二项式定理和性质(课件)

r
)!

(r
2 50! 1)!(49
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2 !(50
50! r)!

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1 50 r

r
2 1

2 r
1 51 r

r
1

50
2
2r
50 2 1 r 51 2
51 2 2r r
2 1
2 1
28.9 r 29.9，取r 29
展开式系数最大的项为T30
已知(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10, (1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值 解：在(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10 中，取x=1,得
a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10 = (2+1)10＝310 ①
(2 3)100 (2 3)100 (3 4)100 1
⑵ a0 a2 a4
a100
f (1) f (1) 2
(2
3)100 (2 2
3)100
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范例讲解
例2.求(1 2x)50展开式中系数最大的项.
则a0 a1 a2 a3 a99 a100 f (1) (2 3)100 a0 a1 a2 a3 a99 a100 f (1) (2 3)100
⑴ (a0 a2 a100)2 (a1 a3 a99)2 f (1) f (1)
在(2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+……+a9x+ a10
中，取x=-1,得
2019由/8a/17①0- a②1+得a2-…a0…+ a新-2疆a+奎9屯+a市4第a+一1…高0 级=中…(学-2++1a)1100＝112
②
(310

1)
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特级教师王新敞
Baidu Nhomakorabea
推广总结
设f (x) (a bx)n a0 a1x a2x2 a3x3 an1xn1 anxn
二项式系数最大；
T C n 1
n 2
2
n
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的
二项式系数相等，且同时取得最大值；
T T C C n1 与 2
n11 2
n1
n1
2
2
n
n
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二项式系数的性质
性质 （3） 各二项式系数的和等于 2n
f (1) f (1) 2
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范例讲解
例1.已知(2x+ 3 )100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100，求值：
(1)(a0+a2+…+a100)2－(a1+a3+…+a99)2
(2)a0+a2+…+a100
解: 设f (x) (2x 3)100
等于偶数项的二项式系数的和
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方法总结
研究“二项式系数和”及“奇数项的二项式系 数的和等于偶数项二项式系数的和”时，灵活运用赋 值法可以使问题简单化.
通常选取赋值时取－1，0，1.
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方法推广
Cn0、Cn1、Cn2、Cn3 C（nr见例3C）nn2、Cnn1、Cnn
性质 ⑴ 二项式系数的对称性： 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的
两项的二项式系数相等；
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复习关键点
性质 ⑵ 二项式系数的增减性：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的
解 : 设Tr+1＝C5r0 ( 2x)r 为展开式中系数最大的项,则
C5r0 (
2)r

C r 1 50

(
2 )r1
C5r0 (
2)r

C r 1 50

(
2 )r1
C5r0 2C5r01

2C5r0

C r1 50


r
50! !(50
王新敞
http://www.xjktyg.com/wxc/
2019年8月17日星期六
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复习关键点
二项式定理 (a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnranrbr
Cnn1abn1 Cnnbn 二项式系数依次是：
a0 a1 a2 a3 an1 an f (1)
a0 a1 a2 a3 (1)n1an1 (1)n an f (1)
a0＝f (0)
a0 a2 a4
f (1) f (1) 2
a1 a3 a5
Cnn1abn1 Cnnbn
在二项式定理中，令 a 1,b 1 ，则：
C0n C1n C2n C3n (1)n Cnn (11)n 0 上式还可以写成：
Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 2n1
即：(a b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnranrbr Cnn1abn1 Cnnbn
在二项式定理中，令a b 1，则：
C0n C1n C2n Cnn (11)n 2n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于 2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n C2n C3n Cnn 2n 1
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二项式系数的性质
性质 ⑷ 奇数项的二项式系数的和等于偶数项二项式 系数的和.
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnranrbr