数学物理方程第四章 格林函数

Ω
(v∆u )dΩ = ∫ v
Γ
∂u dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n ⎛ ∂v ∂u ⎞
(4.3.3)
− v ⎟dS u ∫ [u∆v − v∆u ]dΩ = ∫ ⎜ ∂n ⎠ ⎝ ∂n
Ω Γ
(4.3.4)
式(4.3.4)称为格林第二公式. 下面,我们以泊松方程第一类边值问题为例,进一步阐明格林函数的概念.
(4.2.2)
则以 r0 为中心的小体积 dΩ 在 r 处产生的电势为
du = G (r , r0 ) ρ (r0 )dΩ
因此,在 r 处产生的电势为
u ( r ) = ∫ du =
Ω
ρ ( r0 ) ∫Ω 4π r − r0 dΩ
ρ (r0 ) dr0 4π r − r0
为了表述上的方便, r0 处的体积微元 dΩ 以后用 dr0 表示,则有
x ≠ x0 x = x0
∫ ∫
或者说
b
+∞
−∞
δ ( x − x 0 ) dx = 1
这样，我们可以得到 δ 函数的一个重要性质
+∞ −∞
δ ( x − x 0 ) dx = f ( x 0 )
⎧1, a < x0 < b ) dx = ⎨ ⎩0, x0 < a或x 0 > b
∫ δ (x − x
∫
Ω
⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ⎜ ⎟dΩ = ∫∑ [ P cos(n, x) + Q cos(n, y ) + R cos(n, z )]dS ⎜ ∂x + ∂y + ∂z ⎟ ⎠ ⎝
(4.3.1)
式中, dΩ 是体积元素; n 是曲面 Γ 的外法向量; dS 是 Γ 上的面积元素. 设函数 u ( x, y, z ), v( x, y, z ) 在 Ω + Γ 上一阶偏导数连续 , 在 Ω 内二阶偏导数连续 , 则在式(4.3.1)中,令
(4.2.1)
式中, ρ 是电荷密度,所占区域为 Ω , r0 是 Ω 中任意一个点. 如果不考虑其他因素的影响,对于无界空间中的电势 u ,可以利用定积分中的微元 法的思想求出来.有库仑定律知,位于 r0 点的一个正的单位电荷,在无界空间中点 r 处产 生的电势是
G (r , r0 ) =
1 4π r − r0
r − r0
O
r0
P0
图 4—1
4.3 格林公式
有界域上的格林函数
为了进一步探讨利用格林公式函数求解数学物理方程,我们先来推出一个重要 工具—格林公式,它是曲面积分中高斯公式的直接推论. 设 Ω 是以足够光滑的曲面 Γ 为边界的有界域, P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 在 Ω + Γ 上是连续的,在 Ω 内具有一阶连续偏导数,则有如下的高斯公式
利用格林第二公式及 δ 函数的性质,有
ε∫
1
Ω
Gρdr +
1
ε
∫
Ω
u (r )δ (r − r0 )dr
∂G (r , r0 ) ⎤ ∂u (r ) ⎡ u (r0 ) = ∫ G (r , r0 ) ρ (r )dr + ε ∫ ⎢G (r , r0 ) − u (r ) dS Ω Γ ∂n ∂n ⎥ ⎦ ⎣ ∂G (r , r0 ) = ∫ G (r , r0 ) ρ (r )dr − ε ∫ u (r ) dS Ω Γ ∂n ∂G (r , r0 ) = ∫ G (r , r0 ) ρ (r )dr − ε ∫ f (r ) dS Ω Γ ∂n
δ 函数
几何学中的点是没有大小的,它仅仅表示空间的一个位置,因此物理学中的质点、点电荷 等点源无法用几何中的点来表示.那么,我们用数学语言如何描述这类具有实际背景的点源 呢? 考虑一根长为 l 的直线,其上任一点的坐标 x ∈ ⎢− 在直线上,则直线上的电荷分布的线密度 ρ ( x) 是
⎡ l l⎤ , .若总电量为 Q 的电荷均匀分布 ⎣ 2 2⎥ ⎦
( 4 .3 .9 )
但这个表达式中所表示的意义与我们的初衷相矛盾. G (r , r0 ) 表示的是位于 r0 点的点源 在 r 点产生的场.但我们能证明 G (r , r0 ) = G (r0 , r ) ,这样,式(4.3.9)可以改写成
u (r ) = ∫ G (r0 , r ) ρ (r0 )dr0 − ε ∫ f (r0 )
∫
故初速度 v( x) = δ ( x) .
o
+∞
−∞
ρdx ⋅ v( x) = ∫ v( x)dx = 1
−∞
+∞
例 2 设有一根温度为 0 C 度的导热杆,其线密度为 ρ ,比热为 c ,现用火焰在 x = 0 处以极短的时间烤一下,传给杆的热量为 Q ,请分析一下开始一瞬间杆上的温度 T ( x) 的 分布? 解 在刚开始一瞬间,我们有
a
0
∫
b
a
⎧ f ( x 0 ), a < x0 < b f ( x)δ ( x − x0 )dx = ⎨ x 0 < a或 x 0 > b ⎩0,
4.2 无界域中的格林函数 在第 1 章中,我们推导出了静电场的电势分布 u 满足泊松方程
∆u =
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 1 + 2 + 2 =− ρ 2 ε ∂x ∂y ∂z
1 ⎧ ⎪∆G (r , r0 ) = − δ (r − r0 ) ε ⎨ ⎪G Γ = 0 ⎩
(4.3.7) (4.3.8)
以 G (r , r0 ) 乘式 (4.3.5), u (r ) 乘式 (4.3.7), 二式相减后在 Ω 上对 r 积分 ,以 dr 表示 r 点处的体积微元,有
∫
Ω
(G∆u − u∆G )dr = −
δ (r − r0 ) = ⎨
⎧0, r ≠ r0 ⎩∞, r = r0
(r0 ( x0 , y 0 , z 0 ) ∈ Ω) f (r0 )
∫ δ (r − r )dr = 1
Ω 0 Ω 0
∫ δ ( r − r ) f ( r ) dr =
则 G (r , r0 ) 作为 r 的函数满足
用 G (r , r0 ) 表示位于 r0 点的单位强度的正点源在第一类边界条件下产生的场,
第 4 章 格林函数
在这一章里,我们介绍数学物理方程中另外一种常用的方法—格林函数法.从物理上看, 一个数学物理方程是表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系.例如,热传导 方程表示温度场和热源之间的关系,泊松方程表示静电场和电荷分布的关系,等等.这样,当源 被分解成很多点源的叠加时,如果能设法知道点源产生的场,利用叠加原理,我们可以求出同 样边界条件下任意源的场,这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就 叫做格林函数. 4.1
ρ 0 ( x) = ⎨
而此时,电量仍为 Q ,则式(4.1.2)仍然成立.
⎧0, ⎩∞,
x≠0 x=0
(4.1.3)
为了理解上的方便,我们修改一下问题的叙述:去电量 Q = 1 ,线段长度为 2ε ,则密度 分布函数为
⎧0, x > ε ⎪ δ ε ( x) = ⎨ S Ω Γ ∂n ∂G (r , r0 ) dS = ∫ G (r , r0 ) ρ (r0 )dr0 − ε ∫ f (r0 ) Ω Γ ∂n
1 ⎧ ⎪∆u = − ε ⎨ ⎪u Γ = f ⎩
式中, f 是在区域 Ω 上的边界 Γ 上给定的函数. 在介绍格林函数之前,我们要引进空间的 δ 函数来表示点源的密度分布,有
(4.3.5) (4.3.6)
δ (r − r0 ) = δ ( x − x0 )δ ( y − y 0 )δ ( z − z 0 )
u (r ) = ∫
Ω
这样,我们没有直接求解方程,而是通过寻找微元,利用积分的方式求出了方程 的解.而点源产生的电势 G ( r , r0 ) 称为泊松方程式(4.2.1)在无界空间中的格林函数, 利用它,我们求出了泊松方程在无界空间的解.无界空间中的格林函数又叫做方程 的基本解 , 因此式 (4.2.2) 又称为泊松方程的基本解 . 有时也称它为相应的齐次方程 (即拉普拉斯方程)的基本解,记为 G0 ( r , r0 ). 基本解式 (4.2.2) 是密度为 ρ 0 的点源在空间产生的电势 , 因此它在空间除了
∫
= ∫ (u∆v)dΩ + ∫ gradu ⋅ gradvdΩ
Ω Ω
=∫u
Γ
∂v dS ∂n
或表示为
∫
Ω
(u∆v)dΩ = ∫ u
Γ
∂v dS − ∫ gradu ⋅ gradvdΩ Ω ∂n
(4.3.2)
式(4.3.2)称为格林第一公式. 在式(4.3.2)中,交换 u, v 的位置，则有
∫
式(4.3.2)减式(4.3.3)得
⎧0, T ( x) = ⎨ ⎩∞,
x≠0 x=0
且
∫
所以有
+∞
−∞
cρT ( x)dx = Q
T ( x) =
Q δ ( x) cρ
通过以上两个例题,我们对 δ ( x) 有了进一步的认识.如果将坐标平移 x0 ,即集中量 出现在点 x = x 0 处,则有
δ ( x − x0 ) = ⎨
且
⎧0, ⎩∞,
1 ,并且还要加上这个点 4π r − r0
电荷在导体内壁上感应电荷所产生的场.而感应电荷在导体内壁上的分布是未知的, 我们只知道在边界上电势为零(接地). 因此,在一般情况下,格林函数是一个点源在一定的边界条件和(或)初始条件下 所产生的场.通过格林函数,我们可以求得任意分布的源所产生的场.