪== ⎪⎝⎭A a a 12
324
6369⎛⎫ ⎪=
⎪⎝⎭
, 2
1231231428422462
4628
56843693
6942
84126⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 1231424614369⎛⎫
⎪== ⎪
⎝⎭
A ,
3222(14)1414====A A A A A A A ,
……,
1
1
1231414246369n
n n --⎛⎫
⎪== ⎪⎝⎭
A A .
解二: ()T
121233⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭A a a 123246369⎛⎫ ⎪= ⎪⎝⎭
,
2T T T T T T ()()()(14)1414=====A a a a a a aa a a a a a A , 3222(14)1414====A A A A A A A ,
……,
1
1
12314
14
246369n n n --⎛⎫ ⎪== ⎪⎝⎭
A A .
4．设100010001000a a a a ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
A ,求n A . 解: 将矩阵A 写成a =+A I
B ,其中
010000100001000
0⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭B . 对于矩阵B ,有
2
01000010000000
0⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭B ,3
000100000000000
0⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
B ,4
=B O . 显然B 与a I 可交换,所以
()()n
n
n
r
n r r n r a C a -==+=∑A I B I B 11222333n n n n n
n n a C a C a C a ---=+++I B B B 1231211
1(1)(1)(2)2
6
10(1)2
0000
n
n n n n n n n n n a na n n a n n n a a na n n a
a na
a ------⎛⎫--- ⎪ ⎪
⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
.
5．求与1101⎛⎫
=
⎪⎝⎭
A 可交换的所有矩阵. 解: 若矩阵
B 与A 可交换,即=AB BA ,则B 为2阶方阵.设a b c d ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
B ,则
1101a b a c b d c d c d ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
AB , 1101a b a a b c d c c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
BA . 由=AB BA 得
a c
b d a a b
c
d c c d +++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
,
解得0,c d a ==.因此
0a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
B , 其中,a b 为任意数.
6．设2112⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
A ,2()43f x x x =-+,98()g x x x =-,计算()f A 和()g A . 解: 2
()43f =-+A A A I 2
21211043121201⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭548430454803⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
O ,
9
8
8
()(1)g x x x x x =-=-8
8
8
(1)(3)3(1)x x x =--+-7
780
()33(1)n n n f x x x -==+-∑,
7
780
()()33()n n n g f -==+-∑A A A A I 83()=-A I 811311⎛⎫
= ⎪⎝⎭.
7．设,A B 为n 阶对称矩阵,证明:AB 为对称矩阵的充分必要条件是=AB BA . 证明: 因,A B 为对称阵,所以T =A A ,T =B B ,于是
T T T ()=AB B A =BA .
因此,T ()=AB AB 的充要条件是=AB BA .也就是说,AB 为对称阵的充要条件是=AB BA .
8．举反例说明下列命题是错误的: (1) 若2=A O ,则=A O ;
(2) 若2=A A ,则=A O 或=A I ; (3) 若=AX AY ,且≠A O ,则=X Y .
解:(1) 对于矩阵0100⎛⎫
= ⎪
⎝⎭A ,有2=A O ,但≠A O . (2) 对于矩阵1000⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
A ,有2=A A ,但≠A O 且≠A I . (3) 对于矩阵0100⎛⎫= ⎪⎝⎭
A ,0100⎛⎫
= ⎪⎝⎭X ,=Y O ,有=AX AY ,且≠A O ,但≠X Y .
习 题 1-2
1．计算下列行列式:
(1) ab ac
ae
bd cd
de bf cf ef
---; 解: 原式111111111abcdef -=--111002020abcdef -=111
020002
abcdef -=-4abcdef =.