质点动力学基本方程
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11第11章质点动力学的基本方程PPT课件
略摩擦及AB质量;λ=r/l 较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方
程近似为
x l( 1 24 ) r [ct o (s 4 )c,试2 o 求t]s
t0和 时2,AB所受的力。
解:以滑块B为研究对象
mxaFcos
yA
O
F
FN
x
由滑块B的运动方程得
a x x r 2 (c to c s2 o t)s
§11-2 动力学的基本定律
牛顿三定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
包括受平衡力系作用的质点
不受力作用的质点处于静止状态，或保持其原有的 速度(包括大小和方向)不变的性质称为惯性。
第一定律阐述了物体作惯性运动的条件，故称为惯 性定律。
§11-2 动力学的基本定律
从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义 的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。
动力学的研究对象：低速、宏观物体的机械运动的普 遍规律。
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点
质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系
刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
工程实际中的动力学问题
v1
F
v2
棒球在被球棒击 打后，其速度的大 小和方向发生了变 化。如果已知这种 变化即可确定球与 棒的相互作用力。
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
理论力学9质点动力学基本方程ppt课件
小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得
§3.3 质点系的动力学方程(YBY
§3.3 质点系的动力学方程 一、质点组的动力学方程。 1、质点系的动力学方程为简单计，研究两个质点构成的质点系
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
m1a1 F1 f12 ,
f12 f21
m2a2 F2 f21
m1a1 m2a2 F1 F2
推广到质点组 （1） m a F F ii i （1）称为质点组的动力学方程。 2、质点系质心动力学方程
（5）
质点系的质心运动定理在直角坐标系中投影式为
Fx Fix maCx , Fy Fiy maCy , Fz Fiz maCz （6）
质心运动定理给出质心加速度，描述了质点系整体运动的重要 特征．并未对质点系运动作全面描述，更全面描述质点系的运 动，还应进—步研究各质点相对质心的运动．
d 2 ri F Fi mi ai mi 2 dt
2 2
d d mi ri 2 mi ri m 2 dt dt m
（2）
m r ii m
具有长度的量纲，描述与质点系相关的某一空间点的位置 m r ii （3） 引入质心的概念 rC m 在直角坐标系
m1r1 m2 r2 rc (t ) m1 m2 r2 (t ) r1 (t ) r (t )
m2 r1 (t ) rc (t ) m m r (t ) 1 2 m1 r r (t ) 2 (t ) rc (t ) m1 m2
m x ,
i i
xc
m
yc
m y ,
i i
m
第二章非惯性系中的质点动力学
牵连惯性力 科氏惯性力
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
x'
y
O
x
非惯性系中的质点动力学基本方程
mar F FIe FIC 或质点相对运动动力学基本方程
在非惯性系内，上式写成微分方程形式
m
d
2
r
dt 2
F
FIe
FIC
非惯性系中的质点运动微分方程
质点相对运动微分方程
其中 r表 示质点M在非惯性系中的矢径
d 2r dt 2
解：
以上抛点为坐标原点，选取固定于地球的非惯 性参考系为 Oxyz
其中 z轴 铅直向上， 近似通过地球中心。
x轴水平向东， y轴水平向北。
表现重力
P F FIe mg
其中 F为地球引力
科氏惯性力
FIC maC 2m vr
vr xi yj zk
FIC
的矢量积可展开为
i j k
例2－ 4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，
如图所示，若不计摩擦等阻力。
求：平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止。 若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿 板向上运动。球沿板走了l 距离后，小球的相对速度是 多少？
a
解： （1）在平板上固结一动参考系 Oxy
md2来自rdt 2mg
F1
F2
FIe
FIC
（a）
将上式投影到 x轴 上得 mx mx 2
令 vr x
dvr dvr dx 2x
dt dx dt
z'
O
y' F1
F2
B
mg
FIC
FIeA x'
注意
dx dt
vr
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结质点动力学是物理学中非常重要的一个分支，它研究的是质点在力的作用下的运动规律。
在质点动力学中，我们通常假设质点的大小可以忽略不计，只考虑它的位置和速度，这样我们就可以用简单的数学模型描述质点的运动。
在本文中，我们将系统地总结质点动力学的一些基本知识点，包括质点的运动方程、牛顿运动定律、动量和能量等。
希望本文可以帮助读者更好地理解质点动力学的基本概念和原理。
一、质点的运动方程质点的运动可以用位置矢量 r(t) 来描述，它随时间 t 的变化可以用速度矢量 v(t) 来表示。
根据牛顿第二定律 F=ma，质点的运动方程可以写成：m*a = F，其中 m 是质点的质量，a 是质点的加速度，F 是作用在质点上的力。
根据牛顿运动定律，我们可以利用力学原理得到质点在外力作用下的运动规律。
二、牛顿运动定律牛顿运动定律是质点动力学的基础，它包括三条定律：1. 第一定律：物体静止或匀速直线运动时，外力平衡。
这是牛顿运动定律中最基本的一条定律，也是质点动力学的基础。
2. 第二定律：力的大小与加速度成正比，方向与加速度的方向相同。
这条定律描述了质点在外力作用下的加速度与力的关系，是质点动力学的重要定律之一。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且作用在不同物体上。
这条定律描述了两个物体之间的相互作用，也是质点动力学中不可或缺的定律之一。
三、动量动量是质点运动的另一个重要物理量，它定义为质点的质量 m 乘以它的速度 v，即 p=m*v。
根据牛顿第二定律 F=dp/dt，我们可以推导出动量的变化率与外力的关系，从而得到动量守恒定律。
动量守恒定律是质点动力学中非常重要的一个定律，它描述了在没有外力作用下，质点的动量将保持不变。
根据动量守恒定律，我们可以在实际问题中很方便地利用动量守恒来解决问题。
四、能量能量是质点动力学中另一个重要的物理量，它定义为质点的动能和势能的总和。
动能是质点由于速度而具有的能量，它和质点的质量和速度有关；势能是质点由于位置而具有的能量，它和质点的位置和作用力有关。
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则x 求:
l 1
0,
2
4
r
cos t cos 2
4
时杆AB受力F
t
?
r l
1
2
解:研究滑块
max F cos
其中 ax x r2cos t cos2 t
当 0时, ax r21 ,且 0,
得 F mr21
当
l2 r2 l
伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成 正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。 伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。
1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关 于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。
1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现 了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发 明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
度 转动,OA=r,AB=l,当 r / l 比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
求当 t 0和 时 ,
连杆AB所受的力. 2
已知: 常量, OA r, AB l, m。 设
0
mk 0
得质点运动方程
x v0t,
y
eA mk2
coskt 1
(c)
轨迹方程
y
eA mk2
cos
k v0
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
质点动力学基本方程
t
dt
vx0
Fx
0
①在绝大多数工程问题中，可取固结于地球的坐标系为惯性 参考系。 ②对需考虑地球自转影响的问题（如由地球自转而引起的河 流冲刷，落体对铅直线的偏离等）必须选取以地心为原点而 三个轴指向三颗“遥远恒星”的坐标系作为惯性参考系，即 所谓的地心参考系。 ③在天文计算中，则取日心参考系，即以太阳中心为坐标原 点，三个轴指向三颗“遥远恒星”。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m
dvx dt
dx
Fxdx
vxdvx
Fx m
dx
vx vxdvx
vx0
x Fx dx x0 m
当作用于质点上的力Fx是速度vx的函数时，求质点的运动。
将质点运动微分方程
m dvx dt
Fx
分离变量，以便积分
m dvx dt Fx
vx m dvx
aF 或 m
F ma
质点动力学基本方程
式中 m 为质点的质量； 此方程只能直接应用于质点。
F Fi 是作用于质点的所有力的合力矢。
质量是物体惯性的度量，质点的质量愈大，保持惯性运动 的能力愈强。
物体的质量 m 与它的重量 W 之间的关系：W = mg
g 是重力加速度，取 g= 9 . 8 m / s2
第九章 质点动力学基本方程
§9-1 动力学基本定律 §9-2 质点运动微分方程
§9-1 动力学基本定律
1、动力学基本定律（牛顿运动定律）
1687 Sir Isaac Newton (1642-1727) 发 表了著名的《自然哲学的数学原理》
牛顿三大定律，它描述了动力学最基 本的规律，是古典力学体系的核心
理论力学质点动力学的基本方程
F mg 1.96N
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
例11-4 粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水
平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。
为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在 0
时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n 。
已知:匀速转动。 0 时小球掉下。
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注]①减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。
②拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量,称为静拉力， 一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称为动拉力。
速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60 匀速
求: v, F
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 600 匀速
求: v, F
解:
v2
研究小球，m
F sin
0 F cos mg
其中， l sin ，解得
第十一章 质点动力学的基本方程
第十一章 质点动力学的基本方程
§11-1 动力学的基本定律
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律(力与加速度之间的关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小， 加速度的方向与力的方向相同。
ma F
质量是质点惯性的度量。 国际单位制：长度（m米），
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
质点相对运动动力学的基本方程
理论力学
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为
质点相对运动动 力学的基本方程
设质量为 m 的质点 M 对动坐标系 Oxyz （非惯性坐标系）做相对运 动，如图 17-1 所示。现在研究质点相对于动坐标系的运动与作用在 其上的力之间的关系。
取定坐标系 O1x1 y1z1（惯性坐标系），动坐标 系 Oxyz 相对于它的运动为牵连运动，对于定坐 标系 O1x1 y1z1，牛顿第二定律成立，即
maa F
（17-1）
式中，aa 为 M 点的绝对加速度； F 为作用在质点上的
合力。由运动学中加速度合成定理，有
图17-1
aa ae ar aC
（17-2）
式中，ae 为牵连加速度；ar 为相对加速度；aC 2 vr ，为科氏加速度。将 式（17-2）代入式（17-1），并整理，得
mar F mae maC
应用达朗伯原理中关于惯性力的概念，令
（17-3）
FIe FIC
mae maC
式中， FIe 称为牵连惯性力， FIC 称为科氏惯性力。
（17-4）
于是式（17-3）可写成与牛顿第二定律相类似的形式，即
mar F FIe FIC
即质点的质量与相对加速度的乘积，等于作用于质点的力与牵连惯性 力、科氏惯性力的矢量和，这就是质点相对运动动力学基本方程。
则 FIe FIC 0 ，于是式（17-5）成为
mar F
（17-9）
即此种情况下，质点相对运动动力学基本方程与牛顿第二定律一致。
也就是说，凡相对惯性坐标系做匀速直线平动的动坐标都是惯性坐标
系。式（17-9）也说明，当动坐标系做惯性运动时，质点的相对运动
不受牵连运动的影响，因此，发生在惯性坐标系中的任何力学现象，
（4）当质点相对于动参考系作等速直线运动时，有 ar 0 。于是式 （17-5）成为
质点动力学基本方程
y 质心C 质心 x F1 G F2 FA
l 解:(1)取活塞为研究对象; (2)受力分析,画受力图; (3)运动分析,写出运动方程;
x = OA cos ωt + l
求加速度
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
d x 由 m 2 = ∑ Fx dt
2
2
FA
F1
得
d 2x = OAω 2 cos ωt dt 2
此速度为质点在阻尼介质中运动的极限速度 极限速度.跳伞运 极限速度 动员着地时的速度即可由该式求出.
例5 发射火箭,求脱离地球引力的最小速度. 求 属于已知力是位置的函数的第二类问题. 解:属于已知力是位置的函数的第二类问题. 属于已知力是位置的函数的第二类问题 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示. 火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用.
dv dv , 再分离变量积分. =v dt ds
例4:求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的 : 运动方程.设质点受到的阻尼力Fr=-cv,c称为粘度系 数,简称粘度.初始时质点在介质表面上被无初速度 释放.
解:取质点M为研究对象,作用其上的力有重力和介质阻尼 力,均为已知,求质点的运动,属于动力学第二类问题. 在任意位置上,有 d 2x dx m 2 = mg c dt dt
于是 分离变量, 再积分一次 质点的运 动方程
即
e
g t v′
v′ v = v′
)
dx = v = v ′(1 e dt
g t v′
∫
x
0
dx = ∫ v ′(1 e
0
t
g t v′
)dt
g ′ 2 v′ t v x = v ′t + (e 1) g
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
第 11 章 质点动力学的基本方程(1)
d2x m dt 2
m dvx dt
0,
m
d2 dt
y
2
m dvy dt
eA cos
kt
26
例题
第二类问题：已知力求运动.
例 题 11-7
y
O
交流 电源
平板电容器
E x
v0
质点运
m
动轨迹
Fv
按题意，t 0 时，vx v0, vy 0, 以
此为下限，式
d2x m dt2
E x
v0
质点运
m
动轨迹
Fv
质量为m的质点带有 电荷e，以速度v0进入强度 按E=Acos kt 变化的均匀电 场中，初速度方向与电场 强度垂直，如图所示。质 点在电场中受力F=-eE作 用。已知常数A，k，忽略 质点的重力，试求质点的 运动轨迹。
2、力是时间函数的情形
25
例题
第二类问题：已知力求运动.
m dvx dt
0
和
d2 y m dt2
m dvy dt
eA cos
kt
的定积分分别为
dv vx v0 x
0
vy
0
dvy
eA m
t
cos kt dt
0
得
vx
dvx dt
v0
vy
dvy dt
eA sin kt mk
27
例题
第二类问题：已知力求运动.
例 题 11-7
( g v1 )t
v v1 e(2g v1 )t 1 v1 e( g v1 )t e( g v1 )t
11质点动力学基本方程
选取自然坐标系， 根据质点运动微分
方程，有
mat Fit : man Fin :
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg cos
O
n
l
FT
s mg
14
ms mg sin
m
s2 l
FT
mg
cos
解方程，并带入初始条件， 得钢绳拉力为
O
n
l
FT
FT
mg
3cos
2
mv02 l
当 = 0 ，即在初始位置时，钢绳具有最大拉力
s mg
FT max
mg
m
v02 l
此时，钢绳拉力有两部分：① 因重物重量引起的静拉力 mg ；②
因重物加速度引起的附加动拉力 mv02 / l 。 为了避免钢绳中产生过
大的附加动拉力，跑车的运行速度不能太大，并应平稳停启，避
10
mx 0
y
my
mg
积分两次，得到
x C1t C3
O
y
1 2
gt2
C2 t
C4
x
根据运动初始条件，求出积分常数，得物体的运动方程为
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt
2
从运动方程中消去时间参数 t ，即得物体的轨迹方程为
4
四、求解动力学问题的一般步骤 1）选取研究对象； 2）受力分析； 3）运动分析； 4）建立动力学方程； 5）解方程，求出未知量。
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代入质点运动微分方程，即可求得主动力的投影为：
Fx m&x& maw2 coswt, Fy m&y& mbw2 sinwt F Xi Yj maw2 coswti mbw2 sinwtj
mw2 (a coswti bsinwtj) mw2 (xi yj) mw2r
力 F 与矢径 r 共线反向，其大小正比于矢径 r 的模，方向恒指向椭圆中心。这种力称为有2心4 力。
d2y dt 2
Y
m
d2y dt 2
Z
x x(t)
( 式中 y y(t) 为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t)
20
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。F ,Fn ,Fb分别为力F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影)
11
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型：
1.质点： 2.质点系：
12
引言
一.研究内容：研究物体的机械运动与作用力之间的关系。
二.研究对象（力学模型）：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形式, 柱坐标形式等等。
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
21
§9-2 质点动力学两类问题
22
§9-2 质点运动的动力学分析
质点动力学两类问题
1.第一类：已知质点运动，求作用在质点上的力。（微分问题）
运动方程 求导 速度 求导 加速度
17
★ 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种 不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。
★ 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立 地发明了微积分，给出了二项式定理。
★ 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自 然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原 理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理 论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将 这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。
1
第三篇 动力学
第 九 章 动力学基础
第十 章 动量定理
第十一章 动量距定理
第十二章 动能定理
2
• 本篇重点： • 动力学基本定律,即牛顿三定律; • 质点动力学基本方程; • 动力学普遍定理（三大定理); • 动力学普遍定理的综合应用；
3
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
例题 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转 动,OA = AB = r。滑块B的运动方程为x = 2rcos 。如 滑块B的质量为m,摩擦及连杆AB的质量不计。求当 = wt = 0 时连杆 AB所受的力。
力
解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择含已知量和待求量的质点）。
②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。
③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。
⑤求解未知量。
23
例1 如图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系的质点组成的 系统。
质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
13
质点动力学
三.动力学分类：
质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。
已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
14
15
第9章 质点动力学基本方程 §9–1 动力学基本定律 §9–2 质点的运动微分方程
§9–3 质点动力学的两类基本问题
16
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家 中。在他出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改 嫁了，他不得不靠他的外祖母养大。
18
第9章 质点动力学
§9-1 质点运动的动力学建模
一、动力学基本定律
第一定律（惯性定律）： 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度关系定律）： 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大 小，加速度的方向与力的方向相同。
ma F
第三定律（作用与反作用定律）： 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相 反，沿同一直线且同时分别作用在这两个物体上。（静 力学公理四）
4
工程实际中的动力学问题
5
爆
工
破
程 实 际 中
时 烟 囱
的
怎
动
样
力 学 问
倒 塌
题
6
工程实际中的动力学问题
v1 F
v2
7
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
8
工程实际中的动力学问题
航空航天器 的姿态控制
9
工程实际中的动力学问题
高速列车的振动问题
10
道路转弯中的力学问题
例10.1 程为x＝a cos wt，y＝b sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运
v
动：由运动方程消去时间 t，得
M
x2 y2 a2 b2 1
j Fry
a O ix
x
质点作椭圆运动。将运动方程对时
b
间求两阶导数得：
&x& aw2 coswt, &y& bw2 sin wt
1661年牛顿进入了剑桥大学的三一学院，1665年 获文学学士学位。在大学期间他全面掌握了当时的数 学和光学。1665-1666的两年期间，剑桥流行黑热病， 学校暂时停办，他回到老家。这段时间中他发现了二 项式定律，开始了光学中的颜色实验，即白光由7种 色光构成的实验。而且由于一次躺在树下看到苹果落 地开始思索地心引力问题。在30岁时，牛顿被选为皇 家学会的会员，这是当时英国最高科学荣誉。
19
第十章 质点运动微分方程
§10-1 质点运动微分方程的形式
将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。 （F 可理解为作用在质点上的合力）
1.矢量形式
mddt22r F ( 式中r r(t) 为质点矢径形式的运动方程)
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
Байду номын сангаас
X
m