直线和椭圆练习题10道大题
线段和椭圆的位置关系 专题练习题 含答案
线段和椭圆的位置关系专题练习题含答案题目一设直线方程为 `y = 2x + 3`，椭圆的标准方程为 `4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的斜率为 2，表示直线的倾斜程度。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (2, -1)，长轴为 6，短轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `y = 2x + 3`和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，求解该方程即可得到交点的坐标。
2. 直线与椭圆相切：当直线与椭圆只有一个交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 有且仅有一个解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程的根的个数即可。
3. 直线与椭圆不相交也不相切：当直线与椭圆没有交点时，方程组 `y = 2x + 3` 和 `(x - 2)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1` 无解。
我们可以将直线方程代入椭圆方程，得到一个二次方程，判断该方程无解即可。
根据以上思路，我们可以进一步分析出直线与椭圆的具体位置关系。
题目二设直线方程为 `4x - 3y + 6 = 0`，椭圆的标准方程为 `9(x + 2)^2+ 4(y + 1)^2 = 36`，求直线与椭圆的位置关系。
解答首先，我们可以观察到直线方程的系数相对较大，表示直线的倾斜程度较小。
而椭圆的标准方程可以转化为 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1`，由此可知椭圆的中心坐标为 (-2, -1)，短轴为 6，长轴为 4。
根据直线与椭圆的位置关系，我们有以下几种情况：1. 直线与椭圆相交：当直线穿过椭圆时，方程组 `4x - 3y + 6 = 0` 和 `(x + 2)^2/4 + (y + 1)^2/9 = 1` 有解。
(完整版)椭圆的简单性质练习题及答案
椭圆一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．下列命题是真命题的是（ ）A ．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B ．到定直线ca x 2=和定点F(c ，0）的距离之比为ac 的点的轨迹是椭圆C ．到定点F(－c ，0）和定直线ca x 2-=的距离之比为ac （a >c>0）的点的轨迹 是左半个椭圆D ．到定直线ca x 2=和定点F （c ，0）的距离之比为ca (a >c 〉0)的点的轨迹是椭圆2．若椭圆的两焦点为（－2,0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 ( ）A ．14822=+x yB ．161022=+x yC ．18422=+x yD ．161022=+y x3．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ )A ．(0，+∞)B ．（0,2)C ．（1，+∞）D ．(0，1)4．设定点F 1(0，－3)、F 2(0，3),动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ,则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 5．椭圆12222=+by a x 和k b y a x =+2222()0>k 具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 ( ）A ．41B ．22 C ．42 D ． 217．已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点,若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．8778．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）A ．3B ．11C ．22D ．109．在椭圆13422=+y x 内有一点P （1,－1)，F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2｜MF|的值最小,则这一最小值是 （ ）A ．25B ．27C ．3D ．410．过点M （－2,0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1,P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为 ( ）A ．2 B ．－2 C ．21 D ．－21 二、填空题（本题共4小题,每小题6分，共24分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ 。
直线与椭圆联立练习题
直线与椭圆联立练习题直线与椭圆联立练习题直线与椭圆是数学中的两个基本概念，它们在几何学和代数学中有着广泛的应用。
本文将通过一些练习题来探讨直线与椭圆的关系，帮助读者更好地理解它们之间的联系。
练习题一：已知椭圆的方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，直线的方程为y = mx + c。
求解直线与椭圆的交点坐标。
解答：将直线的方程代入椭圆的方程中，得到x^2/a^2 + (mx + c)^2/b^2 = 1。
将方程化简，得到(a^2 + b^2m^2)x^2 + 2bcmx + b^2c^2 - a^2b^2 = 0。
这是一个二次方程，通过求根公式可以求得x的值。
将x的值代入直线的方程，可以求得对应的y值。
这样就得到了直线与椭圆的交点坐标。
练习题二：已知直线的方程为y = mx + c，椭圆的焦点坐标为(-ae, 0)和(ae, 0)，离心率为e。
求证直线与椭圆的交点到焦点的距离之和为常数。
解答：设直线与椭圆的交点坐标为(x1, y1)和(x2, y2)。
根据直线的方程，可以得到y1 = mx1 + c和y2 = mx2 + c。
根据椭圆的方程，可以得到x1^2/a^2 + y1^2/b^2= 1和x2^2/a^2 + y2^2/b^2 = 1。
将直线的方程代入椭圆的方程中，得到x1^2/a^2 + (mx1 + c)^2/b^2 = 1和x2^2/a^2 + (mx2 + c)^2/b^2 = 1。
将方程化简，得到(a^2 + b^2m^2)x1^2 + 2bcmx1 + b^2c^2 - a^2b^2 = 0和(a^2+ b^2m^2)x2^2 + 2bcmx2 + b^2c^2 - a^2b^2 = 0。
这是两个关于x1和x2的二次方程。
根据二次方程的性质，可以知道二次方程的根之和等于系数b的相反数除以系数a，即x1 + x2 = -2bc / (a^2 + b^2m^2)。
根据交点坐标的定义，可以知道交点到焦点的距离之和等于x1 + x2的绝对值，即|x1 + x2| = 2bc / (a^2 +b^2m^2)。
直线与椭圆关系练习题一
直线与椭圆关系练习题一1、直线x =2与椭圆13422=+yx的交点个数为（ ）(A )0个 (B )1个 (C ) 2个 (D ) 3个 2、直线y =1被椭圆12422=+yx截得的线段长为（ ）(A )42 (B )32 (C ) 22 (D ) 23、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=（ ）(A )21(B )32 (C )43 (D )544、椭圆13422=+yx长轴端点为M 、N ，不同于M 、N 的点P 在此椭圆上，那么PM 、PN 的斜率之积为（ ）(A )－43 (B )－34 (C )43 (D )345、已知点（4，2）是直线l 被椭圆193622=+yx所截得的弦中点，则l 方程是（ ）(A )x －2y =0 (B )x ＋2y －4=0 (C )2x ＋3y ＋4=0 (D ) x ＋2y －8=0 6、椭圆192522=+yx上有三点A (x 1,y 1)、B (4,59)、C (x 2,y 2)，如果A 、B 、C 三点到焦点F （4，0）的距离成等差数列，则x 1+x 2= . 7、直线x －y ＋1=0被椭圆141622=+yx截得的弦长为 .8、直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标为 9、过点P(1,1)作椭圆12422=+yx的弦AB ，并使P 为弦AB 的中点，则|AB|=10、21,F F 分别是椭圆2212xy +=的左右焦点，过1F 作倾斜角为4π的直线与椭圆交于Ｐ，Ｑ两点，则PQ F 2∆的面积为 11、已知椭圆11222=+yx的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|12、已知椭圆C 的焦点分别为12(22,0),(22,0)F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
13、椭圆E ：141622=+yx内有一点P （2，1），求经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程.14、已知椭圆1257522=+xy的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
椭圆基础大题训练25道
椭圆基础大题训练25道椭圆基础大题训练25道1.已知动点M(x,y)到直线l:x= 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.yA2.设椭圆C :x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为F,上顶F OPQ x点为A,过点A作垂直于AF直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且PQAP=85⑴求椭圆C的离心率;⑵若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l:x+3y-5=0相切,求椭圆C的方程.3.已知椭圆E:x2a2+ y2b222 =1(a>b>0)过点A(3,1),左,右焦点分别为F,1,F2,离心率为3经过F1的直线l与圆心在x轴上且经过点A的圆C恰好相切于点B(0,2).(1)求椭圆E及圆C的方程;(2) 在直线l上是否存在一点P,使△PAB为以PB为底边的等腰三角形?若存在,求点P的坐标,否则说明理由.4. 已知F1, F2 是椭圆x21, F2 是椭圆x22+y2 = 1的左,右焦点,过F2 作倾斜角为π2 作倾斜角为π4的直线与椭圆相交于A,B两点.(1)求△F1AB的周长; (2)求△FAB的面积.1椭圆基础大题训练25道5.已知椭圆与双曲线2x2-2y2=1共焦点,且过(2, 0)(1)求椭圆的标准方程.(2)求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程;6.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,焦距为8,且经过点(0,3)(1)求此椭圆的方程(2)若已知直线l: 4x- 5y+ 40=0,问:椭圆C上是否存在一点,使它到直线l的距离最小?最小距离是多少?7.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点P在这个椭圆上,且PF 1 -PF 2 =1,求∠F1PF2的余弦值.8.已知动点P与直线x=4的距离等于它到定点F(1,0)的距离的2倍，（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）点M1,1 在所求轨迹内，且过点M的直线与曲线C交于A,B，当M是线段AB中点时，求直线AB的方程.9.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+ y2b2=1(a>b>0)相交于A,B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上.（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程.。
高考数学命题角度5.2直线与椭圆位置关系大题狂练理
命题角度：直线与椭圆位置关系(1) 1.椭圆的两个焦点为，，且经过点.求椭圆的方程；(2)过的直线与椭圆的斜率的取值范围.交于两点(点位于轴上方)，假设，且，求直线【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，那么椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.2.椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e2．以两个焦点和短轴的两个端点2为顶点的四边形的周长为8，面积为23．〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；〔Ⅱ〕假设点Px0,y0为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x4y0y 120，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．【来源】【全国市级联考】广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2021届高三5月联合模拟理科数学试题 【答案】〔I 〕x 2y 21；〔II 〕详见解析. 4 3 【解析】试题分析：(1) 利用题意求得b3，c1，椭圆C 的方程为x 2y 2 1．43(2) 首先讨论当y 00的情况，否那么联立直线与椭圆的方程， 结合直线的特点整理可得直线l 与椭圆C 有且只有一个交点．x 0 2 y 021，可得x 02，〔Ⅱ〕当y 00时，由34当x 0 2，y 0 0时，直线l 的方程为x 2 ，直线l 与曲线C 有且只有一个交点 2,0．当x 02，y 00时，直线l 的方程为x2，直线l 与曲线C 有且只有一个交点2,0．3x 0xy123x 0x,当y 0124y 00时，直线l 的方程为y4y 0，联立方程组{y 2x 21.43消去y ，得4y 02 3x 02x 2 24x 0x4816y 020．①由点Px 0,y 0为曲线C 上一点，得x 0 2 y 0 2 1 ，可得4y 0 2 3x 0 2 12．4 3于是方程①可以化简为x 22x 0x x 0 2 0，解得xx 0，-2-将x x0代入方程y123xx可得y y0，故直线l与曲线C有且有一个交点Px0,y0，4y0综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为Px0,y0．3.椭圆x2y21〔ab0F11,0，F21,0，点C:22〕的左、右焦点分别为a bA2,3在椭圆C上.21〕求椭圆C的标准方程；〔2〕是否存在斜率为2的直线l，使得当直线l与椭圆C有两个不同交点M,N时，能在直线y 5P，在椭圆C上找到一点Q，满足PMNQ？假设存在，求出直线l的方上找到一点3程；假设不存在，说明理由.【来源】山西省太原市第五中学2021届高三第二次模拟考试〔5月〕数学〔理〕试题【答案】〔1〕x2y21；〔2〕不存在，理由见解析.2【解析】试题分析：〔1〕由焦点坐标可得c1，再根据a2b2c2及点A2,3在椭圆22C上，可得a22,b21，进而可得椭圆的方程；〔2〕设直线l的方程为y2x t，与椭圆方程联立可得9x28tx2t220，与判别式为正可得3t3，再根据平行四边形性质Q的纵坐标范围是71，可判定点Q不在椭圆上，所以这样的直及韦达定理可得点y4线l不存在．3试题解析：〔1〕设椭圆C的焦距为2c，那么c1，因此椭圆方程为x2y21(a21) a2a21A 23在椭圆上，1312解得a22 2,22a24a21(a1)故椭圆C的方程为x2y21．2-3-所以x 1 x 28t ，且8t362t 220，那么3t3，29y 1y 22x 1x 22t2t y 0y 1 y 2t9 29由PM NQ 知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此，D 也是线段PQ 的中点，5 y 4t2t15所以y 03，2，可得y 499又3t3 ，所以7 y 41，3因此点Q 不在椭圆上．所以这样的直线 l 不存在【方法点晴】此题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，假设结论正确那么存在，假设结论不正确那么不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.4.椭圆C:x 2 y 21(ab0)的右焦点3,0 ，且经过点1, 3，点M 是x 轴a 2b 22上的一点，过点 M 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点〔点A 在x 轴的上方〕〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕假设AM2MB ，且直线l 与圆O:x 2y 2 4相切于点N ，求MN 的长.7-4-【来源】【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2021届高三上学期期初考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕x2y21〔2〕421421a2b2c23a，b，c的方程组，32【解析】试题分析：〔1〕根据条件列出关于{2，解2114b2方程组得a24,b21，〔2〕设直线l:x tym，那么根据圆心到切线距离等于半径得m 4，由由AM2MB，有y12y2，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定1t272tm m24，，三者消y1，y2得m24,2tm2理得y1y2t,y1y22，最后关24t24t24t24于m,t的解方程组得m24，t24，根据切线长公式可得MN的长.33a2b2c232试题解析：〔1〕由题意知{23，即a44a230，2114b2又a23b23，故a24,b21，椭圆C的方程为x2y21. 4〔2〕设M m,0，直线l:x ty m,Ax1,y1,Bx2,y2，由AM2MB，有y12y2，x2y 21t2y2m2由{442my40，x yy m-5-由韦达定理得y 1y 22tm,y 1y 2m 2 4，t 2 4 t 2 4由y 1y 2 2y 22,y 1y 2 2y 2y 2y 2，那么y 1y 22y 1 y 22y 12y 2，m 2 4,2tm 22 t ，化简得m 2 4t 2 48t 2m 2，原点O 到直线的距离t 2 4 2 4dm，1 t 2又直线l 与圆O:x2y24 相切，所以m 4，即t 27 m21，1t 2774m 2 4 t 2 48t 2m 221m 416m 20，即3m 247m 2{t27m 2 116 4 0，4解得m24，此时t24，满足0，此时M23,0，333在RtOMN 中，MN4 4 4 21，所以MN 的长为421.3 721215.椭圆x 2y 2 1(ab0)的离心率e3 ，左右焦点分别为 F 1F 2,A 是椭圆在第a 2b 22 一象限上的一个动点，圆C 与F 1A的延长线，F 1F 2的延长线以及线段AF 2 都相切，M 2,0为一个切点.〔1〕求椭圆方程；〔2〕设N3,0，过F 2且不垂直于坐标轴的动点直线l 交椭圆于P,Q两点，假设以2NP,NQ 为邻边的平行四边形是菱形，求直线l 的方程.【来源】【全国百强校】河北省石家庄二中 2021届高三下学期第三次模拟考试数学〔理〕试题【答案】〔1〕x 2y21〔2〕y2x342【解析】试题分析：〔1〕圆C 为三角形 AF 1F 2内切圆，由内切圆性质及椭圆定义得-6-2c2c2a，即a3，可知c3,b1〔2〕以NP,NQ为邻2，再由c2边的平行四边形是菱形，所以NPNQ·PQ0,设Px1,y1,Qx2,y2，l方程为ykx3,那么可得坐标之间关系，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入坐标关系化简可得k22〔2〕设l方程为y kx3,k0，代入椭圆方程可得14k2x283k2x12k240，设P1,x1,y Q2,，那么x2yx1x83k2y1k x2x23123k，以NP,NQ24k2,y122为邻边的平行四边形14k是菱形，NPNQ·PQ0,NPNQ x13,y1x23,y2 22x1x23,y1y283k23,23k，PQ的方向向量为1,k，14k214k283k23123k0,k2，l方程为y2x3.14k24k2226.设点A,B的坐标分别为5,0,5,0，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积b2b5.25（1〕求点M2〕在点M的轨迹方程；的轨迹上有一点P且点P在x轴的上方，APB 120，求b的范围.-7-【来源】【全国校级联考】山西实验中学、南海桂城中学2021届高三上学期联考理数试题x2y21x5；〔2〕0b 53【答案】〔1〕b2.253【解析】试题分析：〔1〕设点M的坐标为x,y，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于b2〔2〕点P的坐标为x0,y0，利用斜率0b5建立方程，化简即可求出轨迹方程；25公式及夹角公式，可得x0,y0的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出b的范围.方法一：设点P 的坐标为x0,y0，过点P作PH垂直于x轴，垂足为H，tanAPH5x0,tanBPH5x0 y0y05x0+5x010tan120y0y0y05x05x025x02 11y0y0y02因为点P的坐标为x02y02 x0,y0在点M的轨迹上，所以b21x52525x0225y02b2-8-103y0，y010b2 25325b2 1b2因为0y0b，010b2b，325b2b210b250.3所以解得0b 53 3.方法二：设点P的坐标为x0,y0，点A,B的坐标分别为5,0,5,0直线AP的斜率k APy0x05，直线BP的斜率k BPy0x05 x0x055y0y0由APBx05x05 120得tan120y0y01x05x05所以x02y022510y0〔1〕3又由于点P的坐标为为x0x02y021x5 ,y0在点M的轨迹上，所以b225得x022525y02，代入〔1〕得125y0210y0b223by010b2. 325b2因为0y0b，010b2b，325b2b210b250.3所以解得0b 533.-9-又由于点P 的坐标为为x 0,y 0x 0 2 y 025在点M 的轨迹上，所以b 2 1x25{x5cos,y 0bsin.代入〔1〕得25cos 2b 2sin 22510bsin ，b 2sin 225sin 210bsin ，33b 2 2510b ， 0 sin 1,11 ，3sinsin25 b 210b ,b 2 10b 25 0.3 3所以解得 0 5 3b.3方法四：设点 P 的坐标为x 0,y 0 ，点A,B 的坐标分别为5,0 ,5,0直线AP 的斜率k APy 0 x5，直线BP 的斜率k BPy 0x 5x 0x 055y 0y 0由APB120得tan120x 0 5 x 0 5y 0 y 01x 05x 05-10-10y 0所以3x 0 2 25 〔1〕1 25b 210b 2将x 0225252 y 02代入〔1〕得 3 25y 02，3 25 b 210b 2 ，y 010b 2 .b 1 by 0325 b 225因为0y 0 b ， 010b 2b，3 25 b2b 210b 25 0.3所以解得0b5 3 .3方法五设点P 的坐标为x 0,y 0 ，点A,B 的坐标分别为5,0 ,5,0直线AP 的斜率k APy 0 x5，直线BP 的斜率k BPy 0 x5x 0 x 055由APB120 得3k BM k AM1 k BM k AM3kBMkAM31b2kAMkBM1 b 22525kAM0,k BM 0,kBM31b2kAMkBMkAMkBM31 b 22b 225252531b 22bb 2 10b 25 0 .2553所以解得0b5 3 .3点睛：此题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立a,b,c 的方程，求出a 2,b 2即可，注意-11-a2b2c2,e c的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条a件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，防止不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出x1x2,x1x2，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．7.椭圆C：x2y21(a b0)的离心率为3，且椭圆C过点1,3，记椭圆a2b222C的左、右顶点分别为A,B，点P是椭圆C上异于A,B的点，直线l1:x a2与直线AP,BP 分别交于点M,N.〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕过点P作椭圆C的切线l2，记l2MN Q，且MQ QN，求的值.【来源】河南省林州市第一中学2021届高三8月调研考试理科数学试题【答案】〔1〕椭圆C的方程为x2y21〔2〕1 4【解析】试题分析：(1)由题意求得a2，b1，c3，故椭圆C的方程为x2y21. 4很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得1.试题解析：c3〔1〕依题意，{a2，解得a2，b1，c3，131a24b2故椭圆C的方程为x2y21.4〔2〕依题意，A2,0，B2,0，直线l1:x4，设Px0,y0x02，那么x2y021. 4直线AP的方程为yy0x2，令x4，得点M的纵坐标为6y0；x0y M2x02-12-直线BP 的方程为yy 0 x 2 ，令x4，得点N 的纵坐标为y N2y 0 ；x 02x 0 2由题知，椭圆在点 P 处切线斜率存在，可设切线方程为y y 0 k x x 0 ，y k x x 0y 0，得14k2 x 28ky 0kx 0x4y 0 kx 0 240，由{x 2 4y 2 40，得64k 2y 0kx 0 21614k 2y 0210，由kx 0整理得：y 02 2kx 0y 0k 2x 02 14k 2，x 02x 0 2x 0212412代入上式并整理得2y 0k0，解得k，将y 04 ，x 0y 024y 0所以点P 处的切线方程为yy 0x 0 xx 0.4y 0令x4得，点Q 的纵坐标为y Qy 0x 04x 0 4y 2 4xx 241x 01x0，4y 04y 0y 04y 0设MQ QN ，所以y Q y My N y Q ，所以1x6y 0 2y 0 1x 0，y 0x 0 2 x 0 2 y 0所以1x 0 x 0 26y 022y 02 1x 0x 0 2，y 0 x 0 2y 0x 0 2将y 02 1 x 02 代入上式，2 x 02x 0，因为2x 0 2，所以1 .4228.椭圆C ：x 2y 2 1〔ab 1〕的左焦点F 与抛物线y 24x 的焦点重合，直a 2b 2线x y2 0 与以原点O 为圆心，以椭圆的离心率e 为半径的圆相切．2〔Ⅰ〕求该椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x轴和y 轴分别交于D ，E 两点．记GFD 的面积为S 1， OED 的面积为S 2．问：是否存在直线AB ，使得S 1S 2，假设存在，求直线 AB 的方程，假设不存在，说明理由．-13-【来源】【全国市级联考】辽宁省锦州市 2021届高三质量检测〔二〕数学〔理〕试题【答案】〔Ⅰ〕x 2y 2 1；〔Ⅱ〕见解析.43试题解析：0 0 221，即c1，∴a〔Ⅰ〕由题意，得c1，e2，b122a 2∴所求椭圆C 的方程为x 2y 21．43〔Ⅱ〕假设存在直线AB 使S 1 S 2，显然直线AB 不能与x ，y 轴垂直．∴直线AB 的斜率存在，设其方程为y k x1 〔k 0 〕，将其代入x 2 y 21整理得4k23x 28k 2 x4k 2120，43设Ax 1,y 1，Bx 2,y 2，x 1 x 28k 2，y 1y 2 kx 11kx 26k4k 2312 ，4k 34k 23k，∴G2 ,4k 2 34k 33k∵DGAB ，∴4k 23 k 1，4k 2x D4k 23解得x Dk 2k 2,04k 2 ，即D4k 2，33-14-∵GFDGFDGGF DG DGOED ，∴，∴OEODODOEOD即S1DG 2，又∵S 1S 2，∴GDOD ，ODS 2k24k 223k 2k 2∴23 4k 234k 234k 2 ，4k 3整理得8k 29 0因为此方程无解，故不存在直线 AB 满足S 19.椭圆C:x 2y 2 1(ab 0)，O 是坐标原点，a 2b 2F 1F 22 3, M 是椭圆上一点，2F 1MF 2的最大值为〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程;3〔Ⅱ〕假设直线l 与椭圆C 交于P,Q 两点，且OPOQ〔i 〕求证：112为定值;2OQOP〔ii 〕求OPQ 面积的取值范围.【答案】1．〔1〕x 2y21〔2〕见解析42， S 2．F 1,F 2分别为其左右焦点，-15-2 试题解析：〔1〕由题意得 a 2,b 1，得椭圆方程为：xy 2 142〕i)当OP,OQ 斜率都存在且不为0时，设l OP :ykx ，Px 1,y 1 ,Qx 2,y 2y kx44k 2由{ x 22消y 得x 22，y 12k 2x 1 22y 114k1 4k4124k 22124同理得x 24k 2， y 2 k 2 x 2 k24故11115OP 2OQ 2x 12 y 12 x 22y 224当OP,OQ 斜率一个为 0，一个不存在时，得1 11 1 5 OP224 14OQ综上得115OP22，得证。
高中数学椭圆大题经典例题
高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。
(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。
(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。
解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。
又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。
所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。
(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。
根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。
所以△OEF是直角三角形。
(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。
联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。
当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。
当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。
直线与椭圆关系试题
直线与椭圆一．选择题1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16二．解答题3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．、5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．6．过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，AB⊥F1F2，则，由此可得a，c的方程，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，AB⊥F1F2，则∵，∴∴∴∴e=故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，最后将此式代入到三角形ABF2的周长表达式中，即可得到答案．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=1∴椭圆的长半轴a=2由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4∴△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8故选：B点评：本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题．二．解答题（共13小题）3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a2=b2+c2求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为．令x=﹣c，代入椭圆方程得，．所以，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程，得（m2+3）y2﹣6my+3=0，，由题意可知AF1⊥BF1，即，∴=整理得：（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0．∴，解得m=．代入△=36m2﹣12（m2+3）=24×3﹣36=36＞0．所以直线l的方程为或x﹣+3=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a2=b2+c2，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y1=kx1，y2=kx2，表示出四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2，最后利用基本不等式求其最大值即可．解答：解：（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，依题意有，解得∴椭圆的方程为，（5分）（2）解法一：由消去y，得（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，∴．①（8分）∵直线AB的方程分别为即4x+5y﹣20=0，∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）又，所以四边形AEBF的面积为====，当且仅当16=25k2即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=﹣y1＞0，且故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2（10分）===，当且仅当4x2=5y2时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）直接利用离心率为，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；（2）先设直线l的方程为y=k（x﹣1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入，整理后即可直线l斜率k的取值范围．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为，所以a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，所以椭圆的标准方程为（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0∴，∵=（1+k2）[x1•x2﹣（x1+x2）+1]=，∴，∴点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．6．（2007•汕头二模）过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化椭圆的方程为标准方程，求出椭圆的左焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出两个交点的横坐标，由此可得三角形是以半短轴为底的三角形，直接利用面积公式求面积．解答：解：由x2+2y2=2，得椭圆方程，∴a2=2，b2=c2=1，∴c=1，∴左焦点为F1（﹣1，0），∴过左焦点F1的直线为y=tan45°（x+1），即y=x+1．代入椭圆方程得3x2+4x=0，∴，∴所求三角形以半短轴为底，其面积为．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了方程思想方法，训练了学生的计算能力，是中档题．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，由，，知x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0，由韦达定理能够导出k2=﹣1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使成立的直线l不存在．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知所以，又a2=b2+c2，因此b=2故椭圆的标准方程为（6分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1∵，，∴==1+0+0﹣1=0，即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0由求根公式可得，0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2因此（1+k2）（2m2﹣8）﹣4k2m2+m2（1+2k2）=0将m2=k2+1代入上式并化简得k2=﹣1，即此时直线l不存在；（10分）（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为，∴，∴当x=﹣1时，同理可得，矛盾，即此时直线l不存在综上可知，使成立的直线l不存在．（14分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，提高解题能力和解题技巧．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）解得，则椭圆方程为…（6分）（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…（8分）△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，所以…（10分）因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．考点：圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；分类讨论．分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．解答：解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）∵y2=4x的焦点为F（1，0）∴c=1，又2b=2，∴b=1，a2=b2+c2=2，所以，椭圆的标准方程为其离心率为e=（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，﹣y1），C（2，﹣y1）∴AC的中点为N（，0）∴线段EF的中点与AC的中点重合，∴线段EF被直线AC平分，若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，﹣y2）把y=k（x﹣1）代入得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0则有x1+x2=，x1x2=∴k AM==，k CM=，∵k AM﹣k CM=2k\frac{（{x}_{1}﹣1）﹣（{x}_{2}﹣1）}{2{x}_{1}﹣3}2（{x}_{1}﹣3）=0=∴k AM=k CM∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，∴线段EF被直线AC平分．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知b和c，利用隐含条件求出a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A与B的横坐标的和与积，讨论O与A（或B）为直角顶点两种情况，O为直角顶点时，直接由列式求解k的值，若A（或B）为直角顶点时，由斜率之积等于﹣1求出OA的斜率，由两直线联立解出A点（或B）点坐标，代入椭圆方程求得k的值．解答：解：（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上，∴c=1，b=1，∴a2=b2+c2=1+1=2．则椭圆方程为：；（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣2）．联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．由△=64k4﹣4（1+k2）（8k2﹣2）＞0，得．所以k．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．若O为直角顶点，则，即x1x2+y1y2=0．y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2）．所以上式可整理得：．解得k=．满足k．若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，，则A满足，解得代入椭圆方程得k4+2k2﹣1=0．解得k=．满足k．综上，k=或k=时三角形OAB为直角三角形．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法哈数学转化思想方法，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是难题．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a2=b2+c2，即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k BM﹣k QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，解得．∴椭圆E的标准方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1．联立．消去x得到（3m2+4）y2+6my﹣9=0．∴，．直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．∴k BM﹣k QB=﹣==，其分子=3y1（my2+1﹣2）﹣y2（my1+1+2）=2my1y2﹣3（y1+y2）==0，∴k BM﹣k QB=0，即k BM=k QB，∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e===可求得b，从而可求得椭圆C的方程；（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，∴a=2，又e===得b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1．（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=，又有+n2=1，所以d==，又n∈（0，1]，∴d∈[1，2），S△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（当d2=4﹣d2即d=时S△OAB最大），∴S△OAB最大值为2，d=⇒=，n＞0，∴n=，m2=4﹣4n2=，又m＞0，∴m=．所以直线L的方程为x+y﹣12=0，即x+y﹣3=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）（i）设出直线AP，BP的方程，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，结合P在椭圆上，即可求的值；（ii）设出直线MB，AN的方程，求出交点坐标，验证在椭圆上，即可证明A，Q，N三点共线．解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）∵右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，∴，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则直线AP：，联立直线AP与直线x=3，可得M（3，）；直线BP：，联立直线AP与直线x=3，可得N（3，），（i）解：∵F（1，0），∴∴=4+∵∴∴=4+=；（ii）证明：直线MB的方程为y=（x﹣2），直线AN的方程为y=（x﹣2）联立直线MB，NA，可得交点坐标为（，）∵∴∴直线MB，NA的交点在椭圆上，∴A，Q，N三点共线．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线的方程，考查交点坐标的求解，考查学生的计算能力，综合性强．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；转化思想；待定系数法．分析：（Ⅰ）根据短轴与焦距相等得到b与c相等，且a等于b，则b2=c2，a2=2c2设出椭圆的标准方程，设出已知直线与E的交点A与B的坐标，然后把直线方程代入到设出的椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两个之和和两根之积的关系式，同时利用求出C的坐标，和设出的A和B的坐标，由得到A与B横坐标之间的关系式，三者联立即可求出A与B的横坐标及c的值，把c的值代入所设的椭圆方程即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）设出椭圆E上两点M与N的坐标，把设出的两点坐标分别代入到（Ⅰ）求出的椭圆方程得到两个关系式并设出MN的中点坐标，把两个关系式相减并利用中点坐标公式化简即可得到MN中点横纵坐标之间的关系式，然后根据M与N关于直线l对称得到MN的中点在直线l上，把MN的中点坐标代入直线l的方程又得到中点横纵坐标之间的关系式，两个关系式联立即可求出横纵坐标关于m的中点坐标，然后根据中点在椭圆内部，所以把中点坐标代入椭圆方程后其值小于1，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为（c＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2），将y=x+1代入椭圆得3x2﹣4x+2﹣2c2=0，∵，又C（1，0），∴，∴，∴所求的椭圆E的方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，，又设MN的中点为（x0，y0），则以上两式相减得：，⇒，又点（x0，y0）在椭圆内，∴，即，化简得：9m2﹣8＜0，因式分解得：（3m+2）（3m﹣2）＜0，解得：．点评：此题考查学生会求直线与曲线的交点坐标，掌握椭圆的简单性质，会利用待定系数法求椭圆的标准方程，掌握一点在椭圆的内部所满足的条件，灵活运用中点坐标公式及对称知识解决实际问题，是一道综合题．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．。
直线和椭圆练习题10道大题
直线和椭圆位置关系1.已知椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线22:143x y M +=1F C M 1F （不与轴重合）交于两点.l x M ,A B （Ⅰ）求的离心率及短轴长；M （Ⅱ）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的l B AC l 方程；若不存在，说明理由.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为．C x 2（Ⅰ）求椭圆的方程；C （Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，P C P 12l C A B 求证：为定值．22||||PB PA +3. 已知椭圆C ：的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点满2211612x y +=(,0)(4)P m m >足条件.||||FA e AP =（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记和的面积分别PMF ∆PNF ∆为，，求证：.1S 2S 12||||S PM S PN = 4.已知椭圆过点．过椭圆右顶点的两2222:1(0)x y C a b a b+=>>A 条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．14-C ,M N （Ⅰ）求椭圆的标准方程；C （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．MN D D D5. 已知椭圆的离心率为，且过点.)0(12222>>=+b a by a x 23(01)B ，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实)2(:+=x k y l 数的取值范围.k6. （2012北京，19）.已知曲线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈ （I ） 若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；C x m （II ）设，曲线与y 轴的交点为（点位于点的上方），直线 4m =C ,A B A B与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点.4y kx =+C ,M N 1y =BM G求证：三点共线.,,A G N7.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3；（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l 过椭圆的左焦点并与椭圆C 交于A 、B 两点，求三角形OAB 面积的最大值。
直线与椭圆位置关系练习题目与答案
直线与椭圆的位置关系练习（2）1. 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ．232. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m3. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．3. 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ． 根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．4. 已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积4. 解法一：由题可知：直线AB l 方程为022=++y x由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得04492=-+y y ，91044)(2122121=-+=-y y y y y y 9104212121=-=∴∆y y F F S 解法二：2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 910421==∴∆h AB S解法三：令),(),,(2211y x B y x A 则11ex a AF +=，21ex a BF +=其中22,2==e a 2F 到直线AB 的距离554=h 由⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，9210)(222121=++=+++=x x e a ex a ex a AB 910421==∴∆h AB S [评述]在利用弦长公式212212111y y k x x k AB -+=-+=（k 为直线斜率）或焦（左）半径公式)(22212121x x e a ex a ex a PF PF AB ++=+++=+=时，应结合韦达定理解 5. 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．5. 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．6. 已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的两准线间的距离为23，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 6. 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又3222=c a 即2221131nm m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴又3222=c a 即2221131n m m -= 34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 7. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy . (Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,图87. [解析] (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BCAC a 则2=∴a224222=-=-=∴c a b .∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x 联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()04211621142222=++-++k k k k 即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.8. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程 8.解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0,Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0,∴nm nn m n --+-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ①又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=19. 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求2211ba +的值； （2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围．9. （1）设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y -=1 12222=+b y a x 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221b a a x x +=+∴>∆222221)1(b a b a x x +-=代入①化简得 21122=+b a . (2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab a b a b ac e 又由（1）知12222-=a a b26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a a a ，∴长轴 2a ∈ [6,5]. 10.设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，若AP PB λ= 试求λ的取值范围.10 。
高考数学直线与椭圆复习课件练习题
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第九章 平面解析几何
33
3．(2020·唐山模拟)直线 x－ 3y＋ 3＝0 经过椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点
F，交椭圆于 A，B 两点，交 y 轴于 C 点，若F→C＝2C→A，则该椭圆的离心率
是( )
√A. 3－1
3－1 B. 2
C．2 2－2
D. 2－1
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第九章 平面解析几何
10
因为 Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|<2.所以 x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－4. 则|AB|＝ 1＋14× （x1＋x2）2－4x1x2＝ 5（4－m2）＝ 5. 解得 m＝± 3. 所求直线 l 的方程为 y＝12x± 3.
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√A.
2 2
1 B.2
1 C.4
3 D. 2
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第九章 平面解析几何
23
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为 AB 的中点为 M1，12，所以 x1＋x2＝2， y1＋y2＝1.因为 PF∥l，所以 kPF＝kl＝－bc＝xy11－－yx22. 因为xa212＋by212＝1，xa222＋by222＝1.所以（x1＋x2）a（2 x1－x2）＋（y1＋y2）b（2 y1－y2） ＝0，所以a22＋－b2bc＝0，可得 2bc＝a2，
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第九章 平面解析几何
31
解析：直线 y＝kx＋1 恒过定点(0，1)，由题意知(0，1)在椭圆x72＋my2＝1 上或 其内部，所以有m1 ≤1，得 m≥1.又椭圆x72＋ym2＝1 的焦点在 x 轴上，所以 m<7. 综上，1≤m<7.
高二数学椭圆专项练习题及参考答案
高二数学椭圆专项练习题及参考答案代入e=a/c=a/(a/2)=2，即椭圆的离心率为2。
5. 椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的焦点为$F_1$、$F_2$，$P$是椭圆上的任一点，$M$为$PF_1$的中点，若$PF_1$的长度为$s$，那么$OM$的长度等于$\sqrt{a^2-s^2}$。
1. 在椭圆上，焦点F和弦AB的垂直平分线交于M，AB交x轴于N。
求2. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为2/3，长轴长为6。
求椭圆的方程。
3. 若x²/y² + 1 = 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的值是多少？4. 已知方程25-m/16+m = 1表示椭圆。
求m的值。
5. 椭圆的两焦点将准线间的距离分成三等分。
求该椭圆的离心率。
6. 椭圆x²/4 + y²/9 = 1上一点P到右焦点F₁的距离为b，则P点到左准线的距离是多少？7. 椭圆x²/4 + y²/9 = 1在t ∈ [0, 2π)时，x = sec t，y = ___。
求该椭圆的焦点坐标。
8. 曲线x + (m-1)y - 3my + 2m = 0表示椭圆。
求m的取值。
9. 椭圆432x² + 169y² = 上的一点A到左焦点的距离为多少？10. 椭圆x²/16 + y²/25 = 1上一点P到焦点F₂的距离为b。
求P点到左准线的距离。
11. 方程-3x² + y²sin²(2α + π/2) = 1表示椭圆。
求sin²α的取值。
12. 若λ-6x+5λy-5λλ-6 = 0表示焦点在x轴上的椭圆，则λ的值为多少？13. 椭圆259x² + 432y² = 上的一点到左焦点的距离是到右焦点的距离的4倍。
求该点的坐标。
14. 椭圆中心在原点，焦点在x轴上，两准线的距离为5。
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案
人教版高二上学期数学(选择性必修1）《3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用》练习题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、选择题1.直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A.相交 B.相切C.相离D.不确定2.直线y ＝kx ＋2和椭圆x 23＋y 22＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A.k <－63或k >63 B.k ≤－63或k ≥63C.－63<k <63D.－63≤k ≤633.德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是( ) A.159 B.259 C.2959 D.30594.已知过圆锥曲线x 2m ＋y 2n ＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x m ＋y 0y n ＝1.过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)作椭圆的切线l ，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为( )A.x －y －3＝0B.x ＋y －2＝0C.2x ＋3y －3＝0D.3x －y －10＝05.美学四大构件是：史诗、音乐、造型(绘画、建筑等)和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆(如图所示)，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.136.如图是一个篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22 cm ，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为( )A.13B.12C.22D.327.(多选)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B.－63C.－33 D.33 8.(多选)如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 处变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点处第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，离心率分别为e 1，e 2，则下列结论正确的是( )A .a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)B .a 1－c 1＝a 2－c 2C .e 1＝e 2＋12D .椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁 二、填空题9.某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h 为6米(如图所示)，路面设计是双向车道，车道总宽为87 米，如果限制通行车辆的高度不超过4.5米，那么隧道设计的拱宽d 至少应是________米．10.过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________11.若直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，则m的取值范围是________________12.罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为________平方米(保留小数点后两位)．三、解答题13.已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．14.已知点A，B的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 交动点M 的轨迹于C ，D 两点，且N 为线段CD 的中点，求直线l 的方程．15.如图，某市新城公园将在长34米、宽30米的矩形地块内开凿一个“挞圆”形水池，水池边缘由两个半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≤0)和y 2b 2＋x 281＝1(x ≥0)组成，其中a >b >9，“挞圆”内切于矩形(即“挞圆”与矩形各边均有且只有一个公共点)．(1)求“挞圆”的方程；(2)在“挞圆”形水池内建一矩形网箱养殖观赏鱼，若该矩形网箱的一条边所在直线方程为y ＝t (t ∈(0,15))，求该网箱所占水面面积的最大值．参考答案及解析一、选择题1.A 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －k ，x 29＋y 24＝1，消去y 得(4＋9k 2)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0Δ＝(－18k 2)2－4(4＋9k 2)(9k 2－36)＝576(2k 2＋1)，易知Δ>0恒成立∴直线y ＝kx －k 与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为相交． 2.B 解析：将y ＝kx ＋2代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，消去y ，可得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0 ∴Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48∵直线和椭圆有公共点，∴72k 2－48≥0，∴k ≤－63或k ≥63. 3.A 解析：设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由题意可得a －c a ＋c ＝2930整理得a ＝59c ，即c a ＝159. ∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是159. 4.B 解析：过椭圆x 212＋y 24＝1上的点A (3，－1)的切线l 的方程为3x 12＋(－y )4＝1，即x －y －4＝0，切线l 的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为－1，故过点A 且与直线l 垂直的直线方程为y ＋1＝－(x －3)，即x ＋y －2＝0.5.C 解析：设椭圆长轴长为2a ，短轴长为2b ，由“切面”所在平面与底面成60°角可得2b 2a ＝cos 60°，即a ＝2b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝32. 6.B 解析：如图，l 1，l 2 是两条与球相切的直线，分别切于点A ，C ，与底面交于点B ，D ，设篮球的半径为R∴AC ＝2R ＝22，R ＝11过点C 作CE ∥BD 交l 1于点E ，则CE ＝BD在△ACE 中，CE ＝AC sin 60°，∴CE ＝22×23＝2a ，∴a ＝223＝2R 3，b ＝R ∴c ＝4R 23－R 2＝33R ，∴e ＝c a ＝3R 32R 3＝12. 7.AB 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 23＋y 22＝1，得(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝144k 2－24(3k 2＋2)＝0 解得k ＝±63． 8.ABC 解析：对A ，由题可知a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2＞2c 2，所以a 1＋c 1＞2(a 2＋c 2)，所以选项A正确；对B ，由a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，得a 1－c 1＝a 2－c 2，所以选项B 正确；对C ，由a 1＝2a 2，c 1＝a 2＋c 2，得c 1a 1＝a 2＋c 22a 2＝1＋c 2a 22，即e 1＝e 2＋12，所以选项C 正确；对D ，根据选项C 知，2e 1＝e 2＋1＞2e 2，所以e 1＞e 2，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁，所以选项D 错误．故选ABC ．二、填空题9.答案：32解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 236＝1，当点(47，4.5)在椭圆上时，16×7a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92236＝1，解得a ＝16 ∵车辆高度不超过4.5米，∴a ≥16，d ＝2a ≥32，故拱宽至少为32米．10.答案：22解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b 2＝1.② ∵M 是线段AB 的中点，∴x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1. ∵直线AB 的方程是y ＝－12(x －1)＋1，∴y 1－y 2＝－12(x 1－x 2)． 由①②两式相减可得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，即2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·2b 2＝0.∴a ＝2b ，∴c ＝b ，∴e ＝c a ＝22. 11.答案：(1,3)∪(3，＋∞)解析：∵x 2m ＋y 23＝1表示椭圆，∴m >0且m ≠3. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0∴Δ＝16m 2－4m (m ＋3)>0，解得m >1或m <0.∴m >1且m ≠3∴m 的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．12.答案：0.22解析：由条件可得，竞技场的总面积为π×1882×1562＝7 332π(平方米)，表演区的面积为π×862×542＝1 161π(平方米)，故观众区的面积为7 332π－1 161π＝6 171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为6 171π90 000≈6 171×3.1490 000≈0.22(平方米)．三、解答题13.解：设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0(a ≠4) 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，消x 得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0 由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3∴与直线l 距离较近的切线为x －y ＋3＝0，两条直线之间的距离即为所求最短距离 且直线x －y ＋3＝0与椭圆的切点即为所求点P .故所求最短距离d ＝|4－3|2＝22. 由⎩⎨⎧ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.14.解：(1)设M (x ，y )．因为k AM ·k BM ＝－2，所以y x ＋1·y x －1＝－2(x ≠±1)，化简得2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)． 即点M 的轨迹方程为2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)．(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝12，易知此时线段CD 的中点不是N ，不符合题意． 当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y －1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，将点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)的坐标代入2x 2＋y 2＝2(x ≠±1)，得2x 21＋y 21＝2，① 2x 22＋y 22＝2，② ①－②整理得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－2(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝－2×2×122×1＝－1 故直线l 的方程为y －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即所求直线l 的方程为2x ＋2y －3＝0. 15.解：(1)由题意知b ＝15，a ＋9＝34，解得a ＝25，b ＝15.所以“挞圆”方程为x 2252＋y 2152＝1(x ≤0)和y 2152＋x 292＝1(x ≥0)． (2)设P (x 0，t )为矩形在第一象限内的顶点，Q (x 1，t )为矩形在第二象限内的顶点则t 2152＋x 2092＝1，x 21252＋t 2152＝1，可得x 1＝－259x 0.所以内接矩形的面积S ＝2t (x 0－x 1)＝2t ×349x 0＝15×34×2·x 09·t 15≤15×34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2092＋t 2152＝510 当且仅当x 09＝t 15时，S 取最大值510. 所以网箱所占水面面积的最大值为510平方米。
数学-椭圆大题专题及解析
椭圆 大题习题及答案解析1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A，且离心率为2．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值． （（（由题意得 2a =（2c e a ==（ 所以c = 因为 222a b c =+（ 所以 1b =所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=（（（（若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以 直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =（设()11,M x y ，()22,N x y （由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=， 由0∆>，得 212k >（且12241x x k +=-+，122841x x k =+（ 所以MN ==因为 PA MN =， 所以=整理得 421656330k k -+=， 解得k =±，或 k =±经检验均符合0∆>，但2k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去（所以 k =k =± 2已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，124F F =，过2F的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，1PQF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A ,1F 分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且11AF M OF N ∠=∠．证明：直线m 过定点，并求出该定点的坐标.】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意，知1224F F c ==，可知2c =，由椭圆的定义知,1PQF ∆的周长为4a =，∴a =24b =∴椭圆C 的方程为22184x y += （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线:l y kx m =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222124280k x kmx m +++-=,()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，∵111212,22F M F N y y k k x x ==++， ∵M 、N 都x 轴上方．且11AF M OF N ∠=∠，∴11F M F N k k =-，∴121222y y x x =-++，即()()122122y x y x +=-+,代入1122,y kx m y kx m =+=+ 整理可得()()12122240kx x k m x x m ++++=，2121222284,1212m kmx x x x k k -=+=-++ 即222241684840km k k m km k m m ---++=，整理可得4m k =， ∴直线l ()44y kx m kx k k x =+=+=+，∴直线l 过定点()4,0-3已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 、R分别是椭圆C 的上、右、左顶点，且3PQ PR ⋅=-，点S 是2PF 的中点，且1OS =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0T -的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若QMN △的面积是125，求直线MN 的方程.解：（Ⅰ）由题意知(),PQ a b =-，(),PR a b =--，∴223PQ PR a b ⋅=-+=-， ∵点S 是2PF 的中点，且1OS =，∴211122OS PF a ===，∴2a =，1b =， 故所求椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ty =-，联立方程组22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224230t y ty +--=， ∴12224t y y t +=+，12234y y t=-+，12y y -==24t =+，∴1211123225QMNS TQ y y =⋅⋅-=⨯=△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.（解法2：求出弦长12N M y =-=点Q 到直线MN 的距离d =11225QMNS MN d ===△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.4如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【小问1详解】由题意，1c =，则()()()(),,,,,,,A a b B a b C a b D a b ----，所以22AC b bk a a==，22BDb b k a a ==--，所以B AC D k k ⋅=2212b a -=-，解得：a =1=，（椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（方法一）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线PQ ：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124220k x ktx t +++-=， 12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k ⋅=-，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=，代入化简得：22212t k =+.（22221212121211222222x x y y x x y y x MO M y Q ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+2222121222x x y y ++=+， 又点P ，Q 在椭圆上，（221112x y +=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=，（()222221212122242222222kt t x x x x x x t t --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭， （2212142x x +=.（2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭.即2232MO MQ +=为定值. （方法二）由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， ()22221222121322x x y y MO MQ ++==++. 5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF 内切圆半径的最大值.【小问1详解】以2214x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知()1F ，222112248ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==，设直线l为x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y +--=，设()11,A x y ，()22,B x y，则1224y y m +=+，12214y y m -=+ 所以1224y y m -===+所以2121212ABF SF F y y =⋅-=，令内切圆的半径为R ，则2182ABF SR =⨯⨯，即24R m =+，令t =，则12t R t==≤=+，当且仅当3t t=，t =，即m =时等号成立，所以当m =R 取得最大值12； 6已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．【小问1详解】220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN 的长度的最小值为83.【小问3详解】由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5SB ==， 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：4056225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=4=解得：32t =-或52t =-，当32t =-时，302x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：275304y y --=，由9350∆=+>得：302x y +-=与椭圆方程有两个交点；当52t =-时，502x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：295504y y -+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T 的个数为2．满足题意. 所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,A B ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，记直线AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为2k ，直线AN 的斜率3k ，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明. （直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上；（1213k k =； （1314k k =-..解（因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆的右焦点用(1,0)又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b += 又22221a b c b =+=+，所以224,3a b ==椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）选（设()()1122,,,M x y N x y 22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立得：()22223484120k x k x k +-+-=法一：直线11(2),(2)y k x y k x =+=+的交点的横坐标为()12212k k x k k +=-()2121212122212112162442233422481234234k x k k x x x x k x k k k x x x k --+-++==⋅=⋅=--+--+所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上法二：要证直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上，即()122124k k k k +=-，即证1213k k =即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，即证1212221292x x x x -+=+- 即证()12122580x x x x -++=因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 法一：()()()()()()1212112122121212122122222122y x x x k x x x x k x y x x x x x x -----+===++--+- 222112212222221122412846223434134121834128322343434k k k x x x k k k k k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭法二：()()12121222y x k k x y -=+ 所以()()()()()()()()222121212121222121212122222422242y x x x x x x x k k x x x x x x x y ----++⎛⎫=== ⎪++++++⎝⎭22222222224121644134344121636943434k k k k k k k k k k--+++===-++++因为12,k k 也同号，所以1213k k =法三：要证1213k k =，即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即证1212221292x x x x -+=+-，即证()12122580x x x x -++= 因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭ 所以1213k k =法四：由122(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616120k x k x k +++-=得21122116812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理22222228612,3434k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 因为,,M N F 为三点共线，所以12221222122212121234346886113434k k k k k k k k -++=----++即()()12214330k k k k +-= 因为12,k k 同号，所以1213k k = 选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++.()()21212121312121212224k x x x x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=⋅=+++++ ()2222222222222222412814128343434141241216121641634434k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===---+++++++.所以1314k k =-8设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为A ，B ，AB 4=．过点(0,1)E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程； （2）若FC DE =，求k 的值；（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论． 【小问1详解】由题意22224b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22164x y +=； 【小问2详解】由题意知，0k ≠，直线l 的方程为1y kx =+，则1(,0)F k -，联立221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∆=++>，设1122(,),(,)C x y D x y ，有12122269,2323k x x x x k k --+==++，则CD 中点横坐标为1223223x x kk+-=+， 又,(0,1),1(0)F k E -，则EF 中点横坐标为12k-，又因为FC DE =，且,,,C E F D 四点共线，取EF 中点H ，则FH HE =，所以H F HE C DE F =--，即HC DH =，所以H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232k k k -=-+，解得k = 【小问3详解】不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)A B -，则()()1122,2,,2AC x y BD x y =-=+，若AC BD ，则AC BD ∥，所以()()122122x y x y +=-，即()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=， 化简得()121220x x x x -++=，213x x =-，由（2）得，12112266,32323k k x x x x k k --+=-=++，解得12323kx k=+， ()12112299,32323x x x x k k --=⋅-=++解得212323x k =+，所以222332323k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得22233k k +=，无解，所以不存实数k ，使直线AC 平行于直线BD .9已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和. 【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22a c =又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.10已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）． （1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求△OBC 面积的最大值；（2）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且3y 1+y 2=0，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程． 【小问1详解】 直线OB 的方程为32y x =，即3x -2y =0，设过点C 且平行于OB 的直线l '的方程为32y x b =+， 则当l '与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立221,433,2x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并整理，得3x 2+3bx +b 2-3=0，此时Δ=9b 2-12（b 2-3），令Δ=0，解得b =±当b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-时，C ⎭，∴ △OBC=． 【小问2详解】显然可知直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x =my +n ，联立221,43,x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得（3m 2+4）y 2+6mnx +3n 2-12=0， ∴12221226,34312,34nm y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵ 3y 1+y 2=0，∴ 1222123,344,34nm y m n y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 从而()222222943434n m n m m -=++，即2223431m n m +=+， ∴21212216||6||||2||23431OBCm n m Sn y y n y m m =⋅-=⋅==++． ∵ B 在第一象限，∴ 21123034m nx my n n m =+=+>+，∴ n ＞0．∵ y 1＞0，∴ m ＞0，∴2661313OBCm Sm m m==≤=++当且仅当31m m =，即m =时取等号），此时2n =，∴ 直线l的方程为x y =+，即20y -=．11椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过椭圆右焦点2F 的直线l和椭圆C 相交于E 、F 两点，1EFF △的周长为8，若P 是椭圆上一个动点，且12PF PF ⋅的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）四边形MNAB 的四个顶点均在椭圆C 上，且//MB NA ，MB x ⊥轴，若直线MN 和直线AB 交于点()4,0S ，问：四边形MNAB 的对角线交点D 是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：1EFF △的周长为48a =∴2a =，令222c a b =-设()00,p x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c()()20000,,PF PF c x y c x y ⋅=---⋅--2220x c y =-+2222021b x b c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭当220x a =时，()22212max3PF PF a c b ⋅=-==∴21c =，∴23b =∴方程为22143x y += （2）解：设 :AM y kx b =+（k 一定存在） 与椭圆联知：()2223484120kxkbx b +++-=设()11,A x y ，()22,M x y ，()11,N x y -，()22,B x y -，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ，∵M 、N 、S 共线∴2121044y y x x +=-- 得()12122(4)80kx x b k x x b +-+-=，即()222412824803434b kb k b k b k k--⋅+-⋅-=++， 整理可得0k b +=∴:(1)AM y k x =-过点()1,0Q 下证：BN 也过()1,0Q 212111BQ NQ y y k k x x -=---()()()()()()2112211111011k x x k x x x x ----=--=-∴BN 和AM 相交于()1,0()1,0即为定点D .。
高中数学椭圆大题之定点与定直线
高中数学椭圆大题之定点与定直线题型一：直线过定点例1、（2017全国新课标Ⅱ文、理）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。
证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。
已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>）的短轴长为23，离心率为12．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若动点P 在直线l ：1x =-上，过P 作直线交椭圆Γ于M ，N 两点，使得0PM PN +=，过P 作直线l MN '⊥，求证：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标．例3、（19福高期末）己知椭圆()0,1:2222>=+b a b y a x C ,四点()1,11p 、()1,02p 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,13p 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,14p 中恰有三点在椭圆C 上。
(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上是否存在不同的两点M 、N 关于直线1=+y x 对称？若存在,请求出直线MN 的方程,若不存在,请说明理由；(3)设直线l 不经过点2p 且与C 相交A 、B 两点,若直线A P 2与直线B P 2的斜率的和为1,求证:直线l 过定点。
已知椭圆()012222>>=+b a b y a x E ：的左、右焦点分别为21,F F ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3P 在椭圆E 上，满足4121=⋅PF PF . （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知M,N 两点的坐标分别为()()0,2,0,2-，点T 是直线4=x 上的一个动点，且直线TN TM ,分别交椭圆E 于C,D 两点（M,N,C,D 四点互不相同），证明：直线CD 恒过一定点，并求出该定点坐标练2、（19附中期末）已知圆D ：()16122=++y x ，圆C 过点()0,1B 且与圆D 相切，设圆心C 的轨迹方程为曲线E（1）求曲线E 的方程；（2）点()0,2-A ，Q P ,为曲线E 上的两点（不与点A 重合），记直线AQ AP ,的斜率分别为21,k k ，若221=k k 请判断直线PQ 是否过定点，若不过定点，请说明理由.题型二：存在性问题1、（18格致文期末）已知椭圆)20(12:22<<=+n ny x C . (1)若椭圆C 的离心率为21，求n 的值；(2)若过点)0,2(-N 任做一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，在x 轴上是否存在点M ，使得180=∠+∠NMB NMA ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.例2、（19双十期中）设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，12AF F ∆为正三角形，且以2AF 为直径的圆与直线32y x =+相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形? 若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．练1、（19闽侯一中期末）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点B ()0,1且与x 轴不重合，设P 为圆A 上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA 与点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，问：在x 轴上是否存在定点D 使直线DM 与DN的倾斜角互补，若存在求出D 的坐标，否则说明理由．练2、（19双十期末）.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为6，且椭圆C 与M ：940)2(22=+-y x 的公共弦长为3104. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(P 作斜率)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点B A ,，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 的底边的等腰三角形？若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．练3、（19八中期末）如图，椭圆E :()012222>>=+b a by a x 的左焦点为1F ,右焦点为2F ，离心率21=e ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，且2ABF ∆周长为8． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:于椭圆E 有且只有一个公共点P ，且于直线4=x 相交于点Q .试探究：在坐标平面上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由。
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册练习题--直线与椭圆的位置关系及其应用
2022版人教A版高中数学选择性必修第一册--第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=x+1与椭圆x 25+y24=1的位置关系是 ()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.若直线y=kx+2与椭圆x 23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是()A.√63 B.−√63C.±√63D.±√333.椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标为b,则k的值为()A.±1B.±√2C.±√33D.±√34.(2020山东聊城高二上期末)直线y=kx+2与焦点在x轴上的椭圆x 216+y2b2=1(b>0)恒有两个公共点,则实数b的取值范围是. 题组二直线与椭圆的相交弦问题5.直线y=x+1被椭圆x 24+y22=1所截得的线段的中点的坐标是()A.(23,53) B.(43,73)C.(-23,13) D.(-132,-172)6.过原点的直线l与曲线C:x 23+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于√6,则直线l的斜率k的可能取值是()A.√33 B.−√33C.√3D.17.经过椭圆x 22+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O为坐标原点,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.-3 B.-13C.−13或−3 D.±138.过椭圆x 25+y 24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .9.(2021江西南昌二中高二上月考)在平面直角坐标系中,已知动点P 到定点F 1(-1,0)、F 2(1,0)的距离之和为2√2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)若直线l :y =x +t 与曲线C 交于A 、B 两点,|AB |=4√23,求t 的值.题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用 10.设椭圆C :x 29+y 24=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,以F 1F 2为直径的圆与C 在第一象限的交点为P ,则直线PF 1的斜率为 ( ) A.13B.12C.√33D.√3211.(2020北京清华大学附中高二上期中)已知椭圆C :x 216+y 24=1的右顶点为A ,上顶点为B.点E 在椭圆C 上,且不在直线AB 上. (1)求椭圆C 的离心率和直线AB 的方程; (2)若以AE 为直径的圆经过点B ,求点E 的坐标.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+32.(2020浙江宁波九校高二上期末,)已知圆C:(x+3)2+y2=48和点B(3,0),P是圆上一点,线段BP的垂直平分线交CP于M点,则M点的轨迹方程为;若直线l与M点的轨迹相交,且相交弦的中点为P(2,1),则直线l的方程是.3.(2021江苏南京金陵中学高二上月考,)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面直角坐标系Oxy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2√3π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点P(1,0)的直线l与C交于不同的两点A,B,求△OAB面积的最大值.题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用 4.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,则过点(m ,n )的直线与椭圆x 29+y 24=1的交点的个数为 ( )A.0或1B.2C.1D.0 5.(2021江西上饶高二上月考,)已知椭圆C :x 28+y 26=1的左、右顶点分别为A 、B ,点P 为椭圆C 上不同于A ,B 的动点,若直线PA 斜率的取值范围是[1,2],则直线PB 斜率的取值范围是 ( )A.[-2,-1]B.[-32,-34]C.[-1,-12] D.[-34,-38]6.(2021江苏泰州中学高二上期初检测,)如图,椭圆C :x 24+y 2=1的右顶点为A ,上顶点为B ,动直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,且始终满足OM ⊥ON ,作OH ⊥MN 交MN 于点H ,则HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( )A.[3-2√3,3+2√3]B.[45-4√55,45+4√55]C.[-65,145] D.[-54,154] 7.(多选)()已知椭圆C :x 24+y 22=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,直线y =kx (k ≠0)与C 交于A ,B 两点,AE ⊥x 轴,垂足为E ,直线BE 与C 的另一个交点为P ,则下列结论正确的是 ( )A.四边形AF 1BF 2为平行四边形B.∠F 1PF 2<90°C.直线BE 的斜率为12k D.∠PAB >90°8.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点F1作斜率为12的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|OF 1|=|OA |,则椭圆C 的离心率为 .9.(2020海南中学高二上期中,)已知点P 是椭圆x 225+y 29=1上任意一点,则当点P到直线4x -5y +40=0的距离达到最小值时,点P 的坐标为 . 10.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知椭圆C :x 24+y 23=1,F 1,F 2分别为椭圆的左,右焦点,P 为椭圆上任意一点. (1)若|PF 1|-|PF 2|=1,求△PF 1F 2的面积;(2)是否存在直线l ,使得当l 经过椭圆左顶点A 且与椭圆相交于点B ,点D 与点B 关于x 轴对称,满足OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−207?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 11.()已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√22,点P(−√2,1)在该椭圆上.(1)求椭圆C 的方程;(2)若点A ,B 是椭圆C 上关于直线y =kx +1(k ≠0)对称的两点,求实数k 的取值范围.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为√22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;(ii)点Q是直线l上异于F2的点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.答案全解全析 基础过关练1.A 直线y =x +1过点(0,1),将(0,1)代入x 25+y 24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.2.C 由{y =kx +2,x 23+y 22=1,消去y ,并整理得(2+3k 2)x 2+12kx +6=0,由题意知Δ=(12k )2-4×6×(2+3k 2)=0, 解得k =±√63,故选C . 3.C 因为椭圆的离心率为√33,所以c a=√33,即c =√33a,c2=13a2=a2−b2,所以b2=23a2.当x =b 时,直线与椭圆的交点的纵坐标为y =kb,则交点为(b,kb),代入椭圆方程得b 2a2+k 2b 2b 2=1,即23+k2=1,所以k2=13,解得k =±√33,故选C .4.答案 (2,4)解析 直线y =kx +2恒过定点(0,2),要保证直线与椭圆有两个公共点,则定点需在椭圆内,所以016+4b 2<1,又b >0,所以b >2,又因为椭圆的焦点在x 轴上,所以b <a =4,即b ∈(2,4).5.C 联立{y =x +1,x 24+y 22=1,消去y 并整理,得3x 2+4x -2=0.设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点M (x 0,y 0).∴x 1+x 2=-43,x0=x 1+x 22=−23,y0=x0+1=13,∴中点坐标为(-23,13).6.D 设直线l 的方程为y =kx (k ≠0),直线l 与曲线C 交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 23+y 2=1,y =kx ,消去y 得(1+3k2)x2−3=0,则x1+x2=0,x1x2=−31+3k 2,所以|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√121+3k 2=√6,解得k 2=1,故选D .7.B 由x 22+y 2=1,得a 2=2,b 2=1,则c 2=a 2-b 2=1,则焦点坐标为(±1,0).不妨设直线l 过右焦点,因为l 的倾斜角为45°,所以直线l 的方程为y =x -1. 代入x 22+y 2=1得x 2+2(x -1)2-2=0,即3x 2-4x =0.设交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1x 2=0,x 1+x 2=43,y1y2=(x1−1)(x2−1)=x1x2−(x1+x2)+1=−43+1=−13,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=0−13=−13. 8.答案 53解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),又直线的斜率k =2,所以直线的方程为y =2(x -1),将其与x 25+y 24=1联立,消去y,得3x2−5x =0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=√1+k 2·|x1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+22×√(53)2-4×0=5√53.设原点到直线的距离为d,则d =|-2|√(-1)+22=2√55. 所以S △OAB =12|AB |·d =12×5√53×2√55=53.9.解析 (1)因为|PF 1|+|PF 2|=2√2>|F1F2|=2,所以动点P 的轨迹为椭圆,且长轴长2a =2√2,焦点坐标为(-1,0),(1,0), 所以a =√2,c =1,又因为a 2=b 2+c 2,所以b 2=1, 所以C 的方程为x 22+y 2=1.(2)设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 2+2y 2-2=0,y =x +t ,消去y ,得3x 2+4tx +2t 2-2=0,所以x 1+x 2=-4t3,x1x2=2t 2-23,Δ=16t 2-12(2t 2-2)=24-8t 2>0,即t 2<3.所以|AB |=√1+12·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√23·√24-8t 2=4√23,解得t =±1,满足Δ>0,所以t =±1. 10.B 依题意得,a 2=9,b 2=4,∴c 2=5, 因此以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=5. 由{x 2+y 2=5,x 29+y 24=1,得{x 2=95,y 2=165, 又点P 在第一象限,∴P (3√55,4√55), 又F 1(-√5,0), ∴k PF 1=4√55-03√55+√5=12,故选B .11.解析 (1)由题可得a =4,b =2,c =2√3,则A(4,0),B(0,2),椭圆的离心率e =c a=√32. 直线AB 的方程为x 4+y2=1,即x +2y -4=0.(2)设E (x 0,y 0),由题意可知AB ⊥BE , 即k AB ×k BE =-1, 结合(1)得-12×y 0-2x 0=-1,则2x 0=y 0-2,∵E 是椭圆C 上的点, ∴x 0216+y 024=1.联立{x 0216+y 024=1,2x 0=y 0-2,消去x 0,整理得17y 02−4y0−60=0,解得y0=2(舍去)或y0=−3017,则x0=−3217,所以E (-3217,-3017). 能力提升练1.ACD 直线y =2x -3与直线l 关于原点对称,直线y =-2x -3与直线l 关于x 轴对称,直线y =-2x +3与直线l 关于y 轴对称,因此A 、C 、D 中的直线被椭圆C 截得的弦长一定为7,而直线y =2x +1被椭圆C 截得的弦长大于7.故选ACD .2.答案x 212+y 23=1;x +2y -4=0解析 由圆的方程可知,圆心C (-3,0),半径等于4√3,设点M 的坐标为(x ,y ), ∵BP 的垂直平分线交CP 于点M , ∴|MB |=|MP |.又|MP |+|MC |=4√3,∴|MC |+|MB |=4√3>|BC|.依据椭圆的定义可得,点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且2a =4√3,即a =2√3,c =3,∴b =√3, 故M 点的轨迹方程为x 212+y 23=1.设直线l 交椭圆于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,AB 的中点为(2,1), ∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 则x 1212+y 123=1,x 2212+y 223=1,作差得4(x 1-x 2)12=−2(y 1-y 2)3,∴y 1-y 2x 1-x 2=−12,故直线l 的方程是y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.3.解析 (1)依题意有{ab =2√3,a =2c ,a 2=b 2+c 2,解得{a =2,b =√3,所以椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1.(2)由题意知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x =my +1, 由方程组{x =my +1,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y1y2=−93m 2+4,所以|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12√m 2+13m 2+4,所以S △OAB =12×|OP |×|y 1-y 2| =6√m 2+13m 2+4,令t =√m 2+1(t ≥1),则m 2=t 2-1,S △OAB =6t 3t 2+1=63t+1t,因为y =3t +1t 在[1,+∞)上单调递增,所以当t =1,即m =0时,△OAB 面积取得最大值,为32.4.B 因为直线mx +ny =4和圆x 2+y 2=4没有交点,所以√m 2+n 2>2,所以m2+n2<4,而m 29+n 24≤m 24+n 24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x 29+y 24=1必有两个交点,故选B .5.D 依题意得A (-2√2,0),B(2√2,0), 设P (x 0,y 0),则x 028+y 026=1,从而y 02=34(8-x 02),①又k PA =0x +2√2kPB =x -2√2,因此k PA ·k PB =x +2√2·x -2√2=y 02x 02-8,将①式代入得k PA ·k PB =-34,则kPA =−34·1k PB,又1≤k PA ≤2,所以1≤-34·1k PB≤2,故-34≤k PB ≤-38,故选D .6.C 直线l 的斜率显然存在,设直线l :y =kx +b ,与椭圆方程联立,得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-4=0, 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 得x 1+x 2=-8kb 1+4k 2,x1x2=4b 2-41+4k 2,因为OM ⊥ON ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+b )(kx 2+b )=0, 代入整理得5b 2=4k 2+4, 则|OH |2=(√1+k2)2=b 21+k 2=45, 所以点H 在圆O :x 2+y 2=45上运动,记线段AB 的中点为D , 直线AB 与圆O :x 2+y 2=45相切,则HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|HD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54, 在Rt △AOB 中,易知|OD |=12|AB|=√52. 所以|HD |∈[√52-2√55,√52+2√55]=[√510,9√510],|HD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−54∈[-65,145],即HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·HB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-65,145].故选C .7.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF 1BF 2是平行四边形,故A 正确; ∵a 2=4,b 2=2,∴c 2=2, ∴∠F 1AF 2<90°, 又∠F 1PF 2<∠F 1AF 2<90°, 故B 正确;由{x 2+2y 2=4,y =kx 得{x 2=41+2k 2,y 2=4k 21+2k2, 结合图形,不妨设k >0, 则A (2√1+2k 2,2k √1+2k 2),B −2√1+2k 2,−2k √1+2k 2,E (2√1+2k 2,0),∴k BE =2k√1+2k 22√1+2k 2+2√1+2k 2=12k ,故C 正确;取k =2,则A (23,43),B (-23,-43),E (23,0),∴直线BE 的方程为y =x -23,与椭圆方程联立得,P (149,89),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(89,-49),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-43,-83),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3227+3227=0,∴∠PAB >90°错误.故选ABC .8.答案√53解析 如图所示,设右焦点为F 2,则|OF 1|=|OA |=|OF 2|,∴AF 1⊥AF 2, 又tan ∠AF 1F 2=12,∴|AF 1|=4√55c,|AF2|=2√55c.因此,2a =|AF 1|+|AF 2|=6√55c ,∴e =ca =√53.9.答案 (-4,95)解析 设平行于直线4x -5y +40=0且与椭圆相切的直线方程为4x -5y +c =0(c ≠40).由{9x 2+25y 2=225,4x -5y +c =0,得25x 2+8cx +c 2-225=0, 令Δ=(8c )2-4×25×(c 2-225)=0, 得c 2=625,解得c =±25.结合图形(图略)可知c =25,此时,x 2+8x +16=0⇒x =-4. 代入4x -5y +25=0得,y =95,∴P (-4,95).10.解析 (1)由{|PF 1|+|PF 2|=4,|PF 1|-|PF 2|=1,得{|PF 1|=52,|PF 2|=32,易求得|F 1F 2|=2. ∵|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2,∴PF 2⊥F 1F 2,∴S △PF 1F 2=12|PF 2|·|F 1F 2|=32.(2)存在.易知A (-2,0),故可设直线l 的方程为y =k (x +2),联立{y =k (x +2),x 24+y 23=1,消去y ,得(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2-12=0, 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1x 2=16k 2-124k 2+3,又x1=−2,∴x2=6-8k 24k 2+3,则B (6-8k 24k 2+3,12k4k 2+3), 故D6-8k 24k 2+3,−12k 4k 2+3,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(6-8k 24k 2+3)2−144k 2(4k 2+3)2=64k 4-240k 2+36(4k 2+3)2=−207,即16k 4-25k 2+9=0,故(k 2-1)(16k 2-9)=0.∴k =±1或k =±34.∴存在满足条件的直线l ,且直线l 的方程为y =x +2或y =-x -2或y =34(x +2)或y =−34(x +2).11.解析 (1)e =ca=√22,即c2=12a2,b2=a2−c2=12a 2,将P (-√2,1)代入椭圆方程,得2a2+1b 2=1,∴a 2=4,b 2=2, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),y 1≠y 2,AB 的中点为(x 0,y 0),易知直线y =kx +1(k ≠0)恒过点(0,1),则x 12+(y 1-1)2=x 22+(y 2-1)2,∵点A ,B 在椭圆上,∴x 12=4-2y 12,x 22=4-2y 22, ∴4-2y 12+(y 1-1)2=4-2y 22+(y 2-1)2,化简得y 12-y 22=−2(y1−y2),即y1+y2=−2,∴y0=y 1+y 22=-1.又AB 的中点在直线y =kx +1上, ∴-1=kx 0+1,解得x 0=-2k .由{x 2+2y 2=4,y =-1,可得x =±√2, ∴0<-2k<√2或−√2<−2k<0,即k <−√2或k >√2.故k 的取值范围是(-∞,-√2)∪(√2,+∞). 12.解析 (1)由题意得c =1.因为离心率为√22,所以a=√2,所以b =1.所以椭圆的方程是x 22+y 2=1.(2)(i)由(1)知F 2(1,0),当直线l 的斜率不存在时,不妨设A (1,√22),B (1,-√22),所以|AF 2|·|BF 2|=12.当直线l 的斜率存在时,直线l 的方程可设为y =k (x -1).联立{x 22+y 2=1,y =k (x -1),消去y ,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-2=0.所以x 1+x 2=4k 21+2k 2,x1x2=2k 2-21+2k 2.所以|AF 2|=√(x 1-1)2+y 12=√1+k 2|x1−1|,|BF2|=√(x 2-1)2+y 22=√1+k 2|x 2-1|. 所以|AF 2|·|BF 2|=(1+k 2)|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 2)|2k 2-21+2k2-4k 21+2k2+1|=1+k 21+2k 2 =12(1+11+2k 2). 因为11+2k 2∈(0,1],所以|AF 2|·|BF 2|的取值范围是(12,1]. 因为当直线l 的斜率不存在时,|AF 2|·|BF 2|=12,所以|AF 2|·|BF 2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l 的斜率一定存在.因为点Q 在直线l 上,所以设点Q 的坐标是(m ,k (m -1)). 因为|QA ||QB |=|F 2k ||F 2B |,所以点Q 一定在BA 的延长线上, 所以m -x 1m -x 2=x 1-11-x 2,即(m +1)(x 1+x 2)-2x 1x 2-2m =0. 所以4k 2(m+1)1+2k 2−2(2k 2-2)1+2k 2-2m =0.化简得m =2.所以点Q 的坐标是(2,k ). 因此点Q 在定直线x =2上.。
椭圆与直线
一、直线和椭圆的交点问题1．若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。
解法一：由可得，∴即∴且解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即综述：且解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即∴且二、直线截椭圆所得弦长问题2．已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长.解法一：设A 、B两点坐标分别为和将直线方程代入椭圆方程得关于的方程∴又。
∴AB长为。
解法二：∵直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点∴∴AB 长为。
评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。
三、直线截椭圆所得弦中点有关问题3．已知椭圆方程为，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。
①②①－②得③（1）∵弦中点坐标为（4，1），∴，，则由③式得直线斜率为∴直线方程为，即。
（2）设弦中点坐标为，则由③式可得④又∵∴，即轨迹方程为。
（3）同（2），可知轨迹上的点是方程④的解而，∴⑤将⑤代入④可得当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），经验证，也在上述椭圆上∴轨迹方程为。
4．已知焦点分别为、的椭圆与直线有公共点。
求：长轴长的最小值。
解析：设A为直线与椭圆的公共点，则由椭圆定义为使最小，即在直线上找一点A使最小作关于直线的对称点，可求坐标为（－5，4）此时最小∴长轴长最短为。
5．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为、，动点P满足，求证：线段PF1的中垂直线与椭圆C相切。
证明：如图，设直线是PF1的中垂线，则F1，P关于直线对称，设与PF2交点为T，则F1T=PT∴F1T+F2T=PT+TF2=2a∴T点在椭圆上，即T 为直线与椭圆的交点假设直线与椭圆还有一个交点T＇，则∴T＇在线段PF2上，即T ＇是与PF2的交点又∵两直线交点至多一个，∴T和T＇重合即直线与椭圆有且仅有一个交点，故直线与椭圆相切。
高中数学椭圆大题之斜率与直线
高中数学椭圆大题之斜率与直线题型一：斜率相加为0例1、（2018全国新课标Ⅰ理）设椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,A B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA OMB∠=∠.练1、（19二中期末）在直角坐标系xOy 中,点P 到两点()()1,0,1,0D E -的距离之和为设点P 的轨迹为曲线C ,过点D 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为()2,0(1)求出轨迹C 的方程；(2)设O 为坐标原点,证明:0MA MB k k +=练2、（19福州三检）已知椭圆C :()012222>>=+b a by a x 的左焦点F 为()0,1-，过F 的直线l 与C 交于B A ,两点，当直线l 的斜率 为33时，被圆222b y x =+截得的弦长为11 (Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点()0,4-M ，证明：FMB FMA ∠=∠.题型二、等腰条件例1、已知椭圆的一个顶点为()1,0-A ，焦点在x 轴上，若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线()0≠+=k m kx y 相交于不同的两点N M 、，当AN AM =时，求m 的取值范围.练1、 椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>离心率为63，12,F F ，2F 是椭圆的左、右焦点，以1F 为圆心，3+1为半径的圆和以2F 为圆心、31-为半径的圆的交点在椭圆E 上.(1)求椭圆E 的方程； (2)设椭圆E 的下顶点为A ，直线3:2l y kx =+与椭圆E 交于两个不同的点,M N ，是否存在实数k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为 （2）由题意知，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设中点为，由，知，所以点的坐标为，因为，所以，又直线斜率均存在，所以. 于是 解得，即，将代入①，满足．故存在使得以为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．题型三、各种背景下的直线斜率例1、（18一中高二文期末）.已知椭圆C 的焦点是()(),,1220-2，0F F ，点P 在椭圆上且满足|||12|23PF PF +=. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线2y kx =+与椭圆C 交于不同两点A 和B ，且1OA OB •=(其中O 为坐标原点)，求k 的值.例2、（2016天津文）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.练1、（2017天津文）已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为,()0F c-，右顶点为A，点E的坐标为(0,)c，EFA△的面积为22 b.（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，3||2FQ c=，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM QN∥，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c. （i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程.练2、（2018北京文）已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的离心率为63，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()20P -,，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求k ．题型四、斜率的范围例1、（18三中高二文期末）.已知21,F F 分别是椭圆1422=+y x 的左右焦点. (2)若P 是第一象限内该椭圆上一点，4521-=•PF PF ，求点P 的坐标； (3)设过定点)2,0(M 的直线与椭圆交于不同的两点B A ,，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.练1、（2016山东文）已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.（I）求椭圆C的方程；(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P 作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.(ii)求直线AB的斜率的最小值.- 11 -。
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直线和椭圆位置关系
1.已知椭圆22
:143
x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于,A B 两点.
（Ⅰ）求M 的离心率及短轴长；
（Ⅱ）是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
2.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作斜率为
12
的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．
3. 已知椭圆C ：22
11612
x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||
FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：
12||||
S PM S PN =. 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点(1,2
，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14
-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．
5. 已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，且过点(01)B ，. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线)2(:+=x k y l 交椭圆于P 、Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.
6. （2012北京，19）.
已知曲线C:()()()22528m x m y m R -+-=∈
（I ） 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；
（II ）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为,A B （点A 位于点B 的上方），直线 4y kx =+与曲线C 交于不同的两点,M N ,直线1y =与直线BM 交于点G . 求证：,,A G N 三点共线.
7.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C 上的
点到(0,2)Q 的距离的最大值为3；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线:1l mx ny +=与圆22
:1O x y +=相交于不同的两点,A B ，且AOB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的AOB ∆的面积；若不存在，请说明理由。
8.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F(1，0),且点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的标准方程.
（2）已知动s 直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A,B 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ， 使得716
QA QB •=-
恒成立？若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
9.设椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ， 在x 轴负半轴上有一点B ，满足112BF F F =，且2AF AB ⊥． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）若过2F B A 、、三点的圆与直线033:=--y x l 相切，
求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点， 线段MN 的中垂线与x 轴相交于点)0,(m P ，求实数m 的取值范围。
10. 如图，椭圆2
2
:1(01)y C x m m +=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．
（Ⅰ）若点P 的坐标为9(,55
，求m 的值； （Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥，求m 的取值范围．
P。