2020版高考数学一轮复习教程学案第32课__三角函数综合问题 Word版含解析
2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版
CABD2019-2020年高三数学第一轮复习教案三角函数新课标人教版一、知识要点：三角函数基本概念、三角函数的恒等变形(化简,求值,等式的证明)、三角函数的图象和性质1、三角变换基本解题方法：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理． 常用的技巧：升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法、利用倍角公式建立2α与α、α与的关系、角的配凑等2、对三角函数性质的考查总是与三角变换相结合．一般解题规律是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用换元法转化为对基本三角函数性质的研究．3、易错点：要注意正切函数定义域的限制；在三角变形过程中要注意自变量取值区间的变化，以防出现增根或失根；凡遇到参数或字母时，注意分情况进行讨论。
4、主要数学思想：化归思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想 二、主干知识点、基本方法回顾练习： 1. 若是第三象限的角，且，那么的值为（ C ）A. 23B. －23C. 223D. －2232. 已知函数在［，］上单调递增，则实数的取值范围是（ A ） A ．（0， B ．（0，2 C ．（0，1 D ．3．先将的图象沿轴向右平移个单位，再将图象上每一个点的横坐标伸长为原来的2倍，而保持它们的纵坐标不变，得到的曲线与的图象相同，则的解析式是（ C ） A ． B ． C ．D ．4．若为第二象限的角，则下列各式恒小于0的是（ B ） A ． B ． C ． D ． 5．已知，，则（ A ）A 、 2B 、 3C 、1D 、无法确定6. 如图是由三个相同的正方形相接，在△ABC 中，锐角∠ACB=，则=（C ） A ． B ． C ． D ．7．函数x x x y 2cos 3sin cos +=相邻两条对称轴的距离为（ C ）A ．2B ．C ．D ．8. 函数的递减区间是_____5,1212k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭_______，递增区间是______________，511,1212k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭9.函数()3sin()(0)53kx f x k π=+≠有一条对称轴为，则_5_______。
高考数学复习 第32课时第四章 三角函数-三角函数的图象名师精品教案 新人教A版
第32课时：第四章 三角函数——三角函数的图象一．课题：三角函数的图象二．教学目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理．三．教学重点：函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法． 四．教学过程： （一）主要知识：1．三角函数线：正弦线、余弦线、正切线的作法；2．函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径． （二）主要方法：1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2．给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（三）例题分析：例1．（1）将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3π，得到图象对应解析式是 （ A ）（2）若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x =11sin(2)3cos 23222x x π++=+． （3）先将函数sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应解析式为2sin(2)3y x π=--．例2．已知函数2()2cos sin()sin cos 23f x x x x x x π=+++（x R ∈），该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？解：21()2cos (sin )sin cos 22f x x x x x x x =++ ①由sin y x =的图象向左平移3π个单位得sin()3y x π=+图象，②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3y x π=+图象，③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3y x π=+图象，④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23y x π=++的图象．说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23y x π=++的形式；（2）若在水平方向先伸缩再平移，则要向左平移6π个单位了．例3．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6x π=对称，则ϕ的最小值为 （ A ）()A 512π ()B 116π ()C 1112π ()D 以上都不对 略解：平移后解析式为sin(22)y x ϕ=-，图象关于6x π=对称，∴2262k ππϕπ⋅-=+（k Z ∈），∴212k πϕπ=--（k Z ∈），∴当1k =-时，ϕ的最小值为512π． 例4．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><析式．解：由图得32,()2882T A πππ==--=，∴T π=，∴ω=∴2sin(2)y x ϕ=+，又∵图象经过点(,2)8π-，∴22sin()4πϕ=-+，∴242k ππϕπ-=+（k Z ∈），∴324k πϕπ=+，∴函数解析式为32sin(2)4y x π=+． （四）巩固练习：1．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a =1-；2．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A ωϕπ>><<）的最小值为2-，周期为23π，且它的图象过点(0,，求此函数解析式．（52sin(3)4y x π=+或72sin(3)4y x π=+）。
高三数学一轮复习基础版：第四章 三角函数32 PDF版 _2
的图象,由题意得g(0)=0,所以φ-
3
=kπ,即φ=kπ+
3
(k∈Z),
又因为0<φ<π,所以φ= 3 .
2. (2014·苏州暑假调查)已知函数f(x)=3sin（ωx- 6 ）(ω>0)和g(x)=2cos(2x+
φ)(0<φ<π)的图象的对称轴完全相同,那么g 3 的值是
.
3.
函数f(x)=sin
2x-
4
在区间
0,
2
上的最小值是
.
2 [答案]- 2
4. 函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是
.
5 [答案]π, 2
[温馨提醒] 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第
53-54页).
1 (2014·福建卷)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)- 2 .
2
(1) 若0<α< 2 ,且sinα= 2 ,求f(α)的值;
(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调增区间.
[思维引导](1) 根据sinα求出cosα,即可求出f(α)的值;(2) 先将函数转化
为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求出周期和单调区间.
构成的一次分式函数,考查三角函数与一次分式函数的性质,可以利用sinx的有界性
ax b 和一次分式函数y= cx d 的有关性质求解.②利用(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,采用
1-t 2 换元法令t=sinx-cosx,从而sinxcosx= 2 ,然后再化简考虑,转化为函数问题求解.
【高考直通车】2020届高考数学一轮复习 第32课三角函数的图象与性质课件 精品
是正弦函数与反比例函 数复合而成
（3） y sin x cosx(sin 2x cos2x);
（4） y cos2 x sin x 1, x [ , 3 ]
34
是 y Asin(x ) k
形式
是余弦函数与二次函数 复合而成
【变式】：
设函数 f (x) sin2 x a cosx 5 a 3 (x [0, ])
问题 1：解析式有意义需满足什么条件？
问题 2： sin x 1 与 tan x 1的解集分别为多少？ 2
问题 3: 解集求出之后，如何求它们的交集？
例 2：已知函数 f (x) 2sin x cos x 2 3 sin2 x 3
44
4
（1） 求函数 f (x) 的最小正周期及最值；
（2） 令 g(x) f (x ) ，判断函数 g(x) 的奇偶性，并说明理由
（2）含 sinx,cosx,tanx 的复合函数形式 (3)易元变换，整体思想 求 解 含 sinx+cosx,sinxcosx 形 式 ， 比 如 求 函 数
y sin x cosx sin x cosx 。
另外 ，还要注意 两个方面：（ 1）求值域 不可忽略定 义域，脱离定 义域，研究函数是无意义的 （2）换元要注意变量的取值范围。
法一：利用三角函数图象如何求解 法二：利用三角函数线如何求解
范例导析
例 1、求下列函数的定义域：
（3） y cos2 x 3 cos x 1 ;
2
2
问题 1：解析式有意义需满足什么条件？
问题 2： cos x 是什么范围？
问题 3：x 的范围怎么求？
例 1、求下列函数的定义域：
（4） y sin x 1 1 2 1 tan x
2019-2020学年高三数学第一轮复习三角函数学案 理 新人教版.doc
2019-2020学年高三数学第一轮复习三角函数学案 理 新人教版5. 求证：已知)(x f ＝2sin x cos x ＋cos 2x（1）求)4(πf 的值． （2）设∈α(0，π)，)2(αf ＝22，求sin α的值6. 已知函数++=)6sin()(πx x f +-)6sin(πx a x +cos (a ∈R ，a 为常数) (1) 求函数f (x )的最小正周期；(2) 当]2,2[ππ-∈x 时，f (x )的是大值为1，求a 的值．7．已知2π<β<α<43π，cos (α－β)＝1312sin(α＋β)＝－53，求sin2α的值．8．已知函数],2[cos 2)6sin(2)(πππ∈-+=x x x x f (1) 若54sin =x ，求函数f (x )的值； (2) 求函数f (x )的值域．9．求值： sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos (θ＋15°)．10. 已知α,β∈(0,π),且tan α,tan β是方程x 2－5x+6=0的两根.（1）求α+β的值.（2）求cos(α－β)的值.11．设α、β均为锐角，且αβsin sin ＝cos (α＋β)，求tan β的最大值．12. 在⊿ABC 中，，AC=3，sinC=2sinA(I) 求AB 的值：(II) 求sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值小结归纳1．三角函数式的化简、求值、证明等是三角变形常见的题型，三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程。
在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出特征，从中找到解题的突破口。
对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：2α＋β=α+ (α＋β)等．2．在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 word版含答案
第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
2020年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――三角函数的图像与性质
2020年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）三角函数的图象与性质一.【课标要求】1. 能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图像，了解三角函数的周期性；2. 借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0 , 2 n,正切函数在（一n2, n2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3. 结合具体实例，了解y=Asin（ wx+$ ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin （wx+$ ）的图像，观察参数A, w 对函数图像变化的影响.二.【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。
在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法预测2020年高考对本讲内容的考察为：1. 题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2. 热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=Asin （wx+ $ ）的图象及其变换；三.【要点精讲】1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、f 1|Ji1N\ \ L2.三角函数的单调区间:ysinx 的递增区间是2k -，k2 (k Z)，递减区间是2k ,k(k Z),y tanx 的递增区间是 k -, k - (k Z),2 23.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0, 0)2最大值是A B ,最小值是B A ,周期是T,频率是f,相位是 x ,2初相是 ；其图象的对称轴是直线 x k (k Z)，凡是该图象与直线 y B 的2交点都是该图象的对称中心 .4.由y = sinx 的图象变换出y = sin( co x + )的图象一般有两个途径， 只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
2020年高考数学一轮复习教案(全国通用版)-三角函数的图像与性质
一、自我诊断 知己知彼1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,4ππB.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,82ππC. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,8ππD.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ[答案] D[解析] 由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ.2．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．A ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数 [答案] C[解析] f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x . ∴f (x )是最小正周期为π的奇函数．3．由y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝)63sin(2π-x 的图象，则f (x )为( )A ． )623sin(2π+xB ． )66sin(2π-xC ．)323sin(2π+xD ．)36sin(2π+x[答案] B[解析] y ＝)63sin(2π-x 横坐标变为原来的21倍得到)66sin(2π-x ，向右平移3π个单位得到)66sin(2π-x4．已知函数f (x )＝A sin(ω x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3 [答案] D[解析]由图可知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.5．已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx －1(ω>0)的图象向右平移2π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A ．3 B.32 C.43 D.23 [答案] A[解析]将f (x )的图象向右平移2π3个单位后得到图象的函数解析式为2sin[ω(x －2π3)＋π6]－1＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-632πωπωx －1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z .因为ω>0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 二、温故知新 夯实基础1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋πk ，k ∈Z }值域[－1,1][－1,1]R单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z ) 上递减在]2,2[πππk k +(k ∈Z ) 上递增；在[πππk k 2,2+](k ∈Z ) 上递减在(－π2＋2k π，π2+2k π)(k ∈Z )上递增；最值当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1当x ＝2k π(k ∈Z )时， y max ＝1； 当x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (πk ，0)(k ∈Z ) (π2＋πk ，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z )对称轴方程 x ＝π2＋πk (k ∈Z )x ＝πk (k ∈Z )周期2π2ππ2．y＝A sin(ω x＋φ)的有关概念y＝A sin(ω x＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πω x＋φφ3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：三、典例剖析思维拓展考点一三角函数的定义域例1..函数f(x)＝－2tan(2x＋π6)的定义域是____________．[答案]{x|x≠kπ2＋π6，k∈Z}[解析]由2x＋π6≠π2＋ k，k∈Z，得x≠kπ2＋π6，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠kπ2＋π6，k∈Z}．[易错点]忽略正切函数的定义域要求[方法点拨]熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域要求例2.不等式3＋2cos x≥0的解集是________.[答案] ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,265265ππππ[解析] 由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32， 由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上， 不等式cos x ≥－32的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-6565ππx x ，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,265265ππππ.[易错点] 忽略周期 [方法点拨]（1）结合函数图像解不等式 （2）利用单位圆解不等式 考点二 三角函数的最值例1.函数f (x )＝15sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πx 的最大值为( )A.65 B.1 C.35D.15[答案] A[解析] cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πx ＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-32ππx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ，则f (x )＝15sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ＝65sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ，函数的最大值为65.[易错点] 忽略了利用诱导公式将角度进行合理转化[方法点拨] 常见正弦型函数、余弦型函数、正切型函数值域： （1）f (x )＝A sin(ω x ＋φ)，)(R x ∈，值域],[A A - （2）f (x )＝A cos(ω x ＋φ)，)(R x ∈，值域],[A A - （3）f (x )＝A tan (ω x ＋φ)，))2,2((ππππk k x ++-∈，值域R例2．函数f (x )＝3sin(2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( )A ．[－32，32]B ．[－32，3]C ．[－332，332]D ．[－332，3] [答案] B[解析]当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，即f (x )的值域为[－32，3]． [易错点] 忽略x ∈[0，π2]范围为题[方法点拨] 对于三角函数的值域问题一定要结合函数本身的定义域来进行求解和判断，做到范围清晰，不重不漏.考点三 三角函数的性质例1．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为______________． [答案] [πk ＋π8，πk ＋5π8](k ∈Z )[解析] 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π (k ∈Z )，解得πk ＋π8≤x ≤πk ＋5π8 (k ∈Z )，所以函数的单调减区间为[πk ＋π8，πk ＋5π8](k ∈Z )． [易错点] 忽略了(π4－2x )为减函数[方法点拨] 熟练掌握函数的图像和性质，注意复合函数单调性同增异减原则例2．若f (x )＝2sin ω x ＋1 (ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是__________．[答案] (0，34][解析] 方法一 由2k π－π2≤ω x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得f (x )的增区间是[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，k ∈Z .因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．所以－π2≥－π2ω且2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]．方法二 因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0.所以ω x ∈[－ωπ2，2πω3]， 又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]， 则⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，得0<ω≤34.[易错点] 忽略[－π2，2π3]时函数增区间的子区间[方法点拨] 根据正弦函数的性质，确定函数在包含原点的增区间，给出的区间是函数增区间的子区间，从而求出字母ω的范围例3.把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<2πϕ的图象向左平移π2个单位长度之后，所得图象关于直线x＝π4对称，且f (0)<f ⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ2，则φ＝( )A.π8 B.3π8C.－π8D.－3π8[答案] C[解析] 把函数f (x )＝2sin(x ＋2φ)的图象向左平移π2个单位长度之后，得y ＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛++ϕπ22x ＝2cos(x ＋2φ)＝g (x )的图象，根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得g (0)＝g ⎪⎭⎫⎝⎛2π，即2cos 2φ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1. 又f (0)<f ⎪⎭⎫⎝⎛-ϕπ2，故有2sin 2φ<2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ2＝2cos φ，即sin φ<12，结合选项，φ＝－π8.[易错点] 忽略平移之后诱导公式的运用使计算简便[方法点拨] 图像平移是横坐标的左右平移和纵坐标的上下平移，注意方向和符号例4．已知函数f (x )＝2sin(ω x ＋φ)，对于任意x 都有)6(x f +π＝)6(x f -π，则)6(πf 的值为________． [答案] 2或－2[解析] ∵)6(x f +π＝)6(x f -π， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ω x ＋φ)的一条对称轴．∴)6(πf ＝±2.[易错点] 忽略x ＝π6是函数对称轴[方法点拨] 熟练掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质例5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ω x ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )． A.π4 B.π3 C.π2D.3π4[答案] A[解析] 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎪⎭⎫⎝⎛-445ππ＝2π，故ω＝1， ∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝πk ＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝πk ＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.[易错点] 忽略函数的周期[方法点拨] 通过函数的对称轴求出函数的周期是常见题型，然后利用对称轴以φ及的范围求解即可例6.如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 [答案] A[解析] 由题意得3cos(2×4π3＋φ)＝3cos(2π3＋φ＋2π)＝3cos(2π3＋φ)＝0，∴2π3＋φ＝πk ＋π2，k ∈Z ，∴φ＝πk －π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6. [易错点] 计算错误[方法点拨] 利用函数的对称中心求出φ的表达式，最后确定最小值考点四 函数y ＝A sin(ω x ＋φ)的图像及应用例1．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A ．y ＝sin(2x －π10) B ．y ＝sin(2x －π5) C ．y ＝sin(12x －π10) D ．y ＝sin(12x －π20)[答案] C[解析]y ＝sin x π10−−−−−→右移个单位y ＝sin(x －π10)―――――→横坐标伸长到原来的2倍y ＝sin(12x －π10)． [易错点] 图像的伸缩变换[方法点拨] 图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ω x ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”例2.函数f (x )＝A sin(ω x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πxB.f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πxC.f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+122πxD.f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πx [答案] B[解析] 由图象可知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2；125π=x Θ时取得最大值2，)1252sin(22ϕπ+⨯=∴ Z k k ∈-=∴,32ππϕ,2πϕ<Θ3πϕ-=∴, )32sin(2)(π-=∴x x f[易错点] 忽略φ的范围，思路不清[方法点拨] 求y ＝A sin(ω x ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤：(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ω x ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ω x ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ω x ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ω x ＋φ＝3π2；“第五点”为ω x ＋φ＝2π.四、举一反三 成果巩固 考点一 三角函数的定义域 1.函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为 .[答案] ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤<Z k k x k x ,232πππ[解析] 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z ，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤<Z k k x k x ,232πππ.考点二 三角函数的最值1．函数y ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-36ππx (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )．A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3[答案] A[解析] ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-36ππx ≤1，∴－3≤2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-36ππx ≤2.∴函数y ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-36ππx (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.2．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ． []1,1- B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,45 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,45 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-451， [答案] C[解析] (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,45.考点三 三角函数的性质1.函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-32πx 的单调减区间为________．[答案] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k ，k ∈Z [解析] 已知函数可化为f (x )＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx ，欲求函数的单调减区间，只需求f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的单调增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得πk －π12≤x ≤πk ＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππk k ()Z k ∈．2.设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx ，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2单调递减[答案] D[解析] 函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上先递减后递增，D 选项错误.3.若函数y ＝cos(ω x ＋π6) (ω∈N *)图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 [答案] B[解析] 由题意知ω6π＋π6＝πk ＋π2 (k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ω min ＝2. 考点四 函数y ＝A sin(ω x ＋φ)的图像及应用1.已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝)322sin(π+x ，则下面结论正确的是( )A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 [答案] D[解析]易知C 1：y ＝cos x ＝)2sin(π+x ，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝)322sin(π+x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2)12(2sin ππx ＝)322sin(π+x 的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. 2．已知函数f (x )＝A cos(ω x ＋θ)的图象如图所示，f (π2)＝－23，则f (－π6)＝________.[答案] －23[解析] 由题图知，函数f (x )的周期T ＝2(11π12－7π12)＝2π3， 所以f (－π6)＝f (－π6＋2π3)＝f (π2)＝－23.3.设偶函数f (x )＝A sin(ω x ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．[答案]34[解析]由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ω x ， 又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos π x ，故f (16)＝12cos π6＝34.4．若将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． [答案] 3π8[解析] ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋π4－2φ)，又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝ k ＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )． 当k ＝－1时，φ取得最小正值3π8. 五、分层训练 能力进阶 【基础达标】1．函数y ＝2sin x －1的定义域为______________． [答案] [2k π＋π6，2k π＋56π]，k ∈Z [解析] 由2sin x －1≥0，得sin x ≥12， ∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋56π，k ∈Z2．已知函数f (x )＝sin(ω x ＋π4) (ω>0)的最小正周期为π，则f (π8)等于( )A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12 [答案] A[解析] ∵T ＝π，∴ω＝2，∴f (π8)＝sin(2×π8＋π4)＝sinπ2＝1. 3．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A ．(－π4，0)B ．(0，π2)C ．(π2，3π4)D ．(3π4，π) [答案] B[解析] 由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为[πk ，πk ＋π2]，k ∈Z ，故只有B 项满足． 4．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减 C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π [答案] C[解析] 函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错误；在区间(0，π3)上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan(2×π6－π3)＝0，∴(π6，0)为其图象的一个对称中心，故选C. 5.函数y ＝cos 2x －2sin x 的最大值与最小值分别为( ) A.3，－1 B.3，－2C.2，－1D.2，－2[答案] D[解析] y ＝cos 2x －2sin x ＝1－sin 2x －2sin x ＝－sin 2x －2sin x ＋1，令t ＝sin x ，则t ∈[－1，1]，y ＝－t 2－2t ＋1＝－(t ＋1)2＋2， 所以y max ＝2，y min ＝－2.6.把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( ) A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4) D ．y ＝sin(2x ＋π4)[答案] A[解析]由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x . 【能力提升】1．已知()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A ，若存在实数12,x x ，使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A.2017πB.22017π C. 42017π D. 4034π[答案] B [解析]()sin 2017cos 201763f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11πcos2017cos20172sin 2017226x x x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭所以12122π2π2,2220172017T A x x A x x =-≥=∴-≥⨯ ,选B. 2.已知函数f (x )＝sin(x ＋π6)，其中x ∈[－π3，a ]，若f (x )的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是________． [答案] [π3，π][解析] ∵x ∈[－π3，a ]，∴x ＋π6∈[－π6，a ＋π6]， ∵x ＋π6∈[－π6，π2]时，f (x )的值域为[－12，1]， ∴由函数的图象知π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π.3.已知函数f (x )＝sin(ω x ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x的集合为( )A ．{x |x ＝πk －π6，k ∈Z }B ．{x |x ＝πk －π3，k ∈Z } C ．{x |x ＝2k π－π6，k ∈Z } D ．{x |x ＝2k π－π3，k ∈Z } [答案] B[解析]根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝πk (k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋πk (k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值． 4.已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m 的取值范围是__________． [答案] [2π9，5π18][解析] 画出函数的图象．由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]， 只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]．5.将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后得到函数y ＝f (x )的图象，已知函数y ＝f (x )与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________. [答案] π6[解析] 依题意，f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πx ＝cos x .又y ＝f (x )与y ＝sin(2x ＋φ)的图象有一个横坐标为π3的交点. ∴cos π3＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32，即sin π6＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32， ∴π6＝2π3＋φ＋2k π，k ∈Z 或π6＋2π3＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π2－2k π，k ∈Z 或φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，且0≤φ≤π，则φ＝π6.6.已知函数f (x )＝sin(ω x ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤)3(πf 成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( )A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,32π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3π C.⎪⎭⎫⎝⎛0,32π D.⎪⎭⎫⎝⎛0,35π [答案] A[解析]由f (x )＝sin(ω x ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12.因为f (x )≤)3(πf 恒成立，所以f (x )max ＝)3(πf ，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321πx .令12x ＋π3＝πk (k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,322ππk (k ∈Z )， 当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-0,32π。
高考数学一轮复习备课手册：第32课三角函数综合问题
第32课 三角函数综合问题一、考纲要求1.能灵活运用三角公式进行化简、求值、求范围；2.能综合应用代数中的函数、方程、不等式等知识与方法解决与三角相关的问题。
二、知识梳理1．在ABC ∆中，= ，=，且2||=a ，3||=b ，3-=⋅，则C cos = ，AB = ．【教学建议】本题是课本习题的改编，考查三角函数与向量简单的综合应用。
教学时先让学生回忆向量的数量积公式，强调向量夹角必须共起点，求出C cos 后，利用余弦定理求出AB 长。
2．函数)12(cos )(2π+=x x f ，x x g 2sin 211)(+=.若0x x =是函数)(x f y =图像的一条对称轴，则)(0x g 的值为 ．【教学建议】本题主要考查三角函数的图像与性质，及三角恒等变形。
教学时，先让学生求出)(x f 的对称轴，带入)(x g 表达式，转化为三角求值题，此题要注意分类讨论，不能漏解。
三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
2、结合课件点评。
必要时可借助实物投影，有针对性地投影几位学生的解答过程。
题1：函数2()(sin cos )f x x x =-的最大值为___________.【点评】解析式有何特点？平方展开后出现一个定值，另一个表达式怎么处理？，有没有定义域的范围限制？题2：设(),0,αβπ∈，且()51sin ,tan 1322βαβ+==，则cos α= ．答案为：1665-. 【点评】本题主要考察基本关系式、和角公式与角的代换，角范围的界定。
问题1：求cos α的基本思路是什么？ 交流：由1tancos ,sin 22βββ=⇒，再由cos cos[()]ααββ=+-展开求解. 问题2：因为(),0,αβπ∈，1tan 22β=我们知道0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 而由()()512sin cos 1313αβαβ+=⇒+=±，符号如何确定？还是二者均可以？题3：已知角,,αβγ构成公差为3π的等差数列，若2cos 3β=-，则cos cos αγ+= .答案为：23-.问题：探求cos cos αγ+的基本思路是什么？ 题4：设函数)(x f =θθθtan 2cos 33sin 23++x x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ，则导数)1('f 的取值范围是 .【点评】指导学生认真读题，并将题中条件作初步的转化：求导数，确定)1('f 的函数解析式，进而转化为以θ自变量的三角函数)1('f =θθθcos 3sin )(+=g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πθ的值域问题。
(word完整版)高三一轮复习、三角函数教案
富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:1审核人签字:3年级：高三(文) 科目：数学授课人:富县高级中学集体备课教案5审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:7审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:9审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:COS a ；(4)sin a± e os 2sin a±n .4.函数f( a=) acos oF bsin a (a b 为常数),可化为 f( a 寸 a2+ b2 sin( a f( e) a2+ b2 cos(方$)其中$可由a , b 的值唯一确定.二：题型归类 深度剖析 题型一：三角函数式的化简与求值1 t a【例1】(1)化简：+ atan 2tanz9, sin a 3 = I ，求 cos( a B 的值.题型三：三角函数的给值求角1 II【例I 】 已知cos %=-，cos(尸3 e —,且O v 37 14v aV n ，求 3.题型四：三角变换的综合应用1【例4】 已知f(x) =1 + sin2x —tanxn n2sin x + 4 sin x — 4 .(1) 若 tan = 2，求 f( 0的值； (2) 若 x €，n ，求f(x)的取值范围.归纳小结：(1) 拆角、拼角技巧：2 a= ( aF 3F ( — 3，a= ( a、a+ 3 a — 3 a — 3 3 a+ 3— 3 3= 2 - 2 ， 2 = a+ 2 - 2F 3 .(2) 化简技巧：切化弦， “1的代换等.a-• 1 + tan (2)求值：［2si n50 ° +sinlO (°tanlO ° \2sin280题型二：三角函数的给值求值 n【例2】已知0V 3V 2< aVn,且 cos a —㊁审核人签字：年月日富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:过程1(3) S = 尹 + b+ c)(r为内切圆半径).1(4) 设p = 2(a+ b + c),则S=寸p p—a p —b p—c .4•解二角形问题一般可用以下几步解答：第一步：利用正弦定理或余弦定理实现边角互化(本题为边化角)第二步：三角变换、化简、消兀，从而向已知角(或边)转化第三步：代入求值第四步：反思回顾，查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确二：题型归类深度剖析题型一：利用正弦定理解三角形【例1 】在厶ABC 中，a=^/3, b=^, B = 45° 求A, C 和边c.题型二：利用余弦定理解三角形【例2】在厶ABC中，a、b、c分别是角A、B、cosB bC的对边，且cosC=—2a+ c.(1) 求角B的大小；(2) 若b =浙3, a+ c= 4,求厶ABC的面积. 题型三：正弦定理、余弦定理的综合应用【例3】已知a, b, c分别为△ ABC三个内角A, B , C 的对边，acosC+Q3asinC—b—c = 0.(1) 求A;(2) 若a= 2,A ABC的面积为寸3,求b, c.归纳小结：(1)已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角•可能有一解、两解、无解.(2)判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.审核人签字:富县高级中学集体备课教案年级：高三(文) 科目：数学授课人:审核人签字：年月日。
2020年高考数学第一轮复习-第三单元-三角函数、解三角形(教案含答案)
2020年高考数学第一轮复习第三单元三角函数、解三角形1.编写意图三角恒等变换公式是解决三角函数问题的主要工具,本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合.在编写中注意到如下的几个问题:(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度,加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习的力度,控制了选题的难度;(2)考虑到三角函数知识的工具性,适当加入了三角函数在各个方面应用的一些题目;(3)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理解三角形的技巧和方法,以基本的选题讲解如何应用这两个定理解三角形,并在第23讲中着重讲解对其的应用,以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.2.教学建议鉴于该部分知识的重要性,以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法,教师在引导学生复习该部分时,要注意如下几个问题:(1)进行考情思路分析,使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础,在复习中不要追求难题、偏题和怪题,只要把基础题复习透彻即可.(2)由于该部分的选题以基础为主,其中绝大多数问题学生都能独立完成,在教学中要充分发挥学生的主体地位,尽量让学生独立完成包括例题在内的题目,教师的职责在于对方法和规律的总结,在于引导.(3)在复习中要对照考试说明,关注一些公式的导出过程,如“能利用单位圆中的三角函数线推导出π±α,±α的正弦、余弦、正切的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角和差的余弦公式”等.(4)正弦定理、余弦定理是考试说明要求掌握的内容,是最高级别的要求,在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明,然后通过例题讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理,并能利用其解有关三角形的题目.(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化,在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想,教师在引导学生复习时,要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向.正弦定理、余弦定理本身就是一个方程,在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题.(6)解三角形的实际应用题也常出现在高考中.解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离,通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理,把求解目标纳入到一个新的可解三角形中,再根据正弦定理和余弦定理加以解决,教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生,这是解三角形实际应用问题的本质所在.3.课时安排该部分共8讲,2个小题必刷卷,1个解答必刷卷.每讲建议1课时完成,必刷卷建议1课时完成,建议共9课时完成复习任务.第16讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试说明 1.任意角、弧度制(1)了解任意角的概念和弧度制的概念.(2)能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2014·全国卷Ⅰ]如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为()A BC D[解析]C根据三角函数的定义,点M(cos x,0),△OPM的面积为|sin x cos x|,在直角三角形OPM 中,根据等积关系得点M到直线OP的距离f(x)=|sin x cos x|=|sin 2x|,且当x=时上述关系也成立,故函数f(x)的图像为选项C中的图像.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)端点(2)正角负角象限角(3){β|β=α+k·360°,k∈Z}2.(1)半径长(2)|α|r3.(1)y x(2)余弦线正弦线正切线对点演练1.{α|α=k·360°+120°,k∈Z}[解析]终边在射线y=-x(x<0)上的最小正角为120°,所以与其终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+120°,k∈Z}.2.(1)π(2)15[解析](1)67°30'=67.5×=(rad);(2)=×°=15°.3.1.2[解析]根据圆心角弧度数的计算公式得,α==1.2.4.[解析]r==,所以sin α==,cos α=-=-,tan α==-2,所以sin α-cos α+tan α=.5.或π[解析]因为0<A<π且sin A=,所以A=或A=π.6.∪[解析]由题意得⇒在[0,2π]内α的取值范围为∪.7.±2[解析]∵角α的终边落在直线y=-3x上,在角α的终边上取一点P(x0,-3x0).当x0<0时,P在第二象限,∴-=-=1+1=2.当x0>0时,P在第四象限,∴-=--=-1-1=-2.8.80π[解析]72°= rad,∴S扇形=αr2=××202=80π(cm2).【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)观察集合M与N即可,关键是比较集合M中的与集合N中的的取值情况;(2)分别写出两块阴影部分对应的角的集合,再求它们的并集.(1)B(2){α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z}[解析](1)M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),k∈Z,2k+1是奇数;N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=45°·(k+1),k∈Z,k+1是整数.综上知必有M⊆N. (2)由题意可得所求集合为{α|k·360°+45°<α<k·360°+135°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°<α<k·360°+315°,k∈Z}={α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k ∈Z}.变式题(1)-30°+k·360°,k∈Z(2)一或三[解析](1)因为角α的终边与-30°角的终边关于直线x+y=0对称,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.(2)∵角α的终边落在x轴的上方,∴k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z,∴k·180°<<90°+k·180°,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,有n·360°<<90°+n·360°,可知为第一象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,有n·360°+180°<<270°+n·360°,可知为第三象限角.例2[思路点拨](1)找出弧长与半径,用弧度制公式求解;(2)将面积用半径r表示出来,用二次函数法求最大值,找出面积取得最大值时的弧长和半径,求得圆心角的弧度数.(1)2+2(2)2[解析](1)设圆的半径为r,则圆内接等腰直角三角形的斜边长为2r,一条直角边长为r,所以周长为2r+2r,所以圆弧所对圆心角的弧度数是=2+2.(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=18,即l=18-2r,所以扇形面积S=l·r=(18-2r)·r=-r2+9r,当r=时,S取得最大值,此时l=18-2r=9,所以圆心角的弧度数是==2.变式题(1)C(2)[解析](1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角,故选项A,B不正确;又因为拨快10分钟,故应转过的角的绝对值大小为周角的,即为-×2π=-.(2)设圆的半径为r,则矩形的对角线长为2r,设矩形的宽为x,则(2x)2+x2=(2r)2,所以x=,所以,所求圆心角的弧度数为=.例3[思路点拨](1)依据对数函数的图像特征确定所经过的定点,再利用正弦、余弦函数的定义求解;(2)依据sin α=可设角α终边上的某一符合条件的点,巧用定义求解.(1)D(2)[解析](1)∵函数y=log a(x-3)+2的图像过定点P(4,2),且角α的终边过点P,∴x=4,y=2,r=2,∴sin α=,cos α=,∴sin α+cos α=+=.(2)根据三角函数的定义不妨设角α的终边上一点P(x,1),|OP|=3,因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以角β的终边一定经过点P'(-x,1),|OP'|=3,所以sin β=.例4[思路点拨](1)根据题意列出有关不等式,依据角在不同象限的符号情况进行分析;(2)分别对角在第二和第四象限进行讨论求解.(1)C(2)0[解析](1)由题意知sin θ·cos θ>0且-cos θ≥0,由sin θ·cos θ>0,知θ为第一、三象限角,又由-cos θ≥0,即cos θ≤0知θ为第二、三象限角或θ在x轴的负半轴上,所以可知θ为第三象限角.所以选C.(2)∵角α的终边落在直线y=-x上,∴角α的终边位于第二或第四象限.当角α的终边位于第二象限时,+=+=0;当角α的终边位于第四象限时,+=+=0.∴+=0.例5[思路点拨]利用单位圆上的三角函数线分别作出cos x=及sin x=对应的三角函数线,再结合函数的意义求定义域.x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z[解析]由题意得,自变量x应满足即则如图中阴影部分所示,不等式组的解集为x2kπ+≤x<2kπ+,k∈Z.强化演练1.A[解析]依题意,点Q在y轴正方向上,所以α=+2kπ,k∈Z,所以sin α=1.故选A.2.-<a<-[解析]由cos α>sin α得>,解得a<-.又因为P(1-2a,2+3a)在第一象限,所以解得-<a<.综上知-<a<-.3.α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z[解析]作出直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为α2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z.【备选理由】例1为角的集合表示;例2为三角函数定义的应用,重点是旋转后点B的坐标的确定;例3为利用三角函数线求解不等式.1[配合例1使用]如图,写出终边落在直线y=x上的角的集合(用弧度制表示).解:在0°~360°范围内,终边落在直线y=x上的角有两个,分别是60°和240°,即在[0,2π)内终边落在该直线上的角是,π.因此,所有与终边相同的角的集合是S=αα=2kπ+,k∈Z,所有与π终边相同的角的集合是T=αα=2kπ+,k∈Z.所以,终边落在直线y=x上的角的集合为S∪T=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=2kπ+,k∈Z=αα=2kπ+,k∈Z∪αα=(2k+1)π+,k∈Z=αα=kπ+,k∈Z.2[配合例3使用]已知A(x A,y A)是单位圆(圆心为坐标原点O,半径为1)上任一点,将射线OA 绕点O逆时针旋转到OB,OB交单位圆于点B(x B,y B),已知m>0,若my A-2y B的最大值为3,则m=.[答案]+1[解析]设∠xOA=α,由三角函数的定义,得y A=sin α,y B=sinα+,则my A-2y B=m sinα-2sinα+=(m-1)sin α-cos α,其最大值为=3,又m>0,∴m=+1.3[配合例5使用]在(0,2π)内,使得sin x>cos x成立的x的取值范围是()A.∪B. C.D.∪[解析] C当x ∈,π时,sin x>0,cos x≤0,显然sin x>cos x成立;当x ∈0,时,如图,OA 为x的终边,此时sin x=|MA|,cos x=|OM|,sin x≤cos x;当x ∈,时,如图,OB为x的终边,此时sin x=|NB|,cos x=|ON|,sin x>cos x.同理当x ∈π,时,sin x>cos x;当x ∈,2π时,sinx≤cos x.故选C.第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式考试说明 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅲ]若tan α=,则cos2α+2sin 2α=()A.B.C.1D.[解析] A cos2α+2sin 2α====.2.[2013·全国卷Ⅱ]设θ为第二象限角,若tanθ+=,则sin θ+cos θ=. [答案]-[解析]由tan=得=⇒tan θ=-⇒cos θ=-3sin θ,由sin2θ+cos2θ=1⇒10sin2θ=1,θ在第二象限⇒sin θ=,cos θ=-,∴sin θ+cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·北京卷]在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=.[答案][解析]由题意可知角α在第一或第二象限,若角α与角β的终边关于y轴对称,则β=2kπ+π-α(k∈Z),所以sin β=sin(π-α)=sin α=.2.[2016·江苏卷]在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.[答案] 8[解析]方法一:∵sin A=2sin B sin C,sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C,∴sin B cos C+cos B sin C=2sin B sin C,两边同除以cos B cos C,可得tan B+tan C=2tan B tan C,tan A tan B tan C=-tan(B+C)tan B tan C=-·tan B tan C=,由三角形为锐角三角形得tan B>0,tan C>0,tan A=>0,即tan B tan C-1>0.令tan B tanC-1=t(t>0),则tan A tan B tan C==2t++2≥8,当t=1,即tan B tan C=2时取等号.方法二:同方法一可得tan B+tan C=2tan B tan C,又tan A+tan B+tan C=tan A+(1-tan B tan C)·tan(B+C)=tan A-tan A+tan A tan B tan C=tan A·tan B tan C,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C≥2⇒tan A tan B tan C≥8,当且仅当tan A=2tan B tan C=4时取等号.【课前双基巩固】知识聚焦1.(1)sin2α+cos2α=1(2)=tan α,α≠kπ+(k∈Z)2.-sin α-sin α-cos α-cos α-sin αtan α-tan α对点演练1.-[解析]由于α是第四象限角,故sin α=-=-.2.-[解析]由=-5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α可得,=-5,得tan α=-.3.[解析] cos=cos=-cos=sin α=.4.[解析]原式=-sin(120°+3×360°)cos(210°+3×360°)=-sin 120°·cos210°=-sin(180°-60°)·cos(180°+30°)=sin 60°·cos 30°=×=.5.-[解析]∵=-,∴sin A=-cos A,∵A为△ABC的内角,∴sin A>0,∴cos A<0.又sin2A+cos2A=1,∴求得cos A=-.6.-[解析] cosπ+α=sin α=-,且α是第四象限角,所以cos α=,所以cos(-3π+α)=-cos α=-.7.[解析]由=5,知cos α≠0,等式左边分子分母同时除以cos α,得=5,得tan α=2,所以sin2α-sin αcos α===.8.{2,-2}[解析]当k为偶数时,A=+=2;当k为奇数时,A=-=-2.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)根据三角函数的符号和诱导公式求解;(2)整体将α-15°,105°-α转化为含75°+α的角的形式,再利用诱导公式求解.(1)A(2)D[解析](1)f(α)====cos α,则f=cos=.(2)∵cos(75°+α)=,∴sin(α-15°)+cos(105°-α)=sin[(α+75°)-90°]+cos[180°-(α+75°)]=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-.变式题(1)B(2)[解析](1)sin 300°+tan 600°=sin(-60°)+tan 60°=-sin 60°+tan 60°=-+=.故选B.(2)∵sin-α=,∴cos+α=cos--α=sin-α=.例2[思路点拨](1)由tan x=-及平方关系解出sin x,再根据诱导公式求解;(2)把α+看成一个整体,根据基本关系求解.(1)C(2)B[解析](1)∵tan x==-,∴cos x=-sinx,∴sin2x+cos2x=sin2x+sin2x=sin2x=1,∴sin2x=.又x∈,π,∴sinx=,∴cos-x-=cos+x=-sin x=-.(2)∵0<α<π,且sinα+=∈,,∴α+∈,,∴cosα+=-=-,则tanα+==-.例3[思路点拨](1)将待求式看成分母为1的分式结构,再将1用“sin2x+cos2x”代替,由弦直接得到正切,进而求解.(2)利用平方关系得到sin x cos x后,同(1)一样处理,但要注意tan x 的取值.(1)(2)[解析](1)2sin2x-sin x cos x+cos2x===.(2)将sin x-cos x=两边平方并化简可得sin x cos x=,即有==,解得tan x=或tan x=,因为x ∈0,且sin x>cos x,所以tan x=.例4[思路点拨]将已知式子两边平方求出sin αcos α的值,再将待求式化简求解.-[解析]∵sin α+cos α=-,∴sin2α+cos2α+2sin αcos α=,解得sin αcosα=-,∴sin+αcos-α=cos αsin α=-.强化演练1.A[解析]因为cos x+sin x=,又sin2x+cos2x=1,x∈(0,π),解得sin x=,cos x=-,所以tan x=-.故选A.2.1[解析] 4sin2α-3sin αcos α-5cos2α====1.3.1-[解析]由题意知sin θ+cos θ=-,sin θcos θ=,又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.【备选理由】例1是以角α为变量的函数形式,进一步考查利用诱导公式进行化简与求值;例2是考查诱导公式在三角形中的应用,是对听课例1的很好的补充;例3是平方关系及“1”的巧妙代换;例4是考查sin θ+cos θ与sin θ-cos θ之间的转换.1[配合例1使用][2017·中山一中模拟]已知f(α)=.(1)化简f(α);(2)若α=-,求f(α)的值.解:(1)f(α)==-cos α.(2)∵-=-5×2π-,∴f=-cos=-cos-5×2π-=-cos=-,即f(α)=-.2[配合例1使用]在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则该三角形为()A.正三角形B.等腰三角形C.等腰三角形或直角三角形D.钝角三角形[解析] C因为sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以该三角形为等腰三角形或直角三角形.3[配合例3使用][2017·亳州涡阳一中月考]若sin2α+sin α=1,则cos4α+cos2α=.[答案] 1[解析]∵sin2α+sin α=1,∴sin α=cos2α,∴cos4α+cos2α=cos2α(cos2α+1)=sin α(sin α+1)=1.4[配合例4使用]若sin θ+cos θ=,且0≤θ≤π,则sin θ-cos θ的值为. [答案][解析]∵sin θ+cos θ=,∴两边平方得sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,即1+2sin θcos θ=,∴2sin θcos θ=-.又0≤θ≤π,∴sin θ>0,cos θ<0,∴sin θ-cos θ===.第18讲三角函数的图像与性质考试说明 1.能画出函数y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等),理解正切函数在区间-,内的单调性.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin的最小正周期为()A.4πB.2πC.πD.[解析] C函数f(x)=sin的最小正周期为T==π.2.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.3.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).4.[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图3-18-1所示,则f(x)的单调递减区间为()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z[解析] D由图知=-=1,所以T=2,即=2,所以ω=±π.因为函数f(x)的图像过点,所以当ω=π时,+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z;当ω=-π时,+φ=-+2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z.所以f(x)=cos,由2kπ<πx+<π+2kπ,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故选D.5.[2017·全国卷Ⅱ]函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为.[答案][解析]因为f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(其中tan φ=2),所以f(x)max=.6.[2014·全国卷Ⅱ]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为. [答案] 1[解析]函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ=sin x,故其最大值为1.7.[2013·全国卷Ⅰ]设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=. [答案]-[解析]因为f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),所以当x+φ=+2kπ(k∈Z),即x=-φ+2kπ(k∈Z)时,y=f(x)取得最大值,则cos θ=cos x=cos=sin φ,由φ∈可得sin φ=-,所以cos θ=-.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2017·山东卷]函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为()A.B.C.πD.2π[解析] C因为y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+cos 2x=2sin2x+,所以其最小正周期T==π,故选C.2.[2016·浙江卷]设函数f(x)=sin2x+b sin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关[解析] B若b=0,则f(x)=sin2x+c=+c=-cos 2x++c的最小正周期是π;若b≠0,则f(x)=sin2x+b sin x+c的最小正周期是2π.故选B.3.[2017·天津卷]设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=[解析] A∵f=2,f=0,∴-=(2m+1),m∈N,解得T=,m∈N.∵f(x)的最小正周期大于2π,∴m=0,∴T=3π,则ω=.由题意得×+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=.4.[2016·江苏卷]定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图像与y=cos x的图像的交点个数是.[答案] 7[解析]方法一:令sin 2x=cos x,即2sin x cos x=cos x,解得cos x=0或sin x=,即x=kπ+或x=2kπ+或x=2kπ+π(k∈Z),又x∈[0,3π],故x=,,或x=,,,,共7个解,故两个函数的图像有7个交点.方法二:在同一个坐标系内画出这两个函数的图像,由图像可得交点有7个.5.[2016·天津卷]已知函数f(x)=4tan x sin-x cos x--.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-,上的单调性.解:(1)f(x)的定义域为x x≠+kπ,k∈Z.f(x)=4tan x cos x cos x--=4sin x cos x--=4sin x cos x+sin x-=2sin x cosx+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin2x-,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是-+2kπ,+2kπ,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=-,.所以当x∈-,时,f(x)在区间-,上单调递增,在区间-,-上单调递减.【课前双基巩固】知识聚焦1.[-1,1][-1,1]R奇函数偶函数2kπ+,2kπ+[2kπ-π,2kπ](kπ,0)x=kπ对点演练1.π[解析]T===π.2.-1[解析]依题意得A+1=3,所以A=2,所以函数y=2sin x+1的最小值为1-2=-1.3.增减[解析]由余弦函数的单调性,得函数y=2cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数.4.2kπ-,2kπ+(k∈Z)[解析]由题意知0≤cos x≤1,∴2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z).5.[2kπ-π,2kπ](k∈Z)[解析]函数y=1-2cos x的单调递减区间即函数y=-cos x的单调递减区间,即函数y=cos x的单调递增区间,为[2kπ-π,2kπ](k∈Z).6.(-1,1)[解析]∵x≠+kπ(k∈Z),y=cos x tan x=sin x,∴y=sin x∈(-1,1),即函数y=cos x tan x的值域是(-1,1).7.1[解析]设t=cos x,则-1≤t≤1,所以y=-t2+3t-1=-t-2+,当t=1时,函数取得最大值1.8.,-[解析]∵sin x+sin y=,∴sin x=-sin y.∵-1≤sin x≤1,∴解得-≤sin y≤1.又M=sin2y-sin y-=sin y-2-,∴当sin y=,sin x=-时,M min=-;当sin y=-,sin x=1时,M max=.故M=sin x+sin2y-1的最大值为,最小值为-.【课堂考点探究】例1[思路点拨]根据偶次根式和对数函数的性质以及正切函数的性质列出关于x的不等式组求解.(1)x0<x≤2,且x≠(2)x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z[解析](1)依题意得所以0<x≤2,且x≠kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域是x0<x≤2,且x≠.(2)要使函数有意义,必须满足即即所以2kπ<x≤+2kπ(k∈Z),所以函数的定义域为x2kπ<x≤+2kπ,k∈Z.变式题(1)x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z(2)x x≠+,k∈Z[解析](1)由题意需满足sin x-cos x≥0.y=sin x和y=cos x的部分图像如图所示.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合图像及正弦、余弦函数的周期是2π,可得原函数的定义域为x2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.(2)由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以f(x)的定义域为x x≠+,k∈Z.例2[思路点拨](1)利用正弦函数的单调性求解;(2)先将解析式化为以cos x为变量的二次函数,再根据二次函数的性质求值域.(1)A(2)B[解析](1)因为0≤x≤9,所以-≤-≤,所以-≤sin x-≤1,则-≤y≤2.所以y max+y min=2-.(2)y=cos 2x+2cos x=2cos2x+2cos x-1=2cos x+2-,因为cos x∈[-1,1],所以原式的值域为-,3.变式题(1)D(2)[解析](1)因为y=|sin x|+sin x=-1≤sin x≤1,所以y∈[0,2],所以函数的值域为[0,2].(2)令t=cos x-sin x,则t=cos x-sin x=cos x+∈[-,],所以t2=1-2sin x cos x,即sin x cos x=,所以y=t+4×=-2t2+t+2=-2t-2+,又t∈[-,],所以当t=时,y取得最大值.例3[思路点拨]依据T=求解最小正周期.(1)(2)D[解析](1)函数f(x)=sin3x+的最小正周期T==.(2)对于A,y=sin 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为奇函数,故A不正确;对于B,y=cos 2x,∵ω=2,∴T=π,故B不正确;对于C,y=tan 2x,∵ω=2,∴T=,该函数为奇函数,故C不正确;对于D,y=sin-4x=cos 4x,∵ω=4,∴T==,该函数为偶函数,故D正确.例4[思路点拨](1)把2x+看成整体,利用y=sin x图像的对称性求解;(2)由对称轴确定函数的周期,得出ω,再结合对称轴通过函数图像的最高点或最低点求解.(1)B(2)A[解析](1)∵正弦函数y=sin x的部分图像如图所示,其对称中心必在图像与x轴的交点处,当x=-时,函数值y=2sin-×2+=0,∴函数图像关于点-,0对称.(2)由题意,函数的周期T=2×π-π=2π,∴ω==1,∴y=cos(x+φ).当x=π时,函数取得最大值或最小值,即cos+φ=±1,可得+φ=kπ,k∈Z,∴φ=kπ-π,k∈Z.当k=2时,可得φ=.例5[思路点拨](1)依据周期公式可排除A,其余三项利用y=cos x,y=sin x和y=tan x的单调性分析;(2)把ωx-看成整体,依据y=cos x的单调递减区间求解.(1)B(2)A[解析](1)对于A,y=cos的周期T==4π,故A错误;对于B,y=cos(-2x)=cos 2x的周期为π,且在0,上是减函数,故B正确;对于C,y=sin2x+的周期T==π,当x∈0,时,2x+∈,,故y=sin2x+在0,内不具有单调性,故C错误;对于D,y=tan x-,其周期T=π,当x∈0,时,x-∈-,,故y=tan x-在0,内是增函数,故D错误.(2)由2kπ≤ωx-≤π+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,∴f(x)的单调递减区间为+,+,k∈Z.又f(x)在,π上单调递减,∴k∈Z,解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z.又ω>0,≤=,∴0<ω≤2,∴≤ω≤.强化演练1.C[解析]f(x)=sin(x+φ)-cos(x+φ)=2sin x+φ-,依题意f(π)=±2,即sinπ+φ-=±1,sinφ-=±1,所以φ-=kπ+,k∈Z,又|φ|<,则可取k=-1,得φ=-,所以cos 2φ=cos=.故选C.2.A[解析]因为f(x)=2cos2x--1=cos 2x-=cos2x-=sin 2x,所以最小正周期T==π,f(x)是奇函数,即函数f(x)是最小正周期为π的奇函数.3.A[解析]由题意得3cos2×+φ=3cos+φ+2π=3cos+φ=0,所以+φ=kπ+,k∈Z,所以φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.4.kπ-,kπ+(k∈Z)[解析]已知函数可化为f(x)=-sin2x-,要求函数的单调递减区间,只需求y=sin2x-的单调递增区间.由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所给函数的单调递减区间为kπ-,kπ+(k∈Z).【备选理由】例1考查余弦函数有界性、二次函数在指定区间上的最值问题,需要分类讨论求解,可强化学生对数学思想方法的认识与应用;例2为函数对称性与极值的综合问题;例3为利用三角函数的单调性比较大小问题;例4 为函数不单调求参问题.1[配合例2使用]若函数y=sin2x+a cos x+a-在闭区间上的最大值是1,则实数a=.[答案][解析]y=-++a-.当0≤x≤时,0≤cos x≤1,令t=cos x,0≤t≤1,则y=-++a-,0≤t≤1.①若0≤≤1,即0≤a≤2,则当t=,即cos x=时,y max=+a-=1,解得a=或a=-4(舍去);②若<0,即a<0,则当t=0,即cos x=0时,y max=a-=1,解得a=,由于a<0,故这种情况不存在满足条件的a值;③若>1,即a>2,则当t=1,即cos x=1时,y max=a+a-=1,解得a=,由于<2,故这种情况下不存在满足条件的a值.综上知,a=.2[配合例4使用][2017·武汉部分学校调研]已知函数f(x)=sin x-a cos x图像的一条对称轴为x=π,记函数f(x)的两个极值点分别为x1,x2,则|x1+x2|的最小值为.[答案][解析]据题意有sinπ-a cosπ=,解得a=1,所以f(x)=sin x-cos x=sin x-,x1,x2为函数的极值点,且|x1+x2|最小,则x1,x2的符号相反,由x-=±,可得x1+x2=-+π=,所以|x1+x2|的最小值为.3[配合例5使用]已知函数f(x)=2cos x+,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c[解析] A易知函数f(x)在0,上是减函数,所以f>f>f,所以a>b>c.4[配合例5使用][2017·衡阳八中月考]设ω∈N*且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间,上不单调的ω的个数是()A.6B.7C.8D.9[解析] C由ωx=+kπ(k∈Z)得函数y=sin ωx的图像的对称轴为x=+(k∈Z).∵函数y=sinωx在区间,上不单调,∴<+<(k∈Z),解得1.5+3k<ω<2+4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15,∴当k=0时,1.5<ω<2,此时ω没有正整数可取;当k=1时,4.5<ω<6,此时ω可以取5;当k=2时,7.5<ω<10,此时ω可以取8,9;当k=3时,10.5<ω<14,此时ω可以取11,12,13;当k=4时,13.5<ω<18,此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个,分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C.第19讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.考情分析真题再现■ [2017-2013]课标全国真题再现1.[2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤,x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在,单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5[解析] B由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,ω+φ=mπ+,m∈Z,两式相加,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±,两式相减得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间,单调,所以只要该区间位于函数f(x)图像的两条相邻对称轴之间即可,且-≤×,即ω≤12.(1)当φ=时,f(x)=sinωx+,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,此时ω的最大值为9.(2)当φ=-时,f(x)=sinωx-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得≤ω≤.由于ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,此时ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.2.[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图像的对称轴为()A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)[解析] B平移后的图像对应的解析式为y=2sin 2x+,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).3.[2015·全国卷Ⅱ]如图3-19-1,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD 与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()[解析] B当点P在BC上时,=tan x,=,+=tan x+,即f(x)=tan x+,x∈,由正切函数的性质可知,函数f(x)在上单调递增,所以其最大值为1+,且函数y=f(x)的图像不可能是线段,排除选项A,C.当点P在CD上运动时,我们取P为CD的中点,此时x=,f=2,由于2<1+,即f<f,排除选项D.综上可知,只有选项B中图像符合题意.4.[2016·全国卷Ⅲ]函数y=sin x-cos x的图像可由函数y=sin x+cos x的图像至少向右平移个单位长度得到.[答案][解析]函数y=sin x-cos x=2sin x-的图像可由函数y=sin x+cos x=2sin x+的图像至少向右平移个单位长度得到.■ [2017-2016]其他省份类似高考真题1.[2016·北京卷]将函数y=sin2x-图像上的点P,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图像上,则()A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为[解析] A因为P,t在函数y=sin2x-的图像上,所以t=sin2×-=sin=.因为s>0,y=sin2x-=sin 2x-,所以函数y=sin2x-的图像至少向左平移个单位长度可以得到函数y=sin 2x的图像,所以s的最小值为.2.[2016·四川卷]为了得到函数y=sin2x-的图像,只需把函数y=sin 2x的图像上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度[解析] D由题可知,y=sin=sin 2,则只需把y=sin 2x的图像向右平移个单位长度.【课前双基巩固】知识聚焦1.ωx+φφ2.0π2π3.|φ|对点演练1.y=2sin x[解析]根据函数图像变换法则可得.2.y=sin[解析]函数y=sin的图像向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图像,即此函数的解析式为y=sin x+.3.[解析]由题意知当x=时,函数取得最大值,所以有sin=1,所以=+2kπ(k∈Z),所以ω=+6k(∈Z),又0<ω<2,所以ω=.4.[解析]将点(0,1)代入函数表达式可得2sin φ=1,即sin φ=.∵|φ|<,∴φ=.5.左[解析]y=cos=sin+=sin.故要得到y=sin=sin 2的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.6.[解析]f(x)=sincos =sin ωx,ω>0.若函数f(x)在区间上单调递增,则=≥+=,即ω∈.7.-5或-1[解析]由f=f得函数f(x)图像的对称轴为x=.故当x=时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-[解析]由图像可知,T=4×π-=π,所以ω==2.因为f=sin+φ=1,所以+φ=+2kπ(k ∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨](1)先求出周期,再将y=2sin2x+的图像按规则平移即可;(2)先统一函数的名称,再按照平移规则平移.(1)D(2)C[解析](1)函数y=2sin2x+的周期为=π,将函数y=2sin2x+的图像向右平移个周期,即平移个单位,所得图像对应的函数为y=2sin2x-+=2sin2x-.(2)y=sin 2x=cos2x-=cos 2x-,所以只需将y=sin 2x的图像向左平移个单位长度,即可得到函数y=cos 2x的图像.故选C.变式题(1)A(2)A[解析](1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到函数y=sin 2x的图像,再把该函数图像向右平移个单位长度,得到函数y=sin 2x-=sin2x-的图像.故选A.(2)因为y=sin 3x+cos 3x=cos3x-,所以将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位长度得到函数y=cos 3x-=cos3x-的图像,即函数y=sin 3x+cos 3x的图像.故选A.例2[思路点拨](1)先根据图像求出A,再由图像过(0,-1)和,0,T<<T,-π<φ<0等条件可得到答案;(2)由题意知M=3,T=2+,即可求出ω,再利用最高点求出φ,即可得出结论.(1)-(2)3sin x-[解析](1)由题设图像知,A=2,可得f(x)=2sin(ωx+φ).由函数图像过点(0,-1),可得2sin φ=-1,即sin φ=-,则φ=2kπ-(k∈Z)或φ=2kπ-(k∈Z).因为<<T,所以<T<,所以<ω<①.由函数图像过点,0,得sinω+φ=0,则ω+φ=2kπ+π(k∈Z)②.由①②得φ∈2kπ-π,2kπ-,又-π<φ<0,所以φ=-.(2)由题意得M=3,T=2+,∴T=6=,∴ω=,∴f(x)=3sin x+φ,将A(2,3)代入可得3=3sin+φ,∵|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=3sin x-.变式题-[解析]根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且A,1,B(π,-1),可得从点A到点B正好经过了半个周期,即×=π-,∴ω=2.再把点A,B的坐标代入函数解析式可得2sin2×+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ)=2sin φ=-1,∴sin φ=-,∴φ=2kπ-或φ=2kπ-,k∈Z.再结合“五点作图法”,可得φ=-.。
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第课三角函数综合问题
. 能灵活运用三角函数公式进行化简、求值、求取值范围等．
. 能综合应用函数、方程、不等式等知识解决与三角函数相关的问题.
. 阅读：必修第～页；必修第～页．
.
解悟：①三角函数中的同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角公式；②解三角形中的正余弦定理，三角形的面积公式；③重解必修第页例，体会辅助角公式的应用；第页例，体会整体代换思想；第页例，这是三角函数应用题中的一个重要模型，体会角的拆分与合成；第页例，体会降幂扩角公式．
.
践习：在教材空白处完成必修第页练习第题；第页练习第题；第页练习第、、题；第页练习第题.
基础诊断
. 若α是三角形的一个内角，且αα＝，则α＋α的值为．
解析：因为α是三角形的一个内角，且αα＝，所以α为锐角，所以α＋α＝＝.
. 已知α＋β＝，α＋β＝，则(α＋β)＝－．
解析：因为α＋β＝，α＋β＝，平方相加得α＋αβ＋β＋α＋αβ＋β＝，所以(α＋β)＝－，(α＋β)＝－.
. 已知角α，β，γ构成公差为的等差数列，若β＝－，则α＋γ＝－．
解析：因为α，β，γ构成公差为的等差数列，所以α＝β－，γ＝β＋，所以α＋γ＝＋＝β＝－.
. 在锐角三角形中，若＝＋，＝－，则实数的取值范围是(，＋∞)．
解析：因为在△中，＋＋＝π，所以＝－(＋)＝－＝.因为△为锐角三角形，所以>，>， >，即解得>.
范例导航
考向❶三角恒等变换与解三角形
例在△中，，，分别是角，，所对的边，且(－)＝.
() 求角的大小；
() 若＋＝，＝，求△的面积．
解析：() 由(－)＝
得(－)＝，即(＋)＝－，所以＝－(＋)＝.
又<<π，所以＝.
() 由余弦定理得＝＝，
所以＝.
又＋＝，＝，
所以－－＝，即＝，
所以△＝＝××＝.
【变式】若本题()条件变为“若＝，△＝”，求＋的值．解析：由已知△＝＝，
所以×＝，则＝.
由余弦定理得＝＋－＝(＋)－，
所以(＋)＝＋＝，所以＋＝.
【变式】在本例条件下，若＝，求△面积的最大值．
解析：由余弦定理得＝＋－＝＋－，则＝＋－≥－，
所以≤(当且仅当＝＝时取等号)，
所以△＝≤××＝.
故△面积的最大值为.。